2023-2024學(xué)年河北省辛集市高二年級(jí)上冊(cè)期末數(shù)學(xué)模擬試題（含答案）

2023-2024學(xué)年河北省辛集市高二上冊(cè)期末數(shù)學(xué)

模擬試題

一、單選題

I.數(shù)學(xué)家歐拉在1765年發(fā)現(xiàn)，任意三角形的外心、重心、垂心位于同一條直線上，這條直

線稱為歐拉線.已知一ABC的頂點(diǎn)A(2,0),B(0,4),若其歐拉線的方程為x-y+2=0,則頂

點(diǎn)C的坐標(biāo)為()

A.(-4,0)B.(-2,-2)C.(-3,1)D.?-2)

【正確答案】A

【分析】設(shè)C。"，")，計(jì)算出重心坐標(biāo)后代入歐拉方程，再求出外心坐標(biāo)，根據(jù)外心的性質(zhì)

列出關(guān)于機(jī)，〃的方程，最后聯(lián)立解方程即可.

【詳解】設(shè)由重心坐標(biāo)公式得，

三角形ABC的重心為(號(hào)，誓)，

代入歐拉線方程得：誓-半+2=0,

整理得：加一九+4=0①

AB的中點(diǎn)為(1,2),心Zf=言=-2,

48的中垂線方程為y-2=g(x-l),g∣Jx-2y+3=0.

z?[x-2v+3=0J,[x=-?

聯(lián)立?,解得1.

[x-y+2=0[y=1

.?.AfiC的外心為(Tl).

則("+1)2+5-1)2=3?+『=10,

整理得：m2+n2+2m-2n=8@

聯(lián)立①②得：m=-4,〃=0或〃?.=0,n=4.

當(dāng)“7=0,〃=4時(shí)B,C重合，舍去.

，頂點(diǎn)C的坐標(biāo)是(-4,0).

故選：A.

關(guān)鍵點(diǎn)睛：解決本題的關(guān)鍵一是求出外心，二是根據(jù)外心的性質(zhì)列方程.

2.己知兩點(diǎn)A(-3,4),B(3,2),過(guò)點(diǎn)P(LO)的直線1與線段AB有公共點(diǎn)，則直線1的斜率

k的取值范圍是()

A.(-1,1)B.(70,—l)kj(l,+<z))

C.[-1,1]D.(-<x>,-l]u[l,+∞)

【正確答案】D

【詳解】分析：根據(jù)兩點(diǎn)間的斜率公式，利用數(shù)形結(jié)合即可求出直線斜率的取值范圍.

詳解：：點(diǎn)A(-3,4),B(3,2),過(guò)點(diǎn)P(1,0)的直線L與線段AB有公共點(diǎn)，

.?.直線1的斜率k>kPB或k<kPA,

?.?PA的斜率為=-1,PB的斜率為蕓=L

-3—13—1

...直線1的斜率kNl或kW-1,

故選D.

點(diǎn)睛：本題主要考查直線的斜率的求法，利用數(shù)形結(jié)合是解決本題的關(guān)鍵，比較基礎(chǔ).直線

的傾斜角和斜率的變化是緊密相聯(lián)的，tana=k,一般在分析角的變化引起斜率變化的過(guò)程時(shí)，

是要畫出正切的函數(shù)圖像，再分析.

3.等比數(shù)列｛4｝的前〃項(xiàng)和為S,,,已知SH)=I0,S20=30,則S.=()

A.270B.150C.80D.70

【正確答案】B

【分析】根據(jù)題意等比數(shù)列｛4｝的公比4≠-1,由等比數(shù)列的性質(zhì)有SH)=I0,

S20-SM,S30-S20,成等比數(shù)列，可得答案.

【詳解】根據(jù)題意等比數(shù)列｛%｝的公比4≠T.

由等比數(shù)列的性質(zhì)有H°=ιo,‰-S10,‰-S20,成等比數(shù)列

所以有SK)=I0,%-Eo=20,則S30-$20=40,S40-530=80

所以S30=4()+S20=7。，S40=8O+S3o=150

故選：B

本題考查等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和的性質(zhì)的應(yīng)用,屬于中檔題.

72

4.已知雙曲線C：q-《=l(a〉O力＞0)的右焦點(diǎn)為F,關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱的兩點(diǎn)A、B分別在

雙曲線的左、右兩支上，AFFB=O,38F=FC且點(diǎn)C在雙曲線上，則雙曲線的離心率為

()

A.√2B.巫C.下ID.2

2

【正確答案】B

由點(diǎn)A、B關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)B(XM,則A(—x,-y),利用38F=尸C，得C(4c-3x,-3y),

再利用AGF8=0得到關(guān)系式c2=V+y2,再用點(diǎn)C、B在雙曲線上，三個(gè)式子聯(lián)立求解得

到/+2c2=34瘍工*化簡(jiǎn)得到2∕-7e2+5=0,即可求得雙曲線的離心率.

【詳解】由點(diǎn)A、8關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，設(shè)8(x,y),則A(r,-y)

UlWUUU

產(chǎn)(G0),設(shè)C(m,%),,B∕7=(c-x,-y),FC=(m-c,n)

uuuUiUi[3(c-χ]=m-c[ιn=4c-3x々，-

Q3BF=FC^?'J=公，即rtC(4c—3x,-3y)x

[-3y=n[n=-3y

UUUlUlIULMIUUU

QAFFB=0^A尸=(C+x,y),BF=(c-x,-y)

利用向量數(shù)量積公式得：(c+x,y)?(c-x,-y)=0,即c?=/+/①

又點(diǎn)C、B均在雙曲線上，

?TW=1②，(4i)[{∑?Lι③

aba2h2

由①②③可得：a2+2C2=3a?∣2c2—a1

2

兩邊同時(shí)除以〃2可得：ι+2e=3√27≡I

兩邊同時(shí)平方得；(l+2e2)2=9(2^2-l),即2e-7e2+5=0=(2e2-5)(∕-l)=0

又雙曲線的離心率e>l,則/=|,即e=J∣=萼

故選：B.

關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題考查雙曲線的離心率，解題關(guān)鍵是找到關(guān)于“力,c的等量關(guān)系.本題中利

用38尸=FC得到點(diǎn)C坐標(biāo)，利用點(diǎn)C、B均在雙曲線上，得到關(guān)系式，再利用AFJB=O得

到關(guān)系式，三個(gè)式子聯(lián)立得到所要求的等量關(guān)系，考查了學(xué)生的運(yùn)算求解能力，邏輯推理能

力.屬于中檔題.

5.已知圓C的方程為(XT)2+(y-l)2=l,直線/：(3-2，卜+?-1))，+2-1=0恒過(guò)定點(diǎn)4

若一條光線從點(diǎn)4射出，經(jīng)直線x-y-5=0上一點(diǎn)M反射后到達(dá)圓C上的一點(diǎn)N,則

IAMl+1MNl的最小值為()

A.6B.5C.4D.3

【正確答案】A

【分析】先求得定點(diǎn)A的坐標(biāo)，再去求點(diǎn)A關(guān)于直線x-y-5=0的對(duì)稱點(diǎn)8的坐標(biāo)，再去

求點(diǎn)8到圓C上一點(diǎn)N距離的最小值即為∣A"∣+∣MN∣的最小值.

【詳解】圓(X-I)?+(y-l)2=l的圓心C(l,l),半徑r=l

直線/可化為3x-y-lτ(2x-y-2)=0,

[3x-V-I=0fx=-l、

令1x-y-2=0'解得Iy=Y'所以定點(diǎn)”的坐ι標(biāo)為lz(TT).

設(shè)點(diǎn)A(TT)關(guān)于直線x-y-5=0的對(duì)稱點(diǎn)為B(a,b),

?÷4i

-----=TFa=I

由b-4'解得;1-6,所以點(diǎn)8坐標(biāo)為(1,-6).

[22

由線段垂直平分線的性質(zhì)可知，IAM=IBMI,

所以IAWl+1MVl=忸M+∣M7V∣≥忸N∣≥忸CI-r=7-l=6

(當(dāng)且僅當(dāng)8,M,N,C四點(diǎn)共線時(shí)等號(hào)成立)，

所以IAMI+∣MV∣的最小值為6.

故選：A

6.已知直線依+勿一1=（）（。＞（）力＞（））平分圓C：x2+∕-2x-4γ-2017=0,則生的最

大值為（）

1

B2&C√τ2

D.6-

【正確答案】B

【分析】由題意知直線過(guò)圓C的圓心得到α+2b=I,求名的最大值可轉(zhuǎn)化為華='+:

a+babab

的最小值的倒數(shù)，利用基本不等式‘T'的妙用求最值即可.

【詳解】圓C：X2+/-2x-4y-2017=0,圓心C（1,2）,

直線辦+分一1=0(。>0力>0)平分圓C：X1-Vy2-2x-4γ-2017=0,

直線Ox+/-1=O(α>O,h>O)過(guò)圓心C(1,2),gpa+2?=l(a>0,?>0),

a+h111I?、2∕?。八-AC

------=—I—=(z—I--)x(zα÷2b)=-----1----1-3≥2√2+3,

abababab

ab<1(3-2夜)

=3-2√2

a+b^2√2+3^(2√2+3)(3-2√2)

當(dāng)且僅當(dāng)叁=[,即b=上yi,α=0-l,g的最大值為3-2&-

ab2a+b

故選：B

7.設(shè)尸—ABC是正三棱錐，G是ABC的重心，。是PG上的一點(diǎn)，且PO=OG,若

PD=xPA+yPB+zPC,貝IJ(X,%z)為()

512111

AB

---一--

6336，66

【正確答案】B

【分析】G是等邊一ABC的重心，可得AG=+=g（PB-PA）+g（PC-PA）,再由

一1

PD=DG＞可得尸D=KPG,而PG=PA+AG，從而可以將尸G用尸A,P8,PC表示出，進(jìn)

而可求出（χ,y,z）

【詳解】因?yàn)槿忮FP-ASC是正三棱錐，G是./WC的重心，

所以AG=LAB+1AC=J（PB-PA）+J（PC-PA）=』尸8+工PC_2PA,

3333333

因?yàn)?。是PG上的一點(diǎn)，且PO=OG,

所以P。=：PG,

2

因?yàn)镻G=PA+AG，

所以PO=LPG=LPA+'AG

222

22(333)

=~PA+-PB+-PC--PA

2663

=-PA+-PB+-PC,

666

因?yàn)镻D=xPA+yPB+zPC,

所以x=y=z=[,

6

所以a,)'")為(),I!}

故選：B

8.正方體ABCo-AACa的棱長(zhǎng)為1,點(diǎn)E,F,G分別為8C,CC、、中點(diǎn)，現(xiàn)有下

列4個(gè)命題：①直線OA與直線AF垂直；②直線AG與平面的平行；③點(diǎn)C與點(diǎn)G到平

面AM的距離相等；④平面AEF截正方體所得的截面面積為3.其中正確的是()

O

A.①③B.②③C.②④D.①④

【正確答案】C

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法判斷①③的正確性；畫出平面AEF截正方體所

得的截面,由此判斷②④的正確性.

【詳解】建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，

DR=(0,0,1),A(l,0,0),F(O,l,g),AF=(T,l,g),

DbtAF=^≠O,所以①錯(cuò)誤.

嗚J。)，AEd,0),

設(shè)平面AEF的法向量為〃=(乂XZ),

n?AF=-x+y+-z=O

9

則?,故可設(shè)"=(2,1,2)?

n?AE=——x+y=O

I2J

尸G=CB=(1,0,0),所以G到平面AEF的距離為

C尸=[θ,θ,)所以C到平面AE尸的距離為j于卜g,所以③錯(cuò)誤.

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知EFIIBCiIIAD,,A,E,F,R四點(diǎn)共面，

EF=與AD?=6,D?F=AE=與,

所以平面AEF截正方體所得的截面為等腰梯形AEFDt,

根據(jù)正方體的性質(zhì)可知AG∕∕C∣F,由于AGU平面AEF,AFU平面AEF,

所以AG〃平面AEF,所以②正確.

等腰梯形AEF"的高為

√Σ+變

所以等腰梯形AEFD的面積為N"+2

1v_3_9,④正確.

22√2^8

所以正確的為②④.

故選：C

B

二、多選題

9.已知圓。1：/+V=5和圓O?：(X-4)2+V=13相交于4,B兩點(diǎn)，且點(diǎn)A在X軸上方,

則()

A.IAB|=4

B.過(guò)。2作圓。1的切線，切線長(zhǎng)為2√∏^

C.過(guò)點(diǎn)A且與圓。2相切的直線方程為3x-2y+l=0

7

D.圓。I的弦AC交圓。2于點(diǎn)。，。為AC的中點(diǎn)，則AC的斜率為5

【正確答案】ACD

【分析】根據(jù)給定條件，求出點(diǎn)A,8的坐標(biāo)，再結(jié)合圓的性質(zhì)逐項(xiàng)分析、計(jì)算判斷作答.

χ2+V2=5C?—?

【詳解】依題意，由/?"2S解得一心，則41,2),5(1,—2),

(x-4)2+/=13[y=±2

圓。1的圓心α(0,0),半徑4=石，圓。2的圓心。式4,0),半徑

IABI=4,A正確；

過(guò)O?作圓O∣的切線，切線長(zhǎng)為JlORFF2=而,B不正確；

?_n?3

直線AR的斜率為％=衿=-3,過(guò)點(diǎn)A且與圓。2相切的直線斜率為彳，該切線方程為

1—432

y-2=?∣(x-l),

即3x-2y+l=0,C正確；

因。為圓Oi的弦AC的中點(diǎn)，則OQLAC,于是得點(diǎn)。在以線段。4為直徑的圓

X(X-I)+y(y-2)=0上，

fx(x-l)+y(y-2)=07

而點(diǎn)。在圓。2上，則由,八a得直線AZ)的方程7x-2y-3=0,其斜率為：，

[(x-4)^+/=132

D正確.

故選：ACD

,,

10.己知數(shù)列｛%｝滿足4=1,?+l=lg(10"+9)+l,其前”項(xiàng)和為S“，則下列結(jié)論中正確的

有()

A.｛%｝是遞增數(shù)列B.｛%+10｝是等比數(shù)列

C.2?+1>an+an+1

【正確答案】ACD

【分析】將遞推公式兩邊同時(shí)取指數(shù)，變形得到10%"T=IO+9,構(gòu)造等比數(shù)列可證

｛10冊(cè)+10｝為等比數(shù)列，求解出｛4,,｝通項(xiàng)公式則可判斷A選項(xiàng)；根據(jù)

2

(a,+10)(?+10)≠(a2+10)判斷B選項(xiàng)：根據(jù)的通項(xiàng)公式以及對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則計(jì)算

w

2an+l-(an+an+2)的正負(fù)并判斷C選項(xiàng)；將｛4｝的通項(xiàng)公式放縮得到?<lg(2×10)</?+1,

由此進(jìn)行求和并判斷D選項(xiàng).

【詳解】因?yàn)?=Ig(IO%+9)+1,所以%-1為g(10%+9),

從而KrTT=I(T"+9,=IOXl(T”+90,所以10"””+IO=IOX(IO%+10),

所以W：=10,又IOs+10=20,｛10""+10｝是首項(xiàng)為20,公比為10的等比數(shù)列，

所以10"”+10=20X10"T=2X10",所以10"”=2“10"-10,即q=Ig(2x10"-10),

又因?yàn)閥=2χl0"-10在〃∈[1,M),"∈N*時(shí)單調(diào)遞增，y=Igx在定義域內(nèi)單調(diào)遞增，

所以｛α,,｝是遞增數(shù)列，故A正確；

因?yàn)?+10=11,%+10=愴190+10=但19+11,0,+10=年1990+10=愴199+11,

所以(％+IO?-(4+10)(4+10)=(IgI9+11)?-Il(Igl99+11)=lg219+221gl9-lllgl99,

所以(4+IO)?-(q+10)(/+1。)=但219+1llglf—lllgl99=Ig?19+1Ilg哉>0,

所以(4+10)(/+1。)=(%+IO)?，所以｛/+10｝不是等比數(shù)列，故B錯(cuò)誤.

因?yàn)?%-(4+%+2)=21g(2xl0""-IO)Tg(2xl(T-10)-lg(2xI0"+2-K))

,~(2x10"M-IO)*,(2x10"-if

一'S(2×10πt'-10)(2×10n42-10)—lg(2×10"^'-l)(2×10,,4l-l)，

而(2x10"-I)?-(2xlO"T-])(2x10"*∣-1)=4x102”-4x10"+1-4x102"+2xl0""+2x10"T-I

=20x10"+0.2x10"-4x10"=16.2x10">0,從而(2x10"-1)">(2×10,,^'-l)?(2×10,,+l-1),

于是，2??+,>an+?！?2，故C正確.

因?yàn)?=lg（2xl0"-10）<lg（2xl0"）=lg2+〃<〃+l,所以邑<包>他=嗎⑹，故D

正確.

故選：ACD.

思路點(diǎn)睛：數(shù)列｛%｝單調(diào)性的?般判斷步驟：

（1）先計(jì)算4用一為的結(jié)果，然后與0比較大?。ㄒ部梢杂?jì)算華的值，然后與1比較大小,

n

但要注意項(xiàng)的符號(hào)）；

（2）下結(jié)論：若。向-4>0,則為遞增數(shù)列；若4,+∣-α,,<0,則為遞減數(shù)列；若《川-4=0,

則為常數(shù)列.

11.在棱長(zhǎng)為2的正方體ABCZ）-A4G。中，E,F分別為棱A。，AA的中點(diǎn)，G為線段

BC上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則（）

A.三棱錐A-EFG的體積為定值

B.存在點(diǎn)G,使平面EFG/平面BDG

C.當(dāng)BQ=3GC時(shí)，直線EG與及C所成角的余弦值為當(dāng)

D.三棱錐A-EFG的外接球體積的最大值為90π

【正確答案】AD

【分析】選項(xiàng)A求三棱錐體積判斷；選項(xiàng)B用反證法判斷；選項(xiàng)C建立空間坐標(biāo)系，用向

量法求直線與直線所成角的余弦值來(lái)斷；選項(xiàng)D求外接球心，用方程求解判斷.

【詳解】解：對(duì)于A,%εTO=%-AM=gs3?8∣A=gxgxlxlx2=g,所以A正確；

對(duì)于B,若存在GW線段AC,使平面EFG〃平面BOGGe線段BC,因?yàn)槠矫鍭BCo交平

面EFG與平面BDC1分別為NG與DM,

于是NGuDM,G應(yīng)在Cq的延長(zhǎng)線上，所以B錯(cuò)誤；

對(duì)于C,以在為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，當(dāng)線G=3GC時(shí)，則CG=LC旦，

,Λ

則G(；，2,?),EQ,O,2)

C(O,2,O),B1(2,2,2),所以EG=(-；,2,-∣),B1C=(-2,0,-2),

βc；_EGBC422萬(wàn)

所以cos<EG,'∣EG∣?∣BlC∣√26χ2^屈??>

2

所以直線EG與BG所成角的余弦值為名叵，所以C錯(cuò)誤；

13

對(duì)于D,當(dāng)G在C點(diǎn)時(shí)，三棱錐A-EFG外接球半徑最大，連接AD交EF于點(diǎn)N,則N為

EF的中點(diǎn)，因?yàn)槿切蜛M為直角三角形，所以外接球的球心在過(guò)點(diǎn)N且垂直于面AEF

的直線/W上，NH與B、C交于H,設(shè)球心為O,

如平面展開圖,

A

?Bl

NH

D

設(shè)半徑OC=OA=R,因?yàn)锳N=:EF=],Λ1D=2√2,所以CH=DN=乎，

2222

所以。N=JOAt2-AtM=JR?一停)?,OH=√OC-CW=^R-(?)，

由。N+QH=2,可得/2-(與+卜-(陰=2，解得R=半，

故體積的最大值為V=g成'=9&兀，所以D正確，

故選：AD.

12.己知雙曲線C:《-E=I的左、右焦點(diǎn)分別為耳、過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)。的直線與雙曲線C

交于AJ5兩點(diǎn)，點(diǎn)P為雙曲線C上異于48的一動(dòng)點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的有()

A.6A?g5的最大值為9

B.若以A8為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F2,則SM^=I6

C.若間=7,則有IP閭=1或13

I49

D.設(shè)A4,PB的斜率分別為占、k2,則方+聲的最小值為:

K?《24

【正確答案】BD

【分析】求得EA書B的最大值判斷選項(xiàng)A；求得SMF/判斷選項(xiàng)&求得IPEl的值判斷選

14

項(xiàng)C；求得至+后?的最小值判斷選項(xiàng)D.

22

【詳解】雙曲線C：工-^-=I中耳(-5,0)、鳥(5,0),焦距2c=10,實(shí)軸長(zhǎng)20=6

916

不妨設(shè)A(Xl，必)、B(-x∣,-y)(x∣>0,y∣>0),P(x2,y2)

選項(xiàng)A：F2A=-5,yi）,F2B=（-Λ?-5,-y1）

則g5=α_5,X)?(-X1-5,-y,)=25-√-√=0,

又城若(?√-9),則用A型=41一表2

由兇23,可知；√≥9,即41-3；√≤]6,則入4書8的最大值為16.判斷錯(cuò)誤;

選項(xiàng)B：以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)雙曲線的右焦點(diǎn)F2,則有工

25

則優(yōu)468=。_5,〉)(_玉_5,_必)=25_王2—耳2=41_%2=0,

9

解之得％2=41X4,則短=卷(41x^-9]=挈，則,=?

NDyI乙3J乙J?

j

則SΔA^=;X恒&XlR=gxlθx∣=16.判斷正確；

選項(xiàng)C:若∣P6∣=7,由IIP用一∣PK∣∣=∣7TP剛=6,

可得IP閭=13或IPEl=I(因?yàn)闅w閭=l<2=c-α,舍去).判斷錯(cuò)誤；

?2

921

可得（白一%）（々+%）_（%-%）（%+凹）=

選項(xiàng)D：由<1620

l√%916

-一

9

16

即（Wf）匡YF）L（%—M）[HTf）L0,則ZK="

9169

14-124/994r-

故TΓ+TτN2?廠=W=4X=],（當(dāng)且僅當(dāng)您=2勺=±彳&時(shí)等號(hào)成立）

rr771

κlκ2κlκ2ArlAc21643

即A1+4A的最小值為9:判斷正確.

ZlK24

故選：BD

三、填空題

13.已知空間向量a=(4,T,∕l),?=(2,1,1),C=(1,2,1),若a，b，C共面，則實(shí)數(shù)

λ—.

【正確答案】1

【分析】根據(jù)向量共面，可設(shè)$+4=3,先求解出％y的值，則％的值可求.

【詳解】因?yàn)閍,b,1共面且】，b不共線，所以可設(shè)立+。二，

'2x+y=4

所以(2x+y,x+2y,x+y)=(4,-4,2),所以,x+2y=-l,

.x+y=∕l

∣^x=3

所以C，所以∕l=χ+y=3-2=1,

Iy=-2

故L

14.過(guò)拋物線y=/上的點(diǎn)M(Ll)且與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)的直線的方程為.

【正確答案】2無(wú)一丫一1=0或χ=l

【分析】分別討論直線斜率存在與不存在兩種情況，當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為

>-1=MXT)與拋物線方程聯(lián)立，滿足△=(),即可求解.

【詳解】由題，當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線為y—1=MXT),聯(lián)立y=/,

可得χ2-?x+i=0,

因?yàn)橹本€與拋物線只有一個(gè)公共點(diǎn)，所以△=公-4任-1)=0,所以4=2,

則直線為y=2x-l,g[J2x-y-l=0,

當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，直線x=l與拋物線也只有一個(gè)公共點(diǎn)，

故2x-y-l=0或X=I

,,

15.已知數(shù)列｛4｝滿足q=1,=a,,.l+2^'(H≥2,n∈N),則％=.

【正確答案】63

【分析】由題設(shè)可得α,,-α,ι=2"T("≥2∕eN),應(yīng)用累加法，結(jié)合已知即可求必.

【詳解】由題設(shè)，4,~T=2"T5≥2,n∈N),

以46—45+45—"4+-"3+%—+"2—"∣=-6f∣=2+2+2，++2,=62,3?.q=],

所以紜=63.

故答案為.63

16.北京天壇的圓丘壇為古代祭天的場(chǎng)所，分上、中、下三層，上層中心有一塊圓形石板(稱

為天心石)，環(huán)繞天心石砌9塊扇面形石板構(gòu)成第一環(huán)，向外每環(huán)依次增加9塊，下一層的

第一環(huán)比上一層的最后一環(huán)多9塊，向外每環(huán)依次也增加9塊.已知每層環(huán)數(shù)相同，且下層

比中層多729塊，則二層共有扇面形石板(不含天心石)塊.

【正確答案】3402

【分析】設(shè)每層環(huán)數(shù)為“，結(jié)合已知有9/=729求〃，進(jìn)而應(yīng)用等差數(shù)列前〃項(xiàng)和公式求三

層共有扇面形石板數(shù).

【詳解】設(shè)每層環(huán)數(shù)為〃，則上層最后一環(huán)有9〃塊，

中層第一環(huán)有9（〃+1）塊，最后一環(huán)有18”塊，

下層第一環(huán)有9（2〃+1）塊，最后一環(huán)有27"塊，

所以下層比中層多91=729，可得”=9,

則三層共有扇面形石板27X（9JX9）=3402塊

故3402

四、解答題

17.在等差數(shù)列{〃列中,RO=23,?25=—22.

（1）數(shù)列｛?！ǎ岸嗌夙?xiàng)和最大？

（2）求｛|。川｝的前〃項(xiàng)和S”.

32103八...

——〃一+---n,n≤Λ7,nGN*

22

【正確答案】（1）前17項(xiàng)；（2）Sn=V31

二〃2一上〃+884/≥18,〃∈N*

[22

【分析】（1）利用通項(xiàng)公式表示己知條件，得到關(guān)于首項(xiàng)和公差的方程組，求解后得到通項(xiàng)

公式，探究項(xiàng)的正負(fù)，進(jìn)而得到答案；

（2）根據(jù)（1）中的正負(fù)項(xiàng)的研究結(jié)論，對(duì)于前面的正項(xiàng)取絕對(duì)值后不變，直接用原等差數(shù)

列的求和公式計(jì)算；對(duì)于后面有負(fù)數(shù)項(xiàng)的情況，利用湊配法轉(zhuǎn)化為原等差數(shù)列的和的組合的

問(wèn)題進(jìn)行運(yùn)算可得結(jié)論.

q+9d=23,=50,

【詳解】（1）由

a^24d=-22,[d=-3,

/.an=aι+{n-l)d=—3n+53.

53

令4心0,得〃V

?二當(dāng)〃W17,∕7∈N*時(shí)，an>0；

當(dāng)論18,;7∈N*時(shí)，c〃?<0,

???｛加｝的前17項(xiàng)和最大.

(2)當(dāng)n≤17,"∈N*時(shí),

In(n-?)103

?aι?+∣α2∣+...+?an?=a1+a2+...+an=naιd=--n2---n.

22

當(dāng)論18,"∈N*時(shí),

|。/|+㈤+…+川

=aι~?-a2~?~...~?-ai7-a18-ai9-...—cm

=2(α∕+02+…+0/7)-(0/+02+…+。〃)

=2

103

77+884.

3，103……

——n~+---n,n≤17,n∈N*,

22

31()3

-n2----〃+884,〃≥18,〃∈N*,

,22

本題考查等差數(shù)列的通項(xiàng)公式，求和公式，考查等差數(shù)列的絕對(duì)值數(shù)列的求和問(wèn)題，屬中檔

題，關(guān)鍵是根據(jù)絕對(duì)值的性質(zhì)，分類討論，并適當(dāng)配湊轉(zhuǎn)化為可利用等差數(shù)列的求和公式計(jì)

算的形式.

18.已知：在四棱錐P-ABCQ中，底面ABC。為正方形，側(cè)棱PAL平面A8C。，點(diǎn)M為PD

中點(diǎn)，PA=AD=I.

(1)求證：平面M4C_L平面PC。；

(2)求直線PB與平面PCQ所成角大小;

【正確答案】(1)證明見解析

【分析】(1)先證明CoJ?平面PA則有AΛ∕L8,在證明AMl平面PCQ,再根據(jù)面

面垂直的判定定理即可得證；

(2)以A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求解即可.

【詳解】(1)因?yàn)镻A_L平面ABC。，8U平面ASCO,

所以R4_LCD,

又A￡>_LCD,AZ)CAP=AAD,APu平面PAD,

所以CD_L平面P4T),

又AMU平面PAO,所以A"_L8,

因?yàn)辄c(diǎn)M為PO中點(diǎn)，PA=AD^l,

所以AM_LPD,

又PDCCD=D,PO,CDu平面PCD,

所以AMJ,平面PCD,

因?yàn)锳MU平面MAC,

所以平面M4C_L平面PCD；

(2)以A為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

由已知可得A(0,0,0),B(l,0,0),P(0,0,l),M(θ,g,g),

因?yàn)锳Mj,平面PCD,

所以AM=(^0??j即為平面PCD的一條法向量，

Pβ=(1,0,-1),

設(shè)直線PB與平面PQ)所成角為θ,

I/,IAMPB1

貝I]sin6>=cos(ΛM,PB)=———=-,

1'zιAM^πPB2

又。G0,gTT,所以。=￡Jr,

_2J6

即直線PB與平面Pa>所成角的大小為芻.

Z八

Dy

19.已知數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為S“，且4=1,απ+1=∣Sn（n=l,2,3）.

（1）求數(shù)列｛凡｝的通項(xiàng)公式；

（2）當(dāng)b?=log3（3a向）時(shí)，求證：數(shù)列［與］的前”項(xiàng)和

【正確答案】（1）?！?1

—X

（2）證明見解析

【分析】（1）利用遞推式，等比數(shù)列的定義及其通項(xiàng)公式即可得出答案.

（2）?,,=IogJM1Y1=〃，可得還1二=11再利用“裂項(xiàng)求和''即可得出?

π+l?n?

【詳解】(1)解：由已知1,5≥2),得αe=?∣α,,("22),

心，，叱2

(2)證明仇=log,(34,,+J=log

b,,bn+l〃(〃+1)Mn+?

“J+-L+-L++-L-=HM3+("++m

他b2b3b,b4bl,bn+tl?2)l23)(34)I"n+l)

_?1_n

l+nl+〃

20.已知圓C"2+>2+4χ-2y-4=0.

(1)過(guò)點(diǎn)M(l,5)作圓C的切線/,求切線/的方程；

(2)設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線機(jī)與圓C交于AB兩點(diǎn)，若點(diǎn)A、B分圓周得兩段弧長(zhǎng)之比為1：2,

求直線加得方程.

【正確答案】(l)7x-24y+113=0或x=l；

(2)6x—8y+5=O或6x+8y-11=O

【分析】(1)根據(jù)圓心到直線的距離等于半徑求解，注意分斜率存在與不存在兩種情況；

(2)利用條件可分析出弦所對(duì)圓心角，據(jù)此求出圓心到直線的距離，即可求解.

【詳解】(1)由C：x2+y2+4x-2y-4=0可得(x+2)2+(y-l)2=9,

即圓心為C(-2,l),半徑r=3,

顯然當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，x=l是圓的切線，

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線為>-5=A(X-I),即依-y+5-k=0,

由圓心到直線的距離d=j~~7=7=~L=3,解得我=三，

√?+124

故切線為7x-24y+113=0或X=L

(2)因?yàn)辄c(diǎn)A、8分圓周得兩段弧長(zhǎng)之比為1：2,故NAC3=120。，

r3

所以NCA8=30。，故圓心到直線的距離d=；；=；,

22

13

直線斜率不存在時(shí)，由彳-(-2)≠:知，不符合題意，

當(dāng)直線斜率存在時(shí)，設(shè)直線方程為y-l=%(χ-g),

則圓心到直線的距離「解得Z=±=,

>7T-24

故直線方程為6x-8y+5=0或6x+8y-l1=0.

21.已知拋物線C:y2=2px(p>0)的焦點(diǎn)為尸，點(diǎn)尸(4,%)是拋物線C上一點(diǎn)，點(diǎn)。是PF

,7

的中點(diǎn)，且。到拋物線C的準(zhǔn)線的距離為

(1)求拋物線C的方程;

(2)已知圓M:(x-2)2+y2=4,圓M的一條切線/與拋物線C交于A,B兩點(diǎn)，。為坐標(biāo)原

點(diǎn)，求證：OA,OB的斜率之差的絕對(duì)值為定值.

【正確答案】(I)V=4%：

(2)2.

【分析】(1)根據(jù)題意即可列出等式P+5+4=7,即可求出答案；

(2)當(dāng)直線AB的斜率不存在時(shí)，-后」=2,當(dāng)直線AB的斜率存在時(shí)，設(shè)出直線AB的

方程為1=丘+。即點(diǎn)AB的坐標(biāo)，把直線A5與拋物線進(jìn)行聯(lián)立，寫出韋達(dá)定理，利用到直

線AB的距離等于半徑2,找到上與。之間的關(guān)系式，在計(jì)算0A,OB的斜率之差的絕對(duì)值,

化簡(jiǎn)即可求出答案.

【詳解】(1)根據(jù)題意可列。+?^+4=7np=2

故拋物線C的方程為V=4x.

(2)①當(dāng)直線A8的斜率不存在時(shí)，直線A8的方程為x=4,A(4,-4),8(4,4),

%=T,%0B=LkOA=2.

②當(dāng)直線AB的斜率存在且不為0時(shí)，