專題07 圓的綜合問題真題壓軸匯編（解析版）-中考數(shù)學(xué)壓軸題

挑戰(zhàn)2023年中考數(shù)學(xué)解答題壓軸真題匯編專題07圓的綜合問題真題壓軸匯編一．圓與銳角三角函數(shù)綜合1．（2022?南充）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C是⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)D是⊙O外一點(diǎn)，∠BCD＝∠BAC，連接OD交BC于點(diǎn)E．（1）求證：CD是⊙O的切線．（2）若CE＝OA，sin∠BAC＝，求tan∠CEO的值．【解答】（1）證明：連接OC，∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∴∠A+∠B＝90°，∵OC＝OB，∴∠OCB＝∠OBC，∵∠BCD＝∠BAC，∴∠OCB+∠DCB＝90°，∴OC⊥CD，∵OC為⊙O的半徑，∴CD是⊙O的切線；（2）解：過點(diǎn)O作OH⊥BC于點(diǎn)H．∵sin∠BAC＝＝，∴可以假設(shè)BC＝4k，AB＝5k，則AO＝OC＝CE＝2.5k，∵OH⊥BC，OC＝OB∴CH＝BH＝2k，∵OA＝OB，AC2＝AB2﹣BC2，∴OH＝AC＝k，∴EH＝CE﹣CH＝2.5k﹣2k＝0.5k，∴tan∠CEO＝＝＝3．2．（2022?菏澤）如圖，在△ABC中，以AB為直徑作⊙O交AC、BC于點(diǎn)D、E，且D是AC的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作DG⊥BC于點(diǎn)G，交BA的延長線于點(diǎn)H．（1）求證：直線HG是⊙O的切線；（2）若HA＝3，cosB＝，求CG的長．【解答】（1）證明：連接OD，∵AD＝DC，AO＝OB，∴OD是△ABC的中位線，∴OD∥BC，OD＝BC，∵DG⊥BC，∴OD⊥HG，∵OD是⊙O的半徑，∴直線HG是⊙O的切線；（2）解：設(shè)⊙O的半徑為x，則OH＝x+3，BC＝2x，∵OD∥BC，∴∠HOD＝∠B，∴cos∠HOD＝，即＝＝，解得：x＝2，∴BC＝4，BH＝7，∵cosB＝，∴＝，即＝，解得：BG＝，∴CG＝BC﹣BG＝4﹣＝．3．（2022?德州）如圖1，在等腰三角形ABC中，AB＝AC，O為底邊BC的中點(diǎn)，過點(diǎn)O作OD⊥AB，垂足為D，以點(diǎn)O為圓心，OD為半徑作圓，交BC于點(diǎn)M，N．（1）AB與⊙O的位置關(guān)系為相切；（2）求證：AC是⊙O的切線；（3）如圖2，連接DM，DM＝4，∠A＝96°，求⊙O的直徑．（結(jié)果保留小數(shù)點(diǎn)后一位．參考數(shù)據(jù)：sin24°≈0.41，cos24°≈0.91，tan24°≈0.45）【解答】（1）解：∵OD⊥AB，點(diǎn)O為圓心，OD為半徑，∴直線AB到圓心O的距離等于圓的半徑，∴AB為⊙O的切線，∴AB與⊙O的位置關(guān)系為相切，故答案為：相切；（2）證明：過點(diǎn)O作OE⊥AC于點(diǎn)E，連接OA，如圖，∵AB＝AC，O為底邊BC的中點(diǎn)，∴AO為∠BAC的平分線，∵OD⊥AB，OE⊥AC，∴OD＝OE，∵OD為⊙O的半徑，∴OE為⊙O的半徑，這樣，直線AC到圓心O的距離等于圓的半徑，∴AC是⊙O的切線；（3）解：過點(diǎn)O作OF⊥DM于點(diǎn)F，如圖，∵AB＝AC，∠A＝96°，∴∠B＝∠C＝＝42°，∵OD⊥AB，∴∠BOD＝90°﹣∠B＝48°．∵OF⊥DM，∴DF＝MF＝DM＝2，∵OD＝OM，OF⊥DM，∴OF為∠DOM的平分線，∴∠DOF＝∠BOD＝24°．在Rt△ODF中，∵sin∠DOF＝，∴sin24°＝，∴OD＝≈≈4.9，∴⊙O的直徑＝2OD＝2×4.9＝9.8．4．（2022?河南）為弘揚(yáng)民族傳統(tǒng)體育文化，某校將傳統(tǒng)游戲“滾鐵環(huán)”列入了校運(yùn)動會的比賽項目．滾鐵環(huán)器材由鐵環(huán)和推桿組成．小明對滾鐵環(huán)的啟動階段進(jìn)行了研究，如圖，滾鐵環(huán)時，鐵環(huán)⊙O與水平地面相切于點(diǎn)C，推桿AB與鉛垂線AD的夾角為∠BAD，點(diǎn)O，A，B，C，D在同一平面內(nèi)．當(dāng)推桿AB與鐵環(huán)⊙O相切于點(diǎn)B時，手上的力量通過切點(diǎn)B傳遞到鐵環(huán)上，會有較好的啟動效果．（1）求證：∠BOC+∠BAD＝90°．（2）實踐中發(fā)現(xiàn)，切點(diǎn)B只有在鐵環(huán)上一定區(qū)域內(nèi)時，才能保證鐵環(huán)平穩(wěn)啟動．圖中點(diǎn)B是該區(qū)域內(nèi)最低位置，此時點(diǎn)A距地面的距離AD最小，測得cos∠BAD＝．已知鐵環(huán)⊙O的半徑為25cm，推桿AB的長為75cm，求此時AD的長．【解答】（1）證明：方法1：如圖1，過點(diǎn)B作EF∥CD，分別交AD于點(diǎn)E，交OC于點(diǎn)F．∵CD與⊙O相切于點(diǎn)C，∴∠OCD＝90°．∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°．∵EF∥CD，∴∠OFB＝∠AEB＝90°，∴∠BOC+∠OBF＝90°，∠ABE+∠BAD＝90°，∵AB為⊙O的切線，∴∠OBA＝90°．∴∠OBF+∠ABE＝90°，∴∠OBF＝∠BAD，∴∠BOC+∠BAD＝90°；方法2：如圖2，延長OB交CD于點(diǎn)M．∵CD與⊙O相切于點(diǎn)C，∴∠OCM＝90°，∴∠BOC+∠BMC＝90°，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°．∵AB為⊙O的切線，∴∠OBA＝90°，∴∠ABM＝90°．∴在四邊形ABMD中，∠BAD+∠BMD＝180°．∵∠BMC+∠BMD＝180°，∴∠BMC＝∠BAD．∴∠BOC+∠BAD＝90°；方法3：如圖3，過點(diǎn)B作BN∥AD，∴∠NBA＝∠BAD．∵CD與⊙O相切于點(diǎn)C，∴∠OCD＝90°，∵AD⊥CD，∴∠ADC＝90°．∴AD∥OC，∴BN∥OC，∴∠NBO＝∠BOC．∵AB為OO的切線，∴∠OBA＝90°，∴∠NBO+∠NBA＝90°，∴∠BOC+∠BAD＝90°．（2）解：如圖1，在Rt△ABE中，∵AB＝75，cos∠BAD＝，∴AE＝45．由（1）知，∠OBF＝∠BAD，∴cos∠OBF＝，在Rt△OBF中，∵OB＝25，∴BF＝15，∴OF＝20．∵OC＝25，∴CF＝5．∵∠OCD＝∠ADC＝∠CFE＝90°，∴四邊形CDEF為矩形，∴DE＝CF＝5，∴AD＝AE+ED＝50cm．二．圓+相似三角形+勾股定理綜合5．（2022?溫州）如圖1，AB為半圓O的直徑，C為BA延長線上一點(diǎn)，CD切半圓于點(diǎn)D，BE⊥CD，交CD延長線于點(diǎn)E，交半圓于點(diǎn)F，已知BC＝5，BE＝3，點(diǎn)P，Q分別在線段AB，BE上（不與端點(diǎn)重合），且滿足＝．設(shè)BQ＝x，CP＝y(tǒng)．（1）求半圓O的半徑．（2）求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式．（3）如圖2，過點(diǎn)P作PR⊥CE于點(diǎn)R，連結(jié)PQ，RQ．①當(dāng)△PQR為直角三角形時，求x的值．②作點(diǎn)F關(guān)于QR的對稱點(diǎn)F′，當(dāng)點(diǎn)F′落在BC上時，求的值．【解答】解：（1）如圖1，連接OD，設(shè)半徑為r，∵CD切半圓于點(diǎn)D，∴OD⊥CD，∵BE⊥CD，∴OD∥BE，∴△COD∽△CBE，∴，∴，解得r＝，∴半圓O的半徑為；（2）由（1）得，CA＝CB﹣AB＝5﹣2×＝，∵＝，BQ＝x，∴AP＝，∴CP＝AP+AC，∴y＝；（3）①顯然∠PRQ＜90°，所以分兩種情形，當(dāng)∠RPQ＝90°時，則四邊形RPQE是矩形，∴PR＝QE，∵PR＝PC×sinC＝，∴，∴x＝，當(dāng)∠PQR＝90°時，過點(diǎn)P作PH⊥BE于點(diǎn)H，如圖，則四邊形PHER是矩形，∴PH＝RE，EH＝PR，∵CR＝CP?cosC＝，∴PH＝RE＝3﹣x＝EQ，∴∠EQR＝∠ERQ＝45°，∴∠PQH＝45°＝∠QPH，∴HQ＝HP＝3﹣x，由EH＝PR得：（3﹣x）+（3﹣x）＝，∴x＝，綜上，x的值為或；②如圖，連接AF，QF'，由對稱可知QF＝QF'，∵CP＝，∴CR＝x+1，∴ER＝3﹣x，∵BQ＝x，∴EQ＝3﹣x，∴ER＝EQ，∴∠F'QR＝∠EQR＝45°，∴∠BQF'＝90°，∴QF＝QF'＝BQ?tanB＝，∵AB是半圓O的直徑，∴∠AFB＝90°，∴BF＝AB?cosB＝，∴，∴x＝，∴．6．（2022?瀘州）如圖，點(diǎn)C在以AB為直徑的⊙O上，CD平分∠ACB交⊙O于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，過點(diǎn)D作⊙O的切線交CO的延長線于點(diǎn)F．（1）求證：FD∥AB；（2）若AC＝2，BC＝，求FD的長．【解答】（1）證明：連接OD．∵DF是⊙O的切線，∴OD⊥DF，∵CD平分∠ACB，∴＝，∴OD⊥AB，∴AB∥DF；（2）解：過點(diǎn)C作CH⊥AB于點(diǎn)H．∵AB是直徑，∴∠ACB＝90°，∵BC＝，AC＝2，∴AB＝＝＝5，∵S△ABC＝?AC?BC＝?AB?CH，∴CH＝＝2，∴BH＝＝1，∴OH＝OB﹣BH＝﹣1＝，∵DF∥AB，∴∠COH＝∠F，∵∠CHO＝∠ODF＝90°，∴△CHO∽△ODF，∴＝，∴＝，∴DF＝．7．（2022?遂寧）如圖⊙O是△ABC的外接圓，點(diǎn)O在BC上，∠BAC的角平分線交⊙O于點(diǎn)D，連接BD，CD，過點(diǎn)D作BC的平行線與AC的延長線相交于點(diǎn)P．（1）求證：PD是⊙O的切線；（2）求證：△ABD∽△DCP；（3）若AB＝6，AC＝8，求點(diǎn)O到AD的距離．【解答】（1）證明：如圖1，連接OD．∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴＝，∴∠BOD＝∠COD＝90°，∵BC∥PD，∴∠ODP＝∠BOD＝90°，∴OD⊥PD，∵OD是半徑，∴PD是⊙O的切線．（2）證明：∵BC∥PD，∴∠PDC＝∠BCD．∵∠BCD＝∠BAD，∴∠BAD＝∠PDC，∵∠ABD+∠ACD＝180°，∠ACD+∠PCD＝180°，∴∠ABD＝∠PCD，∴△ABD∽△DCP；（3）解法一：如圖，過點(diǎn)O作OE⊥AD于E，連接OD，∵BC是⊙O的直徑，∴∠BAC＝∠BDC＝90°，∵AB＝6，AC＝8，∴BC＝＝10，∵BD＝CD，∴BD＝CD＝5，由（2）知：△ABD∽△DCP，∴＝，即＝，∴CP＝，∴AP＝AC+CP＝8+＝，∵∠ADB＝∠ACB＝∠P，∠BAD＝∠DAP，∴△BAD∽△DAP，∴＝，即＝，∴AD2＝6×＝98，∴AD＝7，∵OE⊥AD，∴DE＝AD＝，∴OE＝＝＝，即點(diǎn)O到AD的距離是．解法二：如圖，過點(diǎn)D作DM⊥AB于M，DN⊥AC于N，過點(diǎn)O作OE⊥AD于E，連接OD，則∠M＝∠CND＝90°，∵AD平分∠BAC，∠BAC＝90°，∴DM＝DN，∠DAM＝∠CAD＝45°，∵A，B，D，C四點(diǎn)共圓，∴∠DBM＝∠DCN，∴△DCN≌△DBM（AAS），∴CN＝BM，同理得：AM＝AN，∵AB＝6，AC＝8，∴AM＝DM＝7，∴AD＝7，由解法一可得：OE＝．即點(diǎn)O到AD的距離是．8．（2022?錦州）如圖，在⊙O中，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)E在⊙O上，D為的中點(diǎn)，連接AE，BD并延長交于點(diǎn)C．連接OD，在OD的延長線上取一點(diǎn)F，連接BF，使∠CBF＝∠BAC．（1）求證：BF為⊙O的切線；（2）若AE＝4，OF＝，求⊙O的半徑．【解答】（1）證明：如圖，連接AD，AB是圓的直徑，則∠ADB＝90°，D為的中點(diǎn)，則∠BAD＝∠CAD＝∠BAC，∵，∴∠CBF＝∠BAD，∵∠BAD+∠ABD＝90°，∴∠ABF＝∠ABD+∠CBF＝90°，∴AB⊥BF，∵OB是⊙O的半徑，∴BF是⊙O的切線；（2）解：如圖，連接BE，AB是圓的直徑，則∠AEB＝90°，∵∠BOD＝2∠BAD，∠BAC＝2∠BAD，∴∠BOD＝∠BAC，又∵∠ABF＝∠AEB＝90°，∴△OBF∽△AEB，∴OB：AE＝OF：AB，∴OB：4＝：2OB，OB2＝9，OB＞0，則OB＝3，∴⊙O的半徑為3．三．圓＋相似三角形+銳角三角函數(shù)9.（2022?安順）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)E是劣弧BD上一點(diǎn)，∠PAD＝∠AED，且DE＝，AE平分∠BAD，AE與BD交于點(diǎn)F．（1）求證：PA是⊙O的切線；（2）若tan∠DAE＝，求EF的長；（3）延長DE，AB交于點(diǎn)C，若OB＝BC，求⊙O的半徑．【解答】（1）證明：∵AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠DAB+∠ABD＝90°，∵∠PAD＝∠AED，∠AED＝∠ABD，∴∠PAD＝∠ABD，∴∠DAB+∠PAD＝90°，即∠PAB＝90°，∴AB⊥PA，∵AB是⊙O的直徑，∴PA是⊙O的切線；（2）解：連接BE，如圖：∵AB是⊙O的直徑，∴∠AEB＝90°，∵AE平分∠BAD，∴∠DAE＝∠BAE，∴＝，∠DAE＝∠BAE＝∠DBE，∴BE＝DE＝，tan∠DAE＝tan∠BAE＝tan∠DBE＝＝，∴＝，∴EF＝1；（3）解：連接OE，如圖：∵OE＝OA，∴∠AEO＝∠OAE，∵∠OAE＝∠DAE，∴∠AEO＝∠DAE，∴OE∥AD，∴＝，∵OA＝OB＝BC，∴＝2，∴＝2，∵DE＝，∴CE＝2，CD＝CE+DE＝3設(shè)BC＝OB＝OA＝R，∵∠BDC＝∠BAE，∠C＝∠C，∴△CBD∽△CEA，∴＝，即＝，∴R＝2，∴⊙O的半徑是2．10．（2022?黃石）如圖CD是⊙O直徑，A是⊙O上異于C，D的一點(diǎn)，點(diǎn)B是DC延長線上一點(diǎn)，連AB、AC、AD，且∠BAC＝∠ADB．（1）求證：直線AB是⊙O的切線；（2）若BC＝2OC，求tan∠ADB的值；（3）在（2）的條件下，作∠CAD的平分線AP交⊙O于P，交CD于E，連PC、PD，若AB＝2，求AE?AP的值．【解答】（1）證明：連接OA，∵CD是⊙O的直徑，∴∠CAD＝90°，∴∠OAC+∠OAD＝90°，又∵OA＝OD，∴∠OAD＝∠ODA，又∵∠BAC＝∠ADB，∴∠BAC+∠OAC＝90°，即∠BAO＝90°，∴AB⊥OA，又∵OA為半徑，∴直線AB是⊙O的切線；（2）解：∵∠BAC＝∠ADB，∠B＝∠B，∴△BCA∽△BAD，∴，設(shè)半徑OC＝OA＝r，∵BC＝2OC，∴BC＝2r，OB＝3r，在Rt△BAO中，AB＝，在Rt△CAD中，tan∠ADC＝；（3）解：在（2）的條件下，AB＝2r＝2，∴r＝，∴CD＝2，在Rt△CAD中，，AC2+AD2＝CD2，解得AC＝2，AD＝2，∵AP平分∠CAD，∴∠CAP＝∠EAD，又∵∠APC＝∠ADE，∴△CAP∽△EAD，∴，∴AE?AP＝AC?AD＝2×2＝4．四．切線+陰影面積11．（2022?淮安）如圖，△ABC是⊙O的內(nèi)接三角形，∠ACB＝60°，AD經(jīng)過圓心O交⊙O于點(diǎn)E，連接BD，∠ADB＝30°．（1）判斷直線BD與⊙O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若AB＝4，求圖中陰影部分的面積．【解答】解：（1）直線BD與⊙O相切，理由：連接BE，∵∠ACB＝60°，∴∠AEB＝∠C＝60°，連接OB，∵OB＝OE，∴△OBE是等邊三角形，∴∠BOD＝60°，∵∠ADB＝30°，∴∠OBD＝180°﹣60°﹣30°＝90°，∴OB⊥BD，∵OB是⊙O的半徑，∴直線BD與⊙O相切；（2）∵AE是⊙O的直徑，∴∠ABE＝90°，∵AB＝4，∴sin∠AEB＝sin60°＝＝＝，∴AE＝8，∴OB＝4，∴BD＝OB＝4，∴圖中陰影部分的面積＝S△OBD﹣S扇形BOE＝4×﹣＝8﹣．12．（2022?徐州）如圖，點(diǎn)A、B、C在圓O上，∠ABC＝60°，直線AD∥BC，AB＝AD，點(diǎn)O在BD上．（1）判斷直線AD與圓O的位置關(guān)系，并說明理由；（2）若圓的半徑為6，求圖中陰影部分的面積．【解答】解：（1）直線AD與圓O相切，連接OA，∵AD∥BC，∴∠D＝∠DBC，∵AD＝AB，∴∠D＝∠ABD，∴∠DBC＝∠ABD＝30°，∠BAD＝120°，∵OA＝OB，∴∠BAO＝∠ABD＝30°，∴∠OAD＝90°，∴OA⊥AD，∵OA是圓的半徑，∴直線AD與圓O相切，（2）連接OC，作OH⊥BC于H，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝30°，∴∠BOC＝120°，∴OH＝OB＝3，BH＝OH＝3，∴BC＝2BH＝6，∴扇形OBC的面積為：＝＝12π，∵S△OBC＝BC?OH＝×6×3＝9，∴陰影部分的面積為：12π﹣9．13．（2022?攀枝花）如圖，⊙O的直徑AB垂直于弦DC于點(diǎn)F，點(diǎn)P在AB的延長線上，CP與⊙O相切于點(diǎn)C．（1）求證：∠PCB＝∠PAD；（2）若⊙O的直徑為4，弦DC平分半徑OB，求：圖中陰影部分的面積．【解答】（1）證明：連接OC，∵CP與⊙O相切，∴OC⊥PC，∴∠PCB+∠OCB＝90°，∵AB⊥DC，∴∠PAD+∠ADF＝90°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，由圓周角定理得：∠ADF＝∠OBC，∴∠PCB＝∠PAD；（2）解：連接OD，在Rt△ODF中，OF＝OD，則∠ODF＝30°，∴∠DOF＝60°，∵AB⊥DC，∴DF＝FC，∵BF＝OF，AB⊥DC，∴S△CFB＝S△DFO，∴S陰影部分＝S扇形BOD＝＝π．14．（2022?東營）如圖，AB為⊙O的直徑，點(diǎn)C為⊙O上一點(diǎn)，BD⊥CE于點(diǎn)D，BC平分∠ABD．（1）求證：直線CE是⊙O的切線；（2）若∠ABC＝30°，⊙O的半徑為2，求圖中陰影部分的面積．【解答】（1）證明：連接OC，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵BC平分∠ABD，∴∠OBC＝∠DBC，∴∠DBC＝∠OCB，∴OC∥BD，∵BD⊥CE，∴OC⊥CE，∵OC為⊙O的半徑，∴CE是⊙O的切線；（2）解：過點(diǎn)O作OH⊥BC于H，則BH＝HC，在Rt△OHB中，∠OBH＝30°，OB＝2，∴BH＝OB?cos∠OBH＝2×＝，OH＝OB＝1，∴BC＝2，∵OB＝OC，∴∠OCB＝∠OBC＝30°，∴∠BOC＝120°，∴S陰影部分＝S扇形BOC﹣S△BOC＝﹣×2×1＝﹣．五．勾股定理+特殊角綜合15．（2022?寧夏）如圖，以線段AB為直徑作⊙O，交射線AC于點(diǎn)C，AD平分∠CAB交⊙O于點(diǎn)D，過點(diǎn)D作直線DE⊥AC于點(diǎn)E，交AB的延長線于點(diǎn)F．連接BD并延長交AC于點(diǎn)M．（1）求證：直線DE是⊙O的切線；（2）求證：AB＝AM；（3）若ME＝1，∠F＝30°，求BF的長．【解答】（1）證明：連接OD，則OD＝OA，∴∠ODA＝∠OAD，∵AD平分∠CAB，∴∠OAD＝∠DAC，∴∠ODA＝∠DAC，∴OD∥AC，∵DE⊥AC，∴∠ODF＝∠AED＝90°，∵OD是⊙O的半徑，且DE⊥OD，∴直線DE是⊙O的切線．（2）證明：∵線段AB是⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴∠ADM＝180°﹣∠ADB＝90°，∴∠M+∠DAM＝90°，∠ABM+∠DAB＝90°，∵∠DAM＝∠DAB，∴∠M＝∠ABM，∴AB＝AM．（3）解：∵∠AEF＝90°，∠F＝30°，∴∠BAM＝60°，∴△ABM是等邊三角形，∴∠M＝60°，∵∠DEM＝90°，ME＝1，∴∠EDM＝30°，∴MD＝2ME＝2，∴BD＝MD＝2，∵∠BDF＝∠EDM＝30°，∴∠BDF＝∠F，∴BF＝BD＝2．16．（2022?陜西）如圖，在△OAB中，∠OAB＝90°，OA＝2，AB＝4．延長OA至點(diǎn)C，使AC＝8，連接BC，以O(shè)為圓心，OB長為半徑作⊙O，延長BA，與⊙O交于點(diǎn)E，作弦BF＝BE，連接EF，與BO的延長線交于點(diǎn)D．（1）求證：BC是⊙O的切線；（2）求EF的長．【解答】（1）證明：∵OA＝2，AB＝4，AC＝8，∴，∵∠OAB＝∠BAC＝90°，∴△OAB∽△BAC，∴∠BOA＝∠ABC，∵∠OBA+∠BOA＝90°，∴∠OBA+∠ABC＝90°，即∠OBC＝90°，∵OB為⊙O的半徑，∴BC是⊙O的切線；（2）解：如圖，過點(diǎn)O作OG⊥BF于點(diǎn)G，∵OG⊥BF，OA⊥BE，弦BF＝BE，∴BG＝AB，∵OB＝OB，∴Rt△BOG≌Rt△BOA（HL），∴∠FBD＝∠EBD，即BD平分∠FBE，∵BF＝BE，即△BEF為等腰三角形，∴BD⊥EF，DF＝DE，∵OA＝2，AB＝4，∴，在Rt△ABO中，sin∠OBA＝＝，在Rt△BDE中，sin∠DBE＝，∴DE＝∴EF＝．17．（2022?巴中）四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，直徑AC與弦BD交于點(diǎn)E，直線PB與⊙O相切于點(diǎn)B．（1）如圖1，若∠PBA＝30°，且EO＝EA，求證：BA平分∠PBD；（2）如圖2，連接OB，若∠DBA＝2∠PBA，求證：△OAB∽△CDE．【解答】（1）證明：連接OB，∵直線PB與⊙O相切于點(diǎn)B，∴∠PBO＝90°．∴∠PBA+∠ABO＝90°．∵∠PBA＝30°，∴∠ABO＝60°．又∵OA＝OB，∴△AOB為等邊三角形．又∵OE＝AE，∴BE平分∠ABO．∴，∴BA平分∠PBD；（2）證明：∵直線PB與⊙O相切于點(diǎn)B，∴∠PBO＝90°．∴∠PBA+∠ABO＝90°．∵AC為直徑，∴∠ABC＝90°．∴∠OBC+∠ABO＝90°．∴∠OBC＝∠PBA．∵OB＝OC，∴∠PBA＝∠OBC＝∠OCB．∴∠AOB＝2∠OCB＝2∠PBA．∵∠ACD＝∠ABD＝2∠PBA，∴∠AOB＝∠ACD，又∵∠BAO＝∠BDC，∴△OAB∽△CDE．六．圓+相似三角形綜合18．（2022?內(nèi)蒙古）如圖，⊙O是△ABC的外接圓，EF與⊙O相切于點(diǎn)D，EF∥BC分別交AB，AC的延長線于點(diǎn)E和F，連接AD交BC于點(diǎn)N，∠ABC的平分線BM交AD于點(diǎn)M．（1）求證：AD平分∠BAC；（2）若AB：BE＝5：2，AD＝，求線段DM的長．【解答】（1）證明：連接OD，如圖，∵EF與⊙O相切于點(diǎn)D，∴OD⊥EF，∵BC∥EF，∴OD⊥BC，∴，∴∠BAD＝∠CAD，∴AD平分∠BAC；（2）解：∵AB：BE＝5：2，，EF∥BC，∴＝，∴DN＝，∵∠BAD＝∠CAD＝∠CBD，又∵∠BDN＝∠ADB，∴△BDN∽△ADB，∴，即：，∴BD＝2（負(fù)值舍去），∵∠ABC的平分線BM交AD于點(diǎn)M，∴∠ABM＝∠CBM，∴∠ABM+∠BAD＝∠CBM+∠CBD，即：∠BMD＝∠DBM，∴DM＝BD＝2．19．（2022?朝陽）如圖，AC是⊙O的直徑，弦BD交AC于點(diǎn)E，點(diǎn)F為BD延長線上一點(diǎn)，∠DAF＝∠B．（1）求證：AF是⊙O的切線；（2）若⊙O的半徑為5，AD是△AEF的中線，且AD＝6，求AE的長．【解答】（1）證明：∵AC是直徑，∴∠ADC＝90°，∴∠ACD+∠DAC＝90°，∵∠ACD＝∠B，∠B＝∠DAF，∴∠DAF+∠DAC＝90°，∴OA⊥AF，∵OA是半徑，∴AF是⊙O的切線；（2）解：作DH⊥AC于點(diǎn)H，∵⊙O的半徑為5，∴AC＝10，∵∠AHD＝∠ADC，∠DAH＝∠CAD，∴△ADH∽△ACD，∴，∴AD2＝AH?AC，∴AH＝，∵AD是△AEF的中線，∠EAF＝90°，∴AD＝ED，∴AE＝2AH＝．20．（2022?綿陽）如圖，AB為⊙O的直徑，C為圓上的一點(diǎn)，D為劣弧的中點(diǎn)，過點(diǎn)D作⊙O的切線與AC的延長線交于點(diǎn)P，與AB的延長線交于點(diǎn)F，AD與BC交于點(diǎn)E．（1）求證：BC∥PF；（2）若⊙O的半徑為，DE＝1，求AE的長度；（3）在（2）的條件下，求△DCP的面積．【解答】（1）證明：連接OD，如圖，∵D為劣弧的中點(diǎn)，∴，∴OD⊥BC．∵PF是⊙O的切線，∴OD⊥PF，∴BC∥PF；（2）連接OD，BD，如圖，設(shè)AE＝x，則AD＝1+x．∵D為劣弧的中點(diǎn)，∴，∴CD＝BD，∠DCB＝∠CAD．∵∠CDE＝∠ADC，∴△CDE∽△ADC，∴，∴CD2＝DE?AD＝1×（1+x）＝1+x．∴BD2＝1+x．∵AB為⊙O的直徑，∴∠ADB＝90°，∴AD2+BD2＝AB2．∵⊙O的半徑為，∴AB＝2．∴，解得：x＝3或x＝﹣6（不合題意，舍去），∴AE＝3．（3）連接OD，BD，設(shè)OD與BC交于點(diǎn)H，如圖，由（2）知：AE＝3，AD＝AE+DE＝4，DB＝＝2，∵∠ADB＝90°，∴cos∠DAB＝＝．∵OA＝OD，∴∠DAB＝∠ADO，∴cos∠ADO＝cos∠DAB＝．∵OH⊥BC，∴BH＝CH，cos∠ADO＝，∴DH＝DE×＝．∴OH＝OD﹣DH＝﹣＝．∴BH＝＝，∴CH＝BH＝．∵AB為⊙O的直徑，∴∠ACB＝90°，由（1）知：OD⊥PD，OH⊥BC，∴四邊形CHDP為矩形，∴∠P＝90°，CP＝DH＝，DP＝CH＝，∴△DCP的面積＝CP?DP＝．21．（2022?西寧）如圖，在Rt△ABC中，∠C＝90°，點(diǎn)D在AB上，以BD為直徑的⊙O與AC相切于點(diǎn)E，交BC于點(diǎn)F，連接DF，OE交于點(diǎn)M．（1）求證：四邊形EMFC是矩形；（2）若AE＝，⊙O的半徑為2，求FM的長．【解答】（1）證明：∵BD是⊙O的直徑，∴∠BFD＝90°，∴∠CFD＝90°．∵⊙O與AC相切于點(diǎn)E，∴OE⊥AC，∴∠OEC＝∠OEA＝90°．又∵∠C＝90°，∴∠C＝∠CFD＝∠OEC＝90°，∴∠EMF＝90°，∴四邊形EMFC是矩形．（2）解：在Rt△AEO中，∠AEO＝90°，A