七年級數(shù)學(xué)下冊壓軸題攻略(蘇科版)專題03平行線中的拐點問題壓軸題三種模型全攻略(原卷版+解析)

專題03平行線中的拐點問題壓軸題三種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一平行線中一個拐點問題】 1【考點二平行線中兩點及多點拐點問題】 3【考點三平行線中在生活上的拐點問題】 6【過關(guān)檢測】 9【典型例題】【考點一平行線中一個拐點問題】例題：(2023·四川南充·九年級期中）如圖，，若，，則∠E=______．【變式訓(xùn)練】1．(2023·內(nèi)蒙古·烏海市第二中學(xué)七年級期中）如圖，AB∥EF，則∠A，∠C，∠E滿足的數(shù)量關(guān)系是______．2．(2023·甘肅·涼州區(qū)洪祥鎮(zhèn)九年制學(xué)校七年級期末）如圖，若ABCD，則，，則______．【考點二平行線中兩點及多點拐點問題】例題：(2023·云南·彌勒市朋普中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖所示，、BEFD是AB、CD之間的一條折線，則∠1+∠2+∠3+∠4=_____．【變式訓(xùn)練】1．(2023·浙江·蘭溪市實驗中學(xué)七年級期中）如圖，直線l1∥l2，若∠1=40°，∠2比∠3大10°，則∠4=____．2．(2023·遼寧·興城市第二初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）①如圖1，ABCD，則∠A+∠E+∠C＝180°；②如圖2，ABCD，則∠E＝∠A+∠C；③如圖3，若ABEF，則∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如圖4，ABCD，則∠A＝∠C+∠P．以上結(jié)論正確的是_____．【考點三平行線中在生活上的拐點問題】例題：(2023·四川瀘州·七年級期末）如圖是三島的平面圖，島在島的北偏東方向，在島的北偏西方向，則____________．【變式訓(xùn)練】1．(2023·黑龍江·哈爾濱德強學(xué)校七年級期中）如圖，汽車燈的剖面圖，從位于點的燈發(fā)出光照射到凹面鏡上反射出的光線，都是水平線，若，，則的度數(shù)為______．2．(2023·山東·濟南市萊蕪區(qū)雪野中心中學(xué)期中）幸福鄉(xiāng)要修建一條灌溉水渠，如圖，水渠從A村沿北偏東60°的方向到B村，從B村沿北偏西30°方向到C村．若水渠從C村沿CD方向修建可以保持與AB的方向一致，則∠DCB的度數(shù)為_____°【過關(guān)檢測】一、選擇題1．(2023·河北·寬城滿族自治縣第三中學(xué)七年級期中）如圖，ABCD，∠1=30°，∠2=40°，則∠EPF的度數(shù)是（

）A．110° B．90° C．80° D．70°2．(2023·廣東·深圳市龍崗區(qū)宏揚學(xué)校七年級期中）某同學(xué)在研究傳統(tǒng)文化“抖空竹”時有一個發(fā)現(xiàn)：他把它抽象成數(shù)學(xué)問題，如圖所示，已知，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．3．(2023·貴州安順·七年級期末）如圖，某沿湖公路有三次拐彎，若第一次的拐角∠A=110°，第二次的拐角∠B=140°，第三次的拐角為∠C，第三次拐彎后的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則∠C的度數(shù)是（

）A．130° B．140° C．145° D．150°二、填空題4．(2023·上?！て吣昙壠谥校┤鐖D，ABCD，為平行線間一點，若，，則______度．5．(2023·遼寧·阜新市第一中學(xué)七年級期中）如圖，某縣積極推進“鄉(xiāng)村振興計劃”，要對一段水渠進行擴建．如圖，已知現(xiàn)有水渠從A地沿北偏東50°的方向到B地，又從B地沿北偏西20°的方向到C地．現(xiàn)要從C地出發(fā)修建一段新渠CD，使，則∠BCD的度數(shù)為_____度．6．(2023·河南·商水縣希望初級中學(xué)七年級期末）如圖，，的角平分線的反向延長線和的角平分線交于點，，則的度數(shù)為_________．三、解答題7．(2023·江西贛州·七年級期中）根據(jù)下列敘述填依據(jù)．(1)已知如圖1，，求∠B+∠BFD+∠D的度數(shù)．解：過點F作所以∠B+∠BFE=180°（

）因為、（已知）所以（

）所以∠D+∠DFE=180°（

）所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠D=360°(2)根據(jù)以上解答進行探索．如圖（2）（3）ABEF、∠D與∠B、∠F有何數(shù)量關(guān)系（請選其中一個簡要證明）備用圖：(3)如圖（4）ABEF，∠C=90°，∠與∠、∠有何數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果，不需要說明理由）8．(2023·內(nèi)蒙古·扎賚特旗音德爾第三中學(xué)七年級期末）已知直線，和，分別交于，點，點，分別在線，上，且位于的左側(cè)，點在直線上，且不和點，重合．(1)如圖，有一動點在線段之間運動時，求證：；(2)如圖，當動點在點之上運動時，猜想、、有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由．9．(2023·廣東·龍嶺初級中學(xué)七年級期中）如圖，圖①是一種網(wǎng)紅彈弓的實物圖，在兩頭上系上皮筋，拉動皮筋可形成平面示意圖如圖②和圖③，彈弓的兩邊可看成是平行的，即，各活動小組探索與，之間數(shù)量關(guān)系時，有如下發(fā)現(xiàn)，(1)在圖②所示的圖形中，若，，則___________(2)在圖⑧中，若，，則_________(3)有同學(xué)在圖②和圖③的基礎(chǔ)上，面出了圖④所示的圖形，其中，請判斷，，之間的關(guān)系，并說明理由．10．(2023·山東省濟南第十二中學(xué)八年級階段練習(xí)）探究：(1)如圖①，已知ABCD，圖中∠1，∠2，∠3之間有什么關(guān)系？(2)如圖②，已知ABCD，圖中∠1，∠2，∠3，∠4之間有什么關(guān)系？(3)如圖③，已知ABCD，請直接寫出圖中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之間的關(guān)系；11．(2023·河北·寬城滿族自治縣第三中學(xué)七年級期中）已知：ABEF，在平面內(nèi)任意選取一點C．利用平行線的性質(zhì)，探究∠B、∠F、∠C滿足的數(shù)量關(guān)系．圖形∠B、∠F、∠C滿足的數(shù)量關(guān)系圖（1）圖（2）圖（3）圖（4）圖（5）圖（6）(1)將探究∠B、∠C、∠F之間的數(shù)量關(guān)系填寫下表：(2)請選擇其中一個圖形進行說明理由．12．(2023·四川樂山·七年級期末）問題情境：如圖1，，∠PAB=130°，∠PCD=120°，求∠APC的度數(shù)．小明的思路是：如圖2，過P作，通過平行線性質(zhì)，可得∠APC=50°+60°=110°問題遷移：(1)如圖3，，點P在射線OM上運動，當點P在A、B兩點之間運動時，∠ADP=∠α，∠BCP=∠β，∠CPD、∠α、∠β之間有何數(shù)量關(guān)系？請說明理由(2)在（1）的條件下，如果點P在A、B兩點外側(cè)運動時，點P與點A、B、O三點不重合，請你直接寫出∠CPD、間的數(shù)量關(guān)系．專題03平行線中的拐點問題壓軸題三種模型全攻略【考點導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一平行線中一個拐點問題】 1【考點二平行線中兩點及多點拐點問題】 3【考點三平行線中在生活上的拐點問題】 6【過關(guān)檢測】 9【典型例題】【考點一平行線中一個拐點問題】例題：(2023·四川南充·九年級期中）如圖，，若，，則∠E=______．【答案】##66度【分析】如圖所示，過點E作，則，根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等分別求出，則．【詳解】解：如圖所示，過點E作，∵，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線求出是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．(2023·內(nèi)蒙古·烏海市第二中學(xué)七年級期中）如圖，AB∥EF，則∠A，∠C，∠E滿足的數(shù)量關(guān)系是______．【答案】【分析】根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補可直接得到答案．【詳解】如下圖所示，過點C作，∵，∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），∵，，∴，∴（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），∴，∴，∴在原圖中，故答案為：．【點睛】本題考查平行直線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握兩直線平行，同旁內(nèi)角互補．2．(2023·甘肅·涼州區(qū)洪祥鎮(zhèn)九年制學(xué)校七年級期末）如圖，若ABCD，則，，則______．【答案】##20度【分析】過點作，利用平行線的性質(zhì)可得的度數(shù)，進而可得的度數(shù)，再結(jié)合可得，進而可得的度數(shù)．【詳解】解：如圖，過點作，則，，，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，構(gòu)造合適的輔助線是解題關(guān)鍵．【考點二平行線中兩點及多點拐點問題】例題：(2023·云南·彌勒市朋普中學(xué)七年級階段練習(xí)）如圖所示，、BEFD是AB、CD之間的一條折線，則∠1+∠2+∠3+∠4=_____．【答案】【分析】連接BD，根據(jù)平行線的性質(zhì)由AB∥CD得到∠ABD+∠CDB=180°，根據(jù)四邊形的內(nèi)角和得到∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，于是得到結(jié)論．【詳解】解：連接BD，如圖，∵AB∥CD，∴∠ABD+∠CDB=180°，∵∠2+∠3+∠EBD+∠FBD=360°，∴∠2+∠3+∠EBD+∠FDB+∠ABD+∠CDB=540°，即∠1+∠2+∠3+∠4=540°．故答案為：540°．【點睛】本題考查了平行線性質(zhì)：兩直線平行，同位角相等；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【變式訓(xùn)練】1．(2023·浙江·蘭溪市實驗中學(xué)七年級期中）如圖，直線l1∥l2，若∠1=40°，∠2比∠3大10°，則∠4=____．【答案】30°##30度【分析】過A點作AB直線l1，過C點作CD直線l2，由平行線的性質(zhì)可得∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∠6=∠7，結(jié)合∠2比∠3大10°可得∠5+∠6-∠7-∠8=10°，進而可求解．【詳解】解：過A點作AB直線l1，過C點作CD直線l2，∴∠5=∠1=40°，∠4=∠8，∵直線l1l2，∴ABCD，∴∠6=∠7，∵∠2比∠3大10°，∴∠2-∠3=10°，∵∠5+∠6=∠2，∠7+∠8=∠3，∴∠5+∠6-∠7-∠8=10°，∴40°-∠4=10°，解得∠4=30°．故答案為：30°．【點睛】本題主要考查平行線的性質(zhì)，角的計算，作適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．2．(2023·遼寧·興城市第二初級中學(xué)七年級階段練習(xí)）①如圖1，ABCD，則∠A+∠E+∠C＝180°；②如圖2，ABCD，則∠E＝∠A+∠C；③如圖3，若ABEF，則∠x=180°-∠α-∠γ+∠β；④如圖4，ABCD，則∠A＝∠C+∠P．以上結(jié)論正確的是_____．【答案】②③④【分析】①過點E作EFAB，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；②過點點E作EFAB，由平行線的性質(zhì)即可得出結(jié)論；③如圖3，過點C作CDAB，延長AB到G，由平行線的性質(zhì)可得出180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC；④過點P作PFAB，由平行線的性質(zhì)可得出∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC．【詳解】解：①如圖1，過點E作EFAB，∵ABCD，∴ABEFCD，∴∠A+∠AEF=180°，∠C+∠CEF=180°，∴∠A+∠AEC+∠C=∠A+∠AEF+∠C+∠CEF=180°+180°=360°，則①錯誤；②如圖2，過點E作EFAB，∵ABCD，∴ABEFCD，∴∠A=∠AEF，∠C=∠CEF，∴∠A+∠C=∠CEF+∠AEF=∠AEC，則②正確；③如圖3，過點C作CDAB，延長AB到G，∵ABEF，∴ABEFCD，∴∠DCF=∠EFC，由②的結(jié)論可知∠GBH+∠HCD=∠BHC，又∵，∠HCD=∠HCF-∠DCF∴180°-∠ABH+∠HCF-∠DCF=∠BHC，∴180°-∠ABH+∠HCF-∠EFC=∠BHC，∴，故③正確；④如圖4，過點P作PFAB，∵ABCD，∴ABPFCD，∴∠A=∠APF，∠C=∠CPF，∴∠A=∠CPF+∠APC=∠C+∠APC，則④正確；故答案為：②③④．【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線是解答此題的關(guān)鍵．【考點三平行線中在生活上的拐點問題】例題：(2023·四川瀘州·七年級期末）如圖是三島的平面圖，島在島的北偏東方向，在島的北偏西方向，則____________．【答案】【分析】根據(jù)方位角的概念，過點作輔助線，構(gòu)造兩組平行線，利用平行線的性質(zhì)即可求解．【詳解】如圖，作，∵，∴．∵，∴．∵，∴．∴．故答案為：．【點睛】本題考查了方位角的概念，解答題目的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造平行線．兩直線平行，內(nèi)錯角相等．【變式訓(xùn)練】1．(2023·黑龍江·哈爾濱德強學(xué)校七年級期中）如圖，汽車燈的剖面圖，從位于點的燈發(fā)出光照射到凹面鏡上反射出的光線，都是水平線，若，，則的度數(shù)為______．【答案】##60度【分析】如圖所示，過點O作，則，根據(jù)平行線的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點O作，∵光線，都是水平線，∴，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，熟知兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．2．(2023·山東·濟南市萊蕪區(qū)雪野中心中學(xué)期中）幸福鄉(xiāng)要修建一條灌溉水渠，如圖，水渠從A村沿北偏東60°的方向到B村，從B村沿北偏西30°方向到C村．若水渠從C村沿CD方向修建可以保持與AB的方向一致，則∠DCB的度數(shù)為_____°【答案】90度##90°【分析】根據(jù)CD與AB的方向一致，可得，即有∠DCB=∠CBA，根據(jù)，可得∠A+∠ABN=180°，即有∠ABC=90°，則有∠DCB=90°，問題得解．【詳解】如圖，設(shè)置點M、N，根據(jù)題意有：，∵CD與AB的方向一致，∴，∴∠DCB=∠CBA，∵，∴∠A+∠ABN=180°，∵∠A=60°，∠ABN=∠ABC+∠CBN，∠CBN=30°，∴∠ABC=90°，∴∠DCB=90°，故答案為：90°．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)、方位角的應(yīng)用，明確題意，靈活運用平行線的性質(zhì)是解答本題的關(guān)鍵．【過關(guān)檢測】一、選擇題1．(2023·河北·寬城滿族自治縣第三中學(xué)七年級期中）如圖，ABCD，∠1=30°，∠2=40°，則∠EPF的度數(shù)是（

）A．110° B．90° C．80° D．70°【答案】D【分析】如圖，過點P作PMAB，利用平行線的性質(zhì)得到∠EPF=∠1+∠2即可．【詳解】解：如圖，過點P作PMAB，∴∠3=∠1=30°，又∵，∴，∴∠4=∠2=40°，∴∠3+∠4=∠1+∠2=70°，即∠EPF=70°，故選：D．【點睛】本題考查平行線的判定定理以及平行線的性質(zhì)．注意如果兩條直線都和第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行的運用．2．(2023·廣東·深圳市龍崗區(qū)宏揚學(xué)校七年級期中）某同學(xué)在研究傳統(tǒng)文化“抖空竹”時有一個發(fā)現(xiàn)：他把它抽象成數(shù)學(xué)問題，如圖所示，已知，，，則的度數(shù)是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】延長交于，依據(jù)，，可得，再根據(jù)三角形外角性質(zhì)，即可得到．【詳解】解：如圖，延長交于，∵，，，又，，．故選：B．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，解決問題的關(guān)鍵是掌握：兩直線平行，同位角相等．3．(2023·貴州安順·七年級期末）如圖，某沿湖公路有三次拐彎，若第一次的拐角∠A=110°，第二次的拐角∠B=140°，第三次的拐角為∠C，第三次拐彎后的道路恰好和第一次拐彎之前的道路平行，則∠C的度數(shù)是（

）A．130° B．140° C．145° D．150°【答案】D【分析】過點B作BEAD，利用平行線的性質(zhì)可得∠ABE＝110°，從而求出∠EBC＝30°，然后再利用平行線的性質(zhì)，即可解答．【詳解】解：過點B作BEAD，∴∠A＝∠ABE＝110°，∵∠ABC＝140°，∴∠EBC＝∠ABC?∠ABE＝30°，∵ADCF，∴BECF，∴∠C＝180°?∠EBC＝150°，故選：D．【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結(jié)合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．二、填空題4．(2023·上?！て吣昙壠谥校┤鐖D，ABCD，為平行線間一點，若，，則______度．【答案】100【分析】過點作的平行線，由平行線的判定與性質(zhì)即可求解．【詳解】解：過點作，則，，，，，，．故答案為：．【點睛】本題考查了平行線的判定與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是過拐點準確作出的平行線．5．(2023·遼寧·阜新市第一中學(xué)七年級期中）如圖，某縣積極推進“鄉(xiāng)村振興計劃”，要對一段水渠進行擴建．如圖，已知現(xiàn)有水渠從A地沿北偏東50°的方向到B地，又從B地沿北偏西20°的方向到C地．現(xiàn)要從C地出發(fā)修建一段新渠CD，使，則∠BCD的度數(shù)為_____度．【答案】110【分析】根據(jù)方向角和平行線的性質(zhì)：內(nèi)錯角相等即可求出．【詳解】解：B點在A點的北偏東50°，C點在B點北偏西20°，∴，∵∴，故答案為：110．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)：內(nèi)錯角相等，利用方位角進行角度的轉(zhuǎn)化計算是解題的關(guān)鍵．6．(2023·河南·商水縣希望初級中學(xué)七年級期末）如圖，，的角平分線的反向延長線和的角平分線交于點，，則的度數(shù)為_________．【答案】82【分析】過點作，得，得，；根據(jù)，是，的角平分線，；；根據(jù)四邊形內(nèi)角和為，，即可求出的角度．【詳解】如圖：過點作，∵，∴，∴；，∵，是，的角平分線，∴；，∴；，∴在四邊形中，，∴，∴，∵，∴，，∴，∴，解得：，∴，故答案為：．【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，等量代換，四邊形內(nèi)角和，角平分線；設(shè)角等于，；角的等量代換是解題的關(guān)鍵．三、解答題7．(2023·江西贛州·七年級期中）根據(jù)下列敘述填依據(jù)．(1)已知如圖1，，求∠B+∠BFD+∠D的度數(shù)．解：過點F作所以∠B+∠BFE=180°（

）因為、（已知）所以（

）所以∠D+∠DFE=180°（

）所以∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠D=360°(2)根據(jù)以上解答進行探索．如圖（2）（3）ABEF、∠D與∠B、∠F有何數(shù)量關(guān)系（請選其中一個簡要證明）備用圖：(3)如圖（4）ABEF，∠C=90°，∠與∠、∠有何數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果，不需要說明理由）【答案】(1)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；，平行于同一直線的兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(2)見解析(3)【分析】（1）過點F作，得到∠B+∠BFE=180°，再根據(jù)、得到，∠D+∠DFE=180°，最后利用角度的和差即可得出答案；（2）類比問題（1）的解題方法即可得解；（3）類比問題（1）的解題方法即可得解．（1）解：過點F作，如圖，∴∠B+∠BFE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角相等），∵、（已知）∴（平行于同一直線的兩直線平行），∴∠D+∠DFE=180°（兩直線平行，同旁內(nèi)角互補），∴∠B+∠BFE+∠D=∠B+∠BFE+∠EFD+∠D=360°；故答案為：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；，平行于同一直線的兩直線平行；兩直線平行，同旁內(nèi)角互補；（2）解：選圖（2），∠D與∠B、∠F的數(shù)量關(guān)系為：∠BDF+∠B=∠F；理由如下：過點D作DC//AB，∴∠B=∠BDC，∵，，∴，∴∠CDF=∠F，∴∠BDF+∠BDC=∠F，即∠BDF+∠B=∠F；選圖（3），∠D與∠B、∠F的數(shù)量關(guān)系：∠BDF+∠B=∠F過點D作，∴∠B=∠BDC，∵，，∴，∴∠CDF=∠F，∴∠BDF+∠BDC=∠F，即∠BDF+∠B=∠F∠BDF+∠B=∠F；（3）解：如圖（4）所示，過點C作，過D作，∴，，∵，，∴，∴，∵，，∴．【點睛】本題考查根據(jù)平行線的性質(zhì)探究角的關(guān)系和平行線公理推論的運用，熟練掌握平行線的性質(zhì)和平行線公理推論的運用是解題的關(guān)鍵．8．(2023·內(nèi)蒙古·扎賚特旗音德爾第三中學(xué)七年級期末）已知直線，和，分別交于，點，點，分別在線，上，且位于的左側(cè)，點在直線上，且不和點，重合．(1)如圖，有一動點在線段之間運動時，求證：；(2)如圖，當動點在點之上運動時，猜想、、有何數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)證明見解析；(2)，理由見解析．【分析】過點作，根據(jù)可知，故可得出，再由即可得出結(jié)論；過作，依據(jù)，可得，進而得到，，再根據(jù)，即可得出．（1）證明：如圖，過點作，，，，．又，；（2）解：．理由如下：如圖，過作，，，，，，．【點睛】本題考查的是平行線的性質(zhì)，根據(jù)題意作出輔助線，構(gòu)造出平行線是解答此題的關(guān)鍵．9．(2023·廣東·龍嶺初級中學(xué)七年級期中）如圖，圖①是一種網(wǎng)紅彈弓的實物圖，在兩頭上系上皮筋，拉動皮筋可形成平面示意圖如圖②和圖③，彈弓的兩邊可看成是平行的，即，各活動小組探索與，之間數(shù)量關(guān)系時，有如下發(fā)現(xiàn)，(1)在圖②所示的圖形中，若，，則___________(2)在圖⑧中，若，，則_________(3)有同學(xué)在圖②和圖③的基礎(chǔ)上，面出了圖④所示的圖形，其中，請判斷，，之間的關(guān)系，并說明理由．【答案】(1)(2)(3)【分析】（1）如圖所示，過點P作，利用平行線的性質(zhì)得到由此即可得到答案；（2）如圖所示，過點P作，利用平行線的性質(zhì)得到，在求出的度數(shù)即可得到答案；（3）如圖所示，過點P作，由平行線的性質(zhì)得到，再由即可得到結(jié)論．（1）解：如圖所示，過點P作，∵，∴，∴，∴，故答案為：；（2）解：如圖所示，過點P作，∵，∴，∴，∵，∴∴，故答案為：；（3）解：，理由如下：如圖所示，過點P作，∵，∴，∴，∴，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，正確作出輔助線是解題的關(guān)鍵．10．(2023·山東省濟南第十二中學(xué)八年級階段練習(xí)）探究：(1)如圖①，已知ABCD，圖中∠1，∠2，∠3之間有什么關(guān)系？(2)如圖②，已知ABCD，圖中∠1，∠2，∠3，∠4之間有什么關(guān)系？(3)如圖③，已知ABCD，請直接寫出圖中∠1，∠2，∠3，∠4，∠5之間的關(guān)系；【答案】(1)∠1＋∠3＝∠2；(2)∠1＋∠3＝∠2＋∠4；(3)∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4．【分析】（1）過點E作EMAB，根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可；（2）過點F作NFAB，結(jié)合（1）并根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可；（3）過點G作GMAB，結(jié)合（2）并根據(jù)平行線的性質(zhì)及角的和差求解即可．（1）解：如圖①，過點E作EMAB，∵ABCD，∴ABCDEM，∴∠1＝∠NEM，∠3＝∠MEF，∴∠1＋∠3＝∠NEM＋∠MEF，即∠1＋∠3＝∠2；（2）如圖②，過點F作NFAB，∵ABCD，∴ABCDFN，∴∠4＝∠NFH，由（1）知，∠1＋∠EFN＝∠2，∴∠1＋∠EFN＋∠NFH＝∠2＋∠4，即∠1＋∠3＝∠2＋∠4；（3）如圖③，過點G作GMAB，∵ABCD，∴ABCDGM，∴∠5＝∠MGN，由（2）得，∠1＋∠3＝∠2＋∠FGM，∴∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠FGM＋∠MGN，即∠1＋∠3＋∠5＝∠2＋∠4．【點睛】此題考查了平行線的性質(zhì)，熟記兩直線平行，內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．11．(2023·河北·寬城滿族自治縣第三中學(xué)七年級期中）已知：ABEF，在平面內(nèi)任意選取一點C．利用平行線的性質(zhì)，探究∠B、∠F、∠C滿足的數(shù)量關(guān)系．圖形∠B、∠F、∠C滿足的數(shù)量關(guān)系圖（1）圖（2）圖（3）圖（4）圖（5）圖（6）(1)將探究∠B、∠C、∠F之間的數(shù)量關(guān)系填寫下表：(2)請選擇其中一個圖形進行說明理由．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)即可求解．（2）過點C作CGAB，利用平行線的判定和性質(zhì)即可求解．（1）解：∠B、∠C、∠F之間的數(shù)量關(guān)系如下表：圖形∠B、∠F、∠C滿足的數(shù)量關(guān)系圖（1）∠B+∠F=∠C圖（2）∠F-∠B=∠C圖（3）∠B-∠F=∠C圖（4）∠B+∠F+∠C=360°圖（5）∠B-∠F=∠C圖（6）∠F-∠B=∠C（2）解：圖（1）∠C與∠B、∠F之間的數(shù)量關(guān)系是：∠B+∠F=∠C．理由：過點C作CGAB，∴∠BCG=∠B，∵ABEF，∴CGEF，∴∠GCF=∠F，∴∠BCG+∠GCF=∠B+∠F，∴∠B+∠F=∠BCF；圖（2）∠C與∠B、∠F之間的數(shù)量關(guān)系是：∠F-∠B=∠C．