空間中線線角-線面角-面面角成法原理與求法思路

空間中的夾角福建屏南一中李家有QQ52331550空間中各種角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角。1、異面直線所成的角（1）異面直線所成的角的范圍是。求兩條異面直線所成的角的大小一般方法是通過平行移動(dòng)直線，把異面問題轉(zhuǎn)化為共面問題來解決。具體步驟如下：①利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選擇在特殊的位置上；②證明作出的角即為所求的角；③利用解三角形來求角。簡(jiǎn)稱為“作，證，求”2、線面夾角直線與平面所成的角的范圍是。求直線和平面所成的角用的是射影轉(zhuǎn)化法。DBADBAC①找過斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；②連結(jié)垂足和斜足，得出斜線在平面的射影，確定出所求的角；③把該角置于三角形中計(jì)算。也是簡(jiǎn)稱為“作，證，求”注：斜線和平面所成的角，是它和平面內(nèi)任何一條直線所成的一切角中的最小角，即若θ為線面角，為斜線與平面內(nèi)任何一條直線所成的角，則有；（這個(gè)證明，需要用到正弦函數(shù)的單調(diào)性，請(qǐng)?zhí)^。在右圖的解釋為 ））2.1確定點(diǎn)的射影位置有以下幾種方法：①斜線上任意一點(diǎn)在平面上的射影必在斜線在平面的射影上；②如果一個(gè)角所在的平面外一點(diǎn)到角的兩邊距離相等，那么這一點(diǎn)在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；已知：如圖，在一個(gè)平面內(nèi)，（就是點(diǎn)P到角兩邊的距離相等）過P作（說明點(diǎn)O為P點(diǎn)在面內(nèi)的射影）求證：（，所以AO為的角平分線，所以點(diǎn)O會(huì)在的角平分線上）證明：PA＝PA，PN＝PM，（斜邊直角邊定理）①所以，點(diǎn)P在面的射影為的角平分線上。③如果一條直線與一個(gè)角的兩邊的夾角相等，那么這一條直線在平面上的射影在這個(gè)角的平分線上；已知：如圖，在一個(gè)平面內(nèi)（斜線AP與的兩邊所成角相等）求證：（說明點(diǎn)O在角MAC的角平分線上。）證明：在AB上取點(diǎn)M，在AC上取點(diǎn)N，使（這步是關(guān)鍵，為我們自已所作的輔助線點(diǎn)，線），所以，點(diǎn)P在面的射影為的角平分線上。④兩個(gè)平面相互垂直，一個(gè)平面上的點(diǎn)在另一個(gè)平面上的射影一定落在這兩個(gè)平面的交線上；（這是兩面垂直的性質(zhì)）⑤利用某些特殊三棱錐的有關(guān)性質(zhì)，確定頂點(diǎn)在底面上的射影的位置：a.如果側(cè)棱相等或側(cè)棱與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的外心；已知：如圖，三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝PC，求證：O點(diǎn)為（即證OA＝OB＝OC）（注：外心為三角形的外接圓的圓心，也是三邊中垂線的交點(diǎn)）b.如果頂點(diǎn)到底面各邊距離相等或側(cè)面與底面所成的角相等，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的內(nèi)心(或旁心)；已知：如圖，求證：O為（注：內(nèi)心為三角形的內(nèi)切圓的圓心，也為三角形的三個(gè)內(nèi)角的角平分線的交點(diǎn)）證明：連結(jié)BO，CO易證所以BO為角DBF的角平分線，即點(diǎn)O在角DBF的角平分線上。同理可證點(diǎn)O為角DCE的角平分線，所以O(shè)為兩內(nèi)角平分線交點(diǎn)，從而為內(nèi)心。c.如果側(cè)棱兩兩垂直或各組對(duì)棱互相垂直，那么頂點(diǎn)落在底面上的射影是底面三角形的垂心；已知：如圖，求證：（1）（就是三棱錐中有兩組對(duì)棱垂直，則可以推出第三組對(duì)夫棱垂直）（所以，條件中各組對(duì)棱垂直，實(shí)際是有多了一組）（2）點(diǎn)O為三角形ABC的垂心（注：垂心為三角形的三高交點(diǎn)，O為垂心，相當(dāng)于證明，兩高交點(diǎn)即可）3、二面角（4）二面角的范圍在課本中沒有給出，一般是指，解題時(shí)要注意圖形的位置和題目的要求。作二面角的平面角常有三種方法①棱上一點(diǎn)雙垂線法：在棱上任取一點(diǎn)，過這點(diǎn)在兩個(gè)平面內(nèi)分別引棱的垂線，這兩條射線所成的角，就是二面角的平面角；②面上一點(diǎn)三垂線法：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另一面引垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即垂足），斜足與面上一點(diǎn)連線和斜足與垂足連線所夾的角，即為二面角的平面角；邊是最常用的方法③空間一點(diǎn)垂面法：自空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角。備注：還有一個(gè)投影法求二面角，高考不作要求，所以此處略去。配套練習(xí)：（練習(xí)難度不大，所以只給簡(jiǎn)答，見最后一頁(yè)）1、兩個(gè)對(duì)角面都是矩形的平行六面體是 A、正方體 B、正四棱柱 C、長(zhǎng)方體 D、直平行六面體2、正三棱柱ABC-A1B1C1中，異面直線AC與B1C A、300 B、600 C、900 D、1203、已知一個(gè)正六棱柱的底面邊長(zhǎng)是，最長(zhǎng)的對(duì)角線長(zhǎng)為8，那么這個(gè)正六棱柱的高是 A、 B、 C、4 D、4、正四棱錐相鄰的側(cè)面所成二面角的平面角是 A、銳角 B、鈍角 C、直角 D、以上均有可能5、一棱錐被平行于底面的平面所截，若截面面積與底面面積之比是1:2，則此棱錐的高（自上而下）被分成兩段長(zhǎng)度之比為 A、1: B、1:4 C、1: D、1:6、在四棱錐的四個(gè)側(cè)面中，可以是直角三角形的個(gè)數(shù)最多是 A、4個(gè) B、3個(gè) C、2個(gè) D、1個(gè)7、三棱錐P-ABC中，若PA=PB=PC，則頂點(diǎn)P在底面三角形的射影是底面三角形的 A、內(nèi)心 B、外心 C、重心 D、垂心8、四棱柱成為平行六面體的一個(gè)充分不必要條件是 A、底面是矩形 B、底面是平行四邊形 C、有一個(gè)側(cè)面為矩形 D、兩個(gè)相鄰側(cè)面是矩形9、已知AD是邊長(zhǎng)為2的正三角形ABC的邊上的高，沿AD將△ABC折成直二面角后，點(diǎn)A到BC的距離為 A、 B、 C、 D、10、已知異面直線a、b所成的角為500，P為空間一定點(diǎn)，則過點(diǎn)P且與a、b所成角都是300的直線有且僅有 A、1條 B、2條 C、3條 D、4條11、二面角是直二面角，，設(shè)直線AB與所成的角分別為、則 A、 B、 C、 D、二、填空題：（本大題共4小題，每小題4分，共16分）13、長(zhǎng)方體ABCD-A1B1C1D1中，AB=3,BC=1,CC1=,則平面A1BC與平面ABCD所成的角的度數(shù)是____________14、正三棱錐V-ABC的各棱長(zhǎng)均為a，M,N分別是VC,AB的中點(diǎn)，則MN的長(zhǎng)為______15、有一個(gè)三角尺ABC，,BC貼于桌面上，當(dāng)三角尺與桌面成450角時(shí)，AB邊與桌面所成角的正弦值是________.19、在三棱錐D-ABC中，DA⊥平面ABC，∠ACB=900,∠ABD=300,AC=BC,求異面直線AB與CD所成的角的余弦值。（注，題目未配圖，請(qǐng)自行畫圖）20、正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長(zhǎng)為a，P,Q,R分別為棱AA1,AB,BC的中點(diǎn)，試求二面角P-QR-A的正弦值。分析：求二面角，主要思路就是作，證，求。作二面角的基本方法，主要用三垂線法，明顯有，，所以只要過點(diǎn)A作，垂足為H，