一元二次方程專題能力培優(yōu)(含答案)

第頁第2章一元二次方程2.1一元二次方程專題一利用一元二次方程的定義確定字母的取值1.已知是關(guān)于x的一元二次方程，則m的取值范圍是（）A.m≠3B.m≥3C.m≥-2D.m≥-2且m≠32.已知關(guān)于x的方程，問：（1）m取何值時，它是一元二次方程并寫出這個方程；（2）m取何值時，它是一元一次方程？專題二利用一元二次方程的項的概念求字母的取值3.關(guān)于x的一元二次方程（m-1）x2+5x+m2-1=0的常數(shù)項為0，求m的值．4.若一元二次方程沒有一次項，則a的值為.專題三利用一元二次方程的解的概念求字母,代數(shù)式5.已知關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的一個根是-a（a≠0），則a-b值為（）A.－1B.0C.1D.26.若一元二次方程ax2+bx+c=0中，a－b+c=0，則此方程必有一個根為.7.已知實數(shù)a是一元二次方程x2－2013x+1=0的解，求代數(shù)式的值.知識要點：1.只含有一個未知數(shù)（一元），并且未知數(shù)的最高次數(shù)是2（二次），等號兩邊都是整式的方程，叫做一元二次方程.2.一元二次方程的一般形式是ax2+bx+c=0（a≠0），其中ax2是二次項，a是二次項系數(shù)；bx是一次項，b是一次項系數(shù)；c是常數(shù)項.3.使一元二次方程的兩邊相等的未知數(shù)的值，叫做一元二次方程的解，又叫一元二次方程的根.溫馨提示：1.一元二次方程概念中肯定要留意二次項系數(shù)不為0的條件.2.一元二次方程的根是兩個而不再是一個.方法技巧：1.axk+bx+c=0是一元一次方程的狀況有兩種，須要分類探討.2.利用一元二次方程的解求字母或者代數(shù)式的值時經(jīng)常用到整體思想，須要同學們細致領(lǐng)悟.答案：1.D解析：，解得m≥-2且m≠32.解：（1）當時，它是一元二次方程.解得：m=1．當m=1時，原方程可化為2x2-x-1=0；（2）當或者當m+1+（m-2）≠0且m2+1=1時，它是一元一次方程.解得：m=-1，m=0.故當m=-1或0時，為一元一次方程．3.解：由題意，得：解得：m=－1．4.a=-2解析：由題意得解得a=－2.5.A解析：∵關(guān)于x的方程x2+bx+a=0的一個根是-a（a≠0），∴a2－ab+a=0.∴a（a－b+1）=0.∵a≠0，∴1-b+a=0.∴a-b=-1．6.x=－1解析：比較兩個式子會發(fā)覺：（1）等號右邊相同；（2）等號左邊最終一項相同；（3）第一個式子x2對應了第二個式子中的1，第一個式子中的x對應了第二個式子中的-1.故.解得x=－1.7.解：∵實數(shù)a是一元二次方程x2－2013x+1=0的解，∴a2－2013a+1=0.∴a2+1=2013a，a2－2013a=－1.2.2一元二次方程的解法專題一利用配方法求字母的取值或者求代數(shù)式的極值1.若方程25x2-（k-1）x+1=0的左邊可以寫成一個完全平方式；則k的值為（）A．-9或11B．-7或8C．-8或9C．-8或92.假如代數(shù)式x2+6x+m2是一個完全平方式，則m=.3.用配方法證明：無論x為何實數(shù)，代數(shù)式－2x2+4x－5的值恒小于零．專題二利用△判定一元二次方程根的狀況或者判定字母的取值范圍4.已知a，b，c分別是三角形的三邊，則方程（a+b）x2+2cx+（a+b）=0的根的狀況是（） A.沒有實數(shù)根 B.可能有且只有一個實數(shù)根 C.有兩個相等的實數(shù)根 D.有兩個不相等的實數(shù)根5.關(guān)于x的方程kx2+3x+2=0有實數(shù)根，則k的取值范圍是（）6.定義：假如一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）滿意a＋b＋c＝0，那么我們稱這個方程為“鳳凰”方程．已知ax2＋bx＋c＝0（a≠0）是“鳳凰”方程，且有兩個相等的實數(shù)根，則下列結(jié)論正確的是（）A．a(chǎn)＝c B．a(chǎn)＝b C．b＝c D．a(chǎn)＝b＝c專題三解肯定值方程和高次方程7.若方程（x2+y2-5）2=64，則x2+y2=.8.閱讀題例，解答下題：例：解方程x2－|x－1|－1=0.解：（1）當x－1≥0，即x≥1時，x2－（x－1）－1=0，∴x2－x=0.解得：x1=0（不合題設，舍去），x2=1.（2）當x－1＜0，即x＜1時，x2+（x－1）－1=0，∴x2+x－2=0.解得x1=1（不合題設，舍去），x2=－2.綜上所述，原方程的解是x=1或x=－2.依照上例解法，解方程x2+2|x+2|－4=0．專題四一元二次方程,二次三項式因式分解,不等式組之間的微妙聯(lián)系9.探究下表中的奇妙，并完成填空：10.請先閱讀例題的解答過程，然后再解答：代數(shù)第三冊在解方程3x（x+2）=5（x+2）時，先將方程變形為3x（x+2）-5（x+2）=0，這個方程左邊可以分解成兩個一次因式的積，所以方程變形為（x+2）（3x-5）=0．我們知道，假如兩個因式的積等于0，那么這兩個因式中至少有一個等于0；反過來，假如兩個因式有一個等于0，它們的積等于0．因此，解方程（x+2）（3x-5）=0，就相當于解方程x+2=0或3x-5=0，得到原方程的解為x1=-2，x2=．依據(jù)上面解一元二次方程的過程，王力推想：a﹒b＞0，則有或者請推斷王力的推想是否正確？若正確，請你求出不等式的解集，假如不正確，請說明理由．專題五利用根及系數(shù)的關(guān)系求字母的取值范圍及求代數(shù)式的值11.設x1,x2是一元二次方程x2+4x－3=0的兩個根，2x1（x22+5x2﹣3）+a=2，則a=．12.（2012·懷化）已知x1,x2是一元二次方程的兩個實數(shù)根，⑴是否存在實數(shù)a，使－x1＋x1x2=4＋x2成立？若存在，求出a的值；若不存在，請你說明理由；⑵求使（x1＋1）（x2＋1）為負整數(shù)的實數(shù)a的整數(shù)值．13.(1)教材中我們學習了：若關(guān)于x的一元二次方程ax2+bx+c=0的兩根為x1,x2,x1+x2=－EQ\f(b,a),x1·x2=EQ\f(c,a).依據(jù)這一性質(zhì)，我們可以求出已知方程關(guān)于x1,x2的代數(shù)式的值．例如：已知x1,x2為方程x2-2x-1=0的兩根，則：（1）x1+x2=____，x1·x2=____，那么x12+x22=(x1+x2)2-2x1·x2=____．請你完成以上的填空．（2）閱讀材料：已知，且．求的值．解：由可知．∴．∴.又且，即．∴是方程的兩根．∴．∴=1．（3）依據(jù)閱讀材料所供應的的方法及（1）的方法完成下題的解答．已知，且．求的值．知識要點：1.解一元二次方程的基本思想——降次，解一元二次方程的常用方法：直接開平方法,配方法,公式法,因式分解法.2.一元二次方程的根的判別式△=b-4ac及一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根的關(guān)系：當△>0時，一元二次方程有兩個不相等的實數(shù)解；當△=0時，一元二次方程有兩個相等的實數(shù)解；△<0時，一元二次方程沒有實數(shù)解.3.一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根x1,x2及系數(shù)a,b,c之間存在著如下關(guān)系：x1+x2=﹣，x1?x2=.溫馨提示：1.x2+6x+m2是一個完全平方式，易誤以為m=3.2.若一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的兩根x1,x2有雙層含義：（1）ax12+bx1+c=0，ax22+bx2+c=0；（2）x1+x2=﹣，x1?x2=.方法技巧：1.求二次三項式ax2+bx+c極值的基本步驟：（1）將ax2+bx+c化為a（x+h）2+k；（2）當a>0，k>0時，a（x+h）2+k≥k；當a<0，k<0時，a（x+h）2+k≤k.2.若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根為x1．x2，則ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）．3.解肯定值方程的基本思路是將肯定值符號去掉，所以要探討肯定值符號內(nèi)的式子及0的大小關(guān)系.4.解高次方程的基本思想是將高次方程將次轉(zhuǎn)化為關(guān)于某個式子的一元二次方程求解.5.利用根及系數(shù)求解時，經(jīng)常用到整體思想.答案：1.A解析：依據(jù)題意知，-（k-1）=±2×5×1，∴k-1=±10，即k-1=10或k-1=-10，得k=11或k=-9．2.±3解析：據(jù)題意得，m2=9，∴m=±3．3.證明：－2x2+4x－5=－2（x2－2x）－5=－2（x2－2x+1）－5+2=－2（x－1）2－3.

∵（x－1）2≥0，∴－2（x－1）2≤0，∴－2（x－1）2－3＜0.

∴無論x為何實數(shù)，代數(shù)式－2x2+4x-5的值恒小于零．4.A解析：△=（2c）2﹣4（a+b）（a+b）=4（a+b+c）（c﹣a﹣b）.依據(jù)三角形三邊關(guān)系，得c﹣a﹣b＜0，a+b+c＞0．∴△＜0．∴該方程沒有實數(shù)根．5.A解析：當kx2+3x+1=0為一元一次方程方程時，必有實數(shù)根，此時k=0；當kx2+3x+1=0為一元二次方程且有實數(shù)根時，假如有實數(shù)根，則.解得且k≠0.綜上所述.6.A解析：∵一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）有兩個相等的實數(shù)根，∴△＝b2－4ac＝0，又a＋b＋c＝0，即b＝－a－c，代入b2－4ac＝0得（－a－c）2－4ac＝0，化簡得（a－c）2＝0，所以a＝c．7.13解析：由題意得x2+y2-5=±8.解得x2+y2=13或者x2+y2=－3（舍去）.8.解：①當x+2≥0，即x≥－2時，x2+2（x+2）－4=0，∴x2+2x=0.解得x1=0，x2=－2；②當x+2＜0，即x＜-2時，x2－2（x+2）－4=0，∴x2－2x－8=0.解得x1=4（不合題設，舍去），x2=－2（不合題設，舍去）．綜上所述，原方程的解是x=0或x=－2．9.，﹣3；，3．發(fā)覺的一般結(jié)論為：若一元二次方程ax2+bx+c=0的兩個根為x1．x2，則ax2+bx+c=a（x﹣x1）（x﹣x2）．11.8解析：∵x1x2＝－3，x22+4x2－3=0，∴2x1(x22+5x2－3)+a=2轉(zhuǎn)化為2x1(x22+4x2－3+x2)+a=2.∴2x1x2+a=2.∴2×(－3)+a＝2.解得a＝8.12.解：（1）依據(jù)題意，得△=（2a）2－4×a（a－6）=24a≥0．∴a≥0．又∵a－6≠0，∴a≠6．由根及系數(shù)關(guān)系得：x1＋x2=－，x1x2=.由－x1＋x1x2=4＋x2得x1＋x2＋4=x1x2.∴－＋4=，解得a=24．經(jīng)檢驗a=24是方程－＋4=的解．（2）原式=x1＋x2＋x1x2＋1=－＋＋1=為負整數(shù)，∴6－a為－1或－2，－3，－6.解得a=7或8，9，12．13.解：（1）2，－1，6．（3）由n2+3n-2=0可知n≠0,∴1+EQ\f(3,n)－EQ\f(2,n2)=0.∴EQ\f(2,n2)－EQ\f(3,n)－1=0.又2m2-3m-1=0,且mn≠1，即m≠EQ\f(1,n)．∴m,EQ\f(1,n)是方程2x2-3x-1=0的兩根．∴m+EQ\f(1,n)=EQ\f(3,2),m·EQ\f(1,n)=－EQ\f(1,2),∴m2+EQ\f(1,n2)=(m+EQ\f(1,n))2-2m·EQ\f(1,n)=(EQ\f(3,2))2-2·(－EQ\f(1,2))=EQ\f(13,4).2.3一元二次方程的應用專題一,利用一元二次方程解決面積問題1.在高度為2.8m的一面墻上，打算開鑿一個矩形窗戶．現(xiàn)用9.5m長的鋁合金條制成如圖所示的窗框．問：窗戶的寬和高各是多少時，其透光面積為3m2（鋁合金條的寬度忽視不計）．2.如圖：要設計一幅寬20cm，長30cm的矩形圖案，其中有兩橫兩豎的彩條，橫,豎彩條的寬度比為2：3，假如要使全部彩條所占面積為原矩形圖案面積的三分之一，應如何設計每個彩條的寬度？

3.數(shù)學的學習貴在舉一反三，觸類旁通.細致視察圖形，細致思索，解決下面的問題：（1）在長為m，寬為m的一塊草坪上修了一條1m寬的筆直小路（如圖（1）），則余下草坪的面積可表示為；（2）現(xiàn)為了增加美感，設計師把這條小路改為寬恒為1m的彎曲小路（如圖（2）），則此時余下草坪的面積為；（3）聰慧的魯魯結(jié)合上面的問題編寫了一道應用題，你能解決嗎？信任自己哦！（如圖（3）），在長為50m，寬為30m的一塊草坪上修了一條寬為xm的筆直小路和一條長恒為xm的彎曲小路（如圖3），此時余下草坪的面積為1421．求小路的寬x.專題二,利用一元二次方程解決變化率問題4.據(jù)報道，我省農(nóng)作物秸桿的資源巨大，但合理利用量特別有限，2012年的利用率只有30%，大部分秸桿被直接焚燒了，假定我省每年產(chǎn)出的農(nóng)作物秸桿總量不變，且合理利用量的增長率相同，要使2014年的利用率提高到60%，求每年的增長率．（取≈1.41）5.某種電腦病毒傳播特別快，假如一臺電腦被感染，經(jīng)過兩輪感染后就會有81臺電腦被感染．請你用學過的知識分析，每輪感染中平均一臺電腦會感染幾臺電腦？若病毒得不到有效限制，3輪感染后，被感染的電腦會不會超過700臺？6.（2012·廣元）某中心城市有一樓盤，開發(fā)商打算以每平方米7000元的價格出售，由于國家出臺了有關(guān)調(diào)控房地產(chǎn)的政策，開發(fā)商經(jīng)過兩次下調(diào)銷售價后，確定以每平方米5670元的價格銷售．（1）求平均每次下調(diào)的百分率；（2）房產(chǎn)銷售經(jīng)理向開放商建議：先公布下調(diào)5%，再下調(diào)15%，這樣更有吸引力．請問房產(chǎn)銷售經(jīng)理的方案對購房者是否更優(yōu)惠？為什么？專題三,利用一元二次方程解決市場經(jīng)濟問題7.（2012·濟寧）一學校為了綠化校園環(huán)境，向某園林公司購買了一批樹苗，園林公司規(guī)定：假如購買樹苗不超過60棵，每棵售價為120元；假如購買樹苗超過60棵，每增加1棵，所出售的這批樹苗每棵售價均降低0.5元，但每棵樹苗最低售價不得少于100元．該校最終向園林公司支付樹苗款8800元．請問該校共購買了多少棵樹苗？8.（2012·南京）某汽車銷售公司6月份銷售某廠家的汽車，在肯定范圍內(nèi)，每部汽車的售價及銷售量有如下關(guān)系：若當月僅售出1部汽車，則該部汽車的進價為27萬元,每多售出1部，全部售出的汽車的進價均降低0.1萬元/部；月底廠家依據(jù)銷售量一次性返利給銷售公司，銷售10部以內(nèi)（含10部），每部返利0.5萬元；銷售量在10部以上，每部返利1萬元.(1)若該公司當月售出3部汽車，則每部汽車的進價為萬元.(2)假如汽車的售價為28萬元/部，該公司安排當月盈利12萬元，那么須要售出多少部汽車？（盈利=銷售利潤+返利）專題四,利用一元二次方程解決生活中的其他問題9.(1)經(jīng)過凸邊形(＞3)其中一個頂點的對角線有條.(2)一個凸多邊形共有14條對角線,它是幾邊形？(3)是否存在有21條對角線的凸多邊形？假如存在,它是幾邊形？假如不存在,說明得出結(jié)論的道理.10.如圖每個正方形是由邊長為1的小正方形組成．

（1）視察圖形，請?zhí)罴跋铝斜砀瘢赫叫芜呴L1357…n（奇數(shù)）紅色小正方形個數(shù)…正方形邊長2468…n（偶數(shù)）紅色小正方形個數(shù)…（2）在邊長為n（n≥1）的正方形中，設紅色小正方形的個數(shù)為P1，白色小正方形的個數(shù)為P2，問是否存在偶數(shù)n，使P2=5P1？若存在，請寫出n的值；若不存在，請說明理由．知識要點：列方程解決實際問題的常見類型：面積問題，增長率問題,經(jīng)濟問題,疾病傳播問題,生活中的其他問題.溫馨提示：1.若設每次的平均增長(或降低)率為x，增長(或降低)前的數(shù)量為a，則第一次增長(或降低)后的數(shù)量為a(1±x)，第二次增長(或降低)后的數(shù)量為a(1±x)2．2.面積(體積)問題屬于幾何圖形的應用題，解決問題的關(guān)鍵是將不規(guī)則圖形分割或組合,平移成規(guī)則圖形，找出未知量及已知量的內(nèi)在聯(lián)系，依據(jù)面積(體積)公式列出一元二次方程．3.列方程解決實際問題時，方程的解必需使實際問題有意義，因此要留意檢驗結(jié)果的合理性.方法技巧：變化率問題中常用a（1±x）n=b，其中a是起始量，b是終止量，n是變出次數(shù)，x是變化率.變化率問題用直接開平方法求解簡單.2.解決面積問題經(jīng)常用到平移的方法，利用平移前后圖形面積不變建立等量關(guān)系.答案：1.解：設高為x米，則寬為米.由題意，得.解得(舍去,高度為2.8m的一面墻上).當x=1.5時，寬.答：高為1.5米,寬為2米.2.解：設橫,豎彩條的寬度分別為2xcm,3xcm，由題意，得（20－6x）（30－4x）=（1－QUOTE）×20×30.整理，得6x2－65x＋50＝0.解，得x1＝QUOTE，x2＝10（不合題意，舍去）.∴2x＝QUOTE，3x＝QUOTE.答：每個橫,豎彩條的寬度分別為QUOTEcm，QUOTEcm．3.解：(1)（或）；(2)（或）；(3)將筆直的小路平移到草坪的左邊，則余下部分的長為(50-x)m,將彎曲的小路的兩側(cè)重合，則余下部分的寬為（30-x）m,由題意得：(50-x)（30-x）=1421.解得x1=1，x2=79（舍去）.答：小路的寬為1m.4.解：設我省每年產(chǎn)出的農(nóng)作物秸桿總量為a，合理利用量的增長率是x，由題意，得30%a（1+x）2=60%a.∴x1≈0.41，x2≈-2.41（不合題意舍去）．∴x≈0.41．答：每年的增長率約為41%．5.解：設每輪