高等數(shù)學(xué)(同濟(jì))下冊(cè)期末考試題及答案

大學(xué)高等數(shù)學(xué)（下冊(cè)）考試試卷（一）

一、填空題（每小題3分，共計(jì)24分）

1、z=Jlog/x?+/乂。>0）的定義域?yàn)镈=。

2、二重積分J]ln（x2+y2）小⑦的符號(hào)為。

W+I.r|<l

3、由曲線(xiàn)y=lnx及直線(xiàn)x+y=e+l,y=1所圍圖形的面積用二重積分表示為,其值

為。

4、設(shè)曲線(xiàn)L的參數(shù)方程表示為彳。4》44）,則弧長(zhǎng)元素為=。

J="⑺

5、設(shè)曲面￡為1+丁=9介于z=0及z=3間的部分的外側(cè)，則“（，+y2+l）ds=。

6、微分方程電=2+tan上的通解為_(kāi)_____________。

dxxx

7、方程y⑸-4y=0的通解為。

81

8、級(jí)數(shù)￡——的和為。

二、選擇題（每小題2分，共計(jì)16分）

1、二元函數(shù)2=/（乂?。┰冢?,打）處可微的充分條件是（）

（A）/（%y）在（%,為）處連續(xù)；

（B）/：（x,y）在（須；,坊）的某鄰域內(nèi)存在；

（C）一―一⑷,九）/^—f；（Xo，yo）Ay當(dāng)?！罚?+（均）2—0時(shí),是無(wú)窮?。?/p>

（D）麗絲3型竺且辿絲=。。

：：o7（Ax）2+（Ay）2

2、設(shè)〃=#（-）+^（2）,其中f具有二階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，則x^-+y警等于（）

yxdxdy

（A）x+y；（B）x；（C）y；（D）0。

3、設(shè)。：i+y+z?<],zN0,則三重積分/=等于（）

Q

工工】-n1

（A）d0^d（p^Psin^9cos^￥/r；（B）jjdej0d夕sin^r；

(C)J。I。［02d可()/sin°cos西廣；(D)J(dOj?！〞r(shí)(/sin9cos幽尸。

4、球面x2+y2+z2=4a2與柱面x2+y2=2〃x所圍成的立體體積V=()

7T________

f—(?2acos。//r—p2acos。/

2

(A)2d0\一廣dr；(B)4(d0\rj4a2-/公；

JoJoJoJ0

7C______________元

r—r2acost//ZT2acosGIZZ"

(C)^\2d0\nj4a“一Ldr；⑴心可Z4a-rdro

J0J0o

2

5、設(shè)有界閉區(qū)域D由分段光滑曲線(xiàn)4所圍成,乙取正向，函數(shù)P(x,y),Q(x,y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),

則［Pdx+Qdy=()

(A)jjg-#)公辦；

dydx

<c)口胃一孚)海丫；

”Udxd,y

6、下列說(shuō)法中錯(cuò)誤的是()

(A)方程孫e+2y〃+/y=0是三階微分方程；

(B)方程y包+1電=ysinx是一階微分方程：

dxdx

(C)方程(X2+2孫3)辦+(y2+3/y2)辦=0是全微分方程;

(D)方程立+,x=型是伯努利方程。

dx2x

7、已知曲線(xiàn)y=y(x)經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，且在原點(diǎn)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)2x+y+6=0平行，而y(x)滿(mǎn)足微分方程

y"-2y'+5y=Q,則曲線(xiàn)的方程為丁=()

(A)-exsin2x；(B)e”(sin2x-cos2x)；

(C)e"(cos2x-sin2x)；(D)exsin2x?

00

8、設(shè),則()

…n=l

(A)收斂；(B)發(fā)散;(C)不一定；(D)絕對(duì)收斂。

三、求解下列問(wèn)題(共計(jì)15分)

1、(7分)設(shè)7,g均為連續(xù)可微函數(shù)。u=/(x,乙y),u=g(x+燈)，

，、一dudu

求丁，丁。

dxdy

2>(8分)設(shè)“(xj)=1'/(z)dz,求^~'胃。

四、求解下列問(wèn)題(共計(jì)15分)。

1、計(jì)算/二J。右，e-dyo(7分)

2、計(jì)算/=J]J(x2+y2)dv,其中。是由12+y2=2z,z=l及z=2所圍成的空間閉區(qū)域(8分)

五、(13分)計(jì)算/=/嗎一子,其中乙是入紗面上的任一條無(wú)重點(diǎn)且分段光滑不經(jīng)過(guò)原點(diǎn)0(0,0)的封

Jzx~+y

閉曲線(xiàn)的逆時(shí)針?lè)较颉?/p>

六、(9分)設(shè)對(duì)任意x,y,八幻滿(mǎn)足方程f(x+y)=,(/+：(y).,且廣(0)存在，求/*)。

1--(—

2n+[

00(X—0\

七、(8分)求級(jí)數(shù)￡(—1)"小三一的收斂區(qū)間。

金2n+l

高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))考試試卷(二)

1、設(shè)2sin(x+2y—3z)=x+2y—3z,則---1----____0

dxdy

3-J9+盯

2>lim---------=o

xy

yfO

3、設(shè)/=，：時(shí)：/(毛丁)辦，交換積分次序后，1=

4、設(shè)/(〃)為可微函數(shù)，且/(0)=0,則lim—1/(正+:/)加=

571V

x2+y2<f2

5、設(shè)L為取正向的圓周％2+y2=4,則曲線(xiàn)積分

心y(ye"+i)dx+(2yex—x)dy=

6、設(shè)A=(X?+yz)i+(y2+xz)/+(z2+—)&,則d?A=。

r2x

7、通解為y=c,e+c2e-的微分方程是。

—1,一萬(wàn)工工<0

8、設(shè)/'(x)=4，則它的Fourier展開(kāi)式中的。〃=_________

1,0<X<7T

二、選擇題(每小題2分，共計(jì)16分)。

xy2，2八

1、設(shè)函數(shù)/(九,丁)={/+y4，則在點(diǎn)(0,0)處()

0,X?+>2=0

(A)連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)存在；(B)連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)不存在：

(C)不連續(xù)但偏導(dǎo)數(shù)存在；(D)不連續(xù)且偏導(dǎo)數(shù)不存在。

2、設(shè)〃(x,y)在平面有界區(qū)域D上具有二階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，且滿(mǎn)足

d2Ucnd~Ud~uc

----。0及-7+—有=0，

dxdydx~dy~

貝()

(A)最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在D的內(nèi)部；

(B)最大值點(diǎn)和最小值點(diǎn)必定都在D的邊界上；

(C)最大值點(diǎn)在D的內(nèi)部，最小值點(diǎn)在D的邊界上；

(D)最小值點(diǎn)在D的內(nèi)部，最大值點(diǎn)在D的邊界上。

3、設(shè)平面區(qū)域D：(x-2)2+(y-41,若L="(x+y)2d乙="(尤+V)3db

DD

則有()

(A)/(</2；(B)/,=/2；(C)/(>/2；(D)不能比較。

4、設(shè)。是由曲面z=肛,丁==1及z=0所圍成的空間區(qū)域，貝!J孫力，以必dz=)

1(C)1

(A)(B)——；擊(D)

361362364

x—(p(t)

5、設(shè)/'(x,y)在曲線(xiàn)弧L上有定義且連續(xù)，L的參數(shù)方程為4”(?</</?),其中eQ),〃⑺在

y=〃⑺

［。,夕］上具有一階連續(xù)導(dǎo)數(shù)，且夕'2(f)+，2⑺NO,則曲線(xiàn)積分()

(A)J：fm(t)W(t))dt；(B)J；/(夕⑺,“(/)"夕'2?)+〃'2?)力；

(C)J：/(8(f),”(f))J(p'2(t)+H(t)dt；(D)叭t))dto

6、設(shè)E是取外側(cè)的單位球面V+y2+z2=],則曲面積分

JJxdydz+ydzdx+zdxdy=()

x

(A)0；(B)2〃；(C)〃(D)4萬(wàn)。

7、下列方程中，設(shè)y”>2是它的解，可以推知y+%也是它的解的方程是()

(A)V+p(x)y+9(x)=0；(B)y"+p(x)y'+q(x)y=0；

(C)y"+p(x)y'+q(x)y=/(x)；(D)y"+p(x)y'+q(x)=0。

8

8、設(shè)級(jí)數(shù)Z%為一交錯(cuò)級(jí)數(shù)，則()

W=1

(A)該級(jí)數(shù)必收斂；(B)該級(jí)數(shù)必發(fā)散；

(C)該級(jí)數(shù)可能收斂也可能發(fā)散；(D)若%>0(〃-0),則必收斂。

三、求解下列問(wèn)題(共計(jì)15分)

1、(8分)求函數(shù)〃=ln(x+"y2+z2)在點(diǎn)A(o,1,0)沿A指向點(diǎn)B(3,-2,2)

的方向的方向?qū)?shù)。

2、(7分)求函數(shù)/(乂田=/武4一工一)，)在由直線(xiàn)工+丁=6,丁=0,%=0所圍成的閉區(qū)域口上的最大

值和最小值。

四、求解下列問(wèn)題(共計(jì)15分)

1、(7分)計(jì)算/=JJJ-----———其中。是由x=O,y=O,z=O及x+y+z=l所圍成的立體

Q(1+尤+y+z)

域。

2、(8分)設(shè)/(X)為連續(xù)函數(shù)，定義尸?)=JJJ[z2+/(x2+y2)]dy,

C

22

其中。={(x,y,z)10<z<h9x+y<產(chǎn)}，求。

五、求解下列問(wèn)題(15分)

1、(8分)求/=((e"siny-叫y)力;+(e"cosy-〃2)dy,其中L是從A(a,0)經(jīng)y=dax-x2到O

(0,0)的弧。

2^(7^)I=x2dydz+y2dzdx+z2dxdy,其中2是/+y?=z2(0<z<的外側(cè)。

六、(15分)設(shè)函數(shù)儀幻具有連續(xù)的二階導(dǎo)數(shù)，并使曲線(xiàn)積分

Jj30'(x)-2e(x)+xe2']ydx+d(x)dy與路徑無(wú)關(guān)，求函數(shù)以工)。

高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))考試試卷(三)

一、填空題(每小題3分，共計(jì)24分)

、nC>，zt2?.du

1、設(shè)〃=edt,則n——=______o

JxzQZ

2、函數(shù)/(x,y)=Ay+sin(x+2y)在點(diǎn)(0,0)處沿，=(1,2)的方向?qū)?shù)

部。,0)=--------------。

3、設(shè)。為曲面2=1-/一/2,2=0所圍成的立體，如果將三重積分/=*/*,、2)外化為先對(duì)2再對(duì)

n

y最后對(duì)冗三次積分，則1=

4、設(shè)f(x,y)為連續(xù)函數(shù)，貝!J/=liinjjf(x,y)dcr=,其中。：，+＞2＜產(chǎn)。

5、+y2)ds,其中L:x2+y2=a2

6、設(shè)。是?空間有界區(qū)域，其邊界曲面30是由有限塊分片光滑的曲面所組成，如果函數(shù)尸(x,y,z),

Q(x,y,z),R(x,y,z)在Q上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，則三重積分與第二型曲面積分之間有關(guān)系

式:,該關(guān)系式稱(chēng)為.公式。

7、微分方程y〃—6V+9)，=/一6工+9的特解可設(shè)為；/=

8、若級(jí)數(shù)￡上3二發(fā)散，則〃—

占np

二、選擇題(每小題2分，共計(jì)16分)

f,b)-f(a-,b)^

1>設(shè)/；(〃,〃)存在，則lim(x+ax)

x->0X

2/；(?,&)；(D)1f；(a,h)o

(A)￡(a力)；(B)0；(C)

2＞設(shè)z=x，,結(jié)論正確的是()

(A)-^--^>0；d2zd2z

(B)----------=()；

dxdydydxdxdydydx

(C)叁上＜0：(D)工三

w0。

dxdydydxdxdydydx

3、若/(x,y)為關(guān)于x的奇函數(shù)，積分域D關(guān)于y軸對(duì)稱(chēng)，對(duì)稱(chēng)部分記為/(x，y)在D上連續(xù)，則

JJf(x，y)Ar=()

D

(A)0；(B)2^f{x,y)d<y；(C)41jf(x,y)d<y；(D)2,/(x,y)dbo

D2

22222

4、設(shè)Q：x+y+z<R,則川'(一+y)dxdydz=()

c

QQ

(A)一成、；(B)—兀R'；(C)一兀RS；(D)—7rR5o

331515

5、設(shè)在xoy面內(nèi)有一分布著質(zhì)量的曲線(xiàn)L在點(diǎn)(x,y)處的線(xiàn)密度為P(x,y),則曲線(xiàn)弧￡的重心的工坐標(biāo)x

為)

-1r—1r

(A)x=一xp(x,y)ds；(B)x=一xp(x,y)dx；

MJLM

CC)x=fxp{x.y)ds；(D)x=—fxds,其中M為曲線(xiàn)弧上的質(zhì)量。

JLM」L

6、設(shè)E為柱面/+y2=i和x=0,y=o,z=l在第一卦限所圍成部分的外側(cè)，則曲面積分

y2zdxdy+xzdydz+x2ydxdz=()

z

JI57r7i

(A)0；(B)——；(C)——；(D)—o

4244

7、方程/-2V=/(x)的特解可設(shè)為()

(A)A,若/(x)=l；(B)Aex,若，(x)=/；

(C)Ax44-Bx3+Cx2+E,若/(不)=12-2工；

(D)x(Asin5x+Bcos5x),若/(x)=sin5x。

—1—萬(wàn)4天<0

8、設(shè)/(x)=《',則它的Fourier展開(kāi)式中的a〃等于()

10<X<ZF

2wi4

(A)—[l-(-l)]；(B)0；(C)J-；(D)——o

n7Tn7TH7l

三、(12分)設(shè)y=/(x,r),，為由方程尸(x,y,/)=0確定的的函數(shù)，其中九F具有一階連續(xù)偏導(dǎo)

數(shù),求%。

四、(8分)在橢圓，+4/=4上求一點(diǎn)，使其到直線(xiàn)2x+3y—6=0的距離最短。

五、(8分)求圓柱面/+y2=2y被錐面2=而"2和平面z=0割下部分的面積A。

六、(12分)計(jì)算/="書(shū)z/xdy,其中E為球面x2+y2+z2=\的xN0,yN0部分

￡

的外側(cè)。

七、(10分)設(shè)或(cos±)=]+s1n2一求/'(X)。

d(cosx)

八、(10分)將函數(shù)/(乃=111(1+尢+，+X3)展開(kāi)成方的累級(jí)數(shù)。

高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))考試試卷(一)參考答案

一、1、當(dāng)0<4<1時(shí)，0<；?+>2?1；當(dāng)a>l時(shí)，X2+y2>\；

2、負(fù)號(hào)；3、JJdcr=''dr;%；4、^(p'2(t)+i//'2(t}dt

D

5、180萬(wàn)；6>sin—=Cx；

x

v2vlv

7、y=C}cosV2x+C2sinV2x+C3e+C4e~^；8>1；

二、1、D；2、D；3、C；4、B；5、D；6、B；7、A；8、C；

_,duqdu.

二、1、丁=<+元；==xg(x+孫)；

dxoy

2、_^_=/(x+/)-/(xT)；—=f(x+/)+f(x-t)；

oxot

四、1、J；dx^2^-vdy-j；eydx=J；”'dy=^(l-e~4)；

2、/=J。dej()力-"z+Jodej,drj］、/dz=—7i；

°°?°2/3

則導(dǎo)。；產(chǎn)啜

五、令尸=yQ=-(x,y)w(0,0)；

x2+y2，上x(chóng)2+y2

于是①當(dāng)L所圍成的區(qū)域D中不含O(0,0)時(shí)，如，絲在D內(nèi)連續(xù)。所以由Green公式得：1=0；②當(dāng)L

dydx

所圍成的區(qū)域D中含O(0,0)時(shí)，如,絲在D內(nèi)除O(0,0)外都連續(xù)，此時(shí)作曲線(xiàn)廣為

dydx

，+y2=￡2(0<￡<D，逆時(shí)針?lè)较颍⒓僭O(shè)為L(zhǎng)+及廣所圍成區(qū)域，則

G百公式J［管噌)—+f=2萬(wàn)

D了x2+y2=c2

六、由所給條件易得：

/?(())=-2//―/(0)=0

1-/2(0)

一+3)一/⑺

又廣(x)=lim―—~~~~~■—lim~~)'(-

A—。AXAI。A%

/(A。-/(0)

=八0)”+/(初

\x

即?=、二八。)

/.arctan/(x)=/'(O)?x+c即f(x)=tan［/r(O)x+c］

又/(O)=0即c=k7jkGZf(x)=tan(/z(0)x)

oo,2〃+l

七、令x—2=r,考慮級(jí)數(shù)g(—1)”上］

It2n+3I

,/=r

2n+l

?>zt

\2n+l\

.?.當(dāng)一<1即”<1時(shí)，亦即l<x<3時(shí)所給級(jí)數(shù)絕對(duì)收斂；

當(dāng)卜|<1即x>3或x<l時(shí)，原級(jí)數(shù)發(fā)散：

當(dāng)/=—1即x=l時(shí)，級(jí)數(shù)之(_］嚴(yán)」—收斂；

念2〃+1

當(dāng)，=1即尤=3時(shí)，級(jí)數(shù)之(—1)"」一收斂；

占2〃+1

.??級(jí)數(shù)的半徑為R=l,收斂區(qū)間為［1,3］。

高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))考試試卷(二)參考答案

一、1、1；2>-1/6；3、J。辦J,,f(x,y)〃+J,辦J/(%,y)dx；4、y/XO);

5、—8zr；6、2(%+y+z)；7y"+y'—2y=0；8、0；

二、1、C；2、B；3、A；4、D；5、C；6、D；7、B；8、C；

三、1、函數(shù)〃=ln(x+Jy)+z?)在點(diǎn)A(1,0,1)處可微，且

?.+。22*1?.

而1=A8=(2,-2,1),所以/=，故在A(yíng)點(diǎn)沿/=A5方向?qū)?shù)為:

dudu?duI

COSa+ACOSj3+Acos/

A'~dy''~dz'-

dl

12c11…

=------i-O-H------=1/2.

2323

f"-2xy(4-x-y)+^(-1)=0

2、由<￡?；、八得D內(nèi)的駐點(diǎn)為且f(2,l)=4,

fy=x(4-x-2y)=0

又/(0,y)=0J(x,0)=0

而當(dāng)x+y=6,x20,y20時(shí)，f(,x,y)=2x3-12x2(0<x<6)

令(2站一12爐)=0得X]=0,x2=4

于是相應(yīng)弘=6,力=2且/(0,6)=0,/(4,2)=-64.

y)在D上的最大值為/(2,1)=4,最小值為f(4,2)=-64.

0<x<l

四、1、。的聯(lián)立不等式組為Q:(04yWx—1

0<z<x-y

CIr1Tfl-x-ydz

所以/=Jo可。吼

(l++x+y+z),

T；可:】1T力

(l+x+y)2

Li3-x..1._5

(--------------)dx=—In2-----

2。x+14216

2、在柱面坐標(biāo)系中

F(r)=￡T[z2+/(r2)]rt/z=產(chǎn))r+

所以

dF91,1

——=2H子(產(chǎn))t+-h3t]=2M"(產(chǎn)9)+—〃92]

dt33

五、1、連接辦，由G/ve〃公式得:

I=\L+4=憶示一篇

Gree,公式

—JJ(excosy-excosy+ih)dxdy-^-0

x2+y2<ax,y>0

1

=—mTia2

8

z=a

2、作輔助曲面之：<99,上側(cè)，則由Gauss公式得:

[x2+y2<a2

JJ

￡Ei&E+E)E,

j112(x+y+z)dxdydz-JJa~dxdy

x2+y2^z2,O^z^ax2+y2^a2

=2jdzjjzdxdy—Tia"

x2+y2<z2

Ca3.414

=27izaz-7ia=——71a

Jo2

六、由題意得：3”(x)-2弓(幻+加2*=e"(x)

即e"(x)-3(p'(x)+20(x)=xe2x

特征方程/一3廠(chǎng)+2=0,特征根4=1,弓=2

對(duì)應(yīng)齊次方程的通解為：y=c^+c^

又因?yàn)?=2是特征根。故其特解可設(shè)為：/=x(Ax+B)e2x

代入方程并整理得：A=,，B=—l

2

即y*-^x(x-2)e2'

x2

故所求函數(shù)為：(p(x)=cxe+c2e'+；x(x-2)e"

高等數(shù)學(xué)(下冊(cè))考試試卷(三)參考答案

一、]、yey2-xex2；2>V5；3、"辦J；，'''(x,y,z)dz；

4、/(0,0);5、2的3.6、Jff(—+—+--}dv=HPdydz+Qdzdx+Rdxdy,

nSx外8z

公式；7、Ax2+Bx+C8、P<Oo

二、1、C；2、B；3、A；4、C；5、A；6、D；7、B；8、B

三、由于dy=f；(x,t)dx+f；(x,t)dt,F；dx+F；dy+F