中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)解析-等腰、等邊三角形

中考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)專題解析一等腰、等邊三角形

復(fù)習(xí)目標(biāo)

1.了解等腰三角形、等邊三角形的概念，會識別這二種圖形；

2.理解等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)和判定；

3.能用等腰三角形、等邊三角形的性質(zhì)和判定解決簡單問題；

4.了解直角三角形的概念，并理解直角三角形的性質(zhì)和判定；

考點(diǎn)梳理

一、等腰、等邊三角形

L等腰三角形：有兩條邊相等的三角形叫做等腰三角形.

2.性質(zhì)：

(1)具有三角形的一切性質(zhì).

(2)兩底角相等(等邊對等角)

(3)頂角的平分線，底邊中線，底邊上的高互相重合(三線合一)

(4)等邊三角形的各角都相等，且都等于60。.

3.判定：

(1)如果一個三角形有兩個角相等，那么這兩個角所對的邊也相等(等角對等邊);

(2)三個角都相等的三角形是等邊三角形；

(3)有一個角為60。的等腰三角形是等邊三角形.

特別提醒：(1)腰、底、頂角、底角是等腰三角形特有的概念；

(2)等邊三角形是特殊的等腰三角形.

例1.如圖，等腰三角形一腰上的高與底邊所成的角等于()

A.頂角的2倍B.頂角的一半C.頂角D.底角的一半

A

【答案】B.

【解析】如圖，△ABC中，AB=AC,BD，AC于D,所以NABC=NC,ZBDC=90°,

所以NDBC=9(T-NC=

9O°-1(18O-ZA)=-ZA,

22

例2.如圖，在△ABC中，AB=AC,D、E是△ABC內(nèi)兩點(diǎn)，AD平分NBAC,

NEBC=NE=60°,若BE=30cm,DE=2cm,則BC=cm.

【答案】32;

【解析】

解：延長ED交BC于M,延長AD交BC于N,作DF〃:BC,

VAB=AC,AD平分NBAC,

.\AN±BC,BN=CN,

：ZEBC=ZE=60°,

.'.△BEM為等邊三角形，

ZXEFD為等邊三角形，

VBE=30,DE=2,

，DM=28,

:△BEM為等邊三角形,

二ZEMB=60°,

VAN±BC,

ZDNM=90°,

二ZNDM=30°,

.?.NM=14,

.\BN=16,

，BC=2BN=32,

故答案為32.

二、直角三角形

1.直角三角形：有一個角是直角的三角形叫做直角三角形.

2性質(zhì)：

(1)直角三角形中兩銳角互余.

(2)直角三角形中，30。銳角所對的直角邊等于斜邊的一半.

⑶在直角三角形中，如果有一條直角邊等于斜邊的一半，那么這條直角邊所對

的銳角等于30°.

(4)勾股定理：直角三角形中，兩條直角邊的平方和等于斜邊的平方.

(5)勾股定理逆定理：如果三角形的三邊長a,b,c滿足a2+b2=c2,那么這個三角

形是直角三角形.

(6)直角三角形中，斜邊上的中線等于斜邊的一半.

3.判定：

⑴有兩內(nèi)角互余的三角形是直角三角形.

⑵一條邊上的中線等于該邊的一半，則這條邊所對的角是直角，這個三角形是

直角三角形.

⑶如果三角形兩邊的平方和等于第三邊的平方，則這個三角形是直角三角形，

第三邊為斜邊.

例3.已知：在直角△ABC中，ZC=90°,BD平分NABC且交AC于D.

⑴若NBAC=30°,求證:AD=BD；

(2)若AP平分NBAC且交BD于P,求NBPA的度數(shù).

【答案】

(1)證明：VZBAC=30°,ZC=90°,AZABC=60°

又：BD平分NABC,.，.ZABD=30°,，ZBAC=ZABD,

，BD=AD；

(2)解法一：,.?/C=90°,AZBAC+ZABC=90°

.ZBAC+ZABC._0

2

：BD平分NABC,AP平分NBAC

NBACZABC

ZBAP=,ZABP=

22

即NBAP+NABP=45。

.,.ZAPB=180°-45o=135°

解法二：VZC=90°,AZBAC+ZABC=90°

.ZBAC+ZABC.^

2

：BD平分NABC,AP平分NBAC

ZABCNBAC

ZDBC=,ZPAC=

22

ZDBC+ZPAD=45°

ZAPB=ZPDA+ZPAD

=ZDBC+ZC+ZPAD=ZDBC+ZPAD+ZC=45°+90°=135°.

言;綜合訓(xùn)練

1.（2022.黑龍江九年級期末）如圖，在坡角為30。的斜坡上要栽兩棵樹，要求它

們之間的水平距離AC為9m,則這兩棵樹之間的坡面AB的長為（）

A.18mD.96m

【答案】C

【分析】

AB是Rt^ABC的斜邊，這個直角三角形中，已知一邊和一銳角，滿足解直角三

角形的條件，可求出的長.

【詳解】

解：如圖，ABAC=30°,ZACB=90°,AC=9m,

：.AB=2BC,

AC2+BC2=AB2,即92+BC2=ABC2,

解得：BC=3曲m,

AB=6y/3tn,

故選：C.

2.（2022.長沙市雅禮實(shí)驗中學(xué)九年級月考）如圖，將AABC繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)

80。得到△AQC,若點(diǎn)股恰好落到邊3C上，則NCQC的度數(shù)為（）

A.50°B.60°C.70°D.80°

【答案】D

【分析】

依據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可求得AB=A夕，//歹。的度數(shù)，依據(jù)等邊對等角的性質(zhì)可得

到NB=NBBN,于是可得到NCB'C'的度數(shù).

【詳解】

解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知：AB=AB',ZBAB=S0°,

，/B=/AB'C',

'：AB=AB',

，NB=/BB'A=50。.

：.N55'C'=500+50°=100°.

/.NCB'C'=180°—100°=80°,

故選：D.

3.（2022.哈爾濱市虹橋初級中學(xué)校九年級一模）如圖，在RjABC中，/R4C=90。，

將ABC繞點(diǎn)A順時針旋轉(zhuǎn)90。后得到的一A5P'（點(diǎn)8的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)方，點(diǎn)C的對

應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)。），連接CO.若NCC?=32。，則的大小是（）

A.32°B.64°C.77°D.87。

【答案】C

【分析】

旋轉(zhuǎn)中心為點(diǎn)4C、C為對應(yīng)點(diǎn)，可知AC=AC,又因為NCAC=90。，根據(jù)三

角形外角的性質(zhì)求出NC33的度數(shù)，進(jìn)而求出ZB的度數(shù).

【詳解】

解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可知，AC=AC,

VZCAC=90°,可知△CAC為等腰直角三角形，則NCCA=45。.

ZCC'B'=32°,

：.ZC'B'A=ZCCA+ZCCE=450+32°=77。,

：ZB=ZC'B'A,

：.N5=77°,

故選：C.

4.（2022.沙坪壩區(qū).重慶八中九年級二模）下列命題中是真命題的是（）

A.三角形三邊中垂線的交點(diǎn)到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等

B.三個角對應(yīng)相等的兩個三角形全等

C.直角三角形斜邊上的高線等于斜邊的一半

D.等邊三角形是中心對稱圖形

【答案】A

【分析】

根據(jù)三角形中垂線的性質(zhì)、全等三角形的判定、直角三角形的性質(zhì)和等邊三角形

的性質(zhì)判斷即可.

【詳解】

解：A、三角形三邊中垂線的交點(diǎn)到三角形三個頂點(diǎn)的距離相等，正確；

B、三個角對應(yīng)相等的兩個三角形不一定全等，錯誤；

C、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，錯誤；

D、等邊三角形是軸對稱圖形，錯誤；

故選：A.

5.（2022.全國九年級課時練習(xí)）如圖，點(diǎn)。為的外心，為正三角形,

。尸與AC相交于D點(diǎn)，連接OA.若4AC=70。，AB=AC,則EMDP的度數(shù)為（)

P

D

/

/C

B

A.85°B.90°C.95°D.110°

【答案】A

【分析】

利用外心的性質(zhì)，得到。4是NA4c的平分線，OA=OC,利用等腰三角形的性

質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)計算即可.

【詳解】

：O為，ABC的外心，ZBAC=70°,AB=AC,

.??。4是NA4c的平分線，

ZOAC=-ABAC=35°,

2

??AO=CO,：.Z.OAC=ZOCA=35°,

/.ZAOC=110°,

???△OCP為正三角形，

ZCOP=60°,

ZAOP=ZAOC-ZCOP=110°-60°=50°,

又DADP^J/^OD的外角，

ZADP=ZOAD+ZAOD=85°.

故選A.

6.（2022.湖南師大附中博才實(shí)驗中學(xué)九年級開學(xué)考試）如圖，正方形A3CD的

對角線AC,3。交于點(diǎn)。，E是3。上的一點(diǎn)，連接EC,過點(diǎn)3作3GLCE于

點(diǎn)G,交AC于點(diǎn)區(qū)EfUEC交A3于點(diǎn)凡若正方形A3CD的邊長為4,下列

結(jié)論：?OE=OH-②EF=EC；③當(dāng)G為CE中點(diǎn)時，BF=472-4；?BG?BH

=BE*BO,其中正確的是（）

D

A.①②③B.①②④C.①③④D.①②③④

【答案】D

【分析】

①由“ASA”可證△3?！八摹骺?￡,可得OE=OH；

②過點(diǎn)E作于尸，EQLAB于。，由“ASA”可證△QEFgAPEC,可得

EF=EC；

③由線段的垂直平分線的性質(zhì)可求BC=BE=4,由正方形的性質(zhì)可求

BP=PE=2叵,可求跳'的長；

④通過證明△BOHs^BGE,可得四，可得BH?BG=BE?BO.

BEBG

【詳解】

解：'：BG±CE,EFLEC,

：.NFEC=NBGC=90。,

..?四邊形ABC。是正方形，

：.AO^OC^OB=OD,ACLBD,

'：ZECO+ZGHC=9Q°=ZOBH+ZBHO,ZBHO=ZCHG,

：.ZOBH=ZECO,

又：BO=CO,ZBOH=ZCOE=90°,

:.LBOH咨ACOE(ASA),

：.OE=OH,故①正確；

如圖，過點(diǎn)E作EPL3C于P,EQLABQ,

?.?四邊形ABCD是正方形，

?.NABD=/CBD=45。,

X,"EPLBC,EQLAB,

：.EQ=EP,

XVEPXBC,EQLAB,NABC=90。，

，四邊形BPE。是正方形，

：.BQ=BP=EP=QE,ZQEP=90°=ZFEC,

：.ZQEF=ZPEC,

又：ZEQF=ZEPC=9Q°,

.,.△QEFmAPEC(ASA),

：.QF=PC,EF=EC,故②正確；

?：EG=GC,BG±EC,

：.BE=BC=4,

：.BP=EP=2y[l,

：.PC=^-2y/2=QF,

：.BF=BQ-QF=242-(4-20)=4&-4,故③正確；

??NBOH=/BGE=90°,/OBH=/GBE,

：.△BOHsgGE,

:.BH?BG=BE,BO,故④正確，

故選：D.

7.(2022?全國九年級專題練習(xí))如圖，在^PAB中，M、N是A3上兩點(diǎn)，且4PMN

是等邊三角形，ABPMs^PAN,則NAP3的度數(shù)是.

【答案】120。

【分析】

由可得出NBPAUNA,進(jìn)而再由等邊三角形的性質(zhì)以及角之間

的轉(zhuǎn)化，即可得出結(jié)論.

【詳解】

解：,:ABPMs叢PAN,

：.ZBPM^ZA,

△PMN是等邊三角形，

ZA+ZAPN=60°,即NAPN+NBPM=60。，

，ZAPB=ZBPM+ZMPN+ZAPN=60°+60°=120°.

故答案為：120。.

8.（2022.西寧市教育科學(xué)研究院中考真題）如圖，ABC是等邊三角形，AB=6,

N是AB的中點(diǎn)，AD是BC邊上的中線，M是A。上的一個動點(diǎn)，連接

則BM+MN的最小值是

【答案】3后

【分析】

根據(jù)題意可知要求BM+MN的最小值，需考慮通過作輔助線轉(zhuǎn)化MN的值,

從而找出其最小值，進(jìn)而根據(jù)勾股定理求出CN,即可求出答案.

【詳解】

解：連接CM與4。交于點(diǎn)連接3”.（根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短；點(diǎn)到直線

垂直距離最短），AD是BC邊上的中線即C和B關(guān)于AD對稱，則BM+MN=CN,

則CN就是BM+MN的最小值.

：.ABC是等邊三角形，AB=6,N是AB的中點(diǎn),

.'.AC=AB=6,AN=^AB=3,CN±AB,

CNHAC-AN。=&2-3?=際=3也.

即BM+MN的最小值為36.

故答案為：3A/3.

9.（2022.福建省福州楊橋中學(xué)九年級月考）如圖，已知ABCD,ZABC=120°,

點(diǎn)E為線段3c上的一點(diǎn)，連接AE.

(1)將線段AE繞點(diǎn)A逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段AR點(diǎn)E的對應(yīng)點(diǎn)是點(diǎn)凡請

用尺規(guī)作圖作出線段AR(保留作圖痕跡，不寫作法)；

(2)在(1)的條件下，求證：點(diǎn)R在ZABC的平分線上.

【答案】(1)見詳解；(2)見詳解

【分析】

(1)作ND4T=NEAB,在射線AT上截取AR使得AE=Ab即可；

(2)在AD上取一點(diǎn)使得AH=AB,連接BH,切.證明是等邊三角形,

證明8、H、R共線可得結(jié)論.

【詳解】

(1)如圖，線段即為所求；

(2)證明：在4。上取一點(diǎn)H,使得AH=AB,連接3H,FH.

???四邊形ABCD是平行四邊形，

.".AD//BC,

，ZDAB+ZABC=180°,

'：ZABC=120°,

ZBAH=60°,

'：AH=AB,

是等邊三角形，

?.ZAHB=ZABH=60°,

：.ZEAF=60°,

：.ZEAF=ZBAH,

：.ZFAH=ZEAB,

在/E4H和AEAB中，

AF=AE

<ZFAH=NEAB

AH=AB

：.AFAH^AEAB(SAS),

：.ZAHF=ZABE=120°,

：.ZAHF+ZAHB=1SO°,

:.B、H、尸共線,

??ZFBA=ZFBE=6Q°,

...點(diǎn)/在NABC的角平分線上。

10.(2022?沙坪壩區(qū)?重慶八中九年級二模)如圖1,在&AC5中，AC=BC,

過B點(diǎn)作BDLCD于D點(diǎn)，A3交CD于E.

(1)如圖1,若AC=6,tanZACD=2,求DE的長；

(2)如圖2,若CE=2BD,連接AD,在AD上找一點(diǎn)孔使CF=DF,在FD

上取一點(diǎn)G,使/EGF=/CFG,求證：AF=EG；

(3)如圖3,。為線段3c上方一點(diǎn)，且/3。。=90。，AC=6,連接AD,將

AD繞A點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)90。，。點(diǎn)對應(yīng)點(diǎn)為E點(diǎn)，”為DE中點(diǎn)，求當(dāng)AH有最小

值時，直接寫出ACH的面積.

135-27正

【答案】(1)見解析；(2)見解析；(3)

10

【分析】

(1)如圖1中，過點(diǎn)E作EHLBC于凡解直角三角形求出CD,CE可得結(jié)論.

(2)如圖2中，過點(diǎn)人作ATLCE于T,在AG上取一點(diǎn)J,使得EJ=EG.想

辦法證明△ACT咨(A4S),可得結(jié)論.

(3)如圖3中，取3C的中點(diǎn)T,連接。T,AT.易知求出的

2

最小值可得結(jié)論.

【詳解】

解：(1)如圖1中，過點(diǎn)E作于H.

■:BD1CD,

：.ND=90。，

??ZACB=9Q0,

：.ZACD+ZDCB=9Q°,ZDCB+ZDBC^9Q0,

：.ZACD=ZDBC,

tanNDBC—tanNACD=2,

?生

**DB，

"：AC=BC=6,

：.BD=^-,CD=^~,

55

■:EH1BC,ZEBH=45°,

：.ZEHB=9Q0,/EHB=/HBE=45。,

：.EH=BH,

設(shè)EH=BH=m,則HC=2EH=2m,

/.3m=6,

??in—2,

：.EH=29CH=4,

EC=JEH。+CH。=722+42=2小，

：.DE=CD-CE=^^-2y[5=—.

55

(2)如圖2中，過點(diǎn)A作A7UCE于T,在AG上取一點(diǎn)),使得EJ=EG.

?：EJ=EG,

：.ZEJG=ZEGJ,

'：ZCFG=EGJ,

：.ZCFG=ZEJG,

：.ZAFC^ZAJE,

'：/ATC=NCDB=ZACB=9Q°,

AZACT+ZDCB=90°,ZDCB+ZCBD=9