線性平穩(wěn)時間序列模型

關(guān)于線性平穩(wěn)時間序列模型Contents

§3.1線性平穩(wěn)時間序列模型的種類§3.2

ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性和可逆性§3.3

ARMA模型的傳遞形式和逆轉(zhuǎn)形式第2頁,共78頁，2024年2月25日，星期天第一節(jié)線性平穩(wěn)時間序列模型的種類一、自回歸模型二、移動平均模型三、自回歸移動平均模型四、求和自回歸移動平均模型第3頁,共78頁，2024年2月25日，星期天(一).一階自回歸模型，AR(1)1.設(shè){xt}為零均值平穩(wěn)隨機序列，如果關(guān)于xt的合適模型為：一、自回歸模型（Autoregressivemodel,AR）其中：εt是白噪聲序過程（外部沖擊）（1）（2）那么我們就說xt遵循一個一階自回歸或AR(1)隨機過程。第4頁,共78頁，2024年2月25日，星期天可見,AR(1)模型中，xt在t時刻值依賴于兩部分，一部分依賴于它的前一期的值xt-1；另一部分是依賴于與xt-1不相關(guān)的部分εt可將AR(1)模型寫成另一種形式：通過這一種形式可以看出，AR(1)模型通過消除xt中依賴于xt-1的部分，而使相關(guān)數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成了獨立數(shù)據(jù)。第5頁,共78頁，2024年2月25日，星期天AR(1)模型的滯后算子形式：第6頁,共78頁，2024年2月25日，星期天2.隨機游走(RandomWalk)過程如果一個時間序列xt的合適的模型為如下的形式：其中：εt為白噪聲序列，那么就稱xt為隨機游走過程?！半S機游走”一詞首次出現(xiàn)于1905年自然（Nature）雜志第72卷PearsonK.和RayleighL.的一篇通信中。該信件的題目是“隨機游走問題”。文中討論尋找一個被放在野地中央的醉漢的最佳策略是從投放點開始搜索。第7頁,共78頁，2024年2月25日，星期天隨機游走過程是非平穩(wěn)時間序列證明：對于設(shè)則于是有因此

的方差隨時間而改變，因此過程是非平穩(wěn)的。第8頁,共78頁，2024年2月25日，星期天雖然隨機游走過程是非平穩(wěn)的，但是我們看到，它的一階差分卻是平穩(wěn)的：有些研究表明，許多經(jīng)濟時間序列呈現(xiàn)出隨機游走或至少有隨機游走的成分，如股票價格，這些序列雖然是非平穩(wěn)的，但它們的一階(或高階)差分卻是平穩(wěn)的。Box—Jenkins就是利用差分這種數(shù)學(xué)工具來使非平穩(wěn)序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列的。第9頁,共78頁，2024年2月25日，星期天(二).二階自回歸模型，AR(2)1.設(shè){xt}為零均值的隨機序列，如果關(guān)于xt的合適模型為：其中：εt是白噪聲序列（1）（2）那么我們就說xt遵循一個二階自回歸或AR(2)隨機過程。思考：若建立AR(2)模型以后，上述假設(shè)不符合，說明了什么問題？第10頁,共78頁，2024年2月25日，星期天AR(2)模型可寫成如下的等價形式

通過等價形式可以看出，AR(2)模型通過將xt中依賴于xt-1、xt-2的部分剔除掉，而使數(shù)據(jù)轉(zhuǎn)化成了獨立數(shù)據(jù)εt。第11頁,共78頁，2024年2月25日，星期天(三).一般自回歸模型，AR(p)1.設(shè){xt}為零均值的時間序列，如果關(guān)于xt的合適模型為：其中：εt是白噪聲序列(2)(3)那么我們就說xt遵循一個p階自回歸或AR(p)隨機過程。(1)第12頁,共78頁，2024年2月25日，星期天思考：如果{xt}是一個非零均值的平穩(wěn)時間序列，怎么對其建立模型？今后在分析AR模型時，都簡化為對它的中心化模型進行分析。設(shè)：于是：則可對序列建立ARMA模型：例如AR模型的一般形式可寫為：若μ未知，可估計如下模型：其中：第13頁,共78頁，2024年2月25日，星期天自回歸系數(shù)多項式引進滯后算子，中心化模型又可以為從而有：記：則模型可以表示成：例如，二階自回歸模型，可寫成第14頁,共78頁，2024年2月25日，星期天二、移動平均模型（Movingaveragemodel,MA）（一）一階移動平均模型，MA(1)如果關(guān)于零均值隨機序列xt的合適的模型如下：其中：εt為白噪聲序列，那么就稱xt滿足一階移動平均過程，記作MA(1)使用滯后算子，MA(1)模型可以寫成：第15頁,共78頁，2024年2月25日，星期天（二）一般移動平均模型，MA(q)如果關(guān)于零均值時間序列xt的合適的模型如下：其中：(1)εt為白噪聲過程(2)那么就稱xt滿足q階移動平均過程，記作MA(q)使用滯后算子，MA(q)模型可以寫成：第16頁,共78頁，2024年2月25日，星期天三、自回歸移動平均模型,ARMA(p,q)如果零均值序列｛Xt｝的當(dāng)前值不僅與自身的過去值有關(guān)，而且還與其以前進入系統(tǒng)的外部沖擊存在一定依存關(guān)系，那么它可以用如下的線性模型來描述：其中：（1）（2）為白噪聲過程，即（3）則稱Xt滿足自回歸移動平均過程，記為ARMA(p,q)。第17頁,共78頁，2024年2月25日，星期天利用滯后算子，ARMA(p,q)模型可寫為：其中：且，之間不出現(xiàn)公共因子。第18頁,共78頁，2024年2月25日，星期天如果序列xt是均值非平穩(wěn)的，對其進行d次差分后，變成了平穩(wěn)的序列Δdxt，這個差分后的平穩(wěn)序列的適應(yīng)性模型為ARMA(p,q)，此時就稱對原始序列xt建立了ARIMA(p,d,q)模型。其中：p為自回歸部分項階數(shù)，q指移動平均部分階數(shù)，d為使序列平穩(wěn)之前必須對其差分的次數(shù)。四、求和自回歸移動平均模型（ARIMA,IntegratedAutoregressiveMovingaveragemodel）第19頁,共78頁，2024年2月25日，星期天ARIMA(2,1,2)表示先對時間序列進行一階差分，使之轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)序列，然后對平穩(wěn)序列建立ARMA(2,2)模型。例如：ARIMA(p,0,q)就相當(dāng)于ARMA(p,q)。ARIMA(p,0,0)就相當(dāng)于AR(p)。ARIMA(0,0,q)就相當(dāng)于MA(q)。對于一個ARIMA(p,d,q)也可以用推移算子B表示如下其中：第20頁,共78頁，2024年2月25日，星期天其中：思考：如果{xt}是一個非零均值的平穩(wěn)時間序列，怎么對其建立ARIMA(p,d,q)模型？第21頁,共78頁，2024年2月25日，星期天第二節(jié)ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性和可逆性一、時間序列模型的平穩(wěn)性二、時間序列模型的可逆性三、AR模型的平穩(wěn)性條件四、MA模型的可逆性條件五、ARMA模型的平穩(wěn)性條件和可逆性條件第22頁,共78頁，2024年2月25日，星期天一、時間序列模型的平穩(wěn)性(Stationarity)如果一個時間序列模型可以寫成如下形式：其中，εt為白噪聲過程。且滿足：就稱該模型是平穩(wěn)的。上式稱為wold展開式。如果一個時間序列模型可以寫成上述形式，則稱該模型具有傳遞形式。系數(shù)｛Gj｝稱為格林函數(shù)。它描述了系統(tǒng)對過去沖擊的動態(tài)記憶性強度。第23頁,共78頁，2024年2月25日，星期天證明：第24頁,共78頁，2024年2月25日，星期天且：對于上式，可以證明如下結(jié)論：由于平穩(wěn)過程的方差存在。因此必須有這是平穩(wěn)過程的條件。第25頁,共78頁，2024年2月25日，星期天對于一個有限階的MA(q)模型總有：所以，一個有限階的MA(q)模型總是平穩(wěn)的。一個有限階的MA(q)模型本身就是一種傳遞形式。第26頁,共78頁，2024年2月25日，星期天如果一個時間序列的模型可以寫成如下形式：二、時間序列模型的可逆性(invertibility)其中，εt為白噪聲過程。且滿足：則稱｛xt｝具有逆轉(zhuǎn)形式（或可逆形式）。系數(shù)｛πj｝稱為逆函數(shù)。第27頁,共78頁，2024年2月25日，星期天對于一個有限階的自回歸模型AR(P)總有：所以，一個有限階的AR(P)模型本身就是一種逆轉(zhuǎn)形式。第28頁,共78頁，2024年2月25日，星期天AR(p)MA(q)ARMA(p,q)可逆性平穩(wěn)性????√√第29頁,共78頁，2024年2月25日，星期天對于一個有限階的AR(P)模型：三、AR(p)模型的平穩(wěn)性條件序列｛xt｝平穩(wěn)的充要條件是：的根全在單位圓外。即如果B1，B2，…，Bp是如下特征方程的根，那么它們的絕對值必須大于1第30頁,共78頁，2024年2月25日，星期天第31頁,共78頁，2024年2月25日，星期天對照前面平穩(wěn)性的定義可知，上述過程若要平穩(wěn)，必須滿足：第32頁,共78頁，2024年2月25日，星期天第33頁,共78頁，2024年2月25日，星期天上述兩個條件是等價的。第34頁,共78頁，2024年2月25日，星期天可見：一個有限階的平穩(wěn)的AR(P)模型，可以表示成一個無限階的MA模型第35頁,共78頁，2024年2月25日，星期天方程1的根在單位圓外?；蚍匠?：的根在單位圓內(nèi)。AR模型平穩(wěn)性判別判別原因AR模型是常用的平穩(wěn)序列的擬合模型之一，但并非所有的AR模型都是平穩(wěn)的判別方法特征根判別法平穩(wěn)域判別法

AR(P)的平穩(wěn)域：使的根全在單位圓外的AR系數(shù)向量（）的全體形成的集合。第36頁,共78頁，2024年2月25日，星期天舉例：求AR(1)模型的平穩(wěn)性條件這就是AR(1)模型的平穩(wěn)域即：方法一：方法二：AR(1)模型對應(yīng)的滯后算子多項式的特征方程為：AR(1)模型對應(yīng)的差分方程的特征方程為：第37頁,共78頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)時，AR(1)可表示為一個無限階的MA過程，即：此時有：顯然，當(dāng)時，AR(1)模型是平穩(wěn)的。第38頁,共78頁，2024年2月25日，星期天重新分析隨機游走過程，判斷其是否平穩(wěn)？第39頁,共78頁，2024年2月25日，星期天舉例：求AR(2)模型的平穩(wěn)性條件對于AR(2)模型其對應(yīng)的差分方程的特征方程為：差分方程的特征根為：為滿足平穩(wěn)性條件，必須有：注，如果則特征根為復(fù)根：為滿足平穩(wěn)性，要求：第40頁,共78頁，2024年2月25日，星期天第41頁,共78頁，2024年2月25日，星期天AR(2)過程的平穩(wěn)性區(qū)域如下圖三角域所示第42頁,共78頁，2024年2月25日，星期天第43頁,共78頁，2024年2月25日，星期天例3.1:考察如下四個模型的平穩(wěn)性第44頁,共78頁，2024年2月25日，星期天平穩(wěn)性判別模型特征根判別平穩(wěn)域判別結(jié)論(1)平穩(wěn)(2)非平穩(wěn)(3)平穩(wěn)(4)非平穩(wěn)第45頁,共78頁，2024年2月25日，星期天四、MA(q)模型的可逆性條件類似前面的結(jié)論，一個平穩(wěn)的過程也不一定是可逆的。同樣，對于一個有限階的MA(q)模型：它是可逆過程的必要條件是:的根都在單位圓外，即如果B1，B2，…，Bq是的根，那么它們的絕對值都必須大于1第46頁,共78頁，2024年2月25日，星期天第47頁,共78頁，2024年2月25日，星期天上述兩個條件是等價的。類似的：第48頁,共78頁，2024年2月25日，星期天可以得出如下結(jié)論：一個有限階的可逆的MA(q)模型，可以表示成一個無限階的AR模型第49頁,共78頁，2024年2月25日，星期天MA(1)過程的可逆性條件：對于MA(1)過程：或其可逆性條件是要求：的根在單位圓內(nèi)，即：在根在單位圓外，即：方法二：要求差分方程對應(yīng)的特征方程：方法一：滯后算子多項式對應(yīng)的特征方程：或第50頁,共78頁，2024年2月25日，星期天當(dāng)時，MA(1)可表示為一個無限階的AR過程，即：第51頁,共78頁，2024年2月25日，星期天MA(2)過程的可逆性條件：對于MA(2)過程：其可逆性條件是：要求特征方程的兩個特征根在單位圓內(nèi)。即：類似AR(2)過程的平穩(wěn)性條件，可以證明MA(2)模型的可逆域如下：第52頁,共78頁，2024年2月25日，星期天例:考察如下MA模型的可逆性第53頁,共78頁，2024年2月25日，星期天（1）（2）（3）（4）第54頁,共78頁，2024年2月25日，星期天總結(jié)：(1)一個平穩(wěn)的AR(p)過程可以轉(zhuǎn)化為一個無限階移動平均過程。(2)一個可逆的MA(q)過程可以轉(zhuǎn)化為一個無限階的自回歸過程。(3)對于AR(p)過程只須考慮平穩(wěn)性問題，不必考慮可逆性問題。(4)對于MA(q)過程，只須考慮可逆性問題，不必考慮平穩(wěn)性問題。第55頁,共78頁，2024年2月25日，星期天五、ARMA(p,q)模型的平穩(wěn)性條件和可逆性條件(一)平穩(wěn)性對于一個ARMA(p,q)模型服從ARMA（p,q）模型的序列xt平穩(wěn)的充要條件是：的根全在單位圓外。ARMA（p,q）序列的平穩(wěn)性僅與自回歸系數(shù)有關(guān)，而與滑動平均系數(shù)無關(guān)。而且平穩(wěn)條件與AR(p)的平穩(wěn)條件相同。第56頁,共78頁，2024年2月25日，星期天(二)可逆性ARMA（p,q）可逆的條件僅與滑動系數(shù)有關(guān)，而與自回歸系數(shù)無關(guān)。而且可逆條件與MA（q）的可逆條件相同。

服從ARMA（p,q）模型的序列xt，其具有可逆性的條件是：θ(B)=0的根全在單位圓外。第57頁,共78頁，2024年2月25日，星期天為滿足可逆性，的根必須在單位圓外，即：舉例：ARMA(1,1)過程的平穩(wěn)性和可逆性ARMA(1,1)模型的一般形式為：或為：為滿足平穩(wěn)性，的根必須在單位圓外，即：第58頁,共78頁，2024年2月25日，星期天第三節(jié)ARMA模型的傳遞形式和逆轉(zhuǎn)形式一、傳遞形式和逆轉(zhuǎn)形式的概念二、AR(P)的傳遞形式三、ARMA(p,q)的傳遞形式四、ARMA(p,q)的逆轉(zhuǎn)形式第59頁,共78頁，2024年2月25日，星期天一、ARMA模型的傳遞形式和逆轉(zhuǎn)形式所謂傳遞形式：就是將序列xt的當(dāng)前值，表示為當(dāng)前沖擊值εt

與過去沖擊值εt-i(i=1,2,3…)的線性組合。即:其中，系數(shù)函數(shù)Gj叫做記憶函數(shù)，又叫格林函數(shù)(Green’sfunction)。第60頁,共78頁，2024年2月25日，星期天可見，純移動平均模型MA(q)本身就是傳遞形式。第61頁,共78頁，2024年2月25日，星期天所謂逆轉(zhuǎn)形式：就是以序列的當(dāng)前值和過去值的線性組合去表示當(dāng)前的沖擊值εt。第62頁,共78頁，2024年2月25日，星期天可見，純自回歸模型AR(