2024屆新高考數(shù)學小題微點特訓17 三角恒等變換含答案

微特蜘彝

微點特訓?數(shù)學（新）

7

;恢弘志士之氣，不宜妄自菲薄。

三角恒等變換1

jiJII17.:完成日期：______月______日

!

［考點對點練］一保分必拿A

［考點一］三角函數(shù)式的化簡

1.若一2nVaV一與.則化簡義三警包的結果是

A.sin?B.cosM☆

1-24^3~I~V5~

D.—cos3A.B.

48

7t2

2.cos2H-sin卜+：)1-\~4^4+75-

L了C.D.

48

A.1B.1—cos2JC

若)=卷，昨

C.14-cos2D.14-sin2x8.cos(a+8=-1-?sina,0，f

o

3.(1)已知0V?！囱?

貝：

00I]cos(a+

(1+sin0+cos0)sin——cos2

則A—更B郎

，2+2cos8?65,65

4

2cosx-2cos27+；56D—"

C，65

（2）化簡：--------------------,65

2

2tan（—JCjsin（寧+父9.在平面直角坐標系中.已知一個角a的頂點在坐標原

點，始邊與彳軸的非負半軸重合，終邊經(jīng)過點P（5,

［考點二］三角函數(shù)求值

—12),則sin2a

4.若cos(a—j=cos2a.貝ljsin2a

()10.已知0<a〈g?.且sina=3，貝ljtanfa+乎)=

5bi4

A.-1B.ysiKa+sin2a

cos2a+cos2a

C.-1或吉D.一十或十

［考點三］三角恒等變換的應用

穴7t

11.函數(shù)/Q、）=sinJ'+TJsina、cos上、在區(qū)間上

T'~2

的最大值是)

B.苧

A.1

D.1+73

1

12.函數(shù)的最大值是)

sin(2aH|-)=()32+sini+cosjr

A.f-1

A.一亨B.0B.-y-1

C.1-日D.1+日

C.與D.一亨或0

13.已知函數(shù)f(d')=sin(JD.T-T-COS3.T(3>0),1]、12

7.德國著名的天文學家開普勒說過：“幾何學里有兩件

為函數(shù)/（工）的兩個極值點，若|為一工2的最小值為

寶,一個是勾股定理，另一個是黃金分割.如果把勾股

定理比作黃金礦的話,那么可以把黃金分割比作鉆石則

礦.”黃金三角形有兩種.其中底與腰之比為黃金分割

A.上單調(diào)遞減

比的黃金三角形被認為是最美的三角形，它是一個頂12,12

角為36°的等腰三角形（另一種是頂角為108°的等腰

三角形）.例如.五角星由五個黃金三角形與一個正五上單調(diào)遞增

/

邊形組成.如圖所示，在其中一個黃金△ABC中，噂施i

Il-273V）上單調(diào)遞減

\.g

L在

=巡＞.根據(jù)這些信息,可得sin126°（）X.-)在

D.3上單調(diào)遞增

?40

微點特訓?■數(shù)學（新）

14.設函數(shù)/（J-）=2cos2（工+專）+sin（2_r+孑）.了€7,若3cos—0）+cos（7r+J）=0,則cos2<9+-^-sin20［笞題欄］

（0,3兀），則下列判斷正確的是（）的值是（）?殖蟠

A.函數(shù)的一條對稱軸為上=?A.--f-B.

0551

B.函數(shù)在區(qū)間后，苧］內(nèi)單調(diào)遞增

C—D—

552_____

C.Itoe（0,3式），使f（x（））=—1

D.maWR,使得函數(shù)y=/Q-+a）在其定義域內(nèi)為偶8.已知cos卜一￡）=一卷，V1〈竽，則4

函數(shù)

比第二納士的值為（）5

2

15.若函數(shù)/（x）=72sinycosy-72sin則函數(shù)1-rtanx---------

八1）的最小正周期為；函數(shù)/（1）在區(qū)間A2821八

A-nB--

［一萬,0］上的鼓小值是.75100---------

［素養(yǎng)提升練］-W必搶c——D—7

一、單項選擇題75100

二、多項選擇題

1.若已知cos2a=:，其中（—：,0）?則sina的值?

9.函數(shù)3，=sinJCcosi+VTcos——痣的圖象的一個對

為（）

稱中心為（）-11-------

A.（DB./一甯

C.李D.一亨

c.（一空.§）D.傳，一勺M——

2.已知角a的頂點在坐標原點，始邊與①軸的非負半軸

重合,終邊經(jīng)過點P（3?4）,則cos（2a+/?）cos￡+sinO/T14

（2a+g）sinf的值是（）10.在△ABC中，C=120°,tanA+tan8=等，下列各

式正確的是（）史瞧

7D秘A.A~\~B=2CB.tan（AH-B）=-4^1

rC--25

C.tanA=tanBD.cosB=EsinA

已知△中成等比數(shù)列，則

3.AI3C.sin3,sin8,sinC三、填空題2..........

sin2B

的取值范圍是

sinB-cosB11.在銳角三角形ABC中，若tanAtanBtanC=8,則3

A.［_8,孝）B.（o,孝］..:A的最大值是______.

sinr>sinC4

C.（-1,72］D.（o,當?shù)?2.已知當3c=6時，函數(shù)f（z）=2sin父一cosx取得最大

值，則最大值為,sin（^+—）j-.----------

4.古希臘的數(shù)學家畢達哥拉斯通過研究正五邊形和正

十邊形的作圖,發(fā)現(xiàn)了黃金分割率，黃金分割率的值［真題體驗練］—實橫搶分6

也可以用2sin180表示.若實數(shù)〃滿足4sin218°+?2

：

.則1.（2021?全國乙卷，4文科）函數(shù)/（j）=sinJ?z7

=4118°（）-y+cos--<--------

A的最小正周期和最大值分別是（）8_____

-1B.-y

A.3K和-B.37r和2

，、75I）叵9

CC.6冗和6D.6K和2

-T,2

2.（2021,全國乙卷，6文科）cos?—cos2；里=（）

a=啜則.19-

5.已知a滿足cosCOS（孑+a）COS2

A.}B.停

（廣）

a產(chǎn)（）

1

?看空

ABC.yD.y

18

2

D3.（2021,全國甲卷，9）若aS（°，皆），tan2a="

183

6.若sina+cosa=4,0VaV?v.則sin2a?cos2a=cosa.

c?貝mIJitana=（）

Z-sina

（）

A.<

八一8一尺口一8土尺

lo5

99

八一8+7171、8+717,,vscyis

C.—9—D.——C.—LJ.---

?41

微點特訓?數(shù)學(新)

y=五區(qū)間i-a,aj王至調(diào)熱盤,則E-a.aji

3一心.記

[一言?篙],所以",解得OVa〈~j^??則a的

L1212J衣12

因為OVOVn,所以0<9<片，所以cos-y>0.

aVa

最大值為5,]所以原式=—COS0.

2

[真題體驗練]——實戰(zhàn)搶分-2sin/cos%4十

1.A[當①一6(—，+2歸入，[~-：2笈n),kWZ時?函數(shù)(2)原式=一

0\46)■K

2sin-X...X\1cos2

單調(diào)遞增?即.r€(一仔+2武普+2標)麋6Z.故答案4/T

K

選A.1cos4r

向左平移告?zhèn)€單位-^(1-sin22j-)1

—cos-22

2.B[ksin卜—十)------------------?產(chǎn)=-1"cos2r.]

7t

2sinT

smj+誦)----------------------^=sin(y+i2)J

4.C[由cos|a=cos2a得=cos'2a

3.D[函數(shù)/(1)定義域為R.且/(-1)=/(1).偶函數(shù)；~T

f(x)=cos.r-(2cos—-1)=-2cos'x+cos彳+1=1+cos(2a~~

1+sin2a

~2(cosx-\一2■.故最大值為■，選D.]=1—sin22a即=1n-

\4yoo2

2

4.21由亨=罌一卷=苧，得T=nm=2,將屋.0)代sin2a.解得：sin2a=—1或;.J

41?4J4\,51

2而i,>o+=

入y=2cos(2/+9),得cos(苧+￡)=0，s+卬=-^-，5.A[已知sin2a—,則cosT)

l-sin2a1-f

<p=—，.所以/(1)=2cos(2]—/).1+cos(2a+)

=]

222T-

(/⑺一/(一節(jié))(/(力一/傳))>0等價于(/3

—a)=0,可得cos2a—sin2a—與

6.A[由cos2a+sin5久

一1)/(外>0?等價于/(上)<0或/(Q>L由/(力<0得T

HG得+6兀)、h￡Z.(cosa—sina)=0,即(cosa—sina)?cosa-sina~券卜

此時1的最小正整數(shù)為2,0.因為aS(微，六)?所以cosa-sinaW0,cosa+sina=

由得(—?春+4兀,十+4式)M6Z,此時x的最

42sin(a+-j-)=￥，即s>n(&+￡)=｝，于是工,

小正整數(shù)為3,故答案為2.]

所以sin(2a+(~)=sin竽=一亨門

7.C[因為△ABC是頂用為36°的等腰三角形，所以，

-yBC后

ZACB=72°，則cos72°=cos/ACB=-,

AC4

sin1260=sin(90°+36")=cos36°,而cos720=2cos,36°

微皮特訓17三角恒等變換

考點對點練——保分必拿

l.D[J]=喈==|cosf|.v-2x<a<

—普???.-7TV告V-乎??,.COSgV0,.「Icos-yI=8.Cil*/(a+B)-(B—p)=a+寧,**?cos(a+：)=

/L4乙|L\

cos[(a+/?)-—y-jJ=cos(a+f)cos(8--+

sin(aH-g),sin(B—pj,?*a+SG

1+cosf2才—y)

2.D[cos2卜—j-)+sin"卜+￡)=

VTT.-V/?一：<十,?，?sin(a+S)=-^",cos(5—)=

1-cos(2^*+-y)

百…cos(a+7廣行?方+虧-73=65.]

----------------=《(1+sin2i+1+sin2i)=1+

19f)

229.—777：[:一個角a的頂點在坐標原點,始邊與上?軸的

sin2x.1loy

非負半軸重合，終邊經(jīng)過點P(5,—12),???由三角函數(shù)定

3.(1)—cos0(2)-^-cos2x[(1)原式=

r>40?—12125

義可得sma——=—,cosa=—=

725+14413,25+144

徐?則由正弦二倍角公式可得sin2a=2sina?cosa=

120

169,

?132?

微點特訓?數(shù)學(新)

［因為，且3.B［由已知可知sir/13=sinA?sinC,即If=a—cosB

10.7||0<a<￡sina?，所以cosa=

=1+產(chǎn)-62="2+￡2一加)2"一砒十，即0<B<

2sina

J1—sina=3,所以tana~------=2則2ac2ac2ac

5cosa7

(寧)￡⑶，原式等于

竽)tana+1y,sinB+cosB=V^sinB+(1,

tan(a+tano+7.

T)1—tana

2sin3cos3_(sin3+cos3)'—1、兒_.r,.

sin'a+sin2a_rina4~2sinacosatan'a+2tanasinBH-cosBsin8+cosB,僅'sin

cos"a4"cos2a2cos2a_sin'a2-tan2a

cosB,即原式等于匚/=,一生(1<《廖),函數(shù)是增

9—.H6—

164「33-1

"923'J

2一百函數(shù).當f=l時.函數(shù)等于0,當/=應■時?函數(shù)等于號，

11k「4r/、1-COS2J?IV3sin2i=-1所以原式的取值范圍是(0，考卜故選B.1

11.C［由/("?)=----2---------1■~2+

??爪y-7t_TtyX冗57t

sin(2x—\,?72=行42#一84E，4.A［根據(jù)題中的條件可得；)：；：,；：：=

*,?=T"*-1=故選C11-sin180_1—sin18°_

8sin2180(4-4sin218<>)-8sin218°X4cos2180

12.D［?y=—：—■—r-------=--------------1—sin18°1—sin18°1—sin1801n

2+—+COS12+岳心|8sin236°八/l—cos72°4(l-cos720)4'」

—十8X2

+=呼選'

5.A［根據(jù)兩角和差的余弦公式得到cos

(-y--\-a)cos(-7--a|=—(cosa-sina)(cosa+sina)

13.B［函數(shù)的解析式f(/)=2sin(3r+g.由題意可14)\4/2

=-1-(cos2a—sin，)，因為cosa=得到sina=

得：4=《=>T=K?即紅=n.則3=2.函數(shù)的解析式

Z4CD

或一=■代入得到結果為

為：/(w)=2sin(21+號),由為4—,《2刀+267r

3olo

+g??即卜尺一冬n盍(4GZ)?令4=0可得函6.A［丁sina+cosa=2.①

18

數(shù)的一個單調(diào)遞增區(qū)間為一后0金)，2△穴+￡~<2久.*.1+2sinacosa=§■，即2sinacosa=sin2a=----1,

+。~42左以十苧，即￡冗++裳(46Z),不存..17

..1—2sinacosa=(sina—cosa)2=—.

o乙1乙1乙

在滿足題意的單調(diào)減區(qū)間.]

Vsinacosa<0?且0<覺<兀、：.sina>0,cosQ<0,

14.D[函數(shù)/(1)=l+cos(2i+孑)+sin(2?r+：)=1

sina—cosa=②.①X②變形得cos2a—sin?a=

+J^cos2.r,當1G(0,3x)時，當“二時，21=《不能

b68__717

cos2a=-I.sin2a+cos2a=—

使函數(shù)取得最值.所以不是函數(shù)的對稱軸.A錯；當y9

￡時，2a、G卜母可.函數(shù)先增后減.B不正一8—尺

-9,

確；若/(1)=-1,那么cos2]=一此不成立，所以C

7.CF3cos(—6)'cos(7t+6)=0,由誘導公式可得

錯；當。=亍江時,.f(w+a)=l—VFcos2w函數(shù)是偶函

3sinJ—cos0=0,即tan。?.二cos2G+}sin20=

數(shù)，D正確.]

15.2K-1—#[因為/(i)=42sin-cos*----

,.±

cos'e+sin,osg=l+tan/=_L±1

^)一冬=

V2sin2=sinN+COSX-1)=sin卜下+：sin'0+cos"。1+tan20?15

1+T

所以函數(shù)/(1)的最小正周期為2冗；因勢iG[-n,0],

8.A［因為號所以卓〈￡一寧?〈好因為

3K7t

所以H+y，則當工十三=一￡，即nIZ4b4L

T'T

一半時,函數(shù)/(E)在區(qū)間[―兀，0]上取最小值一1

—也14_

2,」

素養(yǎng)提升練一高分必搶

1.B[由cos2a=1—2sin2a,cos2a=,所以sina=sin2x=

?/I-cos2a?1

A/-2-=±2?aG小。卜sina

-1

_■L