17.2.1勾股定理的逆定理（課件）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)下

17.2.1勾股定理的逆定理新知探究實(shí)驗(yàn)：（2）量一量：用量角器測量上述三角形的最大角的度數(shù)．（3）想一想：請判斷這些三角形的形狀，并提出猜想．32＋42＝5252＋122＝132（1）畫一畫：下列各組數(shù)都滿足a2＋b2＝c2，分別以這些數(shù)為邊長畫出三角形

（單位：cm），它們是直角三角形嗎？①3，4，5；②5，12，13；③8，15，17；

④7，24，25．82＋152＝17272＋242＝252如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．新知探究我覺得這個(gè)猜想不準(zhǔn)確，因?yàn)闇y量結(jié)果可能有誤差.我也覺得猜想不嚴(yán)謹(jǐn)，前面我們只取了幾組數(shù)據(jù)，不能由部分代表整體.因此我們需要嚴(yán)格的證明新知探究已知：在△ABC中，三邊長分別為a，b，c，且a2＋b2＝c2．求證：△ABC是直角三角形．證明：作一個(gè)直角∠MC1N，在C1M上截取C1B1＝a＝CB，在C1N上截取C1A1＝b＝CA，連接A1B1．ACBbcaC1NMB1A1ba

在Rt△A1B1C1中，由勾股定理，得A1B12＝a2＋b2，∴A1B1＝AB．在△ABC和△A1B1C1中，AB＝A1B1，AC＝A1C1，BC＝B1C1，∴△ABC≌△A1B1C1（SSS）．∴∠C＝∠C1．∴△ABC是直角三角形．勾股定理的逆定理新知探究直角三角形的判定有兩法可依：（1）由角的關(guān)系：證明兩內(nèi)角互余或一角為直角．（2）由邊的關(guān)系：利用勾股定理的逆定理判定．如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．

勾股定理的逆定理是直角三角形的判定定理，即已知三角形的三邊長，且滿足兩條較小邊的平方和等于最長邊的平方，即可判斷此三角形為直角三角形，最長邊所對應(yīng)的角為直角.典例精析例1下面以a，b，c為邊長的三角形是不是直角三角形？(1)a

5，b

12，c

13；(2)a

6，b

7，c

8；是不是是(3)a

1，b

2，c

.52+122

13262+72

8212+()2

22(4)a:b:c=3:4:5;是（4）解：設(shè)a=3k,b=4k,c=5k,因?yàn)?3k)2+(4k)2=25k2,(5k)2=25k2,所以(3k)2+(4k)2=(5k)2,根據(jù)勾股定理的逆定理，這個(gè)三角形是直角三角形，∠C是直角.典例精析練習(xí)

根據(jù)勾股定理及其逆定理，判斷一個(gè)三角形是不是直角三角形，只要看兩條較小邊長的平方和是否等于最大邊長的平方.

下面以a,b,c為邊長的三角形是不是直角三角形？如果是,那么哪一個(gè)角是直角？解：因?yàn)?52+82=289，172=289，所以152+82=172，根據(jù)勾股

定理的逆定理，這個(gè)三角形是直角三角形，且∠C是直角.(2)a=13，

b=14，

c=15;解：因?yàn)?32+142=365，152=225，所以132+142≠152，不符合勾

股定理的逆定理，所以這個(gè)三角形不是直角三角形.(1)a=15，

b=8，c=17;典例精析例2已知△ABC，AB=n2-1，BC=2n，AC=n2+1(n為大于1的正整數(shù))試問△ABC是直角三角形嗎？若是，哪一條邊所對的角是直角？請說明理由解：∵AB2+BC2=(n2-1)2+(2n)2=n4-2n2+1+4n2=n4+2n2+1=(n2+1)2=AC2，∴△ABC直角三角形，邊AC所對的角是直角.典例精析例3如圖，在△ABC中，AB=5，BC=6，BC邊的中線AD=4，求△ABC的面積.解：要求△ABC的面積，找到三角形的高是關(guān)鍵，

由已知條件AD是中線，BC=6，可得BD=3，而△ADB的三邊分別為3、4、5，

根據(jù)勾股定理的逆定理可得∠ADC=90°，

所以AD為△ABC的高，所以

△ABC的面積為

.典例精析例4以△ABC三邊a,b,c為邊向外作正方形，正三角形，以三邊為直徑作半圓，若S1+S2=S3成立，則△ABC是直角三角形嗎？ACabcS1S2S3BABCabcS1S2S3S1S2S3新知探究勾股數(shù)如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2+b2=c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.滿足a2+b2=c2的三個(gè)正整數(shù)，稱為勾股數(shù).常見勾股數(shù)：3，4，5；5，12，13；6，8，10；7，24，25；8，15，17；9，40，41；10，24，26等等.新知探究思考：像（3，4，5）、（6，8，10）、（5，12，13）等滿足a2＋b2＝c2的一組正整數(shù)，通常稱為勾股數(shù)，請你填表并探索規(guī)律．a(chǎn)36912…3nb481216…4nc5101520…5n一組勾股數(shù)中各數(shù)的相同整數(shù)倍組成一組新的勾股數(shù)，如3,4,5各數(shù)的n倍（n為正整數(shù)）組成的數(shù)組3n，4n，5n也是勾股數(shù).①從表中你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律？②你能根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律寫出更多的勾股數(shù)嗎？試試看．典例精析我們知道3,4,5是一組勾股數(shù)，那么3k,4k,5k（k是正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)嗎？一般地，如果a,b,c是一組勾股數(shù)，那么ak,bk,ck（k是正整數(shù)）也是一組勾股數(shù)嗎？解：（1）3k,4k,5k也是一組勾股數(shù).因?yàn)椋?k）2+（4k）2=9k2+16k2=25k2,（5k）2=25k2,所以（3k）2+（4k）2=（5k）2.勾股數(shù)拓展性質(zhì)的證明：（2）如果a,b,c是一組勾股數(shù)，那么ak,bk,ck也是一組勾股數(shù).因?yàn)閍,b,c是勾股數(shù)，則a2+b2=c2（ak）2+（bk）2=a2k2+b2k2=（a2+b2）k2=c2k2,（ck）2=c2k2故（ak）2+（bk）2=（ck）2,所以ak,bk,ck也是一組勾股數(shù).新知探究思考：前面我們學(xué)習(xí)了兩個(gè)命題，分別為：命題1：如果直角三角形的兩條直角邊長分別為a，b，斜邊長為c，那么a2＋b2＝c2．命題2：如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形．兩個(gè)命題的題設(shè)和結(jié)論有何聯(lián)系？新知探究命題1：直角三角形a2+b2=c2命題2：直角三角形a2+b2=c2題設(shè)結(jié)論它們是題設(shè)和結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題.

兩個(gè)命題的條件和結(jié)論分別是什么？

兩個(gè)命題的條件和結(jié)論有何聯(lián)系？思考：思考：原命題與逆命題新知探究一般地，原命題成立時(shí)，它的逆命題既可能成立，也可能不成立．如果一個(gè)定理的逆命題經(jīng)過證明是正確的，那么它也是一個(gè)定理，稱這兩個(gè)定理互為逆定理．

勾股定理與勾股定理的逆定理為互逆定理．題設(shè)、結(jié)論正好相反的兩個(gè)命題叫做互逆命題．如果把其中一個(gè)叫做原命題，那么另一個(gè)叫做它的逆命題．

判斷一個(gè)命題是真命題要證明，而判斷一個(gè)命題是假命題只要舉一個(gè)反例即可.新知探究試著說出下列命題的逆命題，這些逆命題成立嗎？（1）兩條直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等；（2）如果兩個(gè)實(shí)數(shù)相等，那么它們的絕對值相等；

（3）全等三角形的對應(yīng)角相等；

（4）在角的內(nèi)部，到角的兩邊距離相等的點(diǎn)在角的平分線上．內(nèi)錯(cuò)角相等，兩條直線平行．成立如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對值相等，那么它們相等．不成立對應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形全等．不成立在角平分線上的點(diǎn)到角的兩邊距離相等．成立例5歸納總結(jié)勾股定理的逆定理內(nèi)容如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形逆命題與逆定理勾股數(shù)最長邊不一定是c，∠C也不一定是直角勾股數(shù)一定是正整數(shù)當(dāng)堂檢測1.下列各數(shù)組中，不能作為直角三角形的三邊長的是（）．A．3，4，5；B．10，6，8；

C．4，5，6；D．12，13，5．C2．若△ABC的兩邊長為8和15，則能使△ABC為直角三角形的第三邊的平方是（）A．161；B．289；C．17；D．161或289．D3.五根小木棒，其長度分別為7，15，20，24，25，現(xiàn)將他們擺成兩個(gè)直角三角形，其中擺放方法正確的是（）A.B.C.D.D當(dāng)堂檢測4.一個(gè)三角形的三邊長分別是5,12,13，則這個(gè)三角形的面積是（）A.30B.60C.78D.不能確定5.一個(gè)三角形的三邊長的平方分別為32，42，x2，若三角形是直角三角形，則x2的值是()A.42 B.25

C.7 D.25或7AD6.將直角三角形的三條邊同時(shí)擴(kuò)大3倍，得到的三角形是（）.A.銳角三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.鈍角三角形C當(dāng)堂檢測7.△ABC中

A，

B，

C的對邊分別是a，b，c，則

下列命題中的假命題是()

A.如果

C

B

A，則△ABC是直角三角形；

B.如果c2=b2

a2，則△ABC是直角三角形，且

C

90°；

C.如果(c

a)(c

a)=b2，則△ABC是直角三角形；

D.如果

A

B

C=5

2

3，則△ABC是直角三角形.B8.下列四組線段，不能構(gòu)成直角三角形的是()A.a

8，b

15，c

17；B.a

9，b

12，c

15；C.a

，b

，c

；

D.a

b

c

2

3

4.D當(dāng)堂檢測

9.寫出下列命題的逆命題，并判斷逆命題是否成立.(1)全等三角形的對應(yīng)角相等.(2)兩直線平行，內(nèi)錯(cuò)角相等.(3)互為相反數(shù)的兩個(gè)數(shù)的絕對值相等.解：(1)對應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形是全等三角形；(2)內(nèi)錯(cuò)角相等，兩直線平行；(3)絕對值相等的兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù).不成立成立不成立逆命題與逆定理

【例1】寫出下列命題的逆命題，并判斷真假.(1)同位角相等，兩直線平行；(2)如果x＝3，那么x2＝9；(3)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對值相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方也相等.分析：將題設(shè)與結(jié)論互換位置，即可得到原命題的逆命題，再根據(jù)相關(guān)知識判斷命題是否成立.解：(1)兩直線平行，

同位角相等.這個(gè)命題是真命題.(2)如果x2＝9，那么x＝3.這個(gè)命題是假命題.(3)如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對值也相等.這個(gè)命題是真命題.技巧點(diǎn)撥：寫出一個(gè)命題的逆命題的關(guān)鍵是分清原命題的題設(shè)和結(jié)論.將題設(shè)和結(jié)論交換位置，即得逆命題.判定一個(gè)命題是真命題需證明，判定一個(gè)命題是假命題只要舉出一個(gè)反例即可.有些命題不容易確定題設(shè)和結(jié)論，一般要先寫成“如果……那么……”的形式.1.先寫出下列命題的逆命題，再判斷逆命題是否成立.(1)全等三角形的對應(yīng)角相等.逆命題：__________________________________.是否成立?________.

(2)若a＝b，則a3＝b3.逆命題：__________________________________.是否成立?________.

2.下列定理沒有逆定理的是(

).A.直角三角形的兩銳角互余B.對頂角相等C.互為相反數(shù)的兩數(shù)之和為0D.等邊三角形的三個(gè)內(nèi)角相等對應(yīng)角相等的兩個(gè)三角形是全等三角形不成立

若a3＝b3，則a＝b成立

B勾股定理的逆定理

解析：可以計(jì)算出①中a2≠b2＋c2，④中a2＋b2＝c2，根據(jù)勾股定理的逆定理，①不是直角三角形，④是直角三角形；③中∠A＋∠B＝90°，所以也是直角三角形；②中根據(jù)所給條件無法判斷三角形的類型.答案：A技巧點(diǎn)撥：判斷一個(gè)三角形是直角三角形有兩種方法：①從角判斷，一個(gè)內(nèi)角是直角或兩個(gè)內(nèi)角互余；②從邊判斷，符合較短的兩條邊的平方和等于最長邊的平方.3.在滿足下列條件的三角形中，不是直角三角形的是(

).A.三內(nèi)角的度數(shù)比為1∶2∶3B.三邊長的平方之比為1∶2∶3C.三邊長之比為3∶4∶5D.三內(nèi)角的度數(shù)比為3∶4∶5D1.下列各組線段，能組成直角三角形的是(

).A.a＝1，b＝2，c＝2B.a＝2，b＝3，c＝5C.a＝2，b＝4，c＝5D.a＝6，b＝8，c＝10D

A3.三角形的三邊長分別為a，b，c，若滿足等式(a＋b)2－c2＝2ab，則此三角形是(

).A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.等邊三角形B4.下列命題錯(cuò)誤的是(

).A.在△ABC中，若∠A＝∠C－∠B，則△ABC是直角三角形B.在△ABC中，若a2＋b2＝c2，則△ABC是直角三角形C.在△ABC中，若∠A，∠B，∠C的度數(shù)比是5∶2∶3，則△ABC是直角三角形D.在△ABC中，若三邊長之比為2∶2∶3，則△ABC是直角三角形D5.下列命題中，其逆命題是真命題的是________.(填序號)

①同旁內(nèi)角互補(bǔ)，兩直線平行；②自然數(shù)是整數(shù)；③如果兩個(gè)實(shí)數(shù)的絕對值相等，那么這兩個(gè)實(shí)數(shù)的平方也相等；④如果三角形的三邊長a，b，c滿足a2＋b2＝c2，那么這個(gè)三角形是直角三角形.①③④

解：由題意得a-5=0，b-12=0，c-13=0，所以a=5，b=12，c=13.

45°8.如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AB＝15cm，AC＝9cm，動點(diǎn)P從點(diǎn)B出發(fā)，沿射線BC以2cm/s的速度移動.設(shè)運(yùn)動的時(shí)間為ts，當(dāng)△ABP為直角三角形時(shí)，t＝________.

9.如圖，在△ABC中，AB＝4，AC＝3，BC＝5，DE是邊BC的垂直平分線，DE交BC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E.(1)求證：△ABC為直角三角形.(2)求AE的長.

證明：因?yàn)锳B2+AC2=16+9=25=BC2，所以△ABC

是直角三角形.

解：連接BD，因?yàn)锳B=AD=2且∠A