數(shù)學(xué)歸納法 高二下學(xué)期數(shù)學(xué)北師大版（2019）選擇性必修第二冊(cè)

*§5數(shù)學(xué)歸納法(選學(xué))1.了解數(shù)學(xué)歸納法的原理.2.能用數(shù)學(xué)歸納法證明一些簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)命題.核心素養(yǎng):數(shù)學(xué)運(yùn)算、邏輯推理學(xué)習(xí)目標(biāo)新知引入我們從多米諾骨牌游戲說起,碼放骨牌時(shí),要保證任意相鄰的兩塊骨牌,若前一塊骨牌倒下,則一定導(dǎo)致后一塊骨牌倒下。這樣,只要推到第1塊骨牌,就可導(dǎo)致第2塊骨牌倒下；而第2塊骨牌倒下,就可導(dǎo)致第3塊骨牌倒下；……,總之,不論有多少塊骨牌,都能全部倒下。問題1:多米諾骨牌都倒下的關(guān)鍵點(diǎn)是什么？(1)第一塊骨牌倒下；(2)任意相鄰的兩塊骨牌,前一塊倒下一定導(dǎo)致后一塊倒下.問題2:你認(rèn)為條件(2)的作用是什么？如何用數(shù)學(xué)語言來描述它？可以看出,條件(2)給出一個(gè)遞推根據(jù)(關(guān)系),當(dāng)?shù)趉塊倒下,相鄰的第k+1塊也倒下。含正整數(shù)n的命題舉例及證明引導(dǎo)

思考:若對(duì)于以上命題,若:①當(dāng)n=1(初始值)時(shí),命題成立.②“假定當(dāng)n=k(k≥1,k∈N+)時(shí),命題成立.”可推導(dǎo)出“當(dāng)n=k+1時(shí),命題成立.”由此是否能判定對(duì)于n取任意正整數(shù)時(shí)成立?為什么?數(shù)學(xué)歸納法的一般步驟

數(shù)學(xué)歸納法在命題證明中的一般步驟

數(shù)學(xué)歸納法在命題證明中的一般步驟

數(shù)列通項(xiàng)公式的猜想與證明

求解簡(jiǎn)析:(1)根據(jù)數(shù)列的遞歸關(guān)系,列出該數(shù)列的前幾項(xiàng):(2)觀察所得項(xiàng)的一般規(guī)律,猜想數(shù)列的通項(xiàng)公式:

(3)使用數(shù)學(xué)歸納法證明猜想是否正確(若正確,則結(jié)束求解,不正確,則重新建立猜想,再重復(fù)該步驟):數(shù)列通項(xiàng)公式的猜想與證明變式與應(yīng)用變式1觀察運(yùn)算:13=12,13+23=(1+2)2,13+23+33=(1+2+3)2,….猜想:13+23+33+…+n3的運(yùn)算結(jié)果,并使用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明.

數(shù)學(xué)歸納法證明含n命題問題1使用數(shù)學(xué)歸納法證明:(1+α)n≥1+nα(α>?1,n∈N+).證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),(1+α)n=1+α,1+nα=1+α,此時(shí)命題成立;(2)假設(shè)當(dāng)n=k時(shí),命題成立,即(1+α)k≥1+kα.則:當(dāng)n=k+1時(shí),因?yàn)棣?gt;?1,所以α+1>0.(1+α)k+1=(1+α)k(1+α)≥(1+kα)(1+α)=12+(k+1)α+kα2.又kα2≥0,所以12+(k+1)α+kα2≥1+(k+1)α,即(1+α)k+1≥1+(k+1)α.綜上可知,對(duì)任意的n∈N+,都有(1+α)n≥1+nα(α>?1).數(shù)學(xué)歸納法證明含n命題變式1

用數(shù)學(xué)歸納法證明:x2n?y2n能被x+y整除(n∈N+).證明:(1)當(dāng)n=1時(shí),有x2n?y2n=x2?y2=(x?y)(x+y)此時(shí)x2n?y2n能被x+y整除.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k≥1)時(shí),x2k?y2k能被x+y整除.則當(dāng)n=k+1時(shí),有x2(k+1)?y2(k+1)=x2x2k?y2y2k=x2x2k?x2y2k+x2y2k?y2y2k=x2(x2k?y2k)+(x2?y2)y2k所以x2(k+1)?y2(k+1)也能被x+y整除.綜上可知,x2n?y2n能被x+y整除(n∈N+).小結(jié)數(shù)學(xué)歸納法是用來證明某些與正整數(shù)n有關(guān)的數(shù)學(xué)命題的一種方法,它的基本步驟是:(1)證明:當(dāng)n取第一個(gè)值n0(n0是一個(gè)確定的正整數(shù),如n0=1或2等)時(shí),命題成立.(2)假設(shè)當(dāng)n=k(k∈N+,k≥n0時(shí)命題成立,證明當(dāng)n=k+1時(shí)