新高考數(shù)學(xué)（B）人教A版一輪復(fù)習(xí) 課時規(guī)范練38 空間幾何中的向量方法

課時規(guī)范練38空間幾何中的向量方法

基礎(chǔ)鞏固組

1.已知二面角a步的兩個半平面a與P的法向量分別為a,b,若＜a,b＞三，則二面角a/￡的大小為（）

A.|B與

弓嵋D

2.兩平行平面a,夕分別經(jīng)過坐標(biāo)原點。和點4（2,1,1）,且兩平面的一個法向量n=（l,0,1）,則兩平面間的

距離是（）

A.|B.yC.V3D.3V2

3.

已知四棱錐PABCD的底面ABCD是邊長為2的正方形,P4=PO=*，平面/8C。丄平面PAD,M是

PC的中點，。是ND的中點，則直線8M與平面PC。所成角的正弦值是（）

A年B竿

V85卜8V85

C?而D育

4.

如圖，空間正方體Z8CD48QA中,MN分別是CD,CG的中點，則異面直線小陽與ON所成角的大

小是（)

D.?

5.如圖所示，已知四棱錐PABCD中，底面/8CO是菱形，且尸/丄平面ABCD,PA=AD=AC,^FPC

的中點，則二面角C8FQ的正切值為（）

A塀B.f

64

C.苧D萼

6.若直線/的方向向量a=(2,3,1),平面a的一個法向量n=(4,0,1),則直線/與平面a所成角的正弦值

為.

7.已知點E,尸分別在正方體4BCDABCD的棱BB\,CCi上，且8|E=2E8,CF=2"j,則平面4EF與平

面/8C所成的二面角的余弦值等于.

8.

(2019遼寧育才學(xué)校模擬,19)在四棱錐PABCD中，側(cè)面產(chǎn)力。丄底面底面/8C。為直角梯形,8C

//AD,ZADC=90°,BC=CD=^AD=\,PA=PD,E,F分別為AD,PC的中點.

⑴略；

(2)若PE=EC,求二面角FBEA的余弦值.

9.

(2019四川廣安診斷一,19)如圖，在棱長為2的正方體中,M是線段上的動點.

⑴略；

⑵略；

(3)判斷點拉到平面小囪C的距離是否為定值?若是，求出定值;若不是，請說明理由.

綜合提升組

10.已知在正四面體N8CD中,E為棱4。的中點，則CE與平面的夾角的正弦值為()

A.yB.yC.1D.y

11

(2019江蘇蘇州考前模擬)在四棱錐PABCD中/B//CD4B=2CD=2BC=2AD=4,N

DAB=60Q^E=BE^PAD為正三角形,且平面PAD丄平面ABCD.

(1)求二面角PECD的余弦值;

⑵略

12.

(2019江西名校5月聯(lián)考,18)已知空間幾何體Z8CDE中,△8C。與△€?￡>￡■均為邊長為2的等邊三角

形,ZUSC為腰長為的等腰三角形，平面C0E丄平面88,平面/8C丄平面BCD.

⑴略；

(2)求直線BE與平面AEC所成角的正弦值.

13

如圖，平面/8OE丄平面N8CC/8C是等腰直角三角形〃C=5C=4,四邊形/8DE是直角梯形,8。〃

AE,BD丄B4BD44E=2,O,M分別為CE/B的中點.

(1)求異面直角與CE所成角的大小；

(2)求直線8與平面。。用所成角的正弦值.

創(chuàng)新應(yīng)用組

14

在三棱錐ABCD中〃8=ZD=8Z)=2,8C=DC=変,/C=2.

(1)求證丄/C;

(2)點尸為NC上一動點，設(shè)。為直線BP與平面ACD所形成的角，求sin。的最大值.

15

(2019陜西咸陽模擬一,19)如圖，在四棱錐PN8CZ)中，底面/BCD是菱形，/

ABC=\20°,PA=PC,PB=PD4CCBD=0.

(1)求證:尸。丄平面

(2)若PN與平面N8CD所成的角為30°，求二面角8PCZ)的余弦值.

參考答案

課時規(guī)范練38空間幾何

中的向量方法

1.C由于二面角的范圍是［0兩,而二面角的兩個半平面a與P的法向量都有兩個方向，因

此二面角aW的大小為冢等，故選C.

2.B兩平面的一個單位法向量加=(-圣0,苧)，故兩平面間的距離(1=研110尸爭

3.

D以。為原點,以褊、方和方為x軸/軸/軸正方向,建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

由題可知0(0,0,0),尸(0,0,2),5(1,2,0),。(1,2,0),貝麗=(0,0,2),而=(1,2,0),

丁威是PC的中點，.:西=(|,1,1).

設(shè)平面尸CO的一個法向量n=(xj2),直線8〃與平面PCO所成角為仇

則『亞=2z=。,可取12丄0),

sin^=|cos<gM,n>|=-n=-r=-——=?故選D.

13^凹f'同居85

4.D以。為原點,ON,OC,。。所在直線為坐標(biāo)軸建系(圖略)，設(shè)棱長為

1岀(1,0,1),〃(0,1,0)Q(0,0,0),N(0,1,則

9=(弓I),麗=(0,《),cos<砌面〉:篇款=0..：<M4,DN>=^.

5.D如圖所示，設(shè)ZC與8。交于點O,連接。上以。為坐標(biāo)原點,08。。。/所在直線分

別為x軸,y軸,z軸建立空間直角坐標(biāo)系Oxyz.

設(shè)PA=AD=AC=\M瓦>機,所以

(9(0,0,0),5(y,0,0),F(0,0,1),C(0,1,0),0C=(0,1,0)，易知瓦為平面BDF的一個法向量，由

前=（多*，而=（*）,9,可得平面8"的一個法向量為n=（l,V3,V3）.O

cos<n,赤〉嚀,sin<n萬］>=苧，所以tan<n,而>=苧.故二面角CBFD的正切值為竽.

6.竇由題意，得直線/與平面a所成角的正弦值為端=懸后=要.

7.

響如圖,建立空間直角坐標(biāo)系.設(shè)正方體的棱長為1,平面/8C的一個法向量為

1=(0,0,1),平面AEF的一個法向量為n2=(x,y/).所以Z(1,0,0),E(1,1,；),尸(0,1,|),

n

y+|z=0,

0,

所以殍（漏）而國），吸嚅二即

-FF=0,-%+1z=0.

取x=l,則y=l,z=3.故112=(1,1,3).

匕匕［、］,Hi-n?3VI1

所以cos<nim>=鬲兩=丁.

所求二面角的余弦值為誓.

8.解（2）由題意可知PE丄平面4BCD,BE丄4D,如圖所示FE=EC=dED2+DC?=a，以E

為原點,EA,EB,EP分別為x,w建立直角坐標(biāo)系，

則￡(0,0,0),41,0,0)以0,1,04另，辛).

平面ME法向量可取n=（0,0,1）,

平面ESE中麗=（0,1,0）即=（另，苧）.設(shè)平面E5E的一個法向量為m=（a,b,c）,則

nvEB=0,

m-EF=0,

'b=0,

即1丄1厶丄/_

--cz+—p+—c—n0.

取c=l,得m=(V2,0,l),

1_V3

cos<m,n>=VJ=T-

由圖得二面角FBEA的平面角為鈍角，所以二面角FBEA的余弦值為

9.解(3)因為在正方體NC8D4C山Qi中〃8〃/山丿1囪(=平面平面A\B\C,/.

45〃平面4B1C.

.:點”到平面48c的距離等于上任意一點到平面4BC的距離.

取點"為48的中點.

丁在正方體中,C8,C4CCi兩兩互相垂直，

則建立空間直角坐標(biāo)系Cx》z如圖所示，

則M(l,1,0)41(0,2,2),3(2,0,2),C(0,0,0).西=(1,1,2),函=(2,0,2),兩=(0,2,2),設(shè)

112=(X202/2)為平面N|81C的法向量，

則,2?畐=°，012y2+2Z2=0,

[yCB]=012%2+2Z2=0,

取乃=1,則y2=1^2=l,.^n2=(l,l,l).

點M到平面48c的距離]=粵牛=4=竽....點”到平面48°的距離定值

|n2|V33

10.B作NO丄平面BCD于點、O,則。是△BCD的中心，以。為坐標(biāo)原點，直線OD為y

軸，直線OA為z軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

設(shè)—=2,則0(0,0,0)/(0,0,竽),C(l,y,0),E(0,半苧)，

一=(0,0,竽)，厘=Q等，爭,,:cos＜或范=謠靜=武W=恭CE與

1111——XVD

平面BCD的夾角的正弦值為當(dāng).

11.解⑴設(shè)O是中點，：,△RW為正三角形，.:PO丄/D：,平面丄平面N6C。,.：

PO丄平面ABCD.

又AD=4E=2,/DAB=60°,

.為正三角形,OE丄/。，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系Oxyz,

則P(0,0,V3),^(0,V3,0),C(2,V3,0),0(1,0,0),

于是定=(2,百，百)，屍=(0,百,百),加=(1,0,g),

設(shè)平面PEC的法向量為ni=(x,y,z),

由戸？，111=0,方工尸。,得一個法向量為m=(0,1,1),設(shè)平面EOC的一個法向量為

112=(0,0,1),

設(shè)二面角PECO的平面角為仇

則|cos例=|cos<ni,H2>|=^=y.

由圖知。為銳角，所以，二面角PECO的余弦值為苧.

12.解(2)以CD中點。為坐標(biāo)原點。。所在直線為x軸,08所在直線為y軸,OE所在直

線為z軸,建立空間直角坐標(biāo)系.C(1,0,0),￡(0,0,遅),8。遅,0),4(1,y,2V3),5F=(0,V3,V3),

設(shè)n=(x,*)丄平面NEC，|^=一卜+孚丫卡島=o,

x=-V3,

y=-3,

-z=1.

..74V32V26

??sma=co1sO=K^=F-.

即所求角的正弦值為譽.

13.解⑴：7)8丄8/,平面/8DE丄平面/8C,平面/BOEfl平面A8C=A8Q8u平面ABDE,

.：。8丄平面ABC.

78D〃/E,.：EN丄平面ABC.

如圖所示，以C為坐標(biāo)原點,分別以C4cB所在直線為xj軸,以過點。且與￡4平行

的直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系.

:NC=8C=4,.：C(0,0,0)44,0,0),8(0,4,0),E(4,0,4).

???通=(4,4,0),聲(4,0,4).

—>―>.161

.：cos</“E>=石而夜亍

.：異面直線”與CE所成角的大小為半

(2)由(1)知。(2,0,2),。(0,4,2),加(2,2,0),；.而=(0,4,2),而=(2,4,0),而=(2,2,2).

設(shè)平面O0M的法向量為n=(x,y,z),

則由卜丄匹可得『紀(jì)?°

[n1MD,(-2%+2y+2z=0.

令x=2,則_y=l,z=l,.：n=(2,l,l).

設(shè)直線CD與平面所成的角為“

則sin6=|cos<n,而>|=墨=禦，.：直線CD與平面ODW所成角的正弦值為

\n\\CD|10

V30

To-,

14.

解⑴證明:取BD中點瓦連接AE,CE,*.NB=AD=BD=2,又E為BD中點，.:ZE丄3。,

同理可得CE丄BD,又AECCE=E,

.：8。丄平面ZCE,又NCu平面ACE,.\BDLAC.

(2)VAB=AD=BD=2,BC=DC=y/2,

:."CD為直角三角形，且AE=y/3,CE=1,.\AE2+EC2=AC2,

.：N/EC=],即AELEC,又NE丄8。所以ZE丄平面BCD以E為坐標(biāo)原點,EC為x

軸,為y軸,EN為z軸建立如圖直角坐標(biāo)系Exyz.

則8(0,1,0),。(0,1,0)0(1,0,0)40,0遍)，設(shè)

P(xo,yo/o),4P=/u4C(OW/lWl),AC=(l,O,V^),AP=(xojo,zoV5),.：

(xo,yo^oV3)=A(1,0,V3)=(2,0,V3A),

%o=入，仔0=入，

yo=°，即卜o=0，

ZQ-Y/3=入,(z()=V3-V3A,

.：PG,0,V3-V3A),FP=(A,1,V3-毎)，育=(0,1,g),虎=(1,1,0),設(shè)n=(xi/i/i)是平

面心的