第3講導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的單調(diào)性（3大考點強(qiáng)化訓(xùn)練）

第3講導(dǎo)數(shù)的幾何意義及函數(shù)的單調(diào)性（3大考點+強(qiáng)化訓(xùn)練）【知識導(dǎo)圖】【考點分析】考點一導(dǎo)數(shù)的幾何意義與計算1．導(dǎo)數(shù)的幾何意義(1)函數(shù)在某點的導(dǎo)數(shù)即曲線在該點處的切線的斜率．(2)曲線在某點的切線與曲線過某點的切線不同．(3)切點既在切線上，又在曲線上．2．復(fù)合函數(shù)的導(dǎo)數(shù)復(fù)合函數(shù)y＝f(g(x))的導(dǎo)數(shù)和函數(shù)y＝f(u)，u＝g(x)的導(dǎo)數(shù)間的關(guān)系為y′x＝y(tǒng)′u·u′x.一、單選題1．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，則曲線在處的切線方程為（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】利用冪函數(shù)定義解方程并利用單調(diào)性可得，再由導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求得結(jié)果.【詳解】由于為冪函數(shù)，則，解得或，又在上單調(diào)遞減，得，即，故，則，可得，，則，故曲線在處的切線方程為，即，故選：C．二、填空題2．（2024·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若直線與曲線相切，則.【答案】/【分析】根據(jù)切線的斜率求出切點，再代入切線方程即可得解.【詳解】設(shè)切點為，，由題意可得，因為函數(shù)在上都是增函數(shù)，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，又，所以，所以切點為，則，解得.故答案為：.3．（2024上·廣東深圳·高三深圳外國語學(xué)校校聯(lián)考期末）已知，則.（用數(shù)字作答）【答案】405【分析】兩邊求導(dǎo)，令即可得結(jié)果.【詳解】對兩邊求導(dǎo)得：，令，可得.故答案為：.考點二利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的步驟(1)求函數(shù)y＝f(x)的定義域．(2)求f(x)的導(dǎo)數(shù)f′(x)．(3)求出f′(x)的零點，劃分單調(diào)區(qū)間．(4)判斷f′(x)在各個單調(diào)區(qū)間內(nèi)的符號．一、單選題1．已知函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，則實數(shù)a的取值范圍為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】由于函數(shù)在區(qū)間上不單調(diào)，等價于函數(shù)在區(qū)間上存在極值點，對函數(shù)求導(dǎo)，對分類討論，求出極值點，根據(jù)極值點在區(qū)間內(nèi)，可得關(guān)于的不等式，即可求出結(jié)果．【詳解】由.①當(dāng)時，函數(shù)單調(diào)遞增，不合題意；②當(dāng)時，函數(shù)的極值點為，若函數(shù)在區(qū)間不單調(diào)，必有，解得；綜上所述：實數(shù)a的取值范圍為.故選：B.二、解答題2．（2024上·山西·高三期末）已知函數(shù)，.(1)求證：函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間，并求出該函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間的長度的取值范圍；(2)當(dāng)時，恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)證明見解析，(2)【分析】（1）先求，然后分析的根，由此完成證明；利用韋達(dá)定理表示出結(jié)合的范圍求解出其范圍；（2）將問題轉(zhuǎn)化為“在上恒成立”，建立函數(shù)，通過多次求導(dǎo)分析函數(shù)單調(diào)性的過程求解出的取值范圍.【詳解】（1），令，因為，二次函數(shù)對稱軸，，且恒成立，所以恒有兩個不相等的正實根，且這兩個正實根分別為，，，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是，所以單調(diào)遞減區(qū)間的長度，因為，所以的取值范圍為；（2）由題意在上恒成立，即在上恒成立，令，則，令，則，令，則，令，則，當(dāng)時，，所以在上單調(diào)遞減，，所以在上單調(diào)遞減，，當(dāng)，即時，，所以在上單調(diào)遞減，，所以在上單調(diào)遞減，成立，所以；當(dāng)，即，單調(diào)遞減函數(shù)在時，，且，所以在上有根，記為，在上，，在上，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，且，函數(shù)在時，，因此在上有解，記為，在上，，單調(diào)遞增，而，因此在上，，從而在上不恒成立，綜上所述，的取值范圍是.【點睛】方法點睛：利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)范圍的兩種常用方法：（1）分離參數(shù)法：將參數(shù)和自變量分離開來，構(gòu)造關(guān)于自變量的新函數(shù)，研究新函數(shù)最值與參數(shù)之間的關(guān)系，求解出參數(shù)范圍；（2）分類討論法：根據(jù)題意分析參數(shù)的臨界值，根據(jù)臨界值作分類討論，分別求解出滿足題意的參數(shù)范圍最后取并集.3．（2024上·天津河北·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù).(1)當(dāng)時，求曲線在點處的切線方程；(2)當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(3)在（2）的條件下，當(dāng)時，，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是(3)【分析】（1）當(dāng)時，分別求出的值即可得解.（2）對函數(shù)求導(dǎo)，令，得或，且滿足，進(jìn)一步即可得解.（3）由題意只需，即，解不等式即可得解.【詳解】（1）時，，，整理得.曲線在點處的切線方程為.（2），，令，，解得或，且滿足.當(dāng)變化時，的變化情況如下表：20+0極小值極大值函數(shù)單調(diào)遞減區(qū)間是，單調(diào)遞增區(qū)間是.（3）由（2）可知，函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，，解得，，實數(shù)的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點睛：第二問的關(guān)鍵是將極值點先求出來，然后根據(jù)導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系即可得解，第三問的關(guān)鍵是由，列出相應(yīng)的不等式，從而即可順利得解.考點三單調(diào)性的簡單應(yīng)用1．函數(shù)f(x)在區(qū)間D上單調(diào)遞增(或遞減)，可轉(zhuǎn)化為f′(x)≥0(或f′(x)≤0)在x∈D上恒成立．2．函數(shù)f(x)在區(qū)間D上存在單調(diào)遞增(或遞減)區(qū)間，可轉(zhuǎn)化為f′(x)>0(或f′(x)<0)在x∈D上有解．一、單選題1．（2024上·甘肅蘭州·高三校考階段練習(xí)）已知函數(shù)的定義域為，，且在恒有成立，則的解集為（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由題意，可得函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，且在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，從而可判斷出函數(shù)的正負(fù)分布情況，即為或，進(jìn)而可得出答案.【詳解】因為，所以函數(shù)的圖象關(guān)于對稱，因為在恒有成立，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，由對稱性可得函數(shù)在上單調(diào)遞減，又，所以，故當(dāng)時，，當(dāng)或時，，由，得或，所以或，解得或，即的解集為.故選：D.【點睛】關(guān)鍵點點睛：由題意得出函數(shù)的對稱性及單調(diào)性，從而判斷出函數(shù)的正負(fù)分布情況，是解決本題的關(guān)鍵.二、解答題2．（2024上·河北·高三雄縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考期末）已知函數(shù)為常數(shù)，過曲線上一點處的切線與軸垂直.(1)求的值及的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若對任意的，使得（是自然對數(shù)的底數(shù)）恒成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，，的單調(diào)遞增區(qū)間為(2)【分析】（1）由題意可得，，聯(lián)立可求得，，根據(jù)二階導(dǎo)數(shù)大于0，可得一階導(dǎo)函數(shù)單調(diào)遞增，討論可得函數(shù)得單調(diào)區(qū)間；（2）由題意可得，由（1）可知所以當(dāng)時，，討論可得，進(jìn)而得出恒成立，進(jìn)而求解即可得證.【詳解】（1），，又，，則，令，在上單調(diào)遞增，又，所以不等式的解集為，故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為.（2）若對任意的，使得恒成立，只需，由（1）知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，為中的最大值，，令，則，在上是增函數(shù)，而，即，，對于，則，所以函數(shù)在上是增函數(shù)，所以，因為，所以的取值范圍為.【點睛】（1）主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，運(yùn)用解方程得思想求出，，二次求導(dǎo)是解決本題單調(diào)性的重要方法；（2）證明的關(guān)鍵有兩點：1、對任意的，使得恒成立，轉(zhuǎn)化為證明，2、討論中的最大值，進(jìn)而證明恒成立.3．（2024上·江蘇鹽城射陽中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)函數(shù).(1)求在處的切線方程；(2)若在上單調(diào)遞增，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)條件，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義即可求出結(jié)果；（2）根據(jù)條件，將問題轉(zhuǎn)化成恒成立，再構(gòu)造函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化成求函數(shù)的最大值，再利用導(dǎo)數(shù)與函數(shù)單調(diào)性間的關(guān)系即可求出結(jié)果.【詳解】（1）因為，則，當(dāng)時，，，所以在處的切線方程為.（2）因為在上單調(diào)遞增，所以恒成立，即恒成立，令，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以，故.【強(qiáng)化訓(xùn)練】一、單選題1．對于三次函數(shù)，給出定義：設(shè)是函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，是的導(dǎo)數(shù)，若方程有實數(shù)解，則稱點為函數(shù)的“拐點”經(jīng)過探究發(fā)現(xiàn)：任何一個三次函數(shù)都有“拐點”；任何一個三次函數(shù)都有對稱中心，且“拐點”就是對稱中心設(shè)函數(shù)，則A．2016 B．2017 C．2018 D．2019【答案】C【詳解】分析：對已知函數(shù)求兩次導(dǎo)數(shù)可得圖象關(guān)于點對稱，即，利用倒序相加法即可得到結(jié)論.詳解：函數(shù)，函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，，由得，解得，而，故函數(shù)關(guān)于點對稱，，故設(shè)，則，兩式相加得，則，故選C.點睛：本題主要考查初等函數(shù)的求導(dǎo)公式，正確理解“拐點”并利用“拐點”求出函數(shù)的對稱中心是解決本題的關(guān)鍵，求和的過程中使用了倒序相加法，屬于難題.2．已知，則（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】觀察到，構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行嘗試比較，可證其在是增函數(shù)，由可得，對于，注意到，把換成，直接構(gòu)造函數(shù)進(jìn)行嘗試比較其大小，證明其在是增函數(shù)，由可得，可得答案.【詳解】令，則，當(dāng)時，，在是增函數(shù)，所以，所以，即，所以，令，則，當(dāng)時，，在是增函數(shù)，所以，所以，即，所以，綜上.故選：B.【點睛】本題屬于構(gòu)造函數(shù)，利用單調(diào)性比較大小問題，是近幾年的高考熱點，往往要求高難度大，解決問題的關(guān)鍵在于構(gòu)造函數(shù)，平時對常見函數(shù)要熟悉，解題時細(xì)心觀察題目特征，聯(lián)想構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷單調(diào)性求解.3．（2023上·江蘇鹽城阜寧中學(xué)校聯(lián)考期末）已知點P是曲線上一動點，為曲線在點P處的切線的傾斜角，則的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，利用均值不等式求出切線斜率的取值范圍即可計算作答.【詳解】函數(shù)的定義域是R，求導(dǎo)得：函數(shù)，而，則曲線在點處的切線的斜率，當(dāng)且僅當(dāng)，即，時取“=”，而，于是得，又，因此，，所以的取值范圍是.故選：A4．若對任意的，，且，都有，則m的最小值是（

）A． B． C．1 D．【答案】A【分析】已知不等式變形為，引入函數(shù)，則其為減函數(shù)，由導(dǎo)數(shù)求出的減區(qū)間后可的最小值．【詳解】因為，所以由，可得，，即．所以在上是減函數(shù)，，當(dāng)時，，遞增，當(dāng)時，，遞減，即的減區(qū)間是，所以由題意的最小值是．故選：A．5．（2023下·四川宜賓校考期中）設(shè)函數(shù)，曲線在點處的切線方程為．則（

）A．0 B．2 C．1 D．【答案】C【分析】對函數(shù)求導(dǎo)，再利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義求解作答.【詳解】函數(shù)，求導(dǎo)得，顯然，因此，解得，所以.故選：C6．已知函數(shù)，則等于（

）A．0 B．2 C． D．【答案】D【分析】利用誘導(dǎo)公式化簡函數(shù)，再對函數(shù)求導(dǎo)，從而可求得的值.【詳解】∵，∴，則，∴.故選：D.二、多選題7．（2023上·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知，，是的導(dǎo)函數(shù)，則（

）．A．是由圖象上的點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向左平移個單位長度得到的B．是由圖象上的點的橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)不變，再把得到的曲線向右平移個單位長度得到的C．的對稱軸方程為，D．是的一條切線方程【答案】BC【分析】根據(jù)復(fù)合函數(shù)求導(dǎo)可得，再利用三角函數(shù)伸縮變換規(guī)則可判斷A錯誤，B正確，由整體代換法可知的對稱軸方程為，，所以C正確，利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義可求得不是的切線，可知D錯誤.【詳解】由題意可得，是由橫坐標(biāo)縮短到原來的倍，縱坐標(biāo)伸長2倍，再把得到的曲線向左平移后得到的，故A錯誤；函數(shù)圖象將橫坐標(biāo)縮短為原來的倍（縱坐標(biāo)不變），得，再向右平移個長度單位，得，即，故B正確；因為，令，，則，，則的對稱軸方程為，，故C正確；因為，所以，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義令，可得，即，，解得，，所以切點為，而不在上，故D錯誤．故選：BC8．已知函數(shù)的定義域為．（

）A．B．C．D．被8整除余數(shù)為7【答案】BC【分析】利用賦值或，判斷AB；對函數(shù)兩邊求導(dǎo)，再賦值，判斷C；，展開后可判斷余數(shù)，判斷D.【詳解】A.當(dāng)時，，①故A錯誤；B.當(dāng)時，，②，①②，解得：，故B正確；C.，令得，故C正確；D.，所以被8整除余數(shù)為1，故D錯誤.故選：BC三、填空題9．已知函數(shù)，若關(guān)于的方程有4個不同的實數(shù)根，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，設(shè)，則要使方程有4個不同的實數(shù)根等價于方程在上有兩個不同的實數(shù)根，故，從而可求出實數(shù)的取值范圍【詳解】依題意，求導(dǎo)，令，解得：，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)，，函數(shù)單調(diào)遞減，且，又時，；又時，；設(shè)，顯然當(dāng)時，方程有兩個實數(shù)根，則要使方程有4個不同的實數(shù)根等價于方程在上有兩個不同的實數(shù)根，故，，解得：.故答案為：【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是利用導(dǎo)數(shù)判斷出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最值，設(shè)，將問題轉(zhuǎn)化為方程在上有兩個不同的實數(shù)根，然后利用一元二次方程根的分布情況求解即可，考查數(shù)學(xué)轉(zhuǎn)化思想和計算能力，屬于中檔題10．函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對稱點，則實數(shù)的取值范圍為.【答案】【解析】先求得與關(guān)于軸對稱的函數(shù)，將問題轉(zhuǎn)化為與的圖象有交點，即方程有解.對分成三種情況進(jìn)行分類討論，由此求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】因為關(guān)于軸對稱的函數(shù)為，因為函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對稱點，所以與的圖象有交點，方程有解.時符合題意.時轉(zhuǎn)化為有解，即，的圖象有交點，是過定點的直線，其斜率為，若，則函數(shù)與的圖象必有交點，滿足題意；若，設(shè)，相切時，切點的坐標(biāo)為，則，解得，切線斜率為，由圖可知，當(dāng)，即時，，的圖象有交點，此時，與的圖象有交點，函數(shù)與的圖象上存在關(guān)于軸的對稱點，綜上可得，實數(shù)的取值范圍為.故答案為：【點睛】本小題主要考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的零點以及對稱性，函數(shù)與方程等基礎(chǔ)知識，考查學(xué)生分析問題，解決問題的能力，推理與運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化與化歸思想和應(yīng)用意識.11．若關(guān)于x不等式的解集中的正整數(shù)有且只有一個，則k的取值范圍是.【答案】【分析】對進(jìn)行分類討論，結(jié)合構(gòu)造函數(shù)法以及導(dǎo)數(shù)，求得的取值范圍.【詳解】當(dāng)時，任一正整數(shù)都滿足不等式，故.當(dāng)，時，不等式等價于，令，，∴當(dāng)時，恒成立，∴在上單調(diào)遞增，∴，解得.故答案為：.12．若函數(shù)在處的切線方程為，則．【答案】【分析】根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義即得.【詳解】因為∴，∴，解得：.故答案為：3.四、解答題13．已知函數(shù)，其中．（1）若曲線在點處的切線與直線平行，求實數(shù)a的值及函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若函數(shù)在定義域上有兩個極值點，，且，求證：．【答案】（1）,單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）證明見解析【分析】（1）由函數(shù)導(dǎo)數(shù)求得切線斜率，利用兩直線平行斜率相等，求出的值，再求的定義域，求，由，求得的遞增區(qū)間，由，求得遞減區(qū)間；（2）函數(shù)在定義域上有兩個極值點等價于在上有兩個不相等的根.解不等式組，求得的范圍，再化簡得到，再構(gòu)造，再利用導(dǎo)數(shù)證明，即得證.【詳解】（1）由，得，又在點處的切線與直線平行，所以，解得．則，得．當(dāng)時，，單調(diào)遞減，區(qū)間為；當(dāng)時，，單調(diào)遞增，區(qū)間為．（2）證明：因為函數(shù)在定義域上有兩個極值點，，且，所以在上有兩個根，，且，即在上有兩個不相等的根，，則，，由題意得，解得，則，令，其中，故．令，，在上單調(diào)遞增．由于，，所以存在常數(shù)，使得，即，，且當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，所以當(dāng)時，．又，，所以，即，故得證．【點睛】本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，考查利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，意在考查學(xué)生對這些知識的理解掌握水平和分析推理能力，難度較大.14．設(shè)函數(shù)（1）判斷函數(shù)的單調(diào)性;（2）若方程在區(qū)間上恰有兩個不同的實根,求實數(shù)的取值范圍.【答案】（1）在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增；（2）.【分析】（1）求導(dǎo)后，通過二階導(dǎo)可知單調(diào)遞增，又，可得的符號，進(jìn)而確定的單調(diào)性；（2）將問題轉(zhuǎn)化為，，且與恰有兩個不同交點；通過導(dǎo)數(shù)來得到的圖象，根據(jù)數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)時，恰有兩個不同交點.【詳解】（1）由題意知：，則在上單調(diào)遞增，又當(dāng)時，；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減；在上單調(diào)遞增（2）由得：即：在上恰有兩個不同的實根設(shè)，，則與恰有兩個不同交點則當(dāng)時，；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增又，，由此可得圖象如下圖所示：由圖象得：當(dāng)，即時，與恰有兩個不同交點即時，方程在區(qū)間上恰有兩個不同的實根【點睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)求解函數(shù)的單調(diào)性、根據(jù)方程在某一區(qū)間內(nèi)根的個數(shù)求解參數(shù)范圍的問題，解決方程根的個數(shù)問題的關(guān)鍵是能夠?qū)栴}轉(zhuǎn)化為曲線與直線的交點個數(shù)問題，通過數(shù)形結(jié)合的方式來進(jìn)行求解.15．已知函數(shù).（1）求曲線在點處的切線方程；（2）是否存在實數(shù)，使得在具有單調(diào)性？若存在，求所有的取值構(gòu)成的集合；若不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）存在實數(shù)，使得在單調(diào)遞增，理由見解析.【解析】（1）由題得，求導(dǎo)得，進(jìn)而得切線方程為；（2）令，結(jié)合，研究在上的單調(diào)性即可得答案.【詳解】解：（1）求導(dǎo)得，所以，又，所以曲線在點處的切線方程為：.（2）存在實數(shù)，使得在單調(diào)遞增，理由如下：由（1）得，令，則，故當(dāng)時，在上恒成立，故在上