2022-2023年研究生入學(xué)《數(shù)學(xué)二》預(yù)測(cè)試題3(答案解析)

2022-2023年研究生入學(xué)《數(shù)學(xué)二》預(yù)測(cè)試題(答案解析)C.見(jiàn)圖C

D.見(jiàn)圖D

正確答案：D

第壹卷本題解析：

設(shè)人為A的特征值，由于A2+A=O,所以入2+入=0,即(X+l)X=0o這樣A的特征值為-1或0。

由于A為實(shí)對(duì)稱矩陣，故A可相似對(duì)角化，即A?A,r(A)=r(A)=3。

因此

--I

-1

A=

.綜合考點(diǎn)題庫(kù)(共50題)-1

0

即

1.設(shè)A為4階實(shí)對(duì)稱矩陣，且A2+A=0。若A的秩為3,則A相似于()。

o

0)

-1.已知曲線：點(diǎn)點(diǎn)設(shè)是上的動(dòng)點(diǎn)，是直

-12Ly=4x2/9(x20),0(0,0),A(0,1),PLS

oj

線0A與直線AP及曲線L所圍成圖形的面積，若P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)(3,4)時(shí)沿x軸正向的速度

是4,求此時(shí)S關(guān)于時(shí)間t的變化率。

正確答案：

本題解析：

A.見(jiàn)圖A設(shè)點(diǎn)P(x,y),為使S不恒為0,則直線0A與AP不能共線，即"0,此時(shí)直線AP的方程為：Y=

(4x/9-l/x)X+1(x*0)o

B.見(jiàn)圖B設(shè)S所成面積為區(qū)域D,D={(X,Y)|4X2/9<Y<(4x/9-l/x)X+1,0<X<x},則

sJ&YdiJ加上嚴(yán)仃

D9

=「［4」)x+i-打3”

J。9x9

Af(e2-l).

B-?-(e2+l).

當(dāng)x=3時(shí),o

dv-C-^-(e2—1).

d/

BJItD手1+D.

4

士T3.

d(L.

sdvd-v

-d一.=27

=3

d.vdr

*d八zdr9

G

-dxy

d7

A.見(jiàn)圖A

-10

B.見(jiàn)圖B

C.見(jiàn)圖C

D.見(jiàn)圖D

正確答案：A

本題解析：

由積分上、下限知，積分區(qū)域

原式=(可;K^dy.而可看作圓心在原點(diǎn)，半徑為廣的十圓的面積，為子&兒

原式=￡dxj*-，dy=彳■Jo+dr=y(e?-D.

A.見(jiàn)圖A

4.設(shè)千(x)=x2(x-1)(x-2),則f，(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為()o

B.見(jiàn)圖B

C.見(jiàn)圖C

D.見(jiàn)圖D

A.0

B.1

正確答案：A

C.2本題解析：

D.3

由題設(shè)，兀6方廠狀〈力=_d+笈處_其中_/+2x+3》。,即(工_3)(工+1；&。，有TQa3,此為

6工)=—+2X+3,

正確答案：

D又(-N+Zx+syu—2X+2￡＞0,解得工=1,故當(dāng)一1?1時(shí)，導(dǎo)數(shù)大于當(dāng)1＜工＜3時(shí)，導(dǎo)數(shù)

本題解析：小于0.所以61)=2為最大值，6-1)=43)=06一D=w(3)=0為最小值，即［0,2］為6力的值域.由

.$￡］(上)(1—-)—=f,z1(1-x)dx=A?

f(x)=4x3+3x2—4x=x(4x2+3x—4)o令f，(x)=0,可得F(x)有三個(gè)零點(diǎn)。

”)ye原y的T"%￡3鐘口…」產(chǎn)小

設(shè)/(x)==_/+2x+3且》0,則lim/￡產(chǎn)(〃-D〃+;⑺=

A卷6.設(shè)函數(shù)z=f(xy,yg(x)),其中函數(shù)f具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，函數(shù)g(x)可導(dǎo)且在x

B1-

cxSvi-i,

=1處取得極值g(1)=1,求?

Cr

正確答案：

本題解析：

由g(x)可導(dǎo)且在x=l處取極值g(1)=1,所以g，(D=0o又因?yàn)?/p>

g⑴=3,旌1)=氏=-3,八3)

T-=fi(xy,yg(x))y+f\g(x)

ex由u(x)=/[g(x)]?/(力，有u'(D=f[g(l)]g'(D,其中故

2/⑴=八3)?/(1)=一十,

-T-T-=4'(q,jg(x))+MM；(盯,yg(x))+g(x)九(盯jg(x))]+gT(孫,yg(x))

exey

+*(X)助；(孫,jg(x))+g(x)左(肛,,rg(.r))]

所以當(dāng)x=l,y=l時(shí)

會(huì)=加,1)+旅,1)+九(1,1)

CXC\'|x-l

尸1

8.設(shè)m,n為正整數(shù)，則反常積分.VX的收斂性()。

7.f(x)與g(x)的圖像如圖所示，設(shè)u(x)=f[g(x)],則U(1)一

A.僅與m取值有關(guān)

B.僅與n取值有關(guān)

C.與明n取值都有關(guān)

D.與m,n取值都無(wú)關(guān)

正確答案：D

本題解析：

分析過(guò)程如下。根據(jù)題目有

「蝦尸心=1迪仁可&+C媽匚U

J?；餔。五”而

正確答案:①對(duì)?’Nx進(jìn)行討論：被積函數(shù)只在x?0+時(shí)無(wú)界。因?yàn)?/p>

本題解析:如(1-X)二0

證明：(D因?yàn)閒(X)在［0,1］上具有闞導(dǎo)數(shù)，所以f(x)在［0,1止連續(xù)，因此

lim旭/=0f(X)在［0,1止必然取得最大值，記最大值點(diǎn)為。下5R*0且三*1。

3近因?yàn)?/p>

￡/(A-)dx=l

CO.如尸&則必有f(E)>1?反之若不成立，即對(duì)一切xw［0,1］,都有f(X)<1,又由f(0)

又反常積分Wx收斂，所以V-V收斂。=o,推得

￡/(.v)dx<l

j;^pdx

與題設(shè)矛盾。

②對(duì)：y/x進(jìn)行討論：被積函數(shù)只在X-1一時(shí)無(wú)界。因?yàn)樗詅(E)>1,因此卜o且％1。結(jié)合媯連續(xù)函數(shù)f(x)在［0,1］上的最大值點(diǎn)，

卜o且卜1,可得f'代)=0。

(H)因?yàn)閒(x)在［0,1］上具有硼導(dǎo)數(shù)，根據(jù)(1)中所設(shè)，可得函數(shù)f(X)在點(diǎn)￡

0.(1T)占0的泰勒展開(kāi)式

巴______/&)=/(，)+/W(D+空

limg加尸=0

5VX令x=0,有o=f⑷+/(n)F/2!,則f"(n)=(-2)f(0乃2。由于f(E)

>1.所以［f(D用2］>1,所以f"(n)<-2o

且反常積分5VI-X收斂，所以：琳收斂。

產(chǎn)尸)水

綜上，無(wú)論正整數(shù)m和n取何值，反常積分.VX都收斂，故選D。10.在下列微分方程中，以y=C1ex+C2cos2x+C3sin2x(C1,C2,C3為任意的常數(shù))為通

解的是()。

Jo7（,X）dt=lA.y?+y〃-4y，

9.已知函數(shù)f(x)在［0,1］上具有2階導(dǎo)數(shù)，且f(0)=0,f(1)—4y=0

證明：B.y?+y"+4yz+4y=0

(I)存在&c(o,D,使得f'(4)=o；C.y?-y/z-4y'+4y=0

(U)存在nc(o,1),使得產(chǎn)(71)<-2oD.y?-y"+4y'-4y=0

正確答案：正確答案：D

本題解析:本題解析：

由y=Clex+C2cos2x+C3sin2x,可知其特征根為入1=1,K2,3=±2i,故對(duì)應(yīng)的特征值方程為

(A-l)(X+2i)(A-2i)=(X-1)(入2+4)=入3—入2+4入-4

w,

所以所求微分方程為y?—y+4y-4y=0o計(jì)算如下順

￡(o)=lirn區(qū)皿=Ita源出由=0

xx

cm、i-Rsin12xsinx八

/l(0)=litn--------=lim-----=0

xfx*-*?*x

可得f_yo)=f+*(o),f(x)在x=Q^可導(dǎo)；

顫

11.下列函數(shù)中，在x=0處不可導(dǎo)的是()o"小i-Rsin桐］.*sinQ.

f(0);lini--------=Inn---------=0

x-0-XX

A.f(x)=IxIsinIxI

《(。)=1皿巴生胞=血,修=。

B./(x)小曲相…XifX

可得f_yo)=f#(0),f(x)在x=Qj?b可導(dǎo);

C.f(x)=cosIXI+

c項(xiàng)

D-/(.r)=cos^xj

f、0)=lim""忖=lim'=0

I-X?rTTX

1、

￡'(0)=hm空比Lmn￡=。

I.XZX

#

可得f_yo)=f+(o)，f(x)在X?眺可導(dǎo);

A.見(jiàn)圖AD項(xiàng)

尸小rCOS招-1-5(r)1

B.見(jiàn)圖B/(0)=hm--±----=lim----=—

X-CTXxMX2

—1

C.見(jiàn)圖C,cosJ|x|-l-5X1

f(0)=lim-----lim—=--

7x—x2

D.見(jiàn)圖Dr

可得f_，(0)*f+(0)，f(x)在*=魄不可導(dǎo)。

正確答案：D

本題解析:

12.

①若人工）嚴(yán)格單增且有上界，則數(shù)

設(shè)函數(shù)f（X）連續(xù)，"小皿e=，（&3”=1，2,3,“?.關(guān)于下列兩個(gè)結(jié)論:②若人工）嚴(yán)格單減且有界,則數(shù)列

正確的選項(xiàng)是

A.僅①正確

B.僅②正確D.—2f(xy)/x

C.①②正確

正確答案：A

D.①②都錯(cuò)誤

本題解析：

正確答案：DZ=』/⑸)

由X有

本題解析：

8,二二一■K/⑶)+—r⑶)

對(duì)于①，取人滿足條件。令的=—1，則az=-2,…,a.=-2"T,變產(chǎn)1

oxX

對(duì)于②.取/(*)=--arctan*,滿足條件.Q21

數(shù)列不收斂，②錯(cuò)誤.k=-/(v)+Wg

令。1=1,則。2=-1「??,％=(-1尸7,］加小不存在,

一cyx

所以

+-。⑸)+M5)+1/⑸)+66)=2必(七)

yexc\-XX

13.設(shè)

V、

z=-f(xy)

x14.

_x_d_z+—cz=設(shè)函數(shù)z=zCr,y)由方程尸(步,2=0確定，其中F為可微函數(shù)，且值

其中函數(shù)f可微，則12V()o

則工克+、票=(

dx,dy

A.2yf'(xy)

B.一2yf'(xy)

C.2f(xy)/xA.x

B.yC.f(1)/f(-1)<e2

C.zD.f(2)/f(-1)<e2

D.0

正確答案：B

正確答案：c本題解析：

因T(x)>f(x)>0,f(x)—f(x)>0,從而e—(x)—f(x)］>0,即［e—xf(x)r>0。

本題解析：從而e-xf(x)在［-2,2］上單調(diào)遞增，故e-0f(0)>elf(-1),得f(0)>ef(—1)。

又f(x)>0,故f(0)/f(-1)>e,故應(yīng)選B項(xiàng)。

［分析］方程)=0兩邊同時(shí)對(duì)“求偏導(dǎo)數(shù)，得由e-lf(1)>elf(-1),得f(1)/f(-1)>e2,選項(xiàng)C錯(cuò)誤；

由)得)選項(xiàng)錯(cuò)誤；

dze-2f(2>elf(-1),f(2/f(-1)>e2,D

XZ--Z對(duì)于選項(xiàng)A,因(x)>0,故f(x)單調(diào)遞增，從而f(一1)>f(-2),得f(-2)/f(-1)<1,選

R?C)+R?-~=°，項(xiàng)A錯(cuò)誤。

於_=用+vF；

解得中一一筆J

將方程兩邊同時(shí)對(duì)y求偏導(dǎo)數(shù)?得

蟲16.設(shè)A為3階矩陣，將A的第2列加到第1列得矩陣B,再交換B的第2行與第3行得

Fi?-4-Fz?曲■=(),

1x單位矩陣。記

蟲=一耳

解得力可<100、

3z,dz之厲

于是工小礦77—4=110

00b

100、

P:=001

01°>

15.設(shè)函數(shù)f(x)在區(qū)間［—2,2］上可導(dǎo)，且*(x)>f(x)>0,則()o

則A=()。

A.f(-2)/f(-1)