高中數(shù)學(xué)人教A版選修2-3教案1-2-2組合3

1．2.2組合eq\o(\s\up7(),\s\do5(整體設(shè)計(jì)))教材分析排列與組合都是研究從一些不同元素中任取元素，或排成一排或并成一組，并求有多少種不同方法的問題．排列與組合的區(qū)別在于問題是否與順序有關(guān)．與順序有關(guān)的是排列問題，與順序無關(guān)的是組合問題，順序?qū)ε帕小⒔M合問題的求解特別重要．排列與組合的區(qū)別，從定義上來說是簡(jiǎn)單的，但在具體求解過程中學(xué)生往往感到困惑，分不清到底與順序有無關(guān)系．指導(dǎo)學(xué)生根據(jù)生活經(jīng)驗(yàn)和問題的內(nèi)涵領(lǐng)悟其中體現(xiàn)出來的順序．教的秘訣在于度，學(xué)的真諦在于悟，只有學(xué)生真正理解了，才能舉一反三、融會(huì)貫通．學(xué)生易于辨別組合、全排列問題，而排列問題就是先組合后全排列．在求解排列、組合問題時(shí)，可引導(dǎo)學(xué)生找出兩定義的關(guān)系后，按以下兩步思考：首先要考慮如何選出符合題意要求的元素來，選出元素后再去考慮是否要對(duì)元素進(jìn)行排隊(duì)，即第一步僅從組合的角度考慮，第二步則考慮元素是否需全排列，如果不需要，是組合問題；否則是排列問題．排列、組合問題大都來源于同學(xué)們生活和學(xué)習(xí)中所熟悉的情景，解題思路通常是依據(jù)具體做事的過程，用數(shù)學(xué)的原理和語言加以表述．也可以說解排列、組合題就是從生活經(jīng)驗(yàn)、知識(shí)經(jīng)驗(yàn)、具體情景出發(fā)，正確領(lǐng)會(huì)問題的實(shí)質(zhì)，抽象出“按部就班”的處理問題的過程．據(jù)筆者觀察，有些同學(xué)之所以在學(xué)習(xí)中感到抽象，不知如何思考，并不是因?yàn)閿?shù)學(xué)知識(shí)跟不上，而是因?yàn)槠綍r(shí)做事、考慮問題就缺乏條理性，或解題思路是自己主觀想象的做法(很可能是有悖于常理或常規(guī)的做法)．要解決這個(gè)問題，需要師生一道在分析問題時(shí)要根據(jù)實(shí)際情況，怎么做事就怎么分析，若能借助適當(dāng)?shù)墓ぞ?，模擬做事的過程，則更能說明問題．久而久之，學(xué)生的邏輯思維能力將會(huì)大大提高．課時(shí)分配3課時(shí)第一課時(shí)教學(xué)目標(biāo)知識(shí)與技能理解組合的意義，能寫出一些簡(jiǎn)單問題的所有組合．明確組合與排列的聯(lián)系與區(qū)別，能判斷一個(gè)問題是排列問題還是組合問題．過程與方法通過具體實(shí)例，體會(huì)組合數(shù)的意義，總結(jié)排列數(shù)Aeq\o\al(m,n)與組合數(shù)Ceq\o\al(m,n)之間的聯(lián)系，掌握組合數(shù)公式，能運(yùn)用組合數(shù)公式進(jìn)行計(jì)算．情感、態(tài)度與價(jià)值觀能運(yùn)用組合要領(lǐng)分析簡(jiǎn)單的實(shí)際問題，提高分析問題的能力．重點(diǎn)難點(diǎn)教學(xué)重點(diǎn)：組合的概念和組合數(shù)公式．教學(xué)難點(diǎn)：組合的概念和組合數(shù)公式．eq\o(\s\up7(),\s\do5(教學(xué)過程))eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(引入新課))提出問題1：回顧分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理，排列的概念和排列數(shù)公式．活動(dòng)設(shè)計(jì)：教師提問．活動(dòng)成果：1．分類加法計(jì)數(shù)原理：做一件事情，完成它可以有n類辦法，在第一類辦法中有m1種不同的方法，在第二類辦法中有m2種不同的方法，……，在第n類辦法中有mn種不同的方法那么完成這件事共有N＝m1＋m2＋…＋mn種不同的方法．2．分步乘法計(jì)數(shù)原理：做一件事情，完成它需要分成n個(gè)步驟，做第一步有m1種不同的方法，做第二步有m2種不同的方法，……，做第n步有mn種不同的方法，那么完成這件事有N＝m1×m2×…×mn種不同的方法．3．排列的概念：從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素(這里的被取元素各不相同)按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列．4．排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中，任取m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用符號(hào)Aeq\o\al(m,n)表示．5．排列數(shù)公式：Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)(m，n∈N，m≤n)．6．階乘：n！表示正整數(shù)1到n的連乘積，叫做n的階乘．規(guī)定0?。?.7．排列數(shù)的另一個(gè)計(jì)算公式：Aeq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,(n－m)！).設(shè)計(jì)意圖：檢查學(xué)生的掌握情況，為新知識(shí)的學(xué)習(xí)奠定基礎(chǔ)．提出問題2：分析下列兩個(gè)問題是不是排列問題，為什么？問題(1)：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加某天的一項(xiàng)活動(dòng)，其中1名同學(xué)參加上午的活動(dòng)，1名同學(xué)參加下午的活動(dòng)，有多少種不同的選法？問題(2)：從甲、乙、丙3名同學(xué)中選出2名去參加一項(xiàng)活動(dòng)，有多少種不同的選法？活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生自己分析，教師提問．活動(dòng)成果：?jiǎn)栴}(1)中不但要求選出2名同學(xué)，而且還要按照一定的順序“排列”，而問題(2)只要求選出2名同學(xué)，是與順序無關(guān)的，不是排列．我們把這樣的問題稱為組合問題．設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生通過具體實(shí)例找出排列與組合問題的不同，引出組合的概念．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(探索新知))提出問題1：結(jié)合上述問題(2)，試總結(jié)組合和組合數(shù)的概念．活動(dòng)設(shè)計(jì)：學(xué)生小組討論，總結(jié)概念．活動(dòng)成果：1．組合的概念：一般地，從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合．2．組合數(shù)的概念：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)．用符號(hào)Ceq\o\al(m,n)表示．設(shè)計(jì)意圖：培養(yǎng)學(xué)生的類比和概括能力．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(理解新知))提出問題1：判斷下列問題是組合問題還是排列問題？(1)在北京、上海、廣州三個(gè)民航站之間的直達(dá)航線上，有多少種不同的飛機(jī)票？(2)高中部11個(gè)班進(jìn)行籃球單循環(huán)比賽，需要進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？(3)從全班23人中選出3人分別擔(dān)任班長(zhǎng)、副班長(zhǎng)、學(xué)習(xí)委員三個(gè)職務(wù)，有多少種不同的選法？(4)10個(gè)人互相通信一次，共寫了多少封信？(5)10個(gè)人互通一次，共打了多少個(gè)？活動(dòng)設(shè)計(jì)：小組交流，共同分析．活動(dòng)成果：(1)(3)(4)是排列；(2)(5)是組合．設(shè)計(jì)意圖：通過具體實(shí)例比較排列和組合，加深對(duì)組合的理解．提出問題2：試找出排列和組合的區(qū)別和聯(lián)系．活動(dòng)設(shè)計(jì)：小組交流，教師提問，學(xué)生補(bǔ)充．活動(dòng)成果：1．區(qū)別：(1)排列有順序，組合無順序．(2)相同的組合只需選出的元素相同，相同的排列則需選出的元素相同，并且選出元素的順序相同．2．聯(lián)系：(1)都是從n個(gè)不同的元素中選出m(m≤n)個(gè)元素；(2)排列可以看成先組合再全排列．設(shè)計(jì)意圖：加深對(duì)排列組合的理解，為推導(dǎo)組合數(shù)公式奠定基礎(chǔ)．提出問題2：你能類比排列數(shù)的推導(dǎo)過程和排列與組合的聯(lián)系推導(dǎo)出從4個(gè)不同元素a，b，c，d中取出3個(gè)元素的組合數(shù)Ceq\o\al(3,4)是多少嗎？活動(dòng)設(shè)計(jì)：小組交流，共同推導(dǎo)．活動(dòng)成果：由于排列是先組合再排列，而從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)Aeq\o\al(3,4)可以求得，故我們可以考察一下Ceq\o\al(3,4)和Aeq\o\al(3,4)的關(guān)系，如下：組合排列abc→abc，bac，cab，acb，bca，cbaabd→abd，bad，dab，adb，bda，dbaacd→acd，cad，dac，adc，cda，dcabcd→bcd，cbd，dbc，bdc，cdb，dcb由此可知，每一個(gè)組合都對(duì)應(yīng)著6個(gè)不同的排列，因此，求從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的排列數(shù)Aeq\o\al(3,4)，可以分如下兩步：①考慮從4個(gè)不同元素中取出3個(gè)元素的組合，共有Ceq\o\al(3,4)個(gè)；②對(duì)每一個(gè)組合的3個(gè)不同元素進(jìn)行全排列，各有Aeq\o\al(3,3)種方法．由分步乘法計(jì)數(shù)原理得：Aeq\o\al(3,4)＝Ceq\o\al(3,4)·Aeq\o\al(3,3)，所以，Ceq\o\al(3,4)＝eq\f(A\o\al(3,4),A\o\al(3,3)).設(shè)計(jì)意圖：從具體實(shí)例出發(fā)，探索組合數(shù)的求法．提出問題3：你能想出求Ceq\o\al(m,n)的方法嗎？活動(dòng)設(shè)計(jì)：小組交流，共同推導(dǎo)．活動(dòng)成果：一般地，求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)Ceq\o\al(m,n)，可以分如下兩步：①先求從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)Aeq\o\al(m,n)；②求每一個(gè)組合中m個(gè)元素的全排列數(shù)Aeq\o\al(m,m)，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理得：Aeq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(m,n)·Aeq\o\al(m,m).得到組合數(shù)的公式：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(n(n－1)(n－2)…(n－m＋1),m！)或Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！(n－m)！)(n，m∈N，且m≤n)．規(guī)定：Ceq\o\al(0,n)＝1.設(shè)計(jì)意圖：引導(dǎo)學(xué)生逐步利用分步乘法計(jì)數(shù)原理推導(dǎo)出組合數(shù)公式．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(運(yùn)用新知))類型一：組合數(shù)公式的應(yīng)用1計(jì)算：(1)Ceq\o\al(4,7)；(2)Ceq\o\al(7,10).解：(1)Ceq\o\al(4,7)＝eq\f(7×6×5×4,4！)＝35；(2)解法1：Ceq\o\al(7,10)＝eq\f(10×9×8×7×6×5×4,7！)＝120.解法2：Ceq\o\al(7,10)＝eq\f(10！,7！3！)＝eq\f(10×9×8,3！)＝120.【鞏固練習(xí)】求證：Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(m＋1,n－m)·Ceq\o\al(m＋1,n).證明：∵Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(n！,m！(n－m)！)，eq\f(m＋1,n－m)·Ceq\o\al(m＋1,n)＝eq\f(m＋1,n－m)·eq\f(n！,(m＋1)！(n－m－1)！)＝eq\f(m＋1,(m＋1)！)·eq\f(n！,(n－m)(n－m－1)！)＝eq\f(n！,m！(n－m)！)，∴Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(m＋1,n－m)·Ceq\o\al(m＋1,n).【變練演編】設(shè)x∈N*，求Ceq\o\al(x－1,2x－3)＋Ceq\o\al(2x－3,x＋1)的值．解：由題意可得：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－3≥x－1，,x＋1≥2x－3，))解得2≤x≤4，∵x∈N*，∴x＝2或x＝3或x＝4.當(dāng)x＝2時(shí)原式的值為4；當(dāng)x＝3時(shí)原式的值為7；當(dāng)x＝4時(shí)原式的值為11.∴所求的值為4或7或11.類型二：簡(jiǎn)單的組合問題例2一位教練的足球隊(duì)共有17名初級(jí)學(xué)員，他們中以前沒有一人參加過比賽．按照足球比賽規(guī)則，比賽時(shí)一個(gè)足球隊(duì)的上場(chǎng)隊(duì)員是11人．問：(1)這位教練從這17名學(xué)員中可以形成多少種學(xué)員上場(chǎng)方案？(2)如果在選出11名上場(chǎng)隊(duì)員時(shí)，還要確定其中的守門員，那么教練員有多少種方式做這件事情？思路分析：對(duì)于(1)，根據(jù)題意，17名學(xué)員沒有角色差異，地位完全一樣，因此這是一個(gè)從17個(gè)不同元素中選出11個(gè)元素的組合問題；對(duì)于(2)，守門員的位置是特殊的，其余上場(chǎng)學(xué)員的地位沒有差異，因此這是一個(gè)分步完成的組合問題．解：(1)由于上場(chǎng)學(xué)員沒有角色差異，所以可以形成的學(xué)員上場(chǎng)方案種數(shù)為Ceq\o\al(11,17)＝12376.(2)教練員可以分兩步完成這件事情：第1步，從17名學(xué)員中選出11人組成上場(chǎng)小組，共有Ceq\o\al(11,17)種選法；第2步，從選出的11人中選出1名守門員，共有Ceq\o\al(1,11)種選法．所以教練員做這件事情的方式種數(shù)為Ceq\o\al(11,17)×Ceq\o\al(1,11)＝136136.【鞏固練習(xí)】(1)平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段共有多少條？(2)平面內(nèi)有10個(gè)點(diǎn)，以其中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段共有多少條？解：(1)以平面內(nèi)10個(gè)點(diǎn)中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段的條數(shù)，就是從10個(gè)不同的元素中取出2個(gè)元素的組合數(shù)，即線段條數(shù)為Ceq\o\al(2,10)＝eq\f(10×9,1×2)＝45.(2)由于有向線段的兩個(gè)端點(diǎn)中一個(gè)是起點(diǎn)、另一個(gè)是終點(diǎn)，以平面內(nèi)10個(gè)點(diǎn)中每2個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的有向線段的條數(shù)，就是從10個(gè)不同元素中取出2個(gè)元素的排列數(shù)，即有向線段條數(shù)為Aeq\o\al(2,10)＝10×9＝90.【變練演編】(1)凸五邊形有多少條對(duì)角線？(2)凸n(n>3)邊形有多少條對(duì)角線？解答：(1)凸五邊形的五個(gè)頂點(diǎn)中，任意兩個(gè)頂點(diǎn)的連線是凸五邊形的一條對(duì)角線或是一條邊，所以，凸五邊形的對(duì)角線條數(shù)為Ceq\o\al(2,5)－5＝5.(2)凸n邊形的n個(gè)頂點(diǎn)中，任意兩個(gè)頂點(diǎn)的連線是凸n邊形的一條對(duì)角線或是一條邊，所以，凸n邊形的對(duì)角線條數(shù)為Ceq\o\al(2,n)－n＝eq\f(n(n－3),2).【達(dá)標(biāo)檢測(cè)】1．判斷下列問題哪個(gè)是排列問題，哪個(gè)是組合問題：(1)從4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2個(gè)安排游覽，有多少種不同的方法？(2)從4個(gè)風(fēng)景點(diǎn)中選出2個(gè)，并確定這2個(gè)風(fēng)景點(diǎn)的游覽順序，有多少種不同的方法？2．7名同學(xué)進(jìn)行乒乓球擂臺(tái)賽，決出新的擂主，則共需進(jìn)行的比賽場(chǎng)數(shù)為()A．42B．21C．7D．63．如果把兩條異面直線看作“一對(duì)”，則在五棱錐的棱所在的直線中，異面直線有()A．15對(duì)B．25對(duì)C．30對(duì)D．20對(duì)答案：1.(1)是組合問題(2)是排列問題2.B3.Aeq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(課堂小結(jié)))1．知識(shí)收獲：組合概念、組合數(shù)公式．2．方法收獲：化歸．3．思維收獲：分類討論、化歸思想．eq\b\lc\\rc\(\a\vs4\al\co1(補(bǔ)充練習(xí)))【基礎(chǔ)練習(xí)】1．A，B，C，D，E5個(gè)足球隊(duì)進(jìn)行單循環(huán)比賽，(1)共需比賽多少場(chǎng)？(2)若各隊(duì)的得分互不相同，則冠、亞軍的可能情況共有多少種？2．空間有10個(gè)點(diǎn)，其中任何4點(diǎn)不共面，(1)過每3個(gè)點(diǎn)作一個(gè)平面，一共可作多少個(gè)平面？(2)以每4個(gè)點(diǎn)為頂點(diǎn)作一個(gè)四面體，一共可作多少個(gè)四面體？3．壹圓、貳圓、伍圓、拾圓的人民幣各一張，一共可以組成多少種幣值？4．寫出從a，b，c，d，e這5個(gè)元素中每次取出4個(gè)的所有不同的組合．答案：1.(1)10(2)202.(1)Ceq\o\al(3,10)＝120(2)Ceq\o\al(4,10)＝2103.Ceq\o\al(1,4)＋Ceq\o\al(2,4)＋Ceq\o\al(3,4)＋Ceq\o\al(4,4)＝24－1＝15.4．a(chǎn)，b，c，da，b，c，ea，b，d，ea，c，d，eb，c，d，e.【拓展練習(xí)】5．第19屆世界杯足球賽于2010年夏季在南非舉辦，共32支球隊(duì)有幸參加，他們先分成8個(gè)小組進(jìn)行循環(huán)賽，決出16強(qiáng)(每隊(duì)均與本組其他隊(duì)賽一場(chǎng)，各組一、二名晉級(jí)16強(qiáng))，這16支球隊(duì)按確定的程序進(jìn)行淘汰賽，最后決出冠亞軍，此外還要決出第三名、第四名，問這次世界杯總共將進(jìn)行多少場(chǎng)比賽？解：可分為如下幾類比賽：(1)小組循環(huán)賽：每組有Ceq\o\al(2,4)＝6場(chǎng)，8個(gè)小組共有48場(chǎng)；(2)八分之一淘汰賽：8個(gè)小組的第一、二名組成16強(qiáng)