模型08平拋模型

模型八、平拋模型【模型概述】平拋運(yùn)動(dòng)

1.性質(zhì):加速度為重力加速度g的勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)軌跡是拋物線.

2.基本規(guī)律:以拋出點(diǎn)為原點(diǎn)，水平方向(初速度方向)為x軸，豎直向下方向?yàn)閥軸，建立平面直角坐標(biāo)系，則:

(1)水平方向:做勻速直線運(yùn)動(dòng)，速度,位移

(2)豎直方向:做自由落體運(yùn)動(dòng)，速度,位移

(3)合速度:,方向與水平方向的夾角為θ,則

(4)合位移:,方向與水平方向的夾角為,則平拋運(yùn)動(dòng)的基本規(guī)律

1.飛行時(shí)間:由，時(shí)間取決于下落高度h,與初速度無(wú)關(guān).

2.水平射程:，即水平射程由初速度和下落高度h共同決定，與其他因素?zé)o關(guān).

3.落地速度:,以θ表示落地速度與x軸正方向的夾角，有所以落地速度也只與初速度v和下落高度h有關(guān).

4.速度改變量:因?yàn)槠綊佭\(yùn)動(dòng)的加速度為重力加速度g所以做平拋運(yùn)動(dòng)的物體在任意相等時(shí)間間隔內(nèi)的速度改變量相同，方向恒為豎直向下，如圖所示.

5.兩個(gè)重要推論

(1)做平拋(或類平拋)運(yùn)動(dòng)的物體任一時(shí)刻的瞬時(shí)速度的反向延長(zhǎng)線一定通過(guò)此時(shí)水平位移的中點(diǎn)，如圖中A點(diǎn)和B點(diǎn)所示.

(2)做平拋(或類平拋)運(yùn)動(dòng)的物體在任意時(shí)刻任一位置處，設(shè)其速度方向與水平方向的夾角為α,位移與水平方向的夾角為θ,則.

三、斜拋運(yùn)動(dòng)

1.運(yùn)動(dòng)性質(zhì)加速度為g的勻變速曲線運(yùn)動(dòng)，軌跡為拋物線.

2.基本規(guī)律(以斜向上拋為例說(shuō)明，如圖所示)

(1)水平方向:，

(2)豎直方向:，【模型解題】1、“化曲為直”思想——平拋運(yùn)動(dòng)的基本求解方法在研究平拋運(yùn)動(dòng)問(wèn)題時(shí)，根據(jù)運(yùn)動(dòng)效果的等效性，利用運(yùn)動(dòng)分解的方法，將其轉(zhuǎn)化為我們所熟悉的兩個(gè)方向上的直線運(yùn)動(dòng)，即水平方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)和豎直方向的自由落體運(yùn)動(dòng).再運(yùn)用運(yùn)動(dòng)合成的方法求出平拋運(yùn)動(dòng)的規(guī)律.這種處理問(wèn)題的方法可以變曲線運(yùn)動(dòng)為直線運(yùn)動(dòng)，變復(fù)雜運(yùn)動(dòng)為簡(jiǎn)單運(yùn)動(dòng)，是處理曲線運(yùn)動(dòng)問(wèn)題的一種重要的思想方法.

平拋運(yùn)動(dòng)的三種分解思路:

(1)分解速度:

(2)分解位移:

，，(3)分解加速度2、求解多體平拋問(wèn)題的3點(diǎn)注意(1)若兩物體同時(shí)從同一高度(或同一點(diǎn))拋出，則兩物體始終在同一高度，二者間距只取決于兩物體的水平分運(yùn)動(dòng).

(2)若兩物體同時(shí)從不同高度拋出，則兩物體高度差始終與拋出點(diǎn)高度差相同，二者間距由兩物體的水平分運(yùn)動(dòng)和豎直高度差決定.

(3)若兩物體從同一點(diǎn)先后拋出，兩物體豎直高度差隨時(shí)間均勻增大，二者間距取決于兩物體的水平分運(yùn)動(dòng)和豎直分運(yùn)動(dòng).【模型訓(xùn)練】【例1】如圖，將一支飛鏢在豎直墻壁的左側(cè)O點(diǎn)以不同的速度水平拋出，A為O點(diǎn)在豎直墻壁上的投影點(diǎn)，每次拋出飛鏢的同時(shí)，在A處由靜止釋放一個(gè)特制（飛鏢能輕易射穿）的小球，且飛鏢均能插在墻壁上，第一次插在墻壁時(shí)，飛鏢與墻壁的夾角為，第二次插在墻壁時(shí)，飛鏢與墻壁的夾角為，圖中沒(méi)有畫出，不計(jì)空氣阻力。（，）則（）A．兩次速度增量之比為9：16B．兩次拋出的飛鏢只有一次能擊中小球C．兩次下落的高度之比為9：16D．兩次平拋的初速度之比為3：4【答案】C【詳解】A．第一次插在墻壁時(shí)，飛鏢與墻壁的夾角為，則第二次插在墻壁時(shí)，飛鏢與墻壁的夾角為，則因?yàn)榻獾酶鶕?jù)可知，兩次速度增量之比為3：4，故A錯(cuò)誤；B．因?yàn)槠綊佭\(yùn)動(dòng)豎直方向是自由落體運(yùn)動(dòng)，所以兩次均能命中小球，故B錯(cuò)誤；C．根據(jù)兩次下落的高度之比為9：16，故C正確；D．因?yàn)閮纱纹綊伒某跛俣戎葹?：3，故D錯(cuò)誤。故選C。變式1.1如圖所示，、兩點(diǎn)位于同一條豎直線上，從、兩點(diǎn)分別以速度、水平拋出兩個(gè)相同的小球，可視為質(zhì)點(diǎn)，它們?cè)谒降孛嫔戏降狞c(diǎn)相遇。假設(shè)在相遇過(guò)程中兩球的運(yùn)動(dòng)沒(méi)有受到影響，空氣阻力忽略不計(jì)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．兩個(gè)小球從、兩點(diǎn)同時(shí)拋出B．兩小球拋出的初速度C．從點(diǎn)拋出的小球著地時(shí)水平射程較小D．從點(diǎn)拋出的小球著地時(shí)重力的瞬時(shí)功率較大【答案】D【詳解】A．a(chǎn)點(diǎn)較高，運(yùn)動(dòng)時(shí)間較長(zhǎng)，從a點(diǎn)先拋出，A錯(cuò)誤；B．根據(jù)，得則拋出的初速度關(guān)系為B錯(cuò)誤；C．a(chǎn)球到達(dá)P點(diǎn)時(shí)豎直分速度較大，則a球先落地，由于a球水平速度較小，則從點(diǎn)拋出的小球著地時(shí)水平射程較大，C錯(cuò)誤；D．根據(jù)，從a點(diǎn)拋出的小球落地時(shí)豎直速度較大，重力功率較大，D正確。故選D。變式1.2學(xué)校給同學(xué)們提供了乒乓球臺(tái)，很多同學(xué)利用課余時(shí)間打乒乓球鍛煉身體。某同學(xué)接球后，兩次將球再次拍出。為簡(jiǎn)化過(guò)程，假定乒乓球?yàn)橘|(zhì)點(diǎn)，運(yùn)動(dòng)中空氣阻力不計(jì)。如圖所示，該同學(xué)第一次將乒乓球由點(diǎn)斜拋拍出，落點(diǎn)為點(diǎn)；對(duì)方反擊后，該同學(xué)在點(diǎn)將球再次平拋拍出，同樣也落于點(diǎn)。已知兩次運(yùn)動(dòng)軌跡的最高點(diǎn)、高度相同，假設(shè)、、三點(diǎn)位于同一豎直面內(nèi)，則下列說(shuō)法正確的是（）A．乒乓球兩次落于點(diǎn)的動(dòng)能一定相同B．乒乓球兩次落于點(diǎn)前瞬間，重力的功率一定相同C．乒乓球由到、到過(guò)程中，重力的沖量一定相同D．乒乓球兩次被拍出的過(guò)程中，第二次球拍對(duì)球做的功一定較大【答案】B【詳解】A．根據(jù)平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律，，假設(shè)最高點(diǎn)到臺(tái)面的高度為，可知兩次運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，由到的時(shí)間為，由到的時(shí)間為，則兩次運(yùn)動(dòng)的水平速度不同，落到點(diǎn)的豎直速度相同，故兩次落點(diǎn)的速度不相等，兩次落到點(diǎn)的動(dòng)能不相同，第二次落到點(diǎn)的動(dòng)能大一些，A錯(cuò)誤；B．兩次落于點(diǎn)前瞬間，豎直方向的速度均為重力的功率均為則兩次落于點(diǎn)重力的功率相同，B正確；C．重力的沖量為由于兩次運(yùn)動(dòng)的時(shí)間不相同，則兩次運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，重力的沖量不相同，C錯(cuò)誤；D．由于球拍接到乒乓球前的速度未知，故無(wú)法比較第二次球拍做的功與第一次球拍做的功的大小關(guān)系，D錯(cuò)誤；故選B?！纠?】如圖示，半圓軌道固定在水平面上，一小球（小球可視為質(zhì)點(diǎn)）從半圓軌道上B點(diǎn)沿切線斜向左上方拋出，到達(dá)半圓軌道左端A點(diǎn)正上方某處小球的速度剛好水平，O為半圓軌道圓心，半圓軌道半徑為R，OB與水平方向的夾角為，重力加速度為g，不計(jì)空氣阻力，則小球在A點(diǎn)正上方的水平速度為（

）A． B． C． D．【答案】A【詳解】小球雖說(shuō)是做斜拋運(yùn)動(dòng)，由于到達(dá)半圓軌道左端A點(diǎn)正上方某處小球的速度剛好水平，所以逆向看是小球從一半圓軌道左端A點(diǎn)正上方某處開(kāi)始做平拋運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)過(guò)程中恰好與半圓軌道相切于B點(diǎn)，這樣就可以用平拋運(yùn)動(dòng)規(guī)律求解。因小球運(yùn)動(dòng)過(guò)程中恰好與半圓軌道相切于B點(diǎn)，則速度與水平方向的夾角為，設(shè)位移與水平方向的夾角為，則因?yàn)閯t豎直位移而所以解得故選A。變式2.1如圖所示，豎直平面內(nèi)平拋的小球恰好與光滑半圓面相切于B點(diǎn)，已知拋出點(diǎn)在半圓面左端點(diǎn)A點(diǎn)的正上方，半圓面半徑為R，直線OB與水平面成角，重力加速度為g，則下列關(guān)于小球在空中的運(yùn)動(dòng)分析正確的是A．小球到達(dá)B點(diǎn)飛行的時(shí)間為B．小球平拋的初速度為C．小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)水平位移D．小球到達(dá)B點(diǎn)時(shí)豎直位移【答案】B【詳解】AB．小球飛行過(guò)程中恰好與半圓軌道相切于B點(diǎn),則知在B點(diǎn)時(shí)速度與水平方向的夾角為，有根據(jù)得由解得：飛行的時(shí)間為故A項(xiàng)錯(cuò)誤，B項(xiàng)正確；C．由幾何知識(shí)可得，小球自拋出至B點(diǎn)的水平射程為：故C項(xiàng)錯(cuò)誤；D．設(shè)位移與水平方向的夾角為θ，則有：可得豎直位移為故D項(xiàng)錯(cuò)誤．【例3】如圖所示，ab兩個(gè)小球分別從半圓軌道頂端和斜面頂端以大小相等的初速度同時(shí)水平向左、向右拋出，已知半圓軌道的半徑R與斜面的豎直高度相等，斜面傾角為，重力加速度為g，要使兩球同時(shí)落到半圓軌道上和斜面上，小球拋出的初速度大小為（）A． B． C． D．【答案】B【詳解】將半圓軌道和斜面重合放置，會(huì)發(fā)現(xiàn)兩軌道交于A點(diǎn)，也就是說(shuō)當(dāng)拋出小球的速度恰好為某一值時(shí)，兩小球會(huì)在同時(shí)落到半圓軌道上和斜面上，如圖中的x和y分別為小球做平拋運(yùn)動(dòng)的水平位移和豎直位移，，，得故選B。變式3.1如圖所示，O為半圓槽的圓心、R為半圓槽的半徑，重力加速度為g。先將小球從O點(diǎn)以初速度v0沿水平方向拋出，在小球自O(shè)點(diǎn)拋出至與半圓槽相撞的過(guò)程中（）A．v0越大，小球的位移越大B．v0越小，小球的位移越大C．無(wú)論v0多大，小球都不可能與半圓槽垂直相撞D．只有時(shí)，小球才與半圓槽垂直相撞【答案】C【詳解】AB．因小球的初位置在圓心O，末位置在圓上，故小球的位移總是R，與v0的大小無(wú)關(guān)，故AB錯(cuò)誤；CD．因平拋運(yùn)動(dòng)末速度的反向延長(zhǎng)線通過(guò)水平分位移的中點(diǎn)，而不是通過(guò)圓心，所以無(wú)論v0多大，小球都不可能與半圓槽垂直相撞，故C正確，D錯(cuò)誤；故選C。變式3.2如圖所示，ab兩個(gè)小球分別從半圓軌道頂端和斜面頂端以大小相等的初速度同時(shí)水平向左、右拋出，已知半圓軌道的半徑與斜面的豎直高度h相等，斜面寬為2R，重力加速度為g，則有關(guān)小球落到斜面和半圓軌道的時(shí)間t1和t2的說(shuō)法一定正確的是（）A．t1>t2 B．t1<t2C．t1=t2 D．以上情況都有可能【答案】D【詳解】將圓軌道和斜面軌道重合在一起，如圖所示交點(diǎn)為A，初速度合適，可知小球做平拋運(yùn)動(dòng)落在A點(diǎn)，則運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，即同時(shí)落在半圓軌道和斜面上。若初速度不適中，由圖可知，可能小球先落在斜面上，也可能先落在圓軌道上。故選D?！纠?】如圖所示，小球甲從距離地面高度為處以速度豎直向上拋出，同時(shí)小球乙從距離地面高度為處開(kāi)始自由下落，小球運(yùn)動(dòng)的過(guò)程中不計(jì)空氣阻力，重力加速度取，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．小球乙落地前，兩小球的速度差逐漸變大B．小球甲、乙運(yùn)動(dòng)的第2s內(nèi)位移大小之比為1:2C．至小球乙落地時(shí)，甲、乙兩球的路程之比為2:3D．落地前的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球甲、乙的平均速率之比為5:6【答案】D【詳解】A．取豎直向上為正方向，小球乙落地前，甲球與乙球的速度差為保持恒定，故A錯(cuò)誤；B．由可得小球甲上升到最高點(diǎn)時(shí)間則小球甲第2s內(nèi)位移是下落第一秒的位移小球乙運(yùn)動(dòng)的第2s內(nèi)位移大小位移大小之比為故B錯(cuò)誤；CD．對(duì)甲球，取豎直向上為正方向，對(duì)整個(gè)過(guò)程，有解得甲球運(yùn)動(dòng)的總時(shí)間甲球上升的最大高度為則甲球運(yùn)動(dòng)的總路程為整個(gè)過(guò)程平均速率為對(duì)乙球，根據(jù)得乙球落地用時(shí)間為乙球經(jīng)過(guò)的路程為落地前的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球乙的平均速率為落地前的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中小球甲、乙的平均速率之比為小球乙落地時(shí)，甲球的路程甲、乙兩球的路程之比為故C錯(cuò)誤，D正確；故選D。變式4.1（多選）如圖所示，小球A以某一速度水平向右拋出的同時(shí)，小球B斜向左上方以速度拋出，與水平方向的夾角為。兩球拋出后在同一豎直面內(nèi)運(yùn)動(dòng)，且恰好在空中相碰。已知單獨(dú)拋出小球B時(shí)，小球B到達(dá)的最高點(diǎn)恰好與小球A的拋出點(diǎn)處于同一水平線上，且小球B落地點(diǎn)位于小球A拋出點(diǎn)的正下方。不計(jì)空氣阻力，重力加速度為，，，下列說(shuō)法正確的是（

）A．小球A拋出的初速度大小等于 B．小球A拋出的初速度大小等于C．兩球拋出點(diǎn)的水平距離為 D．兩球拋出點(diǎn)的水平距離為【答案】BC【詳解】CD．小球B在水平、豎直方向的速度為單獨(dú)拋出小球B時(shí)，小球B在空中運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為兩球拋出點(diǎn)的水平距離為故C正確，D錯(cuò)誤；AB．小球A拋出高度為小球A、B在恰好在空中相碰，若此時(shí)小球B向上運(yùn)動(dòng)，有解得小球A拋出的初速度大小等于小球A、B在恰好在空中相碰，若此時(shí)小球B向下運(yùn)動(dòng)，有解得小球A拋出的初速度大小等于綜上所述，小球A拋出的初速度大小等于或，故A錯(cuò)誤，B正確。故選BC。變式4.2（多選）如圖所示，同一高度處有4個(gè)質(zhì)量相同且可視為質(zhì)點(diǎn)的小球，現(xiàn)使小球A做自由落體運(yùn)動(dòng)，小球B做平拋運(yùn)動(dòng)，小球C做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，小球D做豎直下拋運(yùn)動(dòng)，且小球B、C、D拋出時(shí)的初速度大小相同，不計(jì)空氣阻力。小球從釋放或拋出到落地的過(guò)程中（

）A．重力對(duì)4個(gè)小球做的功相同B．重力對(duì)4個(gè)小球做功的平均功率相等C．落地前瞬間，重力對(duì)4個(gè)小球的瞬時(shí)功率大小關(guān)系為D．重力對(duì)4個(gè)小球做功的平均功率大小關(guān)系為【答案】AC【詳解】A．4個(gè)質(zhì)量相同的小球從同一高度拋出到落地的過(guò)程中，重力做功為故重力對(duì)4個(gè)小球做的功相同，故A正確；BD．小球A做自由落體運(yùn)動(dòng)，小球B做平拋運(yùn)動(dòng)，小球C做豎直上拋運(yùn)動(dòng)，小球D做豎直下拋運(yùn)動(dòng)，小球從同一高度拋出到落地，運(yùn)動(dòng)時(shí)間關(guān)系為重力對(duì)4個(gè)小球做功的平均功率為可得重力對(duì)4個(gè)小球做功的平均功率大小關(guān)系為故BD錯(cuò)誤；C．落地前瞬間，4個(gè)小球豎直方向有，，4個(gè)小球豎直方向的速度關(guān)系為落地前瞬間，重力對(duì)4個(gè)小球的瞬時(shí)功率落地前瞬間，重力對(duì)4個(gè)小球的瞬時(shí)功率大小關(guān)系為故C正確。故選AC?！纠?】某地方電視臺(tái)有一個(gè)叫“投準(zhǔn)”的游戲，其簡(jiǎn)化模型如圖所示，左側(cè)是一個(gè)平臺(tái)，平臺(tái)右邊的地面上有不斷沿直線向平臺(tái)運(yùn)動(dòng)的小車，參賽者站在臺(tái)面上，看準(zhǔn)時(shí)機(jī)將手中的球水平拋出，小球能落入小車算有效。已知投球點(diǎn)與小車上方平面高度差h=5m，小車的長(zhǎng)度為L(zhǎng)0=1.0m，小車以大小為a=2m/s2的加速度做勻減速運(yùn)動(dòng)，球的大小可忽略。某次活動(dòng)中，一輛小車前端行駛到與平臺(tái)水平距離L=23m處時(shí)，速度為v0=11m/s，同時(shí)參賽選手將球水平拋出，結(jié)果小球落入小車中。重力加速度g取10m/s2，求：(1)小球從拋出到落入小車的時(shí)間；(2)小球拋出時(shí)的速度v的范圍?！敬鸢浮?1)1s；(2)13m/s<v<14m/s【詳解】(1)小球做平拋運(yùn)動(dòng)，設(shè)飛行時(shí)間為t，由h=gt2解得t=1s(2)在t時(shí)間內(nèi)小車前進(jìn)的位移為=10m要投入小車，小球最小的水平位移為x1==13m最小速度為v1==13m/s小球最大的水平位移為x2=+L0=14m最大速度為v2==14m/s小球拋出時(shí)的速度v的范圍是13m/s<v<14m/s。變式5.1如圖所示，水平屋頂高H＝5m，墻高h(yuǎn)＝3.2m，墻到房子的距離L＝3m，墻外馬路寬x＝8m，小球從房頂水平飛出，落在墻外的馬路上，g＝10m/s2.求：(1)小球離開(kāi)屋頂時(shí)的速度v0的大小范圍；(2)小球落在馬路上的最小速度的大?。敬鸢浮?1)5m/s≤v0≤11m/s；(2)5m/s【詳解】（1）若v太大，小球落在空地外邊，因此球落在空地上，v的最大值vmax為球落在空地最右側(cè)時(shí)的平拋初速度，小球做平拋運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t1．則小球的水平位移L+x=