第2章章末小結(jié) - 副本

第2章章末小結(jié)【知識(shí)導(dǎo)圖】【題型探究】題型1空間向量的線性運(yùn)算例1如圖,三棱柱ABC-A1B1C1中,底面邊長(zhǎng)和側(cè)棱長(zhǎng)都等于1,∠BAA1=∠CAA1=60°.(1)設(shè)AA1=a,AB=b,AC=c,用向量a,b,c表示BC1,并求出(2)求異面直線AB1與BC1所成角的余弦值.小結(jié)在幾何體中,根據(jù)圖形的特點(diǎn),選擇公共起點(diǎn)最集中的向量中的三個(gè)不共面的向量作為一組基,或選擇有公共起點(diǎn)且關(guān)系最明確的三個(gè)不共面的向量作為一組基,這樣更利于解題.題型2空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算例2(2021年新高考全國(guó)Ⅰ卷)(多選題)在正三棱柱ABC-A1B1C1中,AB=AA1=1,點(diǎn)P滿(mǎn)足BP=λBC+μBB1,其中λ∈[0,1],μ∈[0,1],則()A.當(dāng)λ=1時(shí),△AB1P的周長(zhǎng)為定值B.當(dāng)μ=1時(shí),三棱錐P-A1BC的體積為定值C.當(dāng)λ=12時(shí),有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得A1P⊥D.當(dāng)μ=12時(shí),有且僅有一個(gè)點(diǎn)P,使得A1B⊥平面AB1小結(jié)熟記空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算公式是解題的關(guān)鍵.在利用坐標(biāo)運(yùn)算公式時(shí),注意先對(duì)向量式子進(jìn)行化簡(jiǎn)再運(yùn)算.綜合考查了學(xué)生的直觀想象、邏輯推理以及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).題型3利用空間向量解決平行、垂直問(wèn)題例3(2022年全國(guó)乙卷)在正方體ABCD-A1B1C1D1中,E,F分別為AB,BC的中點(diǎn),則().A.平面B1EF⊥平面BDD1B.平面B1EF⊥平面A1BDC.平面B1EF∥平面A1ACD.平面B1EF∥平面A1C1D小結(jié)用向量法證明立體幾何中的平行或垂直問(wèn)題,主要應(yīng)用直線的方向向量和平面的法向量,同時(shí)也要借助空間中已有的一些關(guān)于平行或垂直的定理.解題過(guò)程滲透了邏輯推理、直觀想象以及數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).題型4利用空間向量求距離例4如圖所示,在底面為直角梯形的四棱錐S-ABCD中,∠ABC=90°,SA⊥平面ABCD,E,F分別為SA,SC的中點(diǎn).AB=BC=2,AD=1,SB與底面ABCD成60°角.(1)求異面直線EF與CD所成角的余弦值;(2)求點(diǎn)D到平面SBC的距離.方法指導(dǎo)(1)先確定SB與底面ABCD所成的角,計(jì)算SA,再建立空間直角坐標(biāo)系,利用向量數(shù)量積求異面直線EF與CD所成角的余弦值;(2)先求平面SBC的一個(gè)法向量,再利用向量投影求點(diǎn)D到平面SBC的距離.小結(jié)(1)求點(diǎn)到平面的距離,常常利用向量法,轉(zhuǎn)化為平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)構(gòu)成的向量在平面的法向量上的投影向量的長(zhǎng)度.(2)求直線到平面的距離,往往轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離求解,且這個(gè)點(diǎn)要適當(dāng)選取,以易于求解為準(zhǔn)則.題型5利用空間向量求線面角例5(2022年全國(guó)甲卷)在四棱錐P-ABCD中,PD⊥底面ABCD,CD∥AB,AD=DC=CB=1,AB=2,DP=3.(1)證明:BD⊥PA.(2)求PD與平面PAB所成的角的正弦值.小結(jié)利用空間向量求線面角的解題模型題型6利用空間向量求平面與平面所成的角例6(2023年新高考全國(guó)Ⅱ卷)如圖,在三棱錐A-BCD中,DA=DB=DC,BD⊥CD,∠ADB=∠ADC=60°,E為BC的中點(diǎn).(1)證明:BC⊥DA.(2)若點(diǎn)F滿(mǎn)足EF=DA,求二面角D-AB-F的正弦值.小結(jié)利用空間向量求平面與平面所成角的解題模型題型7利用空間向量解決探究性問(wèn)題例7(2021年全國(guó)甲卷)已知直三棱柱ABC-A1B1C1中,側(cè)面AA1B1B為正方形,AB=BC=2,E,F分別為AC,CC1的中點(diǎn),D為棱A1B1上的點(diǎn),BF⊥A1B1.(1)證明:BF⊥DE.(2)當(dāng)B1D為何值時(shí),平面BB1C1C與平面DFE所成的二面角的正弦值最小?小結(jié)解決存在性問(wèn)題的基本策略通常假設(shè)題中的數(shù)學(xué)對(duì)象存在(或結(jié)論成立),然后在這個(gè)前提下進(jìn)行邏輯推理,若能推導(dǎo)出與條件吻合的數(shù)據(jù)或事實(shí),說(shuō)明假設(shè)成立,即存在,并可進(jìn)一步證明;若推導(dǎo)出與條件或?qū)嶋H情況相矛盾的結(jié)論,則說(shuō)明假設(shè)不成立,即不存在.本題第二問(wèn)中通過(guò)余弦值的絕對(duì)值最大,找到正弦值最小是關(guān)鍵一步.【拓展延伸】空間向量的發(fā)展及應(yīng)用向量是高中數(shù)學(xué)新課程中的重要內(nèi)容,早在19世紀(jì)就已成為數(shù)學(xué)家和物理學(xué)家研究的對(duì)象.20世紀(jì)初被引入中學(xué)數(shù)學(xué).我國(guó)在1996年高中數(shù)學(xué)大綱中引入了向量.大約公元350年前,古希臘著名學(xué)者亞里士多德(Aristotle,公元前384~公元前322)就知道了力可以表示成向量,他在《力學(xué)》一書(shū)中記載了“速度”的平行四邊形法則,3個(gè)世紀(jì)以后又被海倫證明.“向量”一詞來(lái)自力學(xué)、解析幾何中的有向線段.最先使用有向線段表示向量的是英國(guó)大科學(xué)家牛頓.從數(shù)學(xué)發(fā)展史來(lái)看,歷史上很長(zhǎng)一段時(shí)間,空間向量的結(jié)構(gòu)并未被數(shù)學(xué)家們所認(rèn)識(shí),直到19世紀(jì)末20世紀(jì)初,人們才把空間向量的性質(zhì)與向量的運(yùn)算聯(lián)系起來(lái),使向量具有一套優(yōu)良運(yùn)算通性的數(shù)學(xué)體系.向量在物理中應(yīng)用廣泛,通過(guò)本章的學(xué)習(xí)我們已經(jīng)有所了解.例如,在日常生活中,你是否有這樣的經(jīng)驗(yàn):兩個(gè)人共提一個(gè)旅行包,夾角越大越費(fèi)力;在單杠上做引體向上運(yùn)動(dòng),兩臂夾角越小越省力.不僅向量知識(shí)是解決物理問(wèn)題的有力工具,而且用數(shù)學(xué)的方法審視相關(guān)物理現(xiàn)象,研究相關(guān)的物理問(wèn)題可使我們對(duì)物理問(wèn)題認(rèn)識(shí)更深刻.1.空間向量在生活中的應(yīng)用也非常廣泛,如:給定空間一個(gè)單位基底,任意一個(gè)空間向量,都可用三元有序?qū)崝?shù)組(a1,a2,a3)表示,則由三元有序?qū)崝?shù)組(a1,a2,a3)表示的空間向量又稱(chēng)為三維向量,一般地,n元有序?qū)崝?shù)組(a1,a2,…,an)稱(chēng)為n維向量.n維向量的全體構(gòu)成的集合,賦予相應(yīng)的結(jié)構(gòu)后,叫作n維向量空間.定義n維向量空間中A(a1,a2,…,an),B(b1,b2,…,bn)兩點(diǎn)間的“距離”dAB=(b例1某校服公司根據(jù)以往制作校服的經(jīng)驗(yàn),得出適用于本地區(qū)高一男生的四種校服標(biāo)準(zhǔn)型號(hào)及相應(yīng)的測(cè)量指標(biāo)參數(shù)值,如表所示:型號(hào)身高/cm胸圍/cm腰圍/cm肩寬/cmL170927842XL175968244XXL1801008646XXXL1851049048為了給某中學(xué)高一的男生制作校服,該校統(tǒng)計(jì)了每名男生的身高、胸圍、腰圍、肩寬,我們把測(cè)量得到的數(shù)據(jù)按照身高a1,胸圍a2,腰圍a3,肩寬a4的順序排列,則每名學(xué)生的身材可以用四維向量(a1,a2,a3,a4)表示,并且可以把它看作四維向量空間中的一個(gè)點(diǎn).依據(jù)“距離”來(lái)選擇衣服型號(hào)是一種常用的方法,即計(jì)算每個(gè)向量與標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)的距離,與哪個(gè)標(biāo)準(zhǔn)點(diǎn)的距離最近,就選擇哪種型號(hào).若某同學(xué)的身材點(diǎn)為P(172,95,80,43),試問(wèn)該同學(xué)應(yīng)該訂的校服的最佳型號(hào)是哪種?2.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)平面上到兩定點(diǎn)A,B距離之比為常數(shù)λ(λ>0且λ≠1)的點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓心在直線AB上的圓,該圓簡(jiǎn)稱(chēng)為阿氏圓.根據(jù)以上信息,解決下面的問(wèn)題:例2如圖,在長(zhǎng)方