平面(第1課時(shí)) 高一下學(xué)期數(shù)學(xué)人教A版(2019)必修第二冊(cè)

8.4空間點(diǎn)、直線、平面之間的關(guān)系8.4.1

平面

第1課時(shí)

引入

前面我們學(xué)習(xí)了基本幾何體，知道了它們的結(jié)構(gòu)特征、平面表示、表面積和體積的計(jì)算.在學(xué)習(xí)棱柱、棱錐、棱臺(tái)等多面體的過(guò)程中，我們知道了頂點(diǎn)(點(diǎn))、棱(直線的一段)、平面多邊形(平面的一部分)是構(gòu)成這些多面體的基本元素，而且以直觀的方式感知這些基本元素之間的相互關(guān)系，從而得到了這些多面體的結(jié)構(gòu)特征.

為了進(jìn)一步認(rèn)識(shí)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，我們還需要繼續(xù)對(duì)點(diǎn)、直線、平面之間的位置進(jìn)行更加深入和細(xì)致的研究，接下來(lái)我們就先研究平面和它的基本性質(zhì)，在此基礎(chǔ)上，再對(duì)點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系進(jìn)行研究．知識(shí)探究(一)

思考1：對(duì)于點(diǎn)和直線，我們?cè)诔踔械钠矫鎺缀沃幸延兴私?，那么什么是點(diǎn)呢？什么又是直線呢？它們有什么特征呢？

夜空中閃閃的星星給我們以“點(diǎn)”的印象.

點(diǎn)有位置但沒(méi)有大小.

緊繃的細(xì)線給我們以“直線”的形象.

直線可以看成是一條直線段向兩個(gè)方向無(wú)限延伸得到的，直線沒(méi)有粗細(xì).

思考2：類(lèi)似地，在生活中又有哪些物體給你以平面的感覺(jué)？

黑板面，課桌面

地板面

平靜的水面平面的概念無(wú)比平整、

無(wú)限延展、

無(wú)厚度（

三無(wú)

）

思考3：類(lèi)似于直線的“直”,“向兩端無(wú)限延伸”,“無(wú)粗細(xì)”，你能說(shuō)說(shuō)平面的特征嗎？平整,向四周無(wú)限延展，無(wú)厚度

幾何里所說(shuō)的“平面”是從類(lèi)似于桌面、黑板面、平靜的水面等物體中抽象出來(lái)的面.

它與點(diǎn)、直線的概念類(lèi)似，是一個(gè)不加定義的原始概念.平面的特征絕對(duì)的平，無(wú)凹凸，無(wú)彎曲向四周無(wú)限延展，無(wú)邊界，無(wú)面積無(wú)體積，無(wú)質(zhì)量

思考4：想一想，我們是怎樣用圖形和符號(hào)表示點(diǎn)和直線的?類(lèi)似地，如何用圖形和符號(hào)表示平面?點(diǎn)：直線：

類(lèi)比于用直線的局部(線段)表示直線，我們可選取平面的一部分來(lái)表示平面，這一部分通常采用矩形的直觀圖，即平行四邊形.平面的表示(1)圖形表示:平面水平放置時(shí)，常把平行四邊形的一邊畫(huà)成橫向；平面豎直放置時(shí)，常把平行四邊形的一邊畫(huà)成豎向．(1)圖形表示:(2)符號(hào)表示:

①希臘字母α，β，γ

等，將它寫(xiě)在代表平面的平行四邊形的一個(gè)角內(nèi).②平行四邊形的四個(gè)頂點(diǎn)大寫(xiě)英文字母

或兩個(gè)相對(duì)頂點(diǎn)的大寫(xiě)英文字母.常用矩形的直觀圖，即平行四邊形.平面的表示

這里的“常用”是什么意思？注：事實(shí)上，平面有時(shí)也用其它平面圖形表示.

思考5：一個(gè)用平行四邊形表示的平面，它的大小和平行四邊形一樣嗎？

當(dāng)兩個(gè)平面相交時(shí)，你認(rèn)為下列哪個(gè)圖形的立體感強(qiáng)？

你能據(jù)此指出作立體圖形的要點(diǎn)嗎？

(1)一個(gè)平面是無(wú)限大的，可以根據(jù)需要將它進(jìn)行延展；(2)兩平面相交時(shí)，凡被遮部分的線畫(huà)成虛線或不畫(huà)；(3)在立體幾何中作圖(無(wú)論是否是輔助線），凡被遮部分的線畫(huà)畫(huà)成虛線，未被遮部分的線畫(huà)成實(shí)線。1.判斷下列各題的說(shuō)法正確與否(1)一個(gè)平面長(zhǎng)4米，寬2米；

()(2)平面上一條直線可以把這個(gè)平面分成兩部分；()(3)10個(gè)平面疊在一起要比一個(gè)平面厚；

()(4)菱形的面積可以等于4cm2；

()(5)一個(gè)平面可以把空間分成兩部分.

()√××√√2.下列說(shuō)法正確的有()A.平面是處處平的面B.平面是無(wú)限延展的C.平面的形狀是平行四邊形D.平面的厚度可以是0.001cm.練習(xí)3.（1）一個(gè)平面將空間分成幾部分？

（2）兩個(gè)平面將空間分成幾部分？

（3）三個(gè)平面將空間分成幾部分？(1)兩部分(2)三部分或四部分(3)四部分,六部分，七部分或八部分知識(shí)探究(二)

思考1：

在幾何學(xué)中，點(diǎn)是最基本的元素，直線和平面都可以看成點(diǎn)的集合。因此，點(diǎn)與直線、點(diǎn)與平面就成了元素與集合的關(guān)系，直線與直線、直線與平面、平面與平面就成了集合與集合的關(guān)系，你能用文字語(yǔ)言，圖形語(yǔ)言，符號(hào)語(yǔ)言描述這些關(guān)系嗎？點(diǎn)、線、面間關(guān)系的表示圖形語(yǔ)言文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言①

②③④圖形語(yǔ)言文字語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言⑤

⑥⑦⑧

1.如圖，用符號(hào)表示下列圖形中點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系.解：(1)練習(xí)2.將下列符號(hào)語(yǔ)言轉(zhuǎn)化為圖形語(yǔ)言：解：(1)(2)知識(shí)探究(三)

思考3：我們知道，兩點(diǎn)可以確定一條直線，那么幾點(diǎn)可以確定一個(gè)平面?

在生活中，我們常?？梢钥吹竭@樣的現(xiàn)象：由這些事實(shí)和類(lèi)似經(jīng)驗(yàn)，可以得到下面的基本事實(shí)：過(guò)不在一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面.(1)文字語(yǔ)言：(2)圖形語(yǔ)言：(3)符號(hào)語(yǔ)言：基本事實(shí)1存在性唯一性（也可以說(shuō)成“不共線三點(diǎn)可以確定一個(gè)平面”）1.內(nèi)容：2.作用：①確定平面；②判定兩平面是否重合.

自行車(chē)用一個(gè)腳架和兩個(gè)車(chē)輪著地就可以"站穩(wěn)"；

三腳架的三腳著地就可以支撐照相機(jī).

思考3：基本事實(shí)1研究了點(diǎn)與平面的位置關(guān)系，我們接下來(lái)研究直線與平面的位置關(guān)系.

想一想：如果直線l與平面α有一個(gè)公共點(diǎn)P，直線l是否在平面α內(nèi)？如果直線l與平面α有兩個(gè)公共點(diǎn)呢?

如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，

那么這條直線在這個(gè)平面內(nèi)．(1)文字語(yǔ)言：

(2)圖形語(yǔ)言：(3)符號(hào)語(yǔ)言：基本事實(shí)21.內(nèi)容：2.作用：①判斷直線是否在平面內(nèi)；②判斷點(diǎn)是否在平面內(nèi)

實(shí)際生活中，我們有這樣的經(jīng)驗(yàn)：把一根直尺邊緣上的任意兩點(diǎn)放到桌面上，可以看到，直尺的整個(gè)邊緣就落在了桌面上．由類(lèi)似經(jīng)驗(yàn)，可以得到下面的基本事實(shí)：

思考4：基本事實(shí)2反映了直線與平面的位置關(guān)系.我們知道，平面具有“平”和“無(wú)限延展”的特征.你能不能利用基本事實(shí)2，用直線的“直”刻畫(huà)平面的“平”，用直線的“無(wú)限延伸”刻畫(huà)平面的“無(wú)限延展”？

由基本事實(shí)1知，不共線的三點(diǎn)A、B、C可以確定一個(gè)平面ABC.

連結(jié)AB，BC，AC，由基本事實(shí)2知，直線AB，BC，AC也在平面ABC內(nèi).

進(jìn)一步連結(jié)三條直線上的任意兩點(diǎn)所得的每一條直線顯然也在這個(gè)平面內(nèi).

所有這些直線形成一個(gè)直線網(wǎng)，并鋪滿整個(gè)平面，由于直線是直的和并向各個(gè)方向無(wú)限延伸，所以平