【壓軸之滿(mǎn)分集訓(xùn)】專(zhuān)題03 幾何圖形中的有關(guān)計(jì)算（四大類(lèi)）（解析版）-中考數(shù)學(xué)壓軸題

沖刺中考數(shù)學(xué)壓軸之滿(mǎn)分集訓(xùn)專(zhuān)題03幾何圖形中的有關(guān)計(jì)算（四大類(lèi)）【典例分析】【類(lèi)型一：與動(dòng)點(diǎn)有關(guān)的計(jì)算】1．（2021?即墨區(qū)校級(jí)二模）如圖，正方形ABCD的邊長(zhǎng)為3，∠DAC的平分線交DC于點(diǎn)E，若點(diǎn)P、Q分別是AD和AE上的動(dòng)點(diǎn)，則DQ+PQ的最小值是（）A．3 B．1.5 C．3 D．【答案】D【解答】解：如圖，在AC上取AD'＝AD＝3，作D'P⊥AD于P，交AE于Q．∵AE平分∠DAC，∴∠DAQ＝∠D'AQ，∴△DAQ≌△D'AQ（SAS），∴DQ＝D'Q，∴DQ+PQ＝D'Q+PQ≥D'P，∴D'P＝AP＝AD'＝，故選：D．2．（2020?潮南區(qū)模擬）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BC＝4，面積是14，AC的垂直平分線EF分別交AC，AB邊于E，F(xiàn)點(diǎn)．若點(diǎn)D為BC邊的中點(diǎn)，點(diǎn)M為線段EF上一動(dòng)點(diǎn)，則△CDM周長(zhǎng)的最小值為（）A．10 B．9 C．8 D．6【答案】B【解答】解：連接AD，AM，∵△ABC是等腰三角形，點(diǎn)D是BC邊的中點(diǎn)，∴AD⊥BC，∴S△ABC＝BC?AD＝×4×AD＝14，解得AD＝7，∵EF是線段AC的垂直平分線，∴AM＝CM，當(dāng)點(diǎn)M在AD上時(shí)，DM+CM最小，最小值為AD，∴△CDM的周長(zhǎng)最短＝（CM+MD）+CD＝AD+BC＝7+×4＝7+2＝9．故選：B．3．（2021?棗莊）如圖，四邊形ABCD是菱形，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，AC＝6，BD＝6，點(diǎn)P是AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，則PD+PE的最小值為（）A．3 B．6 C．3 D．6【答案】A【解答】解：如圖，連接DE，在△DPE中，DP+PE＞DE，∴當(dāng)點(diǎn)P在DE上時(shí)，PD+PE的最小值為DE的長(zhǎng)，∵四邊形ABCD是菱形，∴AO＝CO＝3，BO＝DO＝3，AC⊥BD，AB＝AD，∴tan∠ABO＝＝，∴∠ABO＝60°，∴△ABD是等邊三角形，∵點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，∴DE⊥AB，∵sin∠ABD＝，∴＝，∴DE＝3，故選：A．4．（2022?赤峰）如圖，菱形ABCD，點(diǎn)A、B、C、D均在坐標(biāo)軸上．∠ABC＝120°，點(diǎn)A（﹣3，0），點(diǎn)E是CD的中點(diǎn)，點(diǎn)P是OC上的一動(dòng)點(diǎn)，則PD+PE的最小值是（）A．3 B．5 C．2 D．【答案】A【解答】解：根據(jù)題意得，E點(diǎn)關(guān)于x軸的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是BC的中點(diǎn)E'，連接DE'交AC與點(diǎn)P，此時(shí)PD+PE有最小值為DE'，∵四邊形ABCD是菱形，∠ABC＝120°，點(diǎn)A（﹣3，0），∴OA＝OC＝3，∠DBC＝60°，∴△BCD是等邊三角形，∴DE'＝OC＝3，即PD+PE的最小值是3，故選：A．5．（2022?廣安）如圖，菱形ABCD的邊長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是對(duì)角線AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)E、F分別為邊AD、DC的中點(diǎn)，則PE+PF的最小值是（）A．2 B． C．1.5 D．【答案】A【解答】解：如圖，取AB的中點(diǎn)T，連接PT，F(xiàn)T．∵四邊形ABCD是菱形，∴CD∥AB，CD＝AB，∵DF＝CF，AT＝TB，∴DF＝AT，DF∥AT，∴四邊形ADFT是平行四邊形，∴AD＝FT＝2，∵四邊形ABCD是菱形，AE＝DE，AT＝TB，∴E，T關(guān)于AC對(duì)稱(chēng)，∴PE＝PT，∴PE+PF＝PT+PF，∵PF+PT≥FT＝2，∴PE+PF≥2，∴PE+PF的最小值為2．故選：A．6．（2022?泰安）如圖，四邊形ABCD為矩形，AB＝3，BC＝4，點(diǎn)P是線段BC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)M為線段AP上一點(diǎn)，∠ADM＝∠BAP，則BM的最小值為（）A． B． C．﹣ D．﹣2【答案】D【解答】解：如圖，取AD的中點(diǎn)O，連接OB，OM．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠BAD＝90°，AD＝BC＝4，∴∠BAP+∠DAM＝90°，∵∠ADM＝∠BAP，∴∠ADM+∠DAM＝90°，∴∠AMD＝90°，∵AO＝OD＝2，∴OM＝AD＝2，∴點(diǎn)M在以O(shè)為圓心，2為半徑的⊙O上，∵OB＝＝＝，∴BM≥OB﹣OM＝﹣2，∴BM的最小值為﹣2．故選：D．7．（鄂爾多斯）如圖，直線y＝﹣x+4與兩坐標(biāo)軸交A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)P為線段OA上的動(dòng)點(diǎn)，連接BP，過(guò)點(diǎn)A作AM垂直于直線BP，垂足為M，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)A時(shí)，則點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)路徑的長(zhǎng)為．【答案】【解答】解：∵AM垂直于直線BP，∴∠BMA＝90°，∴點(diǎn)M的路徑是以AB的中點(diǎn)N為圓心，AB長(zhǎng)的一半為半徑的，連接ON，∵直線y＝﹣x+4與兩坐標(biāo)軸交A、B兩點(diǎn)，∴OA＝OB＝4，∴ON⊥AB，∴∠ONA＝90°，∵AB＝＝4，∴ON＝2，∴＝?2＝．故答案為：π．8．（2022?賀州）如圖，在矩形ABCD中，AB＝8，BC＝6，E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)，∠ADC的平分線交AB于點(diǎn)G，點(diǎn)P是線段DG上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則△PEF的周長(zhǎng)最小值為．【答案】【解答】解：如圖，在DC上截取DT，使得DT＝DE，連接FT，過(guò)點(diǎn)T作TH⊥AB于點(diǎn)H．∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠ADT＝90°，∵∠AHT＝90°，∴四邊形AHTD是矩形，∵AE＝DE＝AD＝3．AF＝FB＝AB＝4，∴AH＝DT＝3，HF＝AF﹣AH＝4﹣3＝1，HT＝AD＝6，∴FT＝＝＝，∵DG平分∠ADC，DE＝DT，∴E、T關(guān)于DG對(duì)稱(chēng)，∴PE＝PT，∴PE+PF＝PF+PT≥FT＝，∵EF＝＝＝5，∴△EFP的周長(zhǎng)的最小值為5+，故答案為：5+．9．（2020?廣西）如圖，在邊長(zhǎng)為2的菱形ABCD中，∠C＝60°，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AB，AD上的動(dòng)點(diǎn)，且AE＝DF，DE與BF交于點(diǎn)P．當(dāng)點(diǎn)E從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)，則點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)為．【答案】π【解答】解：如圖，作△CBD的外接圓⊙O，連接OB，OD，∵四邊形ABCD是菱形，∴∠A＝∠C＝60°，AB＝BC＝CD＝AD，∴△ABD，△BCD都是等邊三角形，∴BD＝AD，∠BDF＝∠DAE，∵DF＝AE，∴△BDF≌△DAE（SAS），∴∠DBF＝∠ADE，∵∠ADE+∠BDE＝60°，∴∠DBF+∠BDP＝60°，∴∠BPD＝120°，∵∠C＝60°，∴∠C+∠DPB＝180°，∴B，C，D，P四點(diǎn)共圓，由BC＝CD＝BD＝2，可得OB＝OD＝2，∵∠BOD＝2∠C＝120°，∴點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)的路徑的長(zhǎng)＝＝π．故答案為π．10．（2021?威海）如圖，在正方形ABCD中，AB＝2，E為邊AB上一點(diǎn)，F(xiàn)為邊BC上一點(diǎn)．連接DE和AF交于點(diǎn)G，連接BG．若AE＝BF，則BG的最小值為．【答案】﹣1【解答】解：如圖，取AD的中點(diǎn)T，連接BT，GT，∵四邊形ABCD是正方形，∴AD＝AB＝2，∠DAE＝∠ABF＝90°，在△DAE和△ABF中，，∴△DAE≌△ABF（SAS），∴∠ADE＝∠BAF，∵∠BAF+∠DAF＝90°，∴∠EDA+∠DAF＝90°，∴∠AGD＝90°，∵DT＝AT，∴GT＝AD＝1，BT＝＝＝，∴BG≥BT﹣GT，∴BG≥﹣1，∴BG的最小值為﹣1．故答案為：﹣1．【類(lèi)型二：與折疊有關(guān)的計(jì)算】11．（2020?青島）如圖，將矩形ABCD折疊，使點(diǎn)C和點(diǎn)A重合，折痕為EF，EF與AC交于點(diǎn)O．若AE＝5，BF＝3，則AO的長(zhǎng)為（）A． B． C．2 D．4【答案】C【解答】解：∵矩形ABCD，∴AD∥BC，AD＝BC，AB＝CD，∴∠EFC＝∠AEF，由折疊得，∠EFC＝∠AFE，∴∠AFE＝∠AEF，∴AE＝AF＝5，由折疊得，F(xiàn)C＝AF，OA＝OC，∴BC＝3+5＝8，在Rt△ABF中，AB＝＝4，在Rt△ABC中，AC＝＝4，∴OA＝OC＝2，故選：C．12．如圖，在△ABC紙片中，∠B＝30°，AB＝AC＝，點(diǎn)D在AB上運(yùn)動(dòng)，將紙片沿CD折疊，得到點(diǎn)B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′（D在A點(diǎn)時(shí)，點(diǎn)D的對(duì)應(yīng)點(diǎn)是本身），則折疊過(guò)程對(duì)應(yīng)點(diǎn)B′的路徑長(zhǎng)是（）A．3 B．6 C．π D．2π【答案】C【解答】解：過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，∵∠B＝30°，AB＝AC＝，∴BE＝ABcos∠B＝，∴BC＝2BE＝3，由折疊的性質(zhì)可得：∠BCB''＝2∠ACB＝60°，∴B′的路徑長(zhǎng)＝＝π．故選：C．13．（2022?宜賓）如圖，在矩形紙片ABCD中，AB＝5，BC＝3，將△BCD沿BD折疊到△BED位置，DE交AB于點(diǎn)F，則cos∠ADF的值為（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，AB∥CD，AD＝BC＝3，AB＝CD＝5，∴∠BDC＝∠DBF，由折疊的性質(zhì)可得∠BDC＝∠BDF，∴∠BDF＝∠DBF，∴BF＝DF，設(shè)BF＝x，則DF＝x，AF＝5﹣x，在Rt△ADF中，32+（5﹣x）2＝x2，∴x＝，∴cos∠ADF＝，故選：C．14．（2022?畢節(jié)市）矩形紙片ABCD中，E為BC的中點(diǎn)，連接AE，將△ABE沿AE折疊得到△AFE，連接CF．若AB＝4，BC＝6，則CF的長(zhǎng)是（）A．3 B． C． D．【答案】D【解答】解：連接BF，交AE于O點(diǎn)，∵將△ABE沿AE折疊得到△AFE，∴BE＝EF，∠AEB＝∠AEF，AE垂直平分BF，∵點(diǎn)E為BC的中點(diǎn)，∴BE＝CE＝EF＝3，∴∠EFC＝∠ECF，∵∠BEF＝∠ECF+∠EFC，∴∠AEB＝∠ECF，∴AE∥CF，∴∠BFC＝∠BOE＝90°，在Rt△ABE中，由勾股定理得，AE＝＝，∴BO＝＝，∴BF＝2BO＝，在Rt△BCF中，由勾股定理得，CF＝＝＝，故選：D．15．（2022?湖州）如圖，已知BD是矩形ABCD的對(duì)角線，AB＝6，BC＝8，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊AD，BC上，連結(jié)BE，DF．將△ABE沿BE翻折，將△DCF沿DF翻折，若翻折后，點(diǎn)A，C分別落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)G，H處，連結(jié)GF．則下列結(jié)論不正確的是（）A．BD＝10 B．HG＝2 C．EG∥FH D．GF⊥BC【答案】D【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝90°，BC＝AD，∵AB＝6，BC＝8，∴BD＝＝＝10，故A選項(xiàng)不符合題意；∵將△ABE沿BE翻折，將△DCF沿DF翻折，點(diǎn)A，C分別落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)G，H處，∴AB＝BG＝6，CD＝DH＝6，∴GH＝BG+DH﹣BD＝6+6﹣10＝2，故B選項(xiàng)不符合題意；∵四邊形ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，∵將△ABE沿BE翻折，將△DCF沿DF翻折，點(diǎn)A，C分別落在對(duì)角線BD上的點(diǎn)G，H處，∴∠A＝∠BGE＝∠C＝∠DHF＝90°，∴EG∥FH．故C選項(xiàng)不符合題意；∵GH＝2，∴BH＝DG＝BG﹣GH＝6﹣2＝4，設(shè)FC＝HF＝x，則BF＝8﹣x，∴x2+42＝（8﹣x）2，∴x＝3，∴CF＝3，∴，又∵，∴，若GF⊥BC，則GF∥CD，∴，故D選項(xiàng)符合題意．故選：D．16．（2021?天津）如圖，在△ABC中，∠BAC＝120°，將△ABC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)得到△DEC，點(diǎn)A，B的對(duì)應(yīng)點(diǎn)分別為D，E，連接AD．當(dāng)點(diǎn)A，D，E在同一條直線上時(shí)，下列結(jié)論一定正確的是（）A．∠ABC＝∠ADCB．CB＝CD C．DE+DC＝BC D．AB∥CD【答案】D【解答】解：由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得出CD＝CA，∠EDC＝∠BAC＝120°，∵點(diǎn)A，D，E在同一條直線上，∴∠ADC＝60°，∴△ADC為等邊三角形，∴∠DAC＝60°，∴∠BAD＝60°＝∠ADC，∴AB∥CD，故選：D．17．（2022?濱州）正方形ABCD的對(duì)角線相交于點(diǎn)O（如圖1），如果∠BOC繞點(diǎn)O按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，其兩邊分別與邊AB、BC相交于點(diǎn)E、F（如圖2），連接EF，那么在點(diǎn)E由B到A的過(guò)程中，線段EF的中點(diǎn)G經(jīng)過(guò)的路線是（）A．線段 B．圓弧 C．折線 D．波浪線【答案】A【解答】解：建立如圖平面直角坐標(biāo)系，設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為1，∵四邊形ABCD是正方形，∴∠OAE＝∠OBF＝45°，OA＝OB，∵∠AOB＝∠EOF＝90°，∴∠AOE＝∠BOF，∴△AOE≌△BOF（ASA），∴AE＝BF，設(shè)AE＝BF＝a，則F（a，0），E（0，1﹣a），∵EG＝FG，∴G（a，﹣a），∴點(diǎn)G在直線y＝﹣x+上運(yùn)動(dòng)，∴點(diǎn)G的運(yùn)動(dòng)軌跡是線段，故選：A．18．（2022?眉山）如圖，四邊形ABCD為正方形，將△EDC繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至△HBC，點(diǎn)D，B，H在同一直線上，HE與AB交于點(diǎn)G，延長(zhǎng)HE與CD的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)F，HB＝2，HG＝3．以下結(jié)論：①∠EDC＝135°；②EC2＝CD?CF；③HG＝EF；④sin∠CED＝．其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（）A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】D【解答】解：∵△EDC旋轉(zhuǎn)得到△HBC，∴∠EDC＝∠HBC，∵ABCD為正方形，D，B，H在同一直線上，∴∠HBC＝180°﹣45°＝135°，∴∠EDC＝135°，故①正確；∵△EDC旋轉(zhuǎn)得到△HBC，∴EC＝HC，∠ECH＝90°，∴∠HEC＝45°，∴∠FEC＝180°﹣45°＝135°，∵∠ECD＝∠ECF，∴△EFC∽△DEC，∴，∴EC2＝CD?CF，故②正確；設(shè)正方形邊長(zhǎng)為a，∵∠GHB+∠BHC＝45°，∠GHB+∠HGB＝45°，∴∠BHC＝∠HGB＝∠DEC，∵∠GBH＝∠EDC＝135°，∴△GBH∽△EDC，∴，即，∵△HEC是等腰直角三角形，∴，∵∠GHB＝∠FHD，∠GBH＝∠HDF＝135°，∴△HBG∽△HDF，∴，即，解得：EF＝3，∵HG＝3，∴HG＝EF，故③正確；過(guò)點(diǎn)E作EM⊥FD交FD于點(diǎn)M，∴∠EDM＝45°，∵ED＝HB＝2，∴，∵EF＝3，∴，∵∠DEC+∠DCE＝45°，∠EFC+∠DCE＝45°，∴∠DEC＝∠EFC，∴，故④正確綜上所述：正確結(jié)論有4個(gè)，故選：D．19．（2022?單縣一模）如圖，將邊長(zhǎng)為8cm的正方形ABCD折疊，使點(diǎn)D落在AB邊的中點(diǎn)E處，折痕為FH，點(diǎn)C落在Q處，EQ與BC交于點(diǎn)G，則△EBG的周長(zhǎng)是cm．【答案】16【解答】解：設(shè)EF＝x，∵EF＝DF，∴DF＝x，則AF＝8﹣x；而AE＝4，由勾股定理得：x2＝42+（8﹣x）2，解得：x＝5；AF＝8﹣5＝3；由題意得：∠GEF＝∠D＝90°，∠A＝∠B＝90°，∴∠AEF+∠AFE＝∠AEF+∠BEG，∴∠AFE＝∠BEG；∴△AEF∽△BGE，∴＝＝，∴EG＝＝，BG＝＝，∴△EBG的周長(zhǎng)＝++4＝16．故答案為16．20．如圖，在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝5，點(diǎn)P在CD邊上，聯(lián)結(jié)AP．如果將△ADP沿直線AP翻折，點(diǎn)D恰好落在線段BC上，那么的值為．【答案】【解答】解：如圖：∵將△ADP沿直線AP翻折，點(diǎn)D恰好落在線段BC上的D'，∴AD'＝AD＝5，PD＝PD'，∠AD'P＝∠D＝90°，在Rt△ABD'中，BD'＝＝＝4，∴CD'＝BC﹣BD'＝5﹣4＝1，設(shè)CP＝x，則PD＝PD'＝3﹣x，在Rt△CPD'中，CD'2+CP2＝PD'2，∴12+x2＝（3﹣x）2，解得x＝，∴CP＝，PD＝，∴S△ADP＝AD?PD＝×5×＝，S四邊形ABCP＝S矩形ABCD﹣S△ADP＝3×5﹣＝，∴＝＝，故答案為：．21．（2022?銅仁市）如圖，在邊長(zhǎng)為2的正方形ABCD中，點(diǎn)E為AD的中點(diǎn)，將△CDE沿CE翻折得△CME，點(diǎn)M落在四邊形ABCE內(nèi)．點(diǎn)N為線段CE上的動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)N作NP∥EM交MC于點(diǎn)P，則MN+NP的最小值為．【答案】【解答】解：作點(diǎn)P關(guān)于CE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)P′，由折疊的性質(zhì)知CE是∠DCM的平分線，∴點(diǎn)P′在CD上，過(guò)點(diǎn)M作MF⊥CD于F，交CE于點(diǎn)G，∵M(jìn)N+NP＝MN+NP′≥MF，∴MN+NP的最小值為MF的長(zhǎng)，連接DG，DM，由折疊的性質(zhì)知CE為線段DM的垂直平分線，∵AD＝CD＝2，DE＝1，∴CE＝＝，∵CE×DO＝CD×DE，∴DO＝，∴EO＝，∵M(jìn)F⊥CD，∠EDC＝90°，∴DE∥MF，∴∠EDO＝∠GMO，∵CE為線段DM的垂直平分線，∴DO＝OM，∠DOE＝∠MOG＝90°，∴△DOE≌△MOG，∴DE＝GM，∴四邊形DEMG為平行四邊形，∵∠MOG＝90°，∴四邊形DEMG為菱形，∴EG＝2OE＝，GM＝DE＝1，∴CG＝，∵DE∥MF，即DE∥GF，∴△CFG∽△CDE，∴，即，∴FG＝，∴MF＝1+＝，∴MN+NP的最小值為；方法二：同理方法一得出MN+NP的最小值為MF的長(zhǎng)，DO＝，∴OC＝＝，DM＝2DO＝，∵S△CDM＝DM?OC＝CD?MF，即×＝2×MF，∴MF＝，∴MN+NP的最小值為；故答案為：【類(lèi)型三：與旋轉(zhuǎn)有關(guān)的計(jì)算】22．（2020?桂林）如圖，已知的半徑為5，所對(duì)的弦AB長(zhǎng)為8，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到，則在該旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是（）A．π B．π C．2π D．2π【答案】B【解答】解：如圖，設(shè)的圓心為O，連接OP，OA，AP'，AP，AB'∵圓O半徑為5，所對(duì)的弦AB長(zhǎng)為8，點(diǎn)P是的中點(diǎn)，根據(jù)垂徑定理，得AC＝AB＝4，PO⊥AB，OC＝＝3，∴PC＝OP﹣OC＝5﹣3＝2，∴AP＝＝2，∵將繞點(diǎn)A逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°后得到，∴∠PAP′＝∠BAB′＝90°，∴LPP′＝＝π．則在該旋轉(zhuǎn)過(guò)程中，點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)路徑長(zhǎng)是π．故選：B．23．（2022?遼寧）如圖，在正方形ABCD中，對(duì)角線AC，BD相交于點(diǎn)O，點(diǎn)E是OD的中點(diǎn)，連接CE并延長(zhǎng)交AD于點(diǎn)G，將線段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CF，連接EF，點(diǎn)H為EF的中點(diǎn)．連接OH，則的值為．【答案】【解答】解：以O(shè)為原點(diǎn)，平行于AB的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，過(guò)E作EM⊥CD于M，過(guò)F作FN⊥DC，交DC延長(zhǎng)線于N，如圖：設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則C（1，1），D（﹣1，1），∵E為OD中點(diǎn)，∴E（﹣，），設(shè)直線CE解析式為y＝kx+b，把C（1，1），E（﹣，）代入得：，解得，∴直線CE解析式為y＝x+，在y＝x+中，令x＝﹣1得y＝，∴G（﹣1，），∴GE＝＝，∵將線段CE繞點(diǎn)C逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到CF，∴CE＝CF，∠ECF＝90°，∴∠MCE＝90°﹣∠NCF＝∠NFC，∵∠EMC＝∠CNF＝90°，∴△EMC≌△CNF（AAS），∴ME＝CN，CM＝NF，∵E（﹣，），C（1，1），∴ME＝CN＝，CM＝NF＝，∴F（，﹣），∵H是EF中點(diǎn)，∴H（，0），∴OH＝，∴＝＝．故答案為：．24．（2022?柳州）如圖，在正方形ABCD中，AB＝4，G是BC的中點(diǎn)，點(diǎn)E是正方形內(nèi)一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，且EG＝2，連接DE，將線段DE繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得到線段DF，連接CF，則線段CF長(zhǎng)的最小值為．【答案】2﹣2【解答】解：連接DG，將DG繞點(diǎn)D逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°得DM，連接MG，CM，MF，作MH⊥CD于H，∵∠EDF＝∠GDM，∴∠EDG＝∠FDM，∵DE＝DF，DG＝DM，∴△EDG≌△MDF（SAS），∴MF＝EG＝2，∵∠GDC＝∠DMH，∠DCG＝∠DHM，DG＝DM，∴△DGC≌△MDH（AAS），∴CG＝DH＝2，MH＝CD＝4，∴CM＝＝2，∵CF≥CM﹣MF，∴CF的最小值為2﹣2，故答案為：2﹣2．【類(lèi)型一：與圖形構(gòu)造有關(guān)的計(jì)算】25．（2022?安順模擬）如圖，點(diǎn)A為等邊三角形BCD外一點(diǎn)，連接AB、AD且AB＝AD，過(guò)點(diǎn)A作AE∥CD分別交BC、BD于點(diǎn)E、F，若3BD＝4AE，EF＝5，則線段AE的長(zhǎng)．【答案】15【解答】解：方法一：如圖，過(guò)點(diǎn)A作BC平行線AG交DC于點(diǎn)G，∵AE∥CD，∴四邊形AECG是平行四邊形，∵AB＝AD，∴∠ABD＝∠ADB，∵△BCD是等邊三角形，∴∠DBC＝∠BDC＝60°，∴∠ABE＝∠ADG，∵AE∥CD，∴∠AEB＝∠C，∵AG∥BC，∴∠AGD＝∠C，∴∠AEB＝∠AGD，在△AEB和△AGD中，，∴△AEB≌△AGD（AAS），∴AE＝AG，∴四邊形AECG是菱形，∴AE＝EC，∴∠AEB＝∠BCD＝60°，∴∠AEB＝∠FBE＝∠BFE＝60°，∴△BEF是等邊三角形，∴BE＝BF＝EF＝5，∵3BD＝4AE，∴＝，設(shè)BD＝4x，則AE＝3x，∵△BCD是等邊三角形，∴BC＝CD＝BD＝4x，∴CE＝BC﹣BE＝4x﹣5，∴4x﹣5＝3x，解得x＝5，∴AE＝3x＝15，方法二：如圖，連接AC交BD于點(diǎn)O，∵3BD＝4AE，∴＝，設(shè)BD＝4x，則AE＝3x，∵△BCD是等邊三角形，∴BC＝CD＝BD＝4x，∠DCB＝∠DBC＝60°，∵AB＝AD，BC＝CD，∴AC是BD的垂直平分線，∴OB＝OD＝2x，OC平分∠BCD，∴∠DCO＝DCB＝30°，∵AE∥CD，∴∠DCO＝30°，∴OC＝＝＝2x，∵AE∥CD，∴∠AEB＝∠BCD＝60°，∴∠AEB＝∠FBE＝∠BFE＝60°，∴△BEF是等邊三角形，∴BE＝BF＝EF＝5，∴OF＝OB﹣BF＝2x﹣5，AF＝AE﹣EF＝3x﹣5，∵∠AOF＝∠COD，∠OAF＝∠OC