2021年考研數(shù)學(xué)(一)真題(含答案及解析)

2021年全國碩士研究生招生考試

數(shù)學(xué)（一）

（科目代碼:301）

一'選擇題（1?10小題，每小題5分，共50分.在每小題給出的四個選項中，只有一個選項是符

合題目要求的，請將所選項前的字母寫在題后的括號內(nèi).）

（1）函數(shù)：，在x=O處（）.

(A)連續(xù)且取得極大值(B)連續(xù)且取得極小值

(C)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)等于零(D)可導(dǎo)且導(dǎo)數(shù)不為零

(2)設(shè)函數(shù)f(x,y)可微，且f(x+l,e)=x(x+l)2,f(x,x2)=2x21nx,則df(l,l)=().

(A)dx+dy(B)dx-dy(C)dy(D)-dy

(3)設(shè)兩數(shù)「，在x=O處的3次泰勒多項式為ax+bx￥cx3,則().

(A)a-1.6=O,<*=——(B)u=I./>=O.r=—

66

(C)a=-l.b=-l?<?；(D)a—l,b=-l.，；

(4)設(shè)函數(shù)f(X)在區(qū)間［0,1］上連續(xù)，則］|廣一人().

(A)Imi\/-5-B)lnnX!?

(。litn\/I,1I1I

??'2n1n…，'2?'n

222

(5)設(shè)二次型f(Xi,X2,Xg)=(Xi+XZ)+(X2+xg)-(x3-Xi)的正慣性指數(shù)

與負慣

性指數(shù)依次為().

(C)2,l(D)l,2

I

m-4.A-a-IB-IB.活B.

p2,B3兩兩相交，則L,b依次為().

(A)堤.！(B)—"I?二(C)4,?―'T(D)5I

222222v72.-2

7)設(shè)A,B為n階實矩陣，下列結(jié)論不成立的是().

iAAB\

(B)r=2r(A)

W)A1T1

/ABA\

◎I-2r(A)

'OAATl(D：-a)

8)設(shè)A,B為隨機事件，且O<P(B)<1,下列命題中為假命題的是(),

(A)若P(A|B)=P(A),則P(A|B)=P(A)

(B)若P(A|B)>P(A),則P(A|B)>P(A)

(C)若P(A|B)>P(A|B),則P(A|B)>P(A)

(D)若P(A|AUB)>P(A|AUB),則P(A)>P(B)

9)設(shè)(Xi,Yj,(X2,Y。，…，(X,,Y)為來自總體N(ul?口2;oi,o2;p)的簡單隨機樣本,

令o二小~P2,\：￡Y,3=X-Y,則()

(A)6是0的無偏估計，“HI17

除不是0的無偏估計，「

(C是0的無偏估計，”.，山

(D)6不是0的無偏估計，/)「一""/J…

10)設(shè)X[X2,…,先是來自總體N(u,4)的簡單隨機樣本，考慮假設(shè)檢驗問題：Ho：uW10,

Hi：M>10,(p(x)表示標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布函數(shù)，若該檢驗問題的拒絕域為W={XN11},其

二\，則R=ll.5時，該檢驗犯第二類錯誤的概率為().

(A)l—<p(0.5)(B)l—<p(l)

(C)l—(p(1.5)(D)l—q>⑵

二、填空題⑴?16小題，每小題5分，共30分請將答案寫在題中的橫線上.)

Il)f————=_______.

J-廣+2，+2--------

12)設(shè)函數(shù)戶y(x)由參數(shù)方程''''所確定，貝產(chǎn)、|

ly=4(/—De*+/1--------

3)歐拉方程x2y”+xy，-4y=0滿足條件y(l)=l,y<l)=2的解為y=

4)設(shè)三為空間區(qū)域{(x,y,z)1x2+4y9,gT2}表面的外側(cè)，則曲面積分

Jx*dydz+y2dzdjr+tcLrdj._..

5)設(shè)A=(ay)為3階矩陣，A,為代數(shù)余子式，若A的每行元素之和均為2,且|A|=3,

貝!jAp+A2n+Ap=

16)甲、乙兩個盒子中各裝有2個紅球和2個白球，先從甲盒中任取一球，觀察顏色后放入乙

盒中，再從乙盒中任取一球，令X,Y分別表示從甲盒和乙盒中取到的紅球個數(shù)，則X與Y

的相關(guān)系數(shù)為

三、解答題（17?22小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.）

（17）（本題滿分10分）

八十￡入1\

求極I限lim-'1---------.

e—1sinx/

（18）（本題滿分12分）

設(shè)）求緞（￡"工）的樹姆汲和函數(shù)

（19）（本題滿分12分）

已知曲線''''?求C上的點至UxOy坐標(biāo)面距離的最大值.

Il.r+2v+;30.

(20)(本題滿分12分)

設(shè)DCR2是有界單連通閉區(qū)域，J，",7,.T…，取得最大值的積分區(qū)域為Di.

JU

(I)求KDi)的值；

(II)計算［空三也，其中3D1是D］的正向邊界.

Jx+

(21)(本題滿分12分)

IU1

已知A,Ia11

1—1"/

(I)求正交矩陣P,使得PTAP為對角矩陣;

(II)求正定矩陣C,使得C2=(a+3)E-A.

(22)(本題滿分12分)

在區(qū)間(0,2)上隨機取一點，將該區(qū)間分成兩段，較短一段的長度為X,較長一段的長度

y

為Y,令Zx

(I)求X的概率密度；

(H)求Z的概率密度；

(山)求卜心).

2021年數(shù)學(xué)(一)真題解析

一、懶

⑴【答案】(D).

［解］'lit!,■得f(x)在x=0處連續(xù);

再崎11mzi小」---------Em』--，得

XX??《>y*ZT2

''wo.應(yīng)選(D),

⑵【答案】(0.

【解】f(x+ld)=x(x+l)2兩邊對x求導(dǎo)得

fi(x+1,e)+e2f(x+1,e)=(x+l)2+2x(x+1),

取X=0得f(l,l)+f2(1,1)=1；

f(x,x2)=2x2lnx兩邊對x求導(dǎo)得

f(x,x2)+2xP(x,x2>4xlnx+2x

取x=l得f(l,l)+2fz(l,l)=2,

解得f(l,l)=0,f2(1,1)=1,故df(l,l)=dy,應(yīng)選(C).

⑶【答案】(A).

【解】因為小，為奇函數(shù)，所以40;

J,1

由r11)/，，，I,!17勺日

卜I->；仔

?ini7

/<r)「—-~~—tja

14.r1G

應(yīng)選(A).

⑷【答案】(B).

【■】即卻保)：=1則;卻生卜?！钩?應(yīng)選(B).

⑸【答案】(B).

【解】令A(yù).(ZI)則仁KAX,

=(X+1)(X2-3X)=0

得入i=T,X2=0,入3=3,應(yīng)選(B).

(6)【答案】(A).

【解】由施密特正交化得0戶?f;應(yīng)選(A).

?nA.9

方法點評：將線性無關(guān)的向量組化為兩兩正交的規(guī)范向量組即施密特正交規(guī)范化，實對

稱矩陣的對角化的正交變換法需要將線性無關(guān)的特征向量進行正交化和單位化.

設(shè)3,(X2,aO線性無關(guān)，pi=ai,p2=Ct2-llPl,p2=a3*2p2，且線性無關(guān),

則，砥不出=詆了3出=而而

(7)【答案】(0.

【解】」'0*\\\

OA\

\Ui'og\\H

由-I得門

A*f'CA1}O41，

由：：?::得",)，應(yīng)選。

(8)【答案】(D).

【解】由P(A|B)=P(A)得P(AB)=P(A)P(B),即事件A,B獨立，

_P(AB)P(A)P(B)

于是P(A————-—-「(Ah

P(B)P(B)

由P(A|B)>P(A)得P(AB)>P(A)P(B)

____尸(4B)l-P(A)-P《3》+P(AB)

從而P(A|B>=-

p八八=r^-pcB)

>f*P(fi)P(A)-P(A)i

由P(A|B)>P(A|B)得'''"3,整理得P(AB)>P(A)P(B),

rP(B)1-P(B)

P(AB)

MP(A|B)("應(yīng)通()

P(H)>P，rl：o：f尸D

(9)【答案】?.

懈】'(〃二

則E(。尸E(X)-E(Y)=g-Q0;

D(6)=D(X-Y)=D(X)+D(Y)-2Cov(X,Y)

?~—―[Cov<x(?Y>+Cov(xj>y)++Cov(x.?y)]

?內(nèi)用

,:?2.............一.,一.2一

?npo。''.，應(yīng)選(C).

n

(10)【答案】(B).

悅】由題\"「心吱'…

犯第二類錯誤的概率為

PXII：-pL'14><-1)?1?(1).

芽

應(yīng)選(B).

二、填空題

(11)【答案】

【解】，,，，..

?，,2，?2,1+(4+1尸2

(⑵【答案】

,,

［解］

dr<V2<1］rl/<h山\-I.

(13)【答案】x2.

【解】令乂=6/)一［則

xy'=Dy,x2y"=D(D-l)y,

代入歐拉方程得

力-"-0,

特征方程為X2-4=0,特征根為x,=-2,X2=2,

今T,=。的通解為尸C；dH泣原方程的通解為

G”>

r?

由y(l)=l,y'(l)=2得Ci+C2=l,-2g+2C2=2,解得C］=0,C2=1,

故y=x2,

方法點評：形如

,,,,

xy()+aa-ix"-'y*-D+...+a1xyi+aoy=f(x)

的方程稱為歐拉方程.

令x=e1則'l)v1*'.?'-/)?/>I?\'-'',

d/At1At

x"y''=D(D-l)…(D-n+l)y,

代入原方程得高階常系數(shù)線性微分方程，求出其通解，再將t=lnx代入即可得原方程的通解.

(14)【答案】4n.

【解】設(shè)三所圍成的幾何體為。，由高斯公式得

I+y3dzdx+xdrd>?+2>+l>dvi

由積分的奇偶性得

dr1*2=

(15)【答案】

2

it

a”?2(A|i+An+AK1)?3>?|

1

3

All+An+An"y

(16)(答案】

【解】(X,Y)的可能取值為(0,0),(0,1),(1,0),(1,1),

3

2

I

PX

0

E(X)=^E(XJ)=yD(X)

illX得

得E<r>=1)

ill>'?ID(Y

,xvJ；3

J^IWECXY)

10

'10

1

3I1一20

Cav(Xty)-E(Xr>-F<X>E(Y)=---=茹——j-

,,.—^―

99

三、解答題

(17)【解】方法一

(1+jer，dr)sin'一?"十

livn------------------------------------

￥-1J7(e*-I)?injr

方法三

由泰勒公式得e，=1+/+062),

質(zhì)，?.I;*..|［七

Jn3

2rr

urn】+

、即村時，“收斂；

______1―

再由Im"''上」7「的收斂半徑為R=l,

??1―〃(”?I)

W1?f,1,得

當(dāng)*=±1時，士，；—二］:，利二［「的收斂域為II］，

故級數(shù)-1⑺的收斂域為(0,為

令、,="\、-J

HSJ』)='-i

Xn(it+I)卜n

=(l-x)ln(l-x)+x(O<x<l),

當(dāng)x=l時，由、.[,、：得、，

(19)【解】設(shè)M(x,y,z)CC,點M到xOy坐標(biāo)面的距離d=|z|,

4*F=z2+X(x2+2y2-x-6)+p(4x+2y+x-30),

F；?2Ax+4夕-0.

+2/i?0.lx=4i1=X

?F：-1一夕=。，得jl■或?，-一

F：，+2y*-—6?(hI念?12,lx

F：H4X+2、+z—30?。

故C上的點(-8,-2,66)到xOy面的距離最大為66.

(20)IB](I)顯焦〃一,')<kdy取最大值的區(qū)域為4-x2-y2>0,

ft

即Di={(x,yW+"4},則

/(D,)-J(4-x*-yOdrdy-2?卜(4-r1)dr

o.

?2KJ(4,一，')d，?2/(8-4》,8JN

(11)令Lo:x2+4y2=r2(r>0,L?在L內(nèi)，取逆時針），設(shè)aD,與L。所圍成的區(qū)域為D。，

Lo圍成的區(qū)域為D2,則

(+y)di'-jrldy

J/+」'

f(工，""+y>dz+(4ye"'t)dy

J―十e

*?p

=-7+jr)d-r+