向量知識點總結(jié)

向量知識點總結(jié)一、教學(xué)要求：1.理解向量（平面向量、空間向量）的概念，掌握向量的幾何表示，了解共線向量的概念，掌握向量的加法、減法，掌握實數(shù)與向量的積，理解兩個向量共線的充要條件。了解向量的基本定理，掌握向量的數(shù)量積及其幾何意義，了解用向量的數(shù)量積處理有關(guān)長度、角度和垂直問題，理解直線的方向向量、平面的法向量、向量在平面內(nèi)的射影等概念.2。理解向量（平面向量、空間向量）的坐標的概念，掌握向量的直角坐標運算及兩點間的距離公式。3。掌握線線的定比分點和中點坐標公式，并掌握平移公式。二、知識串講：平面向量及其運算（一）向量的基本運算lo有關(guān)概念（1）向量一一既有大小又有方向的量叫做向量。常用有向線段表示向量八曰一由/［方向向量一要素<［長度—, —,（2）向量的模一有向線段的長度IABI,IaI長度等于1的向量叫做單位向量，-T-T -T零向量0（0的方向不定），I0I=0（3）共線向量（平行向量）-方向相同或相反的向量叫做平行向量或共線向量。（4（4）相等的向量長度相等tT方向相同a二bTT規(guī)定：0=0向量可以在平面（或空間）平行移動而不變。規(guī)定：零向量與任一向量平行。2.向量有三種形式（或三種表示）幾何表示<——T幾何運算代數(shù)表示<——T代數(shù)運算

坐標表示< >坐標運算3。向量的加法、減法與數(shù)乘(1)向量的加法一-三角形法則或平行四邊形法則(2)向量的減法：―>—>―> ―> ―> —>a-b=a+(-b),即向量a加上b的相反向量。—>—>(a-b的箭頭指向被減向量)(3)實數(shù)與向量的乘積—^方向：丸〉0時與a同向—^入<0時與a反向

―>—>―>―> ―> —>※匕〃a（awO）o存在唯一實數(shù)入，使Z?=入a4。向量的運算法則（加、減、數(shù)乘）―>—>—>設(shè)向量a,b,c及實數(shù)入，內(nèi)則：TTTT@a+b=b+a―>—> ―>―>―>—>(2)(a+b)+c=a+(b+c)TOC\o"1-5"\h\z―> —> —>③(九+|Li)a=Xa+|Lia―>—> ―> —>④入(a+Z?)=Xa+XZ?-> —>⑤I九aI=|X|,IaIffffff@1al-lb\<\a±bl<la\+\b\（此不等式表示三角形兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊，也稱為三角不等式。）5。平面向量基本定理（向量的分解定理）TOC\o"1-5"\h\z->―> _>e,e是平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)任一向量a,存在1 2唯一實數(shù)對入，唯一實數(shù)對入，1X,使得a=Xe+九e

2 11 22（這個定理表明：平面內(nèi)的任一向量都可以沿兩個不共線向量分解為唯對向量的―> —> ―> ―> ―> —>和。入e+入e叫做向量e，e的線性組合，e，e叫做表這一平面內(nèi)所11 22 1 2 1 2有向量的一組基底。'①基底不唯一，關(guān)鍵是不共線、、②基底給定，分解形式唯一>應(yīng)用：—>—>設(shè)。4,3不共線，點o在直線上（即A、B、0三點共線）―> —> —>0。尸=入04+|1108且入+N=1（九，N"（二）向量的坐標運算 _）1.在直角坐標系內(nèi)，分別取與X軸，y軸同方向的兩個單位向量iJ作為基 _）底，則該平面內(nèi)任一向量a,有且只有一對實數(shù)x,y,使得a=Xi+yj，稱（x,y） _）1.在直角坐標系內(nèi)，分別取與X軸，y軸同方向的兩個單位向量iJ作為基 _）底，則該平面內(nèi)任一向量a,有且只有一對實數(shù)x,y,使得a=Xi+yj，稱（x,y）叫做向量a的（直角）坐標，記作a示。y）,即為向量的坐標表（如圖，當(dāng)把向量a的起點移至原點時，（x,y）是向量a=。4終點A的坐標,即A（r,y）,x,y是向量W在x,y軸上的射影，與a相等的向量的坐標也相同。）?血———r—— ?'<X2。向量的坐標運算已知a=（x,y）iiff八）則：(1)a+b=(xi+yj)+(xi+yf

j)=Q+x)》+(y+y…)1 2)72+X2y2)y2)fffBA=a—b=fffBA=a—b=y-y)

1 2IABI=v'(x—x1 2

Xa二九(，y)=Qx，九y)(三)平面向量的數(shù)量積lo數(shù)量積的概念TOC\o"1-5"\h\z―>—>―>―> ―>—>設(shè)向量0A=a,0B=b,ZAOB=9叫做向量a與b的夾角。記作―>—> ―>—><a,b>,0°<<a,b><180°―> —> ―>―> ―>—>(1)數(shù)量IaI,IbIcos0叫做a與b的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作a-b―>—>―> —>即a,b=\a\?\bIcos0(2)數(shù)量積的幾何意義：TOC\o"1-5"\h\z—^—^ —^ —^—^—^ —^a-b等于a的模IaI與b在a的方向上的射影IbIcos0的乘積。2.數(shù)量積的運算法則—夕 —夕—夕—夕—夕—夕—夕—夕a ,b =b ?a ,a -0 =0 -a= 0> > > > > >(2)(九a)?b二九(a,b)=a?(九b)\XeR)———— ———— ———— ——(3)(a+b)?c=a?c+b?c注意：數(shù)量積不滿足結(jié)合律！—— ——(a?—— ——(a?b)?c豐a?—— ——(4)a=(x1,yJ,ba?b二Q,y),Q,1 1 23.重要性質(zhì)——(1)設(shè)e是單位向量，0=(x,y)，則2 2y)=Xx+yy2 12 12— — — ——a,e>，則e?a=a————e=IaI?cos0————(3)a— — —a?b=-IaI——b=0ox?x+y?y=0

12 12—— —?b=IaI?IbI或

oxy1-xy=021(4)T2

oxy1-xy=021(4)T2

a(5)cos0=o）a唯一確定）（四）定比分點與平移1.線段的定比分點1，yJ，1，yJ，P2y2）'分點Py)設(shè)P,P是l上兩點，P點在/上且1 2X+入X

2X+入X

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