舊教材適用2023高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí) 第八章立體幾何第6講空間向量及其運算

第6講空間向量及其運算

下礎(chǔ)知識整合I

□知識梳理

1.空間向量的有關(guān)定理

(1)共線向量定理

對空間任意兩個向量a,?(?≠0),a〃b的充要條件是存在實數(shù)，，使四a=Ah

(2)共面向量定理

如果兩個向量a,Z)不共線，那么向量P與向量a,A共面的充要條件是存在唯一的有序

實數(shù)對(x,y),使畫。=xa+yb.

(3)空間向量基本定理

如果三個向量a,b,C不共面，那么對空間任一向量p存在有序?qū)崝?shù)組{x,y,z},使

得國P=xa+yb+zc.其中,{a,b,c}叫做空間的一個畫基底.

推論：設(shè)O,A,B,C是不共面的四點，則對空間任一點R都存在唯一的三個有序?qū)崝?shù)

-?-A—?-?

X,y,z,使OP=圓X9+避~?~Z在

2.數(shù)量積及坐標(biāo)運算

(1)兩個向量的數(shù)量積

?a*b=?a?6∣cos〈a,b).

②aJLk>≡la?b=O(a,b為非零向量).

③|才=母Z

(2)空間向量的坐標(biāo)運算

設(shè)a=(a,如a?),6=(6"&,ZzO,則

①Ial=，/+請+A；

②a+6=闡(aι+∕?,&+慶，&+—)；

③a—6=畫(a—bi,a—bz,2—A)；

(4)λQI=園(Xa,可念，」a?；

⑤a?6=圜團61+含〃+&加；

⑥設(shè)∕4(xι,y??fzι),B(x"y-2,Z2),貝IJ

—?

/—=圜(，-X],%一力，Z2-Z1);

廠X.,.Lla??+a2fe+aj?

⑦COS(a,6〉=IBI「一一；「?一/,「一?一

-λ∕?+--∣^?、陸小員+質(zhì)

知識拓展

1.證明空間任意三點共線的方法

對空間三點RA,B,可通過證明下列結(jié)論成立來證明三點共線:

(1)Λ4=APB(λSR)；

—?—?-?

⑵對空間任一點O,OP=OA+tAB(teR);

-?―?-?

(3)對空間任一點O,OQxOI+y/(x+y=l).

2.證明空間四點共面的方法

點共面問題可轉(zhuǎn)化為向量共面問題，要證明P,A,B,C四點共面，只要能證明Λ4=x∕R+

yPC,或?qū)臻g任一點0,有(M=OP+xPB+yPC,或%三*的+叩5+ZOC(X+y+z=1)即可.

3.確定平面法向量的方法

(1)直接法：觀察是否有垂直于平面的向量，若有，則此向量就是法向量.

(2)待定系數(shù)法：取平面內(nèi)的兩條相交向量a,b,設(shè)平面的法向量為〃=(X,y,z),由

n?a=0,

解方程組求得.

n?b=0,

□雙基自測

1.已知a=(4+l,0,2),6=(6,2〃一1,24)，若2〃6,則4與〃的值可以是()

111

A.2,2B.-?,2

C.-3,2D.2,2

答案A

6=kA+1

解析Ya〃b,：.b=ka,即(6,2〃-1,2H)=晨久+1,O,2),.,2〃一1=0,

2λ=2k.

,λ=2,?A=—3,

解得彳1或｛1

故選A.

U=-U=—

22'

2.已知a=(—2,1,3),A=(-1,2,1),若aJ.(a-Xb),則實數(shù)X的值為()

Cn14

A.-2B.一—

O

C?;D.2

?

答案D

解析由題意知a?(a—入Zo=0,即a'—Xa?6=0,又疔=I4,a?b=7,Λ14—7λ

=0,/.Λ=2.故選D.

3.在長方體力犯9-4名G〃中，BA+BC+DDx={)

A.IλB?

C.DB^D.BDx

答案D

—?—?—?—?—?—?—?―?—?

解析BA+BC+D隊=C葉BC+DD?=BD+D仄=BDx.故選D.

4.若直線1的方向向量為a=(1,0,2),平面a的法向量為〃=(一2,0,—4),則()

A.1//aB.7±a

C.aD.1與a相交但不垂直

答案B

解析'.'a—(1,0,2),n—(—2,0,—4),.,.n--2a,即a〃〃，二α.故選B.

5.已知點P是平行四邊形/政力所在的平面外一點,如果/8=(2,-1,-4),/P=(4,2,0),

—?—?—?

AP^(-1,2,-1).對于結(jié)論：①"_U8；②"U。；③"〃M其中正確的是(填

序號).

答案①②

—?—?—?—?—?—?

解析因為47?∕Q0,AP-AD=O,所以ΛPVΛD,則①②正確；因為劭=〃>-

-A―?—?—?

49=(2,3,4),AP={-?,2,-1),所以劭與力環(huán)平行，故③錯誤.

-A-A

6.已知O(0,0,0),4(1,2,3),庾2,1,2),一(1,1,2),點0在直線卯上運動,當(dāng)QA?QB

取最小值時，點0的坐標(biāo)是.

答案?(44r5

解析由題意，沒Qg?QP,即8=(4,Λ,24),則2=(1-4,2-Λ,3-24),

―?—?—?

QB-(2—λ,1—A,2—2X),所以04?QB-(1一4)(2—4)+(2—4)(1—4)+(3—24)(2

，、

—24)=61一16a+10=60—g4j\—2當(dāng)X=g4時有最小值,此時點O的坐標(biāo)為?［j4，y4，8?j.

核心若向突破I

考向一空間向量的線性運算

例1如圖所示，在平行六面體ABCD-ABa及中,設(shè)44=a,AB=b,AD=c,M,N,P

分別是44，BC,G4的中點，試用a,b,C表示以下各向量：

(l)Λp;(2)4Λ?(^)MP+NG.

解(I)'.?一是G〃的中點，

—?-?—?―>

.?AP=AAι+Aιlλ+∕λP

f1f

=a+ΛD+-DιCι

L

=a+c+~^ΛB

=a÷c÷~A.

⑵??"/是比的中點，

-A-A-A-A

：.AxN=AxA+ΛB+BN

］一

=-a+b+~BC

］一

=^a+b+~AD

=—a+?÷~c.

⑶；"是44的中點，

—?—?—??—?—?

???MP=MΛ+AP=-Λ^Λ+ΛP

=-%+(a+c+))

Ka+/+，

.A,,A■1A■■??A1"A?

又NG—M7+CC?—∕6C+AAi--AJ)+AAi--c+a,

a+2c

觸類旁通J用已知向量表示某一向量的方法

(1)結(jié)合已知向量和所求向量觀察圖形.

(2)將已知向量和所求向量轉(zhuǎn)化到三角形或平行四邊形中.

(3)利用三角形法則或平行四邊形法則把所求向量用已知向量表示出來.

即時訓(xùn)練1.在三棱錐行極?中，MN分別是以，比1的中點，G是的重心,

用基向量力，OB,O俵示OG,MG.

^"^*^--->?-*■2-**^^*2---*^-^*?2?-*■—*■—>?-??—??

解OG=0A-?~AG=OA+^AN=OA-?--(ON-OA)=OA+-τ-OB+OC—如=Wfl4+可防+可

??OOO

OC.

ffffIfLjfJfLLJfJf

MG=%-/=科+§如+嚴(yán)-/=飛。什”+產(chǎn)

考向二共線向量與共面向量定理的應(yīng)用

例2已知￡,F,G,〃分別是空間四邊形4?∕的邊16,BC,CD,物的中點，用向量方

法求證：

WE,F,G,〃四點共面;

⑵劭〃平面EFGH.

1■,?AAA?ι?*A'?,1??，AA

證明⑴連接班,EG,奧?EG=EB+BG=EB+](BC+B"=EB+BF+EQEF+EH,由共面

向量定理知￡F,G,〃四點共面.

TffIfIflffIf

②因為EH=AH—AE=7D~5AB=小D-AB)=~BD,

又aH,D,8四點不共線,

所以EH//BD.

又E3平面EFGH,B及平面EFGH.

所以劭〃平面EFGIL

觸類痢?J證明三點共線和空間四點共面的方法比較

三點(RA,而共線空間四點(MP,力，)共面

―?—?—?—?—?

PA=/期且同過點。MP=xMΛ+yMB

—?―?—?―?—?—?-?

對空間任一點“OP^OA+tAB對空間任一點O,OP=OM+xMA+yMB

—?—?-A

--?--?-A對空間任一點。，OP=XOM+yOA+X-

對空間任一點。，OP=xOA+{?-^)OB―?

y)OB

即時訓(xùn)練2.已知a=(2,1,-3),6=(—1,2,3),c=(7,6,4)，若a,b,C三向

量共面，貝IJ4=.

答案一9

解析由題意知C=Xa+yb,即(7,6,4)=x(2,1,—3)+y(—1,2,3),工

Γ2%-y=7,

?%+2y=6,解得A=-9.

〔一3x+3y=Λ,

精準(zhǔn)設(shè)計考向，多角度探究突破

考向三空間向量的數(shù)量積

角度1坐標(biāo)法

—?—?

例3已知空間三點力(一2,0,2),5(-1,1,2),C(-3,0,4),設(shè)a=4氏b=AC.

(1)若∣c∣=3,豆c/1BC,求c；

⑵求a與b夾角的余弦值；

⑶若ka~?~b與后一26互相垂直，求左的值.

解(D：c〃6G?c=mBC=m~2,-1,2)=(—20，~m,2ni).

.*.Ic∣=y∣~—2m^^7÷一^-nι^^j÷~2nι^^5=3∣m?=3,.*.m=±1.

.?.c=(-2,—1,2)或c=(2,1,—2).

(2)Va=(l,1,0),Δ=(-l,0,2),

Λa?b=(l,1,0)?(-1,0,2)=-b

又∣a∣=√FTFT^=√l

b?=7~-1^^2+02÷22=-?[δ,

?/八a，b-1v?θ

abyj[Q10

??.a與6夾角的余弦值為一噂.

(3)V?+?=(A-l,k,i),kaTb=(k+2,k,-4),

.?.(A—l,k,2)?U+2,k,-4)

=(A-I)(k+2)+A2-8=0.

:?k=2或4=-].

5

即當(dāng)ka+b與〃8-26互相垂直時，A=2或k=~~.

角度2基向量法

例4已知平行六面體ΛBCD-A?B?CD?中,底面/政力是邊長為1的正方形，/4=2,ZAtAS

=/449=120°.

(1)求線段力G的長；

(2)求異面直線AQ與4〃所成角的余弦值；

(3)證明：AAJBD

解(D如圖所示，設(shè)力”=2

AD=b,AAi=c,

則Ial=Ibl=1,Ic?=2.

a?b=0,

a?c=b?c=2×1×cos120o=—1.

AG=AB+BC+Ca=a+b+c,

.β.IACi12=(a+6+c)2=a'-?-l)-?-c+2a?b-?-2a?c~?~2b?c—1+1+22—2—2=2.

-A

.?.MGl=√I即線段AG的長為［I

(2)VACl=a+b+c,A1D=b-c,

—?—?

22

??AC↑?AiD=(a+?+c)?(Z?—c)—a?b—a?c~?~6-b?c+b?c—c=1+1-2=-2.

-?-A

又∣4"∣2=(?-C)2=A2+c-2b?C=I+4+2=7,Λ∣A?D?=y∣7?

―?―?

Λcos(后焉=上處=行"=—理

I力拓Ia小7

異面直線ACi與4。所成角的余弦值為乎.

(3)證明:VJJi=C,BD=b-a>

.?AΛι?BD=c?(A—a)

=c?b—c?a=-1—(―1)=0.

：.AAiLBD9即44J_RZ

觸類旁通］

1.空間向量數(shù)量積計算的兩種方法

(1)基向量法:a?b=?a??b?cos<a,b〉.

⑵坐標(biāo)法：設(shè)a=(xι,71,Zi),6=(如72,Zl),

則a?b—x?Xι-?-y?yzλ-Z?Z2.

2.利用數(shù)量積解決有關(guān)垂直、夾角、長度問題

(l)a≠0,b≠0,aLb<^a?b=0.

(2)!a∣=\標(biāo).

a?b

(3)cos〈a,b)

ab,

即時訓(xùn)練3.(2021?云南昭通模擬)已知4(1,0,0),8(0,-1,1),。為坐標(biāo)原點,

物+4仍與行的夾角為120°,則A的值為()

A.

vθ

C.D.±y∣6

一6

答案C

4+√l

解析由的+4仍=(1,-AA),OB=(0,-1,1),則COSI200

9y∣1+2Λ2?y∣2

-1,解得才=±*.經(jīng)檢驗才=差不符合題意，舍去，所以a

4.如圖，在四棱錐產(chǎn)一四切中，底面/靦為直角梯形，AD//BC,NBAD=90：Ea底

IffABCD,且為=4O=∕8=28G"為％的中點.

(1)求證：PB1DM；

⑵求“'與如所成角的余弦值.

解⑴證明：結(jié)合題圖知，PB=AB-AP,

一1一f

DM=I(DP+DO力二同于+導(dǎo)何

If]f

則陽?DM=(JB-AK^AB?'1--?AP?2^,故PBlDM.

⑵設(shè)PA=AgAB=2BC=2,

―?—?—?—?―>?—?

由于陽="-仍AC^-AB+^AD,

貝”即F=IAT-"|2=44-2/〃?"+/尸=8,i?∣∕?∣=2√2,

Ma2=ΛB+-ΛD2=?AB?'-?-2AB?-ADΛ--?AD?2=^,故|[。|=仍，

N/4v

ffffLL、

PD?AC=(AD-AP)??AB+-AD?=2f

故COS[PD,AO=廠2=耍.

2√2×√510

課時除亞I

1.已知a=(2,3,—4),6=(—4,—3,—2),b=^x~2a,則X=()

Λ.(0,3,-6)B.(0,6,-20)

C.(0,6,-6)D.(6,6,-6)

答案B

解析由￡>=~%—2a,得X=4a+26=(8,12,—16)+(—8,—6,—4)=(0,6,—20).故

選B.

—?—?-?

2.若O,A,B,C為空間四點，且向量如，OB,。壞能構(gòu)成空間的一個基底，則()

―?―?—?―?―?

A.OΛ,OB,。供線B.OA,明專線

―?―?

C.OB,戈洪線D.O,A,B,。四點共面

答案D

―?―?—?—?―?—?

解析；向量以，OB,比不能構(gòu)成空間的一個基底，；.向量的，OB,比共面，因此。，A,

B,C四點共面.

—?―?—?-?

3.(2021?江西鷹潭模擬)在空間四邊形力靦中，49=a4C=6,47=c,則混于()

A.a-?-b-cB.c——a-b

C.a-b—cD.b-a+c

答案B

―?―?—?―?—?—?

解析如圖所示，CD=CBJfBD=CB+(AD—AB)=-b+c-a=c—a—b.椒選B.

4.已知向量a=(l,0,-1),則下列向量中與a成60°夾角的是()

A.(-1,1,0)B.(1,-1,0)

C.(0,-1,1)D.(-1,0,1)

答案B

解析經(jīng)檢驗，B中向量(1,一1,0)與向量a=(1,0,-1)的夾角的余弦值或，即它們

的夾角為60°.故選B

5.已知平面α內(nèi)有一個點M(1,-1,2),平面。的一個法向量是〃=(6,—3,6),則

下列點尸在平面α內(nèi)的是()

A.A2,3,3)B.戶(一2,0,1)

C.2(一4,4,0)D.尸(3,-3,4)

答案A

—?—?-?

解析?.F=(6,—3,6)是平面。的法向量，,AL"在A中，物三(1,4,1),???〃?.,護

=O故選A.

—?—?-?

6.棱長為1的正方體4Mλ-48d4中，AB-(DD?—D0=()

A.-1B.0

11

c?2D-4

答案B

-?----??----?-A

解析ABt?(ZM=倔?8=0.故選B.

7.(2022?大慶一中模擬)如圖，在空間四邊形被力中，若向量/8=(-3,5,2),G9=(-

7,-1,-4),點反廠分別為線段比；4〃的中點，則笛的坐標(biāo)為()

A.(2,3,3)B.(—2,—3,—3)

C.(5,-2,1)D.(—5,2,-1)

答案B

-**1->，35??-(7

解析取然的中點M,連接磔,版,,監(jiān)=5四=一5,5，1LMF^-CD^[-∑,一5，-2

乙\乙乙J乙\乙乙

而EF=MF-ME=(-2,-3,-3),故選B.

8.已知長方體/成為一454〃，下列向量的數(shù)量積一定不為0的是()

A.AD1?B1CB.BDx?AC

—?-?―?—?

C.ΛB?ARD.BhBC

答案D

解析當(dāng)側(cè)面ECG臺是正方形時，得Λβ?B?C=0,所以排除A；當(dāng)?shù)酌?發(fā)力是正方形時,

得力。垂直于對角面9，BDx?AC=O,所以排除B；顯然在，側(cè)面月〃〃4,則很?∕l"=0,所

以排除C；由題圖可得薇與笈所成的角小于90°.故選D.

9.已知兩個非零向量a=(句，a2,曷)，b=(b?,bi,&),它們平行的充要條件是()

ab

兒藺=兩

B.a↑b?=a^bi=asbs

C.a↑bι+a2b2+aibi=O

D.存在非零實數(shù)4,使a=行

答案D

ab

解析首先排除B；C表示當(dāng)a〃b時，有——=±,故A錯誤.故選D.

a7πb

10.(2021?安徽合肥模擬)已知向量a=向2,3),6=(—2,-4,-6),∣c∣=√M,

若(a+6)?c=7,則a與C的夾角為()

A.30oB.60°

C.120oD.150°

答案C

解析由于<s+b=(-L—2,—3)=-a,故(a+b)?c=-a?c=7,即a?c=-7.

又因為Ial=MFT聲1=MTL所以CoS<a,c)=：:=V,所以〈劣0〉=120°.

—?—?—?

11.已知正方體48(力一484〃，如圖所示，￡為上底面45G〃的中心，若/IE=∕4+M8

+%。，則X,y的值分別為()

A.x—y—1B.x=l,y=~

11

C.X-y-2D.X--,y-?

答案C

>>???>?>>>

解析由向量運算的三角形法則知，AE=AAi+A,E,而4Qg4G,4G=48∣+8G,又AB

―?—?―?—?—?—?—?—?—?I―?I—?I

=ABfBC=BC=AD,*.A?C?=AB-VAD,.*.AE=AA↑+~^ABΛ-^AD,Λx=y-~^

12.(2022?雅安模擬)4B,C,〃是空間不共面的四點，且滿足48?力C=0,AC-AD=Q,

46?4>=0,材為用的中點，則跖是()

A.鈍角三角形B.銳角三角形

C.直角三角形D.不確定

答案C

―?I-?-A—?—??―?—?—?I-?—??

解析為優(yōu)的中點，.,.AM=-(ΛB+AO.：.AM>ΛD=-{ΛB+ΛC)?Λβ=~Λβ?ΛD+~

AC?AD=O,：.AMLAD,為直角三角形.故選C.

13.在空間直角坐標(biāo)系中，以點/(4,1,9),8(10,—1,6),C(X,4,3)為頂點的4/8C是

以鴕為斜邊的等腰直角三角形，則實數(shù)X的值為

答案2

解析由題意知48?4C=0,?AB?-?AC?,

又AB=(6>—2,—3),AC^(X—4,3,—6),

6X-4-6+18=0,

解得X=2.

X—42=4,

"1>',A-11A?2

14.如圖所示，在空間四邊形十％中，OA=a,OB=b,QC=C,點"在勿上，且〃Iz=W

以，點N為比的中點，則腸V=(用向量a,b,C表示).

O

211

案

答?4

1a一

3+-"2

-

21221!

解析MN=ON—OM=5(OB+Oc)--OA=-za+-b+^c.

乙?。乙乙

15.(2021?河南信陽模擬)如圖所示，正方體/比力-45G4的棱長為1,若動點P在線