2024屆廣東省東莞市高三上學期期末數(shù)學試題及答案

2023-2024學年度第一學期教學質(zhì)量檢查高三數(shù)學一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請把正確選項在答題卡中的相應位置涂黑．12izz，則（）1.已知復數(shù)AiB.iC.D.Axx4kkBxx4kkZeAB（）2.已知集合，，則Zxx4k,kZxx4kkA.C.B.D.xx2k,kZxx2kk3.已知由小到大排列的4個數(shù)據(jù)1、3、5、，若這個數(shù)據(jù)的極差是它們中位數(shù)的倍，則這個數(shù)據(jù)a424的第75百分位數(shù)是（）A.9C.5B.7D.31fxax4.函數(shù)的圖象不可能是（）xA.B.D.C.11111中，，，則（）a1a23a4511345.在等比數(shù)列n123453131B.A.3232第1頁/共5頁1116C.D.B.π242costan6.已知，則的值為（）435A.C.54535D.-7.以拋物線C的頂點O為圓心的單位圓與C的一個交點記為點A，與C的準線的一個交點記為點B，當點A，B在拋物線C的對稱軸的同側(cè)時，OA⊥OB，則拋物線C的焦點到準線的距離為（）233255A.C.B.D.888.如圖，將正四棱臺切割成九個部分，其中一個部分為長方體，四個部分為直三棱柱，四個部分為四棱3錐．已知每個直三棱柱的體積為，每個四棱錐的體積為，則該正四棱臺的體積為（）1A36C.B.32D.24二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．請把正確選項在答題卡中的相應位置涂黑．fxx是的導函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（），0，gx9.已知函數(shù)fxA.與fx對稱軸相同gxB.與gx周期相同fx的最大值是fxgx不可能是奇函數(shù)fxgxC.D.210.已知圓1：(x+)2+y22=1Cy24，P，Q分別是C，上的動點，則下列結(jié)論1C，圓：x322正確的是（）第2頁/共5頁CP//CQCC12A.當B.當時，四邊形時，四邊形的面積可能為7CC的面積可能為81212CP//CQ12C.當直線PQ與C和都相切時，CPQ的長可能為26PQ的長可能為412D.當直線PQ與C和都相切時，C1211.已知函數(shù)，的定義域均為R，且，．若fxgxfxg2x5gxfx472是x的對稱軸，且，則下列結(jié)論正確的是（）gxg24是奇函數(shù)fxB.gx6是對稱中心的A.C.2是的周期D.gk130fxk112.如圖幾何體是由正方形ABCD沿直線AB旋轉(zhuǎn)90得到的，已知點G是圓弧的中點，點H是圓?。〢.存在點H，使得CH平面B.不存在點H，使得平面AHE//平面7C.存在點H，使得直線與平面的所成角的余弦值為D.不存在點H，使得平面與平面CEH的夾角的余弦值為313三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把答案填在答題卡的相應位置上．x22y22ey2x，則其離心率0）的漸近線方程為1（a0，b13.雙曲線C：ab______________．，b，則使abab0成立的一個充分不必要條件是14.已知向量a1,2______________．第3頁/共5頁abbba15.用試劑檢驗并診斷疾病，A表示被檢驗者患疾病，B表示判斷被檢驗者患疾病．用試劑檢驗0.9，PBA0.8b并診斷疾病的結(jié)論有誤差，已知PBAb，且人群中患疾病的概率PA0.01．若有一人被此法診斷為患疾病，則此人確實患疾病的概率PABbb______________．a(chǎn)xbfx__________，的最小fxx16.若函數(shù)22xx2的圖象關于x2對稱，則ab值為______________．四、解答題：本大題共6小題，第17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．必須把解答過程寫在答題卡相應題號指定的區(qū)域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案無效．117.數(shù)列的前n項積為，且滿足anTnTnn1n2．2（1）求數(shù)列的通項公式；an1a，求數(shù)列nn的前2n項和．bS（2）記bnn2n18.如圖，在四棱錐P中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，．（1）證明：平面PAC平面；（2）若2，PBBD，點E，F(xiàn)分別為PB，PD的中點，求點E到平面ACF的距離．19.中，角,B,C的對邊分別為a,b,c，且2acbC．（1）求B；（2）若b3，且D為△ABC外接圓劣弧AC上一點，求2的取值范圍．x22y2220.已知橢圓C：1（ab0C的四個頂點所得四邊形的面積為22，且離心率ab2為．2（1）求橢圓的方程；C（2）經(jīng)過橢圓的右焦點且斜率不為零的直線與橢圓交于，B兩點，試問軸上是否存在定點CFlCAx第4頁/共5頁T，使得的內(nèi)心也在x軸上？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．21.某區(qū)域中的物種C有A種和B種兩個亞種．為了調(diào)查該區(qū)域中這兩個亞種的數(shù)目比例（A種數(shù)目比B50個物種C，統(tǒng)計其中A種數(shù)目，以此作為一次試驗的結(jié)果；②重復進行這個試驗n次（其中nN*次試驗中的種數(shù)iA1nEXDX和方差進行X目為隨機變量（i,nXX，利用X的期望iini1估算．設該區(qū)域中A種數(shù)目為M，B種數(shù)目為N，每一次試驗都相互獨立．，證明：DXXDXDXijEXXEXEX（1）已知，ijijij1EXEXDXDX，；11nXxi,ni（2）該小組完成所有試驗后，得到的實際取值分別為（ii10.5（i,n）的平均值x和方差s2，然后部分數(shù)據(jù)丟失，僅剩方差的數(shù)據(jù)s2．nMDX（?。┱堄脁和s2分別代替EX和，估算和x；NXX1k對應的隨機變量的取值．（ⅱ）在（?。┑臈l件下，求的分布列中概率值最大的隨機事件1ax122.已知函數(shù)fxa0．x1e（1）討論的單調(diào)性；fx120，求實數(shù)的值．fxx10xx2x1a（2）若方程有、兩個根，且e1第5頁/共5頁2023-2024學年度第一學期教學質(zhì)量檢查高三數(shù)學一、單項選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．請把正確選項在答題卡中的相應位置涂黑．12i，則zz1.已知復數(shù)（）A.iB.iC.D.【答案】A【解析】z.【分析】利用復數(shù)的除法可化簡復數(shù)2i2i112i2i【詳解】zi.5故選：A.Axx4kkBxx4kkZeAB（2.已知集合，，則）Zxx4k,kZxx4kkA.C.B.D.xx2k,kZxx2kk【答案】C【解析】【分析】根據(jù)并集和補集的定義即可得出答案.Axx4kkBxx4kkZ，【詳解】因為，，ABxx2kkZ所以所以eABxx2k,kZ.Z故選：C.3.已知由小到大排列的4個數(shù)據(jù)1、3、5、，若這個數(shù)據(jù)的極差是它們中位數(shù)的倍，則這個數(shù)據(jù)a424的第75百分位數(shù)是（）A.9C.5B.7D.3第1頁/共25頁【答案】B【解析】a【分析】求出這四個數(shù)的極差與中位數(shù)，根據(jù)已知條件求出的值，然后利用百分位數(shù)的定義可求得結(jié)果.35aa5【詳解】由小到大排列的4個數(shù)據(jù)1、、、，則，35這四個數(shù)為極差為a1，中位數(shù)為4，2因為這4個數(shù)據(jù)的極差是它們中位數(shù)的2倍，則a124，解得a9，所以，這四個數(shù)由小到大依次為1、、、，35959因為40.75375百分位數(shù)是7.，故這個數(shù)據(jù)的第42故選：B.1fxax4.函數(shù)的圖象不可能是（）xA.B.D.C.【答案】D【解析】【分析】分a0，a0和0三種情況討論，結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性及函數(shù)的零點即可得出答案.1【詳解】①當a0時，fx，此時A選項符合；x1ax,x01x，②當a0時，fxaxx1ax,x0x1axfx當x0時，，x1yax,y,0因為函數(shù)在上都是減函數(shù)，x所以函數(shù)在在上是減函數(shù)，fx,0第2頁/共25頁1yax,y上的圖象，,0如圖，作出函數(shù)在x1yax,y上有一個交點，,0由圖可知，函數(shù)的圖象在x即函數(shù)在在上有一個零點，fx,0fxax11ax1ax1fx2當x0時，，則，xxx21由，由，fx0，得xfx0，得0xaa1a1a所以函數(shù)在,fx上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，1a1當a1時，faa1，故B選項符合；a1ax,x01x③當0時，fxax，x1ax,x0x1fxax當x0時，，x1因為函數(shù)yax,y在上都是減函數(shù)，x所以函數(shù)在上是減函數(shù)，fx1如圖，作出函數(shù)yax,y在上的圖象，x第3頁/共25頁1由圖可知，函數(shù)yax,y的圖象在上有一個交點，x即函數(shù)在在上有一個零點，fx1ax1ax1axfxfx2當x0時，，則，xxx211由0，得，由fx0，得，fxxx0aa1a1a所以函數(shù)在,fx,0上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，1a1a當a1時，faa1，故C選項符合，D選項不可能.故選：D.11111中，4，則（）a1a23a4511，35.在等比數(shù)列n123453131A.C.B.D.32321116【答案】C【解析】【分析】設出公比后整體求值即可.q，公比為，易知【詳解】設首項為aa1a23a4511，34，可得11111114(1qq2)111qq2，解得qq4，q2q2第4頁/共25頁111111111116(1qq2)而123454q，2q故選：Cπ246.已知2，則cos的值為（）tan435A.C.B.54535D.-【答案】A【解析】【分析】由兩角和的正切公式、二倍角公式及同角三角函數(shù)的基本關系計算即可得.πtantantan1π241324π2【詳解】tan2，即tan，21tantan1tan24282sinsin221tan1tan2245222910由cos2sin2，2222229故選：A.7.以拋物線C的頂點O為圓心的單位圓與C的一個交點記為點A，與C的準線的一個交點記為點B，當點A，B在拋物線C的對稱軸的同側(cè)時，OA⊥OB，則拋物線C的焦點到準線的距離為（）233255A.C.B.D.88【答案】D【解析】ppp82BMONB,2817程，求出p，得到答案.1722pxp0，y【詳解】設拋物線方程為第5頁/共25頁p由題意得1，ON，2過點B作⊥軸于點Mx，因為OA⊥OB，所以90°，又90，所以，則OAN≌OBM，，pBMON故2pp2p令y得，2px，解得x，248pp8222ppB,1，故，由勾股定理得82817解得p，178故拋物線C的焦點到準線的距離為故選：D.8.如圖，將正四棱臺切割成九個部分，其中一個部分為長方體，四個部分為直三棱柱，四個部分為四棱3錐．已知每個直三棱柱的體積為，每個四棱錐的體積為，則該正四棱臺的體積為（1）A.36B.32C.D.24【答案】C第6頁/共25頁【解析】a【分析】設每個直三棱柱高為，每個四棱錐的底面都是正方形，設每個四棱錐的底面邊長為，設正四b1321棱臺的高為h，可得出，求出ah的值，即可求得該正四棱臺的體積.2b2h13a【詳解】設每個直三棱柱高為，每個四棱錐的底面都是正方形，設每個四棱錐的底面邊長為，b設正四棱臺的高為h，因為每個直三棱柱的體積為，每個四棱錐的體積為，311321，可得a2b2h2a2hb2ha2h336，可得ah12，2則2bh13所以，該正四棱臺的體積為V故選：C.a2h4341121628.二、多項選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．在每小題給出的四個選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，有選錯的得0分，部分選對的得2分．請把正確選項在答題卡中的相應位置涂黑．fxx是的導函數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（，0，gx9.已知函數(shù)fx）A.與fx對稱軸相同gxB.與gx周期相同fx的最大值是fxgx不可能是奇函數(shù)fxgxC.D.2【答案】BC【解析】【分析】求導得出，利用三角函數(shù)性質(zhì)直接判斷AB；結(jié)合二倍角公式判斷C；結(jié)合二倍角公式及正gx弦函數(shù)性質(zhì)判斷Dfxx，所以gxfxx，【詳解】由題意知sinπfxx對A：的對稱軸為xπ，kZ，解得x，kZ；πππ的對稱軸為x，kZ，gxsinx22π，kZ，解得x所以與的對稱軸不相同，故A錯誤；gxfx第7頁/共25頁2π2πfxx的周期為T對B：gxsin，的周期為Tx，所以與的周期相同，故B正確；gxfxsin2x2fxgxxsinx對C：，222sin2x2，所以fxgxsinx,因為，故C正確；2對D：當2π，kZ，fxgxsin2x2sinx，22sin2xfxgx，此時為奇函數(shù)，故D錯fxgxsin2xfxgx所以誤；22故選：BC.10.已知圓1：(x+)2+y22=1，圓Cy24，P，Q分別是C，C上的動點，則下列結(jié)論2：x321正確的是（）CP//CQCC12A.當B.當時，四邊形時，四邊形的面積可能為7CC的面積可能為81212CP//CQ12C.當直線PQ與1和都相切時，CPQ的長可能為26PQ的長可能為42D.當直線PQ與1和都相切時，C2【答案】ACD【解析】152PCCπ，可得梯形CCsin，進而分析判斷；對于【分析】對于AB：設的面積為1212CD：根據(jù)切線性質(zhì)結(jié)合對稱性分析求解.【詳解】圓1：(x+)2+y0，半徑11；=1的圓心12，半徑2；圓C2：x3y24的圓心C3,0r221CC53rr，可知兩圓外離，2可知121PCCπ，對于選項AB：設12第8頁/共25頁CP//CQC1CCsin5sin的高為，12因為，可知梯形122115215212sinCC5sin所以四邊形可知四邊形的面積為，122CC的面積可能為7，不可能為8，故A正確，B錯誤；12對于選項CD：設直線與軸的交點為，根據(jù)對稱性可知：xMPCPM,，可知1//如圖，因為，122111CC5則2，可知，MC2QC211212126；2所以PQPMPCPM,，可知1//如圖，因為，12211113532C1則2，可知，MC2QC21214；2所以PQ3PM故CD正確；故選：ACD.第9頁/共25頁11.已知函數(shù)，的定義域均為R，且，．若fxgxfxg2x5gxfx472是x的對稱軸，且，則下列結(jié)論正確的是（）gxg24是奇函數(shù)B.D.fxgx6是的對稱中心A.C.2是的周期gk130fxk1【答案】BD【解析】fxfx【分析】根據(jù)對稱性和已知條件得到，判斷A；結(jié)合已知條件變形得到g(2x)g(x4)12，判斷B；利用賦值法求得f2，判斷C；根據(jù)條件得到的周期f0gx為4，對稱中心為3,6，從而得到函數(shù)值即可求解，判斷D.g(2x)g(x2)，【詳解】對于A，因為x2是的對稱軸，所以gx5，所以fxg2x5，故fxfx，fxg2x又因為即為偶函數(shù)，故A錯誤；fx對于B，因為g(x)f(x4)7，所以g(x4)f(x)7，又因為f(x)g(2x)5，聯(lián)立得g(2x)g(x4)12，所以yg(x)的圖像關于點中心對稱，故B正確；，g24fxg2f045，即f01；對于C，因為x5，則gxfx47，則4因為f27，即f23，則f2f23；f2f0顯然，所以2不是的周期，故C錯誤；fxg(6x)g(x2)對于D，因為x2是的對稱軸，所以gx，又因為g(2x)g(x4)12，即gxg6x12，gxgx212則gx2gx12，，所以gx2gx2，即gxgx4，所以周期為4，所以gx因為周期為4，對稱中心為6，所以gxg36，第10頁/共25頁gxfx47g4f07g48當x4時，代入，即，所以，g4g08所以，又x2是的對稱軸，所以，gxg1g36gk5646864130，故D正確，所以k1故選：BD.12.如圖幾何體是由正方形ABCD沿直線AB旋轉(zhuǎn)90得到的，已知點G是圓弧的中點，點H是圓?。〢.存在點H，使得CH平面B.不存在點H，使得平面AHE//平面7C.存在點H，使得直線與平面的所成角的余弦值為D.不存在點H，使得平面與平面CEH的夾角的余弦值為313【答案】ACD【解析】【分析】將圖形補全為一個正方體BCNE，設AD2，以點A為坐標原點，AD、、AB所在的直線分別為x、、軸建立空間直角坐標系，利用空間向量法可判斷各選項的正誤.yz【詳解】由題意可將圖形補全為一個正方體BCNE，如圖所示：AD、、ABxyz所在的直線分別為、、軸建立空間直角坐不妨設AD2，以點A為坐標原點，第11頁/共25頁標系，2,2,2，則、B2、C2,0,2、、，GF2,0、A0,0,0D0E0,2,2π設點H2,2sin,0，其中0，2對于A選項，假設存在點H，使得CH平面CH，2cos2sin,2，2,2,0，2,0,2，CH44cos40sin1則，可得，CHBG2222sin0cos0ππ因為0，則，即當點H與點F重合時，CH平面，A對；222,2，對于B選項，由A選項可知，平面的一個法向量為FC假設存點H，使得平面AHE//平面，則CF，CFAE，F(xiàn)CAH4cos4sin0ππ0則，可得tan1，又因為，解得，F(xiàn)CAE44024即當點H為的中點時，面AHE//平面，B錯；7對于C選項，若存在點H，使得直線與平面的所成角的余弦值為，3272則直線與平面的所成角的正弦值為1，33EH2cos,2sin2且，EHFC44sinEH,FC所以，EHFC2424sin423cossin2，整理可得3sin4sin30，π332sin3因為函數(shù)f3sin4sin3在時的圖象是連續(xù)的，2π2且f030f4310，，第12頁/共25頁π2f00，所以，存在，使得07所以，存在點H，使得直線與平面的所成角的余弦值為，C對；3對于D選項，設平面CEH的法向量為nx,y,z，2,0，2cos2sin,2，CEnCE2x2y0則，2ysin2z0nCH2x取x1，可得nsin，13假設存在點H，使得平面與平面CEH的夾角的余弦值為，n,FCnFC2sin113，則nFCsincos2232可得sincos21，即sincos11，可得sincos0或sincos2，πππ3π2π1，4因為，則，則sin24442π4，sincos2sin2所以，π時，方程sin故當cos0和sin2均無解，21綜上所述，不存在點H，平面與平面CEH的夾角的余弦值為，D對.3故選：ACD.【點睛】方法點睛：計算線面角，一般有如下幾種方法：（1）利用面面垂直的性質(zhì)定理，得到線面垂直，進而確定線面角的垂足，明確斜線在平面內(nèi)的射影，即可確定線面角；（2）在構(gòu)成線面角的直角三角形中，可利用等體積法求解垂線段的長度h，從而不必作出線面角，則線面h角滿足sin（ll第13頁/共25頁（3）建立空間直角坐標系，利用向量法求解，設a為直線l的方向向量，n為平面的法向量，則線面角sina,n的正弦值為.三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分．請把答案填在答題卡的相應位置上．x22y22ey2x，則其離心率0）的漸近線方程為1（a0，b13.雙曲線C：ab______________．【答案】3【解析】【分析】結(jié)合漸近線的定義與離心率定義即可得.bacc2a2b2b22【詳解】由題意可得2，則e1a123.aa2a2故答案為：3.，b，則使abab0成立的一個充分不必要條件是14.已知向量a1,2______________．【答案】0【解析】（答案不唯一）【分析】根據(jù)向量坐標運算公式將原問題轉(zhuǎn)化為11的一個充分不必要條件進而求解.a1,2，2,1，b【詳解】因為2，ab2ab所以所以，44abab22150，2解得11，abab0成立的一個充分不必要條件是0.所以使故答案為：0（答案不唯一）abbba15.用試劑檢驗并診斷疾病，A表示被檢驗者患疾病，B表示判斷被檢驗者患疾?。迷噭z驗0.9，PBA0.8b并診斷疾病的結(jié)論有誤差，已知PBAb，且人群中患疾病的概率PA0.01．若有一人被此法診斷為患疾病，則此人確實患疾病的概率bbPAB第14頁/共25頁______________．1【答案】【解析】23【分析】利用條件概率公式求出、PBPB的值，可得出的值，再利用條件概率公式可求得PAB的值.PABPABPAPBA0.010.90.009，【詳解】由條件概率公式可得PBA1PBA10.80.2，PABPAPBA0.990.20.198由條件概率公式可得，PBPPB0.0090.1980.207，所以，PPB0.0091所以，.PAB0.207231故答案為：.23axbfx__________，的最小fxx16.若函數(shù)22xx2的圖象關于x2對稱，則ab值為______________．【答案】【解析】①.34②.【分析】由函數(shù)的對稱性可知，方程x2axb0的兩根分別為x4、x6，利用韋達定理可求得，令ab、的值，可得出ab的值，變形可得出fxx24xx4x122x24x4，利用t二次函數(shù)的基本性質(zhì)求出httt12在t4時的最小值，即可得出函數(shù)的最小值.fxaxbfxx【詳解】因為函數(shù)22xx2的圖象關于x2對稱，令fx0，可得x22x0，可得x0或x2，由對稱性可知，方程x2axb0的兩根分別為x4、x6，46aa，可得由韋達定理可得b，46b10x24xx2x4x6fxxx2x所以，2，第15頁/共25頁f4xx4x6xx2xx2x4x6fx，則fxxx2x4x6所以，函數(shù)的圖象關于直線x2對稱，則ab34，4x124xxfxx因為22，令tx24xx2h636.244，令httt12t2tt636，2所以，ht故答案為：34；.【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是注意到方程xaxb0有對應的兩個根，從而求得a,b，由此得解.的對稱性求得fx2x0有兩個根，利用2x2四、解答題：本大題共6小題，第17題10分，18、19、20、21、22題各12分，共70分．解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟．必須把解答過程寫在答題卡相應題號指定的區(qū)域內(nèi)，超出指定區(qū)域的答案無效．1前項積為．a(chǎn)n，且滿足nn1n217.數(shù)列的nn2（1）求數(shù)列的通項公式；an1a，求數(shù)列nn的前2n項和bS2n（2）記b．nnn2an【答案】（1）nn1S2n（2）2n1【解析】1）分n1和n2兩種情況，結(jié)合T與之間的關系分析求解；annn21n（2）由（1）可得b，結(jié)合分組求和法運算求解.nn【小問1詳解】1n1n2，因為Tn2若n1，則1T13；1n1n2nn2an2若n2，則；1Tnnn1n1n2第16頁/共25頁n2a31an且符合，nn2綜上所述：數(shù)列的通項公式.aannn【小問2詳解】n21n由（1）可知：b，nnSbbbbbbbbb可得2n122n132n1242n352n12n1n1462n22n13242n1n1，2n1n1S2n所以.2n118.如圖，在四棱錐P中，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，．（1）證明：平面PAC平面；（2）若2，PBBD，點E，F(xiàn)分別為PB，PD的中點，求點E到平面ACF的距離．【答案】（1）證明見解析23（2）3【解析】BD，O為AC和BD的中點，，得平面，可證得平面1）由ACPAC平面；（2）證明PA【小問1詳解】AB，PAAD，以A為原點，建立空間直角坐標系，向量法求點到平面的距離.連接AC,BD，AC與BD相交于點O，連接PO，四邊形ABCD是邊長為2的正方形，則ACBD，O為AC和BD的中點，第17頁/共25頁，則，PO,AC平面，POACO，平面，BD平面，所以平面PAC【小問2詳解】平面四邊形ABCD是邊長為2的正方形，PBPDBD22，2，PA2AB2PB2，PA2AD2PD2，則有PAAB，PAAD，以A為原點，AP,AB,ADxy分別為軸，軸，軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，z則，C2,2，，，F(xiàn)0,1A0,0,0E02，0,1，設平面的一個法向量為x,y,z，ACACFnAC2y2z0，令x1，得y=z=-1n1則有，即.nAFxz0nAE2233AE0，點E到平面ACF的距離d.n319.中，角,B,C的對邊分別為a,b,c，且2acbC．（1）求B；（2）若b3，且D為△ABC外接圓劣弧AC上一點，求2的取值范圍．【答案】（1）π3第18頁/共25頁（2）6)【解析】12ac，得到B1）根據(jù)題意，由余弦定理化簡得a2c2b2，即可求解；ππ（2）設ACD，得到CAD，得到AD23sin,CD23sin()，得出3326，進而求得2的取值范圍.【小問1詳解】a2b2c2解：因為2acbC，由余弦定理得2acb，2aba2c2b212整理得a2c2b2ac，可得B，2acπBπ)B，可得又因為.3【小問2詳解】2ππ解：由圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)，可得D，設ACD，則CAD，33ACADCD323在中，由正弦定理得sinDsinsin(60)3，2πAD23sin,CD23sin()所以，3πAD223sin43sin()6所以，3π1因為0，可得cos(，可得66)，32所以2的取值范圍為(3,6).x22y2220.已知橢圓C：1（ab0C的四個頂點所得四邊形的面積為22，且離心率ab第19頁/共25頁2為．2（1）求橢圓C的方程；（2）經(jīng)過橢圓C的右焦點F且斜率不為零的直線l與橢圓C交于A，B兩點，試問軸上是否存在定點xT，使得的內(nèi)心也在x軸上？若存在，求出點T的坐標；若不存在，請說明理由．x2y12【答案】（1）2（2）存在；T0【解析】1）根據(jù)題意中幾何關系及離心率可以求出a,b的值，從而求解.（2）設出直線l方程x1，然后與橢圓聯(lián)立，根據(jù)的內(nèi)心在軸上，可得kkBT0并結(jié)xAT合根與系數(shù)的關系，從而求解.【小問1詳解】ab2222c2a由題意得，解得，a2b1a2b2c2x2所以橢圓C的方程為y1.22【小問2詳解】因為直線l過右焦點且斜率不為零，設直線l的方程為x1，Ax,y，，Bx,y2F1,0112xmy12，得m22y2210，2m4m2218m80恒成立，22聯(lián)立xy1222m1yyyy12所以，，12m2m222使得Tt,0x設軸上存在定點x的內(nèi)心在軸上，則直線TA和TB關于x軸對稱，所以直線TA和TB的傾斜角互補，1y2所以kkBT0，即kATkBT0，AT1t2t第20頁/共25頁所以yxtyxt0，即，y1ty1t01221112212mt22y1tyy02，即2m2m0，1t整理得121m2m2m22222mt20對所有mR恒成立，所以t2即，所以存在定點符合題意.T2,0TB的傾斜角互補，即kATkBT0，再由TA和【點睛】方法點睛：根據(jù)的內(nèi)心在軸上得到直線x直線與橢圓聯(lián)立后利用根與系數(shù)關系得到相應的等式，從而求解.21.某區(qū)域中的物種C有A種和B種兩個亞種．為了調(diào)查該區(qū)域中這兩個亞種的數(shù)目比例（A種數(shù)目比B50個物種C，統(tǒng)計其中A種數(shù)目，以此作為一次試驗的結(jié)果；②重復進行這個試驗n次（其中nN*次試驗中的種數(shù)iA1nEXDX和方差進行目為隨機變量Xi（i,nXX，利用X的期望ini1估算．設該區(qū)域中A種數(shù)目為M，B種數(shù)目為N，每一次試驗都相互獨立．，證明：DXXDXDXijEXXEXEX（1）已知，ijijij1DXDX；1EXEX，1n（2）該小組完成所有試驗后，得到Xi的實際取值分別為i（i,ni10.5（i,n）的平均值x和方差s2，然后部分數(shù)據(jù)丟失，僅剩方差的數(shù)據(jù)s2．nMDX，估算（ⅰ）請用x和s2分別代替EX和和x；N（ⅱ）在（?。┑臈l件下，求X1的分布列中概率值最大的隨機事件X1k對應的隨機變量的取值．【答案】（1）證明見解析MN37（2?。?，x15ⅱ）15【解析】第21頁/共25頁1）根據(jù)題意結(jié)合期望、方差的性質(zhì)分析證明；（2ⅰ1ⅱ算求解即可.【小問1詳解】由題可知X（i1，2，…，n）均近似服從完全相同的二項分布，iEXEXEX則，，DX1DXDX2n12n1n1n1n1EXEXEXEXnEXEX，iii11nnnni1i1i11n1n2n1n2n1n21DXDXDXDXnDXDX，iii11nni1i1i11.1EXEXDXDX所以，1n【小問2詳解】MX~B（?。┯桑?）可知，N1M50MMN則X的均值EX1，X1的方差DX150，1MNMNMN50n(MN)10.5MN37MN73所以D(X)，解得或，2nM由題意可知：0MN，則01，NMN3750MxEXEX，15；所以1NMMMN，0.3，則X:B0.3（ⅱ）由（?。┛芍?m50m10.350m,m,50PX1mC則，5050kk49kCk10.3k50CCk150k110.3由題意可知：，k50k10.3k150k110.3kC解得14.3k15.3，且kN，則k15，*所以X的分布列中概率值最大的隨機事件X1k對應的隨機變量的取值為15.1【點睛】關鍵點睛：