重難點專題21 三角函數(shù)壓軸小題十五大題型匯總（原卷版）

重難點專題21三角函數(shù)壓軸小題十五大題型匯總題型1新文化問題 1題型2新定義問題 3題型3黃金分割相關(guān)問題 4題型4扇形相關(guān)問題 6題型5三角函數(shù)公式相關(guān)問題 9題型6三角函數(shù)性質(zhì)問題 10題型7識圖問題 11題型8湊角求值問題 14題型9最值相關(guān)問題 15題型10ω相關(guān)問題 16題型11φ相關(guān)問題 17題型12實際應(yīng)用問題 18題型13恒成立問題 21題型14零點相關(guān)問題 22題型15與數(shù)列相關(guān)問題 23題型1新文化問題【例題1】（2023秋·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）我國人臉識別技術(shù)處于世界領(lǐng)先地位.所謂人臉識別，就是利用計算機檢測樣本之間的相似度，余弦距離是檢測相似度的常用方法.假設(shè)二維空間中有兩個點Ax1,y1，Bx2,y2，O為坐標(biāo)原點，余弦相似度為向量OA，OB夾角的余弦值，記作cosA,B，余弦距離為1-cosA,B.已知PcosαA．12 B．13 C．14【變式1-1】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）法國著名軍事家拿破侖·波拿巴最早提出的一個幾何定理：“以任意三角形的三條邊為邊向外構(gòu)造三個等邊三角形，則這三個等邊三角形的外接圓圓心恰為等邊三角形的頂點”.如圖，在△ABC中，內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a,b,c，且10sinB+C22=7-

【變式1-1】2.（2023·全國·鎮(zhèn)海中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）天文學(xué)家、數(shù)學(xué)家梅文鼎，為清代“歷算第一名家”和“開山之祖”，在其著作《平三角舉要》中給出了利用三角形的外接圓證明正弦定理的方法.如圖所示，在梅文鼎證明正弦定理時的構(gòu)圖中，O為銳角三角形ABC外接圓的圓心.若sin∠BAC=33

A．223 B．-223 C【變式1-1】3.（2023春·河北石家莊·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）古希臘畢達哥拉斯學(xué)派在公元前6世紀(jì)研究過正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割值約為0.618，這一數(shù)值也可以表示為a=2cos72°【變式1-1】4.（2023·浙江·校聯(lián)考二模）數(shù)學(xué)里有一種證明方法叫做Proofwithoutwords，也被稱為無字證明，是指僅用圖象而無需文字解釋就能不證自明的數(shù)學(xué)命題，由于這種證明方法的特殊性，無字證時被認(rèn)為比嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明更為優(yōu)雅與有條理.如下圖，點C為半圓O上一點，CH⊥AB，垂足為H，記∠COB=θA．tanθ2=C．tanθ2=【變式1-1】5.（2023·江蘇南京·南京航空航天大學(xué)附屬高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）我國古代數(shù)學(xué)家僧一行應(yīng)用“九服晷影算法”在《大衍歷》中建立了晷影長l與太陽天頂距θ0°<θ<90°的對應(yīng)數(shù)表，這是世界數(shù)學(xué)史上最早的一整正切函數(shù)表．根據(jù)三角學(xué)知識可知，晷影長度l等于表高h(yuǎn)與太陽天頂距θ正切值的乘積，即l=htanθ，對同一“表高”兩次測量，第一次和第二次太陽天頂距分別為α、β，若第一次的“晷影長”是“表高”的3倍，且tanα-β=1A．1 B．23 C．52 D【變式1-1】6.（2022秋·安徽合肥·高三校考期中）數(shù)學(xué)必修二101頁介紹了海倫-秦九韶公式：我國南宋時期著名的數(shù)學(xué)家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中，提出了已知三角形三邊長求三角形的面積的公式，與著名的海倫公式完全等價，由此可以看出我國古代已具有很高的數(shù)學(xué)水平，其求法是：“以小斜冪并大斜冪減中斜冪，余半之，自乘于上.以小斜冪乘大斜冪減上，余四約之，為實.一為從隔，開平方得積.”若把以上這段文字寫成公式，即S=14a2c2-a2+c2-b222，其中a、b、c分別為△ABCA．3 B．5 C．2 D．2題型2新定義問題【例題2】（2023·湖南長沙·長沙市實驗中學(xué)?？级＃┱睿⊿ecant）及余割（Cosecant）這兩個概念是由伊朗數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家阿布爾·威發(fā)首先引入，sec，csc這兩個符號是荷蘭數(shù)學(xué)家基拉德在《三角學(xué)》中首先使用，后經(jīng)歐拉采用得以通行．在三角中，定義正割secα=1cosα，余割cscA．-1,1 B．C．-2,2 D．【變式2-1】1.（多選）（2023·安徽安慶·安慶一中?？寄M預(yù)測）正割（Secant）及余割（Cosecant）這兩個概念是由伊朗數(shù)學(xué)家?天文學(xué)家阿布爾·威發(fā)首先引入，sec,csc這兩個符號是荷蘭數(shù)學(xué)家基拉德在《三角學(xué)》中首先使用，后經(jīng)歐拉采用得以通行.在三角中，定義正割secα=1cosα，余割A(yù)．fx的定義域為xB．fx的最小正周期為2C．fx的值域為-D．fx圖象的對稱軸為直線x【變式2-1】2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）一般地，存在一個n次多項式Tn(x)，使得cosnx=Tn(cosx)，這些多項式Tn(x題型3黃金分割相關(guān)問題【例題3】（2022·貴州安順·統(tǒng)考模擬預(yù)測）黃金分割點是指將一條線段分為兩部分，使得較長部分與整體線段的長的比值為5-12的點．利用線段上的兩個黃金分割點可以作出正五角星，如圖所示，已知C，D為AB的兩個黃金分割點，研究發(fā)現(xiàn)如下規(guī)律：ACAB=BDAB=CDBC

A．5-14 B．5+14 C【變式3-1】1.（2023·江西·校聯(lián)考二模）被譽為“中國現(xiàn)代數(shù)學(xué)之父”的著名數(shù)學(xué)家華羅庚先生于1946年9月應(yīng)普林斯頓大學(xué)邀請去美國講學(xué)，之后又被美國伊利諾依大學(xué)聘為終身教授.新中國成立的消息使華羅庚興奮不已，他放棄了在美國的優(yōu)厚待遇，克服重重困難，終于回到祖國懷抱，投身到我國數(shù)學(xué)科學(xué)研究事業(yè)中去.這種赤子情懷，使許多年輕人受到感染?受到激勵，其中他倡導(dǎo)的“0.618優(yōu)選法”在生產(chǎn)和科研實踐中得到了非常廣泛的應(yīng)用，0.618就是黃金分割比t=5-12的近似值，黃金分割比還可以表示成2A．-4 B．4 C．-2 D．2【變式3-1】2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）公元前6世紀(jì)，古希臘的畢達哥拉斯學(xué)派研究過正五邊形和正十邊形的作圖，發(fā)現(xiàn)了黃金分割均為0.618，這一數(shù)值也可以表示為λ=2sin18°，則3A．12 B．1 C．22 D【變式3-1】3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）黃金分割比例廣泛存在于許多藝術(shù)作品中．在三角形中，底與腰之比為黃金分割比的三角形被稱作黃金三角形，被認(rèn)為是最美的三角形，它是兩底角為72°的等腰三角形．達·芬奇的名作《蒙娜麗莎》中，在整個畫面里形成了一個黃金三角形．如圖，在黃金三角形ABC中，BCAC=5-1A．25-1C．5+48 D【變式3-1】4.（2023·遼寧·大連二十四中校聯(lián)考三模）隨著智能手機的普及，手機攝影越來越得到人們的喜愛，要得到美觀的照片，構(gòu)圖是很重要的，用“黃金分割構(gòu)圖法”可以讓照片感覺更自然.更舒適，“黃金九宮格”是黃金分割構(gòu)圖的一種形式，是指把畫面橫豎各分三部分，以比例1：0.618：1為分隔，4個交叉點即為黃金分割點.如圖，分別用A,B,C,D表示黃金分割點.若照片長?寬比例為4:3，設(shè)A．-18 B．18 C．-題型4扇形相關(guān)問題【例題4】（2023秋·貴州·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）已知“水滴”的表面是一個由圓錐的側(cè)面和部分球面（常稱為“球冠”）所圍成的幾何體．如圖所示，將“水滴”的軸截面看成由線段AB，AC和優(yōu)弧BC所圍成的平面圖形，其中點B，C所在直線與水平面平行，AB和AC與圓弧相切．已知“水滴”的“豎直高度”與“水平寬度”（“水平寬度”指的是平行于水平面的直線截軸截面所得線段的長度的最大值）的比值為43，則sin∠BACA．325 B．925 C．1625【變式4-1】1.（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）重慶榮昌折扇是中國四大名扇之一，其精雅宜士人，其華燦宜艷女，深受各階層人民喜愛.古人曾有詩贊曰：“開合清風(fēng)紙半張，隨機舒卷豈尋常；金環(huán)并束龍腰細(xì)，玉柵齊編鳳翅長”.榮昌折扇平面圖為圖2的扇形COD，其中∠COD=2π3，OC=3OA=3，動點P在CD上（含端點），連接OP交扇形OAB的弧A．若y=2x，則OB?C．PA?PB≥【變式4-1】2.（2023春·廣東深圳·高三?？茧A段練習(xí)）以∠ACB的頂點C為圓心作圓交角的兩邊于A，B兩點；取線段AB三等分點O，D；以B為焦點，A，D為頂點作雙曲線，與圓弧AB交于點E，連接CE，則∠ACB=3∠BCE.若圖中CE交AB于點P，5AP

【變式4-1】3.（2023·河南焦作·統(tǒng)考模擬預(yù)測）如圖，已知P，Q分別為∠AOB兩邊上的點，∠AOB=π6，PQ=3，過點P，Q作圓弧，R為PQ的中點，且∠PQR【變式4-1】4.（2022·全國·高三專題練習(xí)）為創(chuàng)建全國文明城市，上饒市政府決定對某小區(qū)內(nèi)一個近似半圓形場地進行改造，場地如圖，以O(shè)為圓心，半徑為一個單位，現(xiàn)規(guī)劃出以下三塊場地，在扇形AOC區(qū)域鋪設(shè)草坪，△OCD區(qū)域種花，△OBD區(qū)域養(yǎng)殖觀賞魚，若∠AOC=∠COD【變式4-1】5.（2022·湖北·恩施市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）共和國勛章，是中華人民共和國最高榮譽勛章，授予在中國特色社會主義建設(shè)和保衛(wèi)國家中作出巨大貢獻、建立卓越功勛的杰出人士.2020年8月11日，國家主席習(xí)近平簽署主席令，授予鐘南山“共和國勛章”.某市為表彰在抗疫中表現(xiàn)突出的個人，制作的榮譽勛章的掛墜結(jié)構(gòu)示意圖如圖，O為圖中兩個同心圓的圓心，三角形ABC中，AB=AC，大圓半徑OA=2，小圓半徑OB=OC=1，記S'為三角形OAB與三角形OAC的面積之和.題型5三角函數(shù)公式相關(guān)問題【例題5】（2023秋·江蘇南京·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知α∈0,π，且3tanα=10cos2αA．-1010 B．-55 C．【變式5-1】1.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知0<α<β<2π，函數(shù)fx=5A．2325 B．-2325 C．3【變式5-1】2.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知銳角三角形ABC的內(nèi)角A，B，C所對的邊分別是a，b，c，且A>B，若sinC=2cosA【變式5-1】3.（2023秋·黑龍江七臺河·高三勃利縣高級中學(xué)?？茧A段練習(xí)）在△ABC中，已知sinAsinBsin(C-θ)=λ【變式5-1】4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）在直角坐標(biāo)系中，△ABC的頂點A(cosα,sinα)，B(cosβ,sin【變式5-1】5.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點G是△ABC的重心，且GA⊥GC，若1tanA+【變式5-1】6.（2021秋·四川成都·高三成都市錦江區(qū)嘉祥外國語高級中學(xué)?？计谥校┰凇鰽BC中，已知sinAsinBsinC-θ=λsinA．1020 B．55 C．10 D題型6三角函數(shù)性質(zhì)問題【例題6】（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）（多選題）設(shè)函數(shù)fx=cosωx-2π5+3π2A．ω的取值范圍是19B．fx在0,2π上有且僅有C．若fx的圖象向右平移π12個單位長度后關(guān)于yD．若將fx圖象上各點的橫坐標(biāo)變?yōu)樵瓉淼?2，得到函數(shù)gx的圖象，則g【變式6-1】1.（多選）（2023秋·河南鄭州·高三鄭州外國語學(xué)校?？茧A段練習(xí)）設(shè)函數(shù)f(x)的定義域為R，f(x-π2)A．f(5π2)=-1C．點(3π2,0)是函數(shù)fx的一個對稱中心 D【變式6-1】2.（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）關(guān)于函數(shù)fx=2sinA．fxB．fx在區(qū)間-C．fx在-π,D．fx的值域是【變式6-1】3.（2023秋·黑龍江鶴崗·高三鶴崗一中?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)fx=m2cosx-A．1 B．3 C．-1或3 D．1或【變式6-1】4.（2023秋·河南信陽·高三信陽高中校考階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=A．?B．?C．f(D．f(x【變式6-1】5.（2023秋·河南·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）已知函數(shù)fx=cosωx+φ，ω∈N+，φ∈0,【變式6-1】6.（2023秋·北京·高三北京市陳經(jīng)綸中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)fx=2sinωx+φ+1ω>0,φ<π①fx圖像的對稱軸方程為②fx在-π③將函數(shù)y=2sin2x-④fx在π題型7識圖問題已知fx＝Asin(ωx+(1)由ω=2πT即可求出ω；確定φ時，若能求出離原點最近的右側(cè)圖象上升(或下降)的“零點”橫坐標(biāo)x0，則令ωx0(2)代入點的坐標(biāo)，利用一些已知點(最高點、最低點或“零點”)坐標(biāo)代入解析式，再結(jié)合圖形解出ω和φ，若對A，ω的符號或?qū)Ζ盏姆秶幸?，則可用誘導(dǎo)公式變換使其符合要求.【例題7】（2023·北京·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)fx=λsinπ2x+φλ>0,0<φ<π的部分圖象如圖1所示，A、B分別為圖象的最高點和最低點，過A作x軸的垂線，交x軸于A'，點給出下列四個結(jié)論：①φ=②圖2中，AB?③圖2中，過線段AB的中點且與AB垂直的平面與x軸交于點C；④圖2中，S是△A'BC及其內(nèi)部的點構(gòu)成的集合.設(shè)集合T=Q其中所有正確結(jié)論的序號是.【變式7-1】1.（2021秋·重慶銅梁·高三銅梁一中階段練習(xí)）已知函數(shù)f(x)=2sin(ωx+φ)(ωA．3 B．2 C．1 D．0【變式7-1】2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）如圖，點P(-2，a)和點Q(1，b)分別是函數(shù)f(x)=Asin(ωx+?)A．在區(qū)間[-4，2]上單調(diào)遞增 B．在區(qū)間C．在區(qū)間[1，7]上單調(diào)遞減 D．在區(qū)間【變式7-1】3.（2020·全國·高三專題練習(xí)）如圖，函數(shù)f（x）=Asin（ωx+φ）（其中AA．1633 B．833 C．【變式7-1】4.（2022·浙江·高三專題練習(xí)）如圖，直線AB與單位圓相切于點O，射線OP從OA出發(fā)，繞著點O逆時針旋轉(zhuǎn)，在旋轉(zhuǎn)分入過程中，記∠AOP=x(0<x<π)，OP經(jīng)過的單位圓①當(dāng)x=3π②x∈(0,π)③對任意x∈0,π④對任意x∈0,其中判斷正確的序號是．題型8湊角求值問題三角函數(shù)求值的類型及方法（1）“給角求值”：一般所給出的角都是非特殊角，從表面來看較難，但非特殊角與特殊角總有一定關(guān)系．解題時，要利用觀察得到的關(guān)系，結(jié)合三角函數(shù)公式轉(zhuǎn)化為特殊角的三角函數(shù)．（2）“給值求值”：給出某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，解題關(guān)鍵在于“變角”，使其角相同或具有某種關(guān)系．（3）“給值求角”：實質(zhì)上也轉(zhuǎn)化為“給值求值”，關(guān)鍵也是變角，把所求角用含已知角的式子表示，由所得的函數(shù)值結(jié)合該函數(shù)的單調(diào)區(qū)間求得角，有時要壓縮角的取值范圍．【例題8】（2020·全國·高三專題練習(xí)）若α∈0,π，β∈-π4,π4，λ∈A．13 B．12 C．3 D【變式8-1】1.（2023·江蘇徐州·校考模擬預(yù)測）已知sin(2α-π12【變式8-1】2.（2022·全國·高三專題練習(xí)）已知點P(0,m)是y軸上到A1,1,B2,4距離和最小的點，且cos【變式8-1】3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知cos2α-π3=p2【變式8-1】4.（2020·全國·高三專題練習(xí)）已知8cos(2α+β)+5題型9最值相關(guān)問題【例題9】（2022秋·山東青島·高三校考階段練習(xí)）在△ABC中，C＝90°，若x∈R，則f(x)＝sin(x＋A)＋sin(x＋B)的最大值為（

）A．2 B．1 C．2 D．2【變式9-1】1.（2022秋·江蘇常州·高三?？奸_學(xué)考試）已知α,β,γ是互不相同的銳角，則在sinαA．0 B．1 C．2 D．3【變式9-1】2.（2022秋·山東青島·高三統(tǒng)考期中）已知θ∈0,π2，則A．8 B．12-22 C．6 D．【變式9-1】3.（2020·全國·高三專題練習(xí)）如圖，在半徑為1的扇形AOB中（O為原點），A(1，0)，∠AOB=2π3．點A．34-12 B．1 C．【變式9-1】4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）△ABC中，角A，B，C滿足cos2A-cos2B【變式9-1】5.（2023秋·重慶·高三重慶一中?？奸_學(xué)考試）在△ABC中，若sinA=2cosBcosC【變式9-1】6.（2022秋·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）定義在R上的函數(shù)fx單調(diào)遞減，且滿足f1-x+f1+x=0，對于任意的題型10ω相關(guān)問題【例題10】（2022秋·福建龍巖·高三福建省龍巖第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=sinωx+acosωx(【變式10-1】1.(多選)（2023·河北秦皇島·校聯(lián)考二模）已知函數(shù)fx=sinωx+φ(ω>0)是在區(qū)間πA．4 B．12 C．2 D．8【變式10-1】2.（2023·福建泉州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)fx=2sinωx-π4+2（ωA．3 B．5 C．7 D．9【變式10-1】3.（2023·河北唐山·模擬預(yù)測）已知A,B,C為fx=sinωx與g【變式10-1】4.（2023秋·安徽·高三宿城一中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx=3sinωx-π6（ω>0），當(dāng)x∈0,題型11φ相關(guān)問題【例題11】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知fx=sinxcosx+3cos2xA．2個 B．4個 C．6個 D．8個【變式11-1】1.（2023·內(nèi)蒙古赤峰·校聯(lián)考一模）在函數(shù)fx=sin2x-φ【變式11-1】2.（2022秋·上海徐匯·高三上海市南洋模范中學(xué)校考期中）將函數(shù)f(x)=2sin2x的圖象向右平移φ(0<φ<π)個單位后得到函數(shù)g(x)的圖象，若對滿足【變式11-1】3.（2022·安徽·南陵中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）將函數(shù)f(x)=2sinx-1的圖象上所有點的縱坐標(biāo)伸長為原來的2倍，再向下平移1個單位長度，最后向左平移φ(φ>0)個單位長度，得到函數(shù)g(x)A．π4 B．5π12 C．7題型12實際應(yīng)用問題【例題12】（2023秋·內(nèi)蒙古赤峰·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）筒車是我國古代發(fā)明的一種水利灌溉工具，既經(jīng)濟又環(huán)保.明代科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（圖1）.假定在水流量穩(wěn)定的情況下，筒車上的每一個盛水筒都做勻速圓周運動，如圖2，將筒車抽象為一個半徑為10的圓O，設(shè)筒車按逆時針方向每旋轉(zhuǎn)一周用時120秒，以筒車的中心O為原點，線段OA，OB所在的直線分別為x，y軸建立如圖所示的直角坐標(biāo)系（A，B為圓O上的點），分別用ft，gt表示t秒后A，B兩點的縱坐標(biāo)，則y=

A．50 B．75 C．503 D．【變式12-1】1.（多選）（2023春·福建廈門·高三廈門一中校考期中）筒車是我國古代發(fā)明的一種灌溉工具，因其經(jīng)濟又環(huán)保，至今還在農(nóng)業(yè)生產(chǎn)中得到使用.明朝科學(xué)家徐光啟在《農(nóng)政全書》中用圖畫描繪了筒車的工作原理（如圖）.現(xiàn)有一個半徑為3米的簡車按逆時針方向每分鐘旋轉(zhuǎn)1圈，筒車的軸心距離水面的高度為2米.設(shè)筒車上的某個盛水筒P到水面的距離為d（單位：米）（在水面下則為負(fù)數(shù)），若以盛水筒剛浮出水面開始計算時間，設(shè)時間為t（單位：秒），已知cos48°≈23A．d=2-3cosπ30B．d=3sinπ30C．大約經(jīng)過38秒，盛水筒P再次進入水中D．大約經(jīng)過22秒，盛水筒P到達最高點【變式12-1】2.（2021秋·江蘇蘇州·高三蘇州市相城區(qū)陸慕高級中學(xué)校考階段練習(xí)）如圖，某大風(fēng)車的半徑為2米，每12秒旋轉(zhuǎn)一周，它的最低點O離地面1米，點O在地面上的射影為A．風(fēng)車圓周上一點M從最低點O開始，逆時針方向旋轉(zhuǎn)40秒后到達P點，則點P到點A的距離與點P的高度之和為A．5米 B．(4＋7)米C．(4＋17)米 D．(4＋19)米【變式12-1】3.（2021秋·河南洛陽·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）水車在古代是進行灌溉引水的工具，是人類的一項古老的發(fā)明，也是人類利用自然和改造自然的象征，如圖是一個半徑為R的水車，一個水斗從點A(33,-3)出發(fā)，沿圓周按逆時針方向勻速旋轉(zhuǎn)，且旋轉(zhuǎn)一周用時60秒，經(jīng)過t秒后，水斗旋轉(zhuǎn)到P點，設(shè)P的坐標(biāo)為（x,y)，其縱坐標(biāo)滿足y①R=6.ω=②當(dāng)t∈[35,55]時，點P到x軸的距離的最大值為6③當(dāng)t∈[10,25]時，函數(shù)y④當(dāng)t=20時，【變式12-1】4.（2023秋·江蘇蘇州·高三蘇州中學(xué)校考階段練習(xí)）某小區(qū)有一個半徑為r米，圓心角是直角的扇形區(qū)域，現(xiàn)計劃照圖將其改造出一塊矩形休閑運動場地，然后在區(qū)域I（區(qū)域ACD），區(qū)域II（區(qū)域CBE）內(nèi)分別種上甲和乙兩種花卉（如圖），已知甲種花卉每平方米造價是a元，乙種花卉每平方米造價是3a元，設(shè)∠BOC=θ，中植花卉總造價記為fθ，現(xiàn)某同學(xué)已正確求得：fθ=ar2gθ，則題型13恒成立問題有關(guān)三角函數(shù)綜合問題的求解策略：1、根據(jù)題意問題轉(zhuǎn)化為已知條件轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)的解析式和圖象，然后在根據(jù)數(shù)形結(jié)合思想研究三角函數(shù)的性質(zhì)，進而加深理解函數(shù)的性質(zhì).2、熟練應(yīng)用三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)，結(jié)合數(shù)形結(jié)合法的思想研究函數(shù)的性質(zhì)（如：單調(diào)性、奇偶性、對稱性、周期性與最值等），進而加深理解函數(shù)的極值點、最值點、零點及有界性等概念與性質(zhì)，但解答中主要角的范圍的判定，防止錯解.【例題13】（2023秋·四川成都·高三樹德中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)fx=acos2x-π4+6sinxcosA．m≥-1 B．m≥-12 C．【變式13-1】1.（2023秋·四川成都·高三樹德中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知函數(shù)fx=acos2x-π4+6sinxcosA．m≥-1 B．m≥-12 C．【變式13-1】2.（2023春·河南許昌·高三鄢陵一中?？茧A段練習(xí)）已知函數(shù)fx=2sinxcosx+4cos2x-1，若實數(shù)a、A．12 B．32 C．2 D【變式13-1】3.（2021秋·重慶巴南·高三重慶市清華中學(xué)校?？茧A段練習(xí)）若不等式mcosx-cos3x-A．-∞,-94 B．-∞,-2 C．【變式13-1】4.（2020·浙江紹興·統(tǒng)考模擬預(yù)測）若不等式a-|x-b|?sinx+A．22;22 B．22;-【變式13-1】5.（多選）（2022秋·山西臨汾·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）已知函數(shù)fx，f'x是其導(dǎo)函數(shù)，?x∈0,πA．fπ6+C．2f(π題型14零點相關(guān)問題已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)值(取值范圍)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通過解不等式確定參數(shù)范圍；（2）分離參數(shù)法：先將參數(shù)分離，轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的值域問題加以解決；（3）數(shù)形結(jié)合法：先對解析式變形，進而構(gòu)造兩個函數(shù)，然后在同一平面直角坐標(biāo)系中畫出函數(shù)的圖象，利用數(shù)形結(jié)合的方法，合理轉(zhuǎn)化求解.【例題14】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知y=f(x)，x∈R滿足f(x+2)=f(x-2)，f(0)=0，當(dāng)x∈(0,4)【變式14-1】1.（2023秋·四川南充·高三四川省南充高級中學(xué)校考階段練習(xí)）已知定義在R上的奇函數(shù)fx滿足f2-x+fx=0，當(dāng)x∈0,1時，fx=-A．3.5,4 B．3.5,4 C．5.5,5 D．5.5,5【變式14-1】2.（2023春·天津南開·高三南開大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知m>0，函數(shù)f(x)=(x-A．π12,5π12∪2,3π【變式14-1】3.（2023·天津·高三專題練習(xí)）已知定義在R上的函數(shù)y=fx是偶函數(shù)，當(dāng)x≥0時，fx=2sinπ2xA．-4,-32C．-4,-72【變式14-1】4.（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知定義在R上的偶函數(shù)fx，當(dāng)x≥0時滿足fx=4cosxsin(x+π題型15與數(shù)列相關(guān)問題【例題15】（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）如圖，P1是一塊半徑為1的圓形紙板，在P1的左下端前去一個半徑為12的半圓后得到圖形P2，然后依次剪去一個更小半圓（其直徑為前一個前掉半圓的半徑）得圖形P3，P4,?,PnA．L3=7C．Ln=π【變式15-1】1.（2023·上海虹口·上海市復(fù)興高級中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知fx=sinx+lnx，將y=f(x)的所有極值點按照由小到大的順序排列，得到數(shù)列xA．甲正確，乙正確 B．甲正確，乙錯誤C．甲錯誤，乙正確 D．甲錯誤，乙錯誤【變式15-1】2.（2023春·上海寶山·高三上海交大附中?？茧A段練習(xí)）將關(guān)于x的方程2sin2x+tπ=1（t為實常數(shù)，0<t<1）在區(qū)間0,+∞上的解從小到大依次記為x1,x2【變式15-1】3.（2023·全國·高三專題練習(xí)）數(shù)列an滿足tanan=1n2+n+1，an∈0,π【變式15-1】4.（2021·福建廈門·廈門一中校考一模）已知fx=tanx，數(shù)列an滿足：對任意n∈N*，an∈0,π【變式15-1】5.（多選）（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知單位圓O的內(nèi)接正n邊形A1A2A3…An的邊長、周長和面積分別為aA．a(chǎn)n=2cosC．SnS21.（2020·北京·統(tǒng)考高考真題）2020年3月14日是全球首個國際圓周率日（πDay）．歷史上，求圓周率π的方法有多種，與中國傳統(tǒng)數(shù)學(xué)中的“割圓術(shù)”相似．?dāng)?shù)學(xué)家阿爾·卡西的方法是：當(dāng)正整數(shù)n充分大時，計算單位圓的內(nèi)接正6n邊形的周長和外切正6n邊形（各邊均與圓相切的正6n邊形）的周長，將它們的算術(shù)平均數(shù)作為2π的近似值．按照阿爾·卡西的方法，A．3nsin30C．3nsin602.（2022·全國·統(tǒng)考高考真題）沈括的《夢溪筆談》是中國古代科技史上的杰作，其中收錄了計算圓弧長度的“會圓術(shù)”，如圖，AB是以O(shè)為圓心，OA為半徑的圓弧，C是AB的中點，D在AB上，CD⊥AB．“會圓術(shù)”給出AB的弧長的近似值s的計算公式：s=AB+CDA．11-332 B．11-432 C．3.（2023·湖南婁底·統(tǒng)考模擬預(yù)測）等腰三角形的底與腰之比是黃金分割比的三角形稱為黃金三角形，它是一