專題1.1 集合與常用邏輯用語【七大題型】(舉一反三)(新高考專用)(解析版)2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)_第1頁
專題1.1 集合與常用邏輯用語【七大題型】(舉一反三)(新高考專用)(解析版)2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)_第2頁
專題1.1 集合與常用邏輯用語【七大題型】(舉一反三)(新高考專用)(解析版)2024年高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)_第3頁
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第第頁專題1.1集合與常用邏輯用語【七大題型】【新高考專用】TOC\o"1-3"\h\u【題型1集合中元素個數(shù)問題】 3【題型2子集的個數(shù)問題】 5【題型3集合的交、并、補集運算】 6【題型4集合中的含參問題】 7【題型5集合的新定義問題】 8【題型6充分條件與必要條件】 9【題型7全稱量詞與存在量詞命題】 111、集合集合是高考數(shù)學(xué)的必考考點,常見以一元一次、一元二次不等式的形式,結(jié)合有限集、無限集來考查集合的交、并、補集等運算,偶爾涉及集合的符號辨識,一般出現(xiàn)在高考的第1題,以簡單題為主。2、常用邏輯用語常用邏輯用語是高考數(shù)學(xué)的重要考點,常見于考查真假命題的判斷;全稱量詞命題、存在量詞命題以及命題的否定;偶爾涉及充分條件與必要條件以及根據(jù)描述進行邏輯推理等,中等偏易難度。但一般很少單獨考查,常常與函數(shù)、不等式、數(shù)列、三角函數(shù)、立體幾何等知識交匯,熱點是“充要條件”,考生復(fù)習(xí)時需多注意加強這方面練習(xí)?!局R點1集合】1.集合與元素(1)集合中元素的三個特征:確定性、互異性、無序性.(2)元素與集合的關(guān)系是屬于或不屬于,用符號∈或?表示.(3)集合的表示法:列舉法、描述法、圖示法.(4)常見數(shù)集的記法集合自然數(shù)集正整數(shù)集整數(shù)集有理數(shù)集實數(shù)集符號NN*(或N+)ZQR2.集合的基本關(guān)系(1)子集:若對于任意的x∈A都有x∈B,則A?B;(2)真子集:若A?B,且A≠B,則A?B;(3)相等:若A?B,且B?A,則A=B;(4)?是任何集合的子集,是任何非空集合的真子集.3.集合的基本運算表示運算文字語言集合語言圖形語言記法交集屬于A且屬于B的所有元素組成的集合{x|x∈A,且x∈B}A∩B并集屬于A或?qū)儆贐的元素組成的集合{x|x∈A,或x∈B}A∪B補集全集U中不屬于A的元素組成的集合稱為集合A相對于集合U的補集{x|x∈U,x?A}?UA【知識點2常用邏輯用語】1.充分條件與必要條件命題真假“若p,則q”是真命題"若p,則q"是假命題推出關(guān)系及符號表示由p通過推理可得出q,記作:p?q由條件p不能推出結(jié)論q,記作:條件關(guān)系p是q的充分條件

q是p的必要條件p不是q的充分條件

q不是p的必要條件一般地,數(shù)學(xué)中的每一條判定定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個充分條件.?dāng)?shù)學(xué)中的每一條性質(zhì)定理都給出了相應(yīng)數(shù)學(xué)結(jié)論成立的一個必要條件.2.充要條件如果“若p,則q”和它的逆命題“若q,則p”均是真命題,即既有p?q,又有q?p,記作p?q.此時p既是q的充分條件,也是q的必要條件.我們說p是q的充分必要條件,簡稱為充要條件.如果p是q的充要條件,那么q也是p的充要條件,即如果p?q,那么p與q互為充要條件.3.全稱量詞與全稱量詞命題全稱量詞所有的、任意一個、一切、每一個、任給符號?全稱量詞命題含有全稱量詞的命題形式“對M中任意一個x,有p(x)成立”,可用符號簡記為“?x∈M,p(x)”4.存在量詞與存在量詞命題存在量詞存在一個、至少有一個、有一個、有些、有的符號表示?存在量詞命題含有存在量詞的命題形式“存在M中的一個x,使p(x)成立”可用符號簡記為“?x∈M,p(x)”5.全稱量詞命題與存在量詞命題的否定(1)全稱量詞命題p:?x∈M,p(x)的否定:?x∈M,?p(x);全稱量詞命題的否定是存在量詞命題.(2)存在量詞命題p:?x∈M,p(x)的否定:?x∈M,?p(x);存在量詞命題的否定是全稱量詞命題.【題型1集合中元素個數(shù)問題】【例1】(2023·河南鄭州·統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知集合P=nn=2k?1,k∈N?,k≤10,Q=2,3,5,則集合T=xyx∈P,y∈Q中元素的個數(shù)為(

)A.30 B.28 C.26 D.24【解題思路】根據(jù)題意得到P=1,3,5,7,9,11,13,15,17,19,再結(jié)合T=【解答過程】P=nn=2k?1,k∈N?,k≤10=因為T=xy當(dāng)x∈P,y=2時,xy為偶數(shù),共有10個元素.當(dāng)x∈P,y=3時,xy為奇數(shù),此時xy=3,9,15,21,27,33,39,45,51,57,共有10個元素.當(dāng)x∈P,y=5時,xy為奇數(shù),此時xy=5,15,25,35,45,55,65,75,85,95,有重復(fù)數(shù)字15,45,去掉,共有8個元素.綜上T=xyx∈P,y∈Q中元素的個數(shù)為故選:B.【變式1-1】(2023上·遼寧大連·高一??茧A段練習(xí))已知A是由0,m,m2?3m+2三個元素組成的集合,且2∈A,則實數(shù)m為(A.2 B.3 C.0或3 D.0,2,3均可【解題思路】由2∈A,可得m=2或m2?3m+2=2【解答過程】因為集合A是由0,m,m2所以A=0,m,m2所以m=2或m2?3m+2=2,解方程可得m=2或m=0或當(dāng)m=2時,A=0,2當(dāng)m=0時,A=0,2當(dāng)m=3時,A=0,3,2,滿足題意,∴m=3故選:B.【變式1-2】(2022上·河南商丘·高一??茧A段練習(xí))已知集合A=xax2A.98 B.0 C.98或0【解題思路】集合A有一個元素,即方程ax2?3x+2=0【解答過程】集合A有一個元素,即方程ax當(dāng)a=0時,A當(dāng)a≠0時,a則Δ=9?8a=0,解得:綜上可得:a=0或a故選:C.【變式1-3】(2023·河北·河北衡水中學(xué)校考模擬預(yù)測)若集合U有71個元素,S,T?U且各有14,28個元素,則?S∪TS∩T的元素個數(shù)最少是(A.14 B.30 C.32 D.42【解題思路】根據(jù)集合中的元素以及交并補運算的性質(zhì)即可求解.【解答過程】設(shè)S∩T=M,M中有x個元素,則0≤x≤14,x∈N所以S∪T中的元素個數(shù)為14+28?x=42?x,因此?S∪TS∩T中的元素個數(shù)為S∪T中的元素減去S∩T中的元素個數(shù),即為由于0≤x≤14,x∈N,所以42?2x∈14,42,故當(dāng)故選:A.【題型2子集的個數(shù)問題】【例2】(2023·河南·校聯(lián)考二模)集合A=x1<xA.3 B.4 C.7 D.8【解題思路】解不等式可求得集合A,由集合元素個數(shù)與子集個數(shù)的關(guān)系直接求解即可.【解答過程】∵A=x∴集合A的子集個數(shù)為23故選:D.【變式2-1】(2023·山東·校聯(lián)考模擬預(yù)測)滿足條件{2,3}?A?{1,2,3,4}的集合A有(

)A.6個 B.5個 C.4個 D.3個【解題思路】根據(jù)子集的定義即可得解.【解答過程】解:∵{2,3}?A?{1,2,3,4},∴A={1,2,3,4}或{1,2,3}或{2,3,4}或{2,3},共4個.故選:C.【變式2-2】(2023·江西景德鎮(zhèn)·統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知集合A=a,b的所有非空子集的元素之和等于12,則a+b等于(

A.1 B.3 C.4 D.6【解題思路】首先列出集合A的非空子集,即可得到方程,解得即可.【解答過程】解:集合A=a,b的非空子集有a、b、a,b所以a+b+a+b=12,解得a+b=6.故選:D.【變式2-3】(2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測)設(shè)集合A=a1,a2,a3,A.?1,3,5,8 B.?3,0,2,6 C.4,8,10,13 D.7,10,12,16【解題思路】不妨設(shè)a1<a【解答過程】不妨設(shè)a1則A的所有三元子集為a1由題意可得a1+a因此集合A=?3,0,2,6故選:B.【題型3集合的交、并、補集運算】【例3】(2023·全國·模擬預(yù)測)已知集合A=x?3<x≤4,B=xx>?1A.?1,4 B.?1,4 C.?3,?1 D.?3,?1【解題思路】根據(jù)交集概念進行計算.【解答過程】因為A=x所以A∩B=?1,4故選:A.【變式3-1】(2023·四川遂寧·統(tǒng)考模擬預(yù)測)設(shè)集合A=x|x?1≤1,集合B=x|x≥?1,則A∪B=(A.?∞,?1∪2,+∞ B.[?1,2] 【解題思路】利用并集定義即可求得A∪B.【解答過程】A=x|x?1≤1則A∪B=故選:C.【變式3-2】(2023·海南省直轄縣級單位·文昌中學(xué)??寄M預(yù)測)已知全集U={x∈N∣0<x≤6},集合A=1,2,3,4,B=1,3,5A.6 B.1,6 C.2,4,5,6 D.1,2,4,5,6【解題思路】根據(jù)集合的并集運算求得A∪B,再根據(jù)補集的定義即可求得答案.【解答過程】由題意知U=1,2,3,4,5,6所以?U故選:A.【變式3-3】(2023下·河南新鄉(xiāng)·高二統(tǒng)考期末)設(shè)全集U=R,集合M=xx>?1,N=x?2<x<3,則A.?UM∩N C.M∩?UN【解題思路】根據(jù)集合的交并補運算即可結(jié)合選項逐一求解.【解答過程】由題意可得M∩N=x?1<x<3,?UM=x對于A,?UM∩N=x對于B,?UM∪N=對于C,M∩?對于D,N∪?故選:B.【題型4集合中的含參問題】【例4】(2023·陜西咸陽·武功縣校考模擬預(yù)測)已知集合A=x?1<x<4,B=xx?2a<0,若A∩B=?,則實數(shù)A.a(chǎn)a>12 B.a(chǎn)a<?12【解題思路】先求出集合B,再利用A∩B=?可得實數(shù)a的取值范圍.【解答過程】由x?2a<0,得x<2a,所以B=x因為A∩B=?,所以2a≤?1,故a≤?1故選:C.【變式4-1】(2023·吉林·統(tǒng)考模擬預(yù)測)已知集合A=x∈N|x<2,B=x∣ax?1=0,若BA.12或1 B.0或1 C.1 D.【解題思路】先求得合A=0,1,再分a=0和a≠0【解答過程】解:由集合A=x∈對于方程ax?1=0,當(dāng)a=0時,此時方程無解,可得集合B=?,滿足BA;當(dāng)a≠0時,解得x=1a,要使得BA,則滿足1a所以實數(shù)a的值為0或1.故選:B.【變式4-2】(2023·江蘇鎮(zhèn)江·揚中市??寄M預(yù)測)若集合A=x2a+1≤x≤3a?5,B=x5≤x≤16,則能使A?BA.a(chǎn)2≤a≤7 B.a(chǎn)6≤a≤7 C.a(chǎn)a≤7【解題思路】考慮A=?和A≠?兩種情況,得到不等式組,解得答案.【解答過程】當(dāng)A=?時,即2a+1>3a?5,a<6時成立;當(dāng)A≠?時,滿足2a+1≤3a?53a?5≤162a+1≥5,解得綜上所述:a≤7.故選:C.【變式4-3】(2023·江蘇無錫·江蘇省天一中學(xué)??寄M預(yù)測)已知集合A={x∈Z|?1<x<3},B={x|3x?a<0},且A∩?RBA.0,4 B.0,4 C.0,3 D.0,3【解題思路】先求得A={0,1,2},B={x|x<a3},得到?【解答過程】由集合A={x∈Z|?1<x<3}={0,1,2},可得?R因為A∩?RB=1,2,所以0<a3故選:C.【題型5集合的新定義問題】【例5】(2023·湖南·校聯(lián)考模擬預(yù)測)定義集合A÷B=zz=xy,x∈A,y∈B.已知集合A=4,8,A.3 B.4 C.5 D.6【解題思路】根據(jù)題中條件,直接進行計算即可.【解答過程】因為A=4,8,B=所以A÷B=1,2,4,8,故A÷B故選:B【變式5-1】(2023·全國·本溪高中校聯(lián)考模擬預(yù)測)對于集合A,B,定義集合A?B=xx∈A且x?B,已知集合U=x?3<x<7,x∈Z,E=?1,0,2,4,6,A.?2,0,1,3,4,5 B.0,1,3,4,5 C.?1,2,6 D.?2,0,1,3,4【解題思路】結(jié)合新定義可知E?F=?1,2,6,求得U【解答過程】結(jié)合新定義可知E?F=?1,2,6,又U=所以?U故選:A.【變式5-2】(2023·全國·校聯(lián)考三模)如圖所示的Venn圖中,A、B是非空集合,定義集合A?B為陰影部分表示的集合.若A=xx=2n+1,n∈N,n≤4,B=2,3,4,5,6,7,則A?B=A.2,4,6,1 B.2,4,6,9 C.2,3,4,5,6,7 D.1,2,4,6,9【解題思路】分析可知A?B=xx∈A∪B,x?A∩B,求出集合A、A∪B【解答過程】由韋恩圖可知,A?B=x因為A=xx=2n+1,n∈N,n≤4=則A∪B=1,2,3,4,5,6,7,9,A∩B=3,5,7,因此,故選:D.【變式5-3】(2023·安徽蚌埠·統(tǒng)考二模)對于數(shù)集A,B,定義A+B=x|x=a+b,a∈A,b∈B,A÷B={x|x=ab,a∈A,b∈B,若集合A=1,2,則集合(A+A)÷A中所有元素之和為(A.102 B.152 C.212【解題思路】由題意,理解新定義,可得(A+A)={2,3,4},通過A÷B的集定義與集合運算即可得出結(jié)論.【解答過程】試題分析:根據(jù)新定義,數(shù)集A,B,定義A+B=x|x=a+b,a∈A,b∈B,A÷B={x|x=ab,a∈A,b∈B,集合A=1,2,(A+A)={2,3,4},(A+A)÷A={1,2,3,4,1.5},則可知所有元素的和為故選:D.【題型6充分條件與必要條件】【例6】(2023·山東德州·德州市校聯(lián)考模擬預(yù)測)若a>0,則“a2<b2”是“A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【解題思路】舉出反例得到充分性不成立,a<?b兩邊平方得到必要性成立.【解答過程】若a=1,b=2,滿足a2<b因為a>0,若0<a<?b,兩邊平方得a2則“a2<b故選:B.【變式6-1】(2023·山西呂梁·統(tǒng)考二模)已知命題p:?x∈?4,2,12x2?a≥0A.a(chǎn)≤?2 B.a(chǎn)≤0 C.a(chǎn)≤8 D.a(chǎn)≤16【解題思路】先分離參數(shù)求出a的取值范圍,則p為真命題的一個充分不必要條件應(yīng)該是?∞【解答過程】由題設(shè)命題為真,即a≤12x所以a≤1則p為真命題的一個充分不必要條件應(yīng)該是?∞故選:A.【變式6-2】(2023·云南昆明·昆明一中??寄M預(yù)測)已知集合A=xx2?4=0,B=xax?2=0,若x∈A是A.?1,0,1 B.?1,1 C.1 D.?1【解題思路】由題意,對集合B分等于空集和不等于空集兩種情況討論,分別求出符合題意的a的值即可.【解答過程】由題,A=?2,2,BA當(dāng)B=?時,有a=0,符合題意;當(dāng)B≠?時,有a≠0,此時B=2a,所以2a=2或綜上,實數(shù)a的所有可能的取值組成的集合為?1,0,1.故選:A.【變式6-3】(2023·江蘇南京·南京校考模擬預(yù)測)設(shè)A,B,C,D是四個命題,若A是B的必要不充分條件,A是C的充分不必要條件,D是B的充分必要條件,則D是C的(

)A.必要不充分條件 B.充分不必要條件C.充分必要條件 D.既不充分也不必要條件【解題思路】利用充分條件必要條件之間的關(guān)系進行推理判斷即可.【解答過程】因為A是B的必要不充分條件,所以B?A,A推不出B,因為A是C的充分不必要條件,所以A?C,C推不出A,因為D是B的充要條件,所以D?B,B?D,所以由D?B,B?A,A?C可得D?C,由C推不出A,A推不出B,B?D可得C推不出D.故D是C的充分不必要條件.故選:B.【題型7全稱量詞與存在量詞命題】【例7】(2023·全國·模擬預(yù)測)已知命題p:?x∈R,sinx+3cosx≤1A.?x∈R,sinx+3C.?x∈R,sinx+3【解題思路】利用含有一個量詞的命題的否定的定義求解.【解答過程】解:因為命題p:?x∈R,sin所以?p為?x∈R,sin故選:B.【變式7-1】(2023·河北·模擬預(yù)測)命題p:?x>1,x+2x?3>0,命題q:?x∈R,2x2A.p真q真 B.p假q假 C.p假q真 D.p真q假【解題思路】對于命題p:根據(jù)特稱命題結(jié)合二次函數(shù)分析判斷;對于命題q:根據(jù)存在命題結(jié)合二次函數(shù)的Δ判別式分析判斷.【解答過程】對于命題p:令t=x>1,則y=t+2t且y|x=1=0所以?x>1,x+2x?3>0,即命題p對于命題q:因為Δ=所以方程2x2?4x+3=0故選:D.【變式7-2】(2022上·廣西柳州·高二校考學(xué)業(yè)考試)已知命題P的否定為“?x∈R,xA.命題P為“?x∈R,xB.命題P為“?x?R,xC.命題P為“?x∈R,xD.命題P為“?x∈R,x【解題思路】根據(jù)特稱命題的否定為全稱命題排除AD,再舉出反例即可得到答案.【解答過程】∵命題P的否定為特稱命題,∴P:?x∈R,x2因為當(dāng)x=0時,x2∴P為假命題,排除B.故選:C.【變式7-3】(2022上·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí))已知命題p:?x∈R,x2+1≥a,若?p為真命題,則a的取值范圍是(A.?∞,1 B.?∞,1 C.【解題思路】根據(jù)全稱命題的否定得到?p,然后將存在問題轉(zhuǎn)化為最值問題,求出x2【解答過程】?p:?x∈R,x因為?p為真命題,所以x2+1min故選:C.1.(2023·北京·統(tǒng)考高考真題)已知集合M={x∣x+2≥0},N={x∣x?1<0},則A.{x∣?2≤x<1} C.{x∣x≥?2} 【解題思路】先化簡集合M,N,然后根據(jù)交集的定義計算.【解答過程】由題意,M={x∣x+2≥0}={x|x≥?2},根據(jù)交集的運算可知,M∩N={x|?2≤x<1}.故選:A.2.(2023·全國·統(tǒng)考高考真題)設(shè)全集U=0,1,2,4,6,8,集合M=0,4,6,N=0,1,6,則A.0,2,4,6,8 B.0,1,4,6,8 C.1,2,4,6,8 D.U【解題思路】由題意可得?UN的值,然后計算【解答過程】由題意可得?UN=2,4,8故選:A.3.(2022·浙江·統(tǒng)考高考真題)設(shè)集合A={1,2},B={2,4,6},則A∪B=(

)A.{2} B.{1,2} C.{2,4,6} D.{1,2,4,6}【解題思路】利用并集的定義可得正確的選項.【解答過程】A∪B=1,2,4,6故選:D.4.(2023·全國·統(tǒng)考高考真題)設(shè)集合U=R,集合M=xx<1,N=x?1<x<2,則A.?UM∪N C.?UM∩N 【解題思路】由題意逐一考查所給的選項運算結(jié)果是否為x|x≥2即可.【解答過程】由題意可得M∪N=x|x<2,則??UM=x|x≥1M∩N=x|?1<x<1,則?UM∩N?UN=x|x≤?1或x≥2,則M∪?U故選:A.5.(2023·天津·統(tǒng)考高考真

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