專題11 計(jì)數(shù)原理（選填題10種考法）（解析版）

專題11計(jì)數(shù)原理（選填題10種考法）考法一排隊(duì)問(wèn)題【例1】（2023春·重慶沙坪壩）（多選）甲、乙、丙、丁、戊5人參加完某項(xiàng)活動(dòng)后合影留念，則（

）．A．甲、乙、丙站前排，丁、戊站后排，共有120種排法B．5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左邊，共有24種排法C．5人站成一排，甲不在兩端，共有72種排法D．5人站成一排，甲不在最左端，乙不在最右端，共有78種排法【答案】BCD【解析】對(duì)A：甲、乙、丙站前排，有種排法，丁、戌站后排，有種排法，共有種排法，故A錯(cuò)誤；對(duì)B：甲、乙看作一個(gè)元素，則5人站成一排，若甲、乙站一起且甲在乙的左邊，共有種排法，故B正確；對(duì)C：5人站成一排，甲不在兩端，共有種排法，故C正確；對(duì)D：5人站成一排，有種排法，則甲在最左端，乙不在最右端，共有種排法；甲不在最左端，乙在最右端，共有種排法；甲在最左端，乙在最右端，共有種排法；則甲不在最左端，乙不在最右端，共有種排法，故D正確.故選：BCD.【變式】1．（2023秋·高二課時(shí)練習(xí)）(多選)把5件不同產(chǎn)品A，B，C，D，E擺成一排，則（

）A．A與B相鄰有48種擺法B．A與C相鄰有48種擺法C．A，B相鄰又A，C相鄰，有12種擺法D．A與B相鄰，且A與C不相鄰有24種擺法【答案】ABC【解析】對(duì)于A選項(xiàng)：產(chǎn)品A與B相鄰，把作為一個(gè)元素有種方法，而A，B可交換位置，所以有種擺法.故A選項(xiàng)符合題意.對(duì)于B選項(xiàng)：同A選項(xiàng)一樣分析可知產(chǎn)品A與C相鄰也有48種擺法.故B選項(xiàng)符合題意.對(duì)于C選項(xiàng):當(dāng)相鄰又滿足相鄰，首先將產(chǎn)品捆綁起來(lái)作為一個(gè)元素并把產(chǎn)品放在產(chǎn)品與之間，注意到產(chǎn)品與可互換位置，所以首先排列有種擺法，把組成的整體作為一個(gè)元素和剩下的兩個(gè)元素進(jìn)行排列，又有種擺法，所以A，B相鄰又A，C相鄰，有種擺法.故C選項(xiàng)符合題意.對(duì)于D選項(xiàng)：由A選項(xiàng)可知A與B相鄰有48種擺法，由C選項(xiàng)可知A，B相鄰又A，C相鄰有12種擺法，因此A與B相鄰，且A與C不相鄰有種擺法.故D選項(xiàng)不符合題意.故選：ABC.2．（2023秋·河南鄭州·高三校考開(kāi)學(xué)考試）（多選）甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加演出，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．若甲不在正中間，則不同的排列方式共有96種B．若甲、乙、丙三人互不相鄰，則不同的排列方式共有6種C．若甲、丙、丁從左到右的順序一定，則不同的排列方式共有20種D．若甲不在兩端、丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有24種【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：因?yàn)榧撞辉谡虚g，則甲的不同的排列方式有種，剩余的四人全排列，不同的排列方式有種，所以不同的排列方式共有種，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B：若甲、乙、丙三人互不相鄰，則甲、乙、丙三人在首位、中間和末位，則不同的排列方式有種，剩余的2人全排列，不同的排列方式有種，所以不同的排列方式共有種，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C：若甲、丙、丁從左到右的順序一定，則有四個(gè)間隔空位，若乙、戊不相鄰，把乙、戊安排四個(gè)間隔空位中，不同的排列方式共有種；若乙、戊相鄰，把兩人看成整體安排四個(gè)間隔空位中，不同的排列方式共有種；所以不同的排列方式共有種，故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D：若丙和丁相鄰，不同的排列方式共有種，若甲在兩端、丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有種，所以甲不在兩端、丙和丁相鄰，則不同的排列方式共有種，故D正確；故選：ACD.3．（2023春·河北石家莊）（多選）現(xiàn)將把椅子排成一排，位同學(xué)隨機(jī)就座，則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．個(gè)空位全都相鄰的坐法有種B．個(gè)空位中只有個(gè)相鄰的坐法有種C．個(gè)空位均不相鄰的坐法有種D．4個(gè)空位中至多有個(gè)相鄰的坐法有種【答案】AC【解析】對(duì)于A，將四個(gè)空位當(dāng)成一個(gè)整體，全部的坐法：種，故A對(duì)；對(duì)于B，先排4個(gè)學(xué)生，然后將三個(gè)相鄰的空位當(dāng)成一個(gè)整體，和另一個(gè)空位插入由4個(gè)學(xué)生形成的5個(gè)空檔中有種方法，所以一共有種，故B錯(cuò)；對(duì)于C，先排4個(gè)學(xué)生，4個(gè)空位是一樣的，然后將4個(gè)空位插入由4個(gè)學(xué)生形成的個(gè)空檔中有種，所以一共有種，故C對(duì)；對(duì)于D，至多有2個(gè)相鄰即都不相鄰或者有兩個(gè)相鄰，由C可知都不相鄰的有120種，空位兩個(gè)兩個(gè)相鄰的有，空位只有兩個(gè)相鄰的有，所以一共有種，故D錯(cuò)；故選：AC考法二排數(shù)問(wèn)題【例2】（2023春·江蘇泰州）（多選）從1，2，3，4，6中任取若干數(shù)字組成新的數(shù)字，下列說(shuō)法正確的有（

）A．若數(shù)字可以重復(fù)，則可組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為125B．若數(shù)字可以重復(fù)，則可組成的四位數(shù)且為偶數(shù)的個(gè)數(shù)為375C．若數(shù)字不能重復(fù)，則可組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為70D．若數(shù)字不能重復(fù)，則可組成的四位數(shù)且為偶數(shù)的個(gè)數(shù)為72【答案】ABD【解析】A選項(xiàng)：若數(shù)字可以重復(fù)，則可組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為，故A正確；B選項(xiàng)：若數(shù)字可以重復(fù)，則可組成的四位數(shù)且為偶數(shù)的個(gè)數(shù)為，故B正確；C選項(xiàng)：若數(shù)字不能重復(fù)，則可組成的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為，故C錯(cuò)；D選項(xiàng)：若數(shù)字不能重復(fù)，則可組成的四位數(shù)且為偶數(shù)的個(gè)數(shù)為，故D正確.故選：ABD.【變式】1．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，則這2個(gè)數(shù)互質(zhì)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】從2至8的7個(gè)整數(shù)中隨機(jī)取2個(gè)不同的數(shù)，共有種不同的取法，若兩數(shù)不互質(zhì)，不同的取法有：，共7種，故所求概率.故選：D.2．（2023·北京）（多選）用數(shù)字0，1，2，3，4，5組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．可以組成個(gè)四位數(shù)B．可以組成個(gè)四位偶數(shù)C．可以組成個(gè)能被3整除的四位數(shù)D．將組成的四位數(shù)按從小到大的順序排成一列，則第85個(gè)數(shù)為2310【答案】ABC【解析】A選項(xiàng)，先從1，2，3，4，5五個(gè)數(shù)字中選出1個(gè)放在千位上，有種選擇，再?gòu)奶砩?后的剩余5個(gè)數(shù)中選出4個(gè)，放在百位，十位和個(gè)位上，有種選擇，所以可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)個(gè)數(shù)為，A正確；B選項(xiàng)，分兩種情況，當(dāng)個(gè)位為0時(shí)，從1，2，3，4，5五個(gè)數(shù)中，選擇3個(gè)放在千位，百位和十位上，有中選擇，當(dāng)個(gè)位不為0時(shí)，先從2，4中選擇1個(gè)放在個(gè)位上，有種選擇，再考慮千位，從除去0外的剩余4個(gè)數(shù)中，選擇1個(gè)放在千位，有種選擇，再?gòu)奶砩?后的4個(gè)數(shù)中，選擇2個(gè)，和剩余的百位和十位進(jìn)行全排列，有種選擇，故可以組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)個(gè)數(shù)為，B正確；C選項(xiàng)，能被3整除的四位數(shù)，數(shù)位上的數(shù)字之和要能被整除，先從0，1，2，3，4，5六個(gè)數(shù)中，選出四個(gè)數(shù)，數(shù)字之和能被3整除的有0,1,2,3；0,2,3,4；0,1,3,5；0,3,4,5和1,2,4,5；其中0,1,2,3，先考慮千位，從除去0的三個(gè)數(shù)中，選出1個(gè)，有種選擇，再考慮剩余的3個(gè)數(shù)，有種選擇，故可以組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)個(gè)數(shù)為，同理可得0,2,3,4；0,1,3,5；0,3,4,5，均可以組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)個(gè)數(shù)為18，1,2,4,5，能組成沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)個(gè)數(shù)為，所以可以組成個(gè)能被3整除的四位數(shù)，C正確；D選項(xiàng)，若組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)千位為1，此時(shí)剩余的5個(gè)數(shù)中，選擇3個(gè)，分別安排在百位，十位和個(gè)位，有個(gè)，若組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)千位為2，此時(shí)剩余的5個(gè)數(shù)中，選擇3個(gè)，分別安排在百位，十位和個(gè)位，有個(gè)，，故將組成的四位數(shù)按從小到大的順序排成一列，則第85個(gè)四位數(shù)千位為2，若組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)千位為2，百位為0，此時(shí)從剩余的4個(gè)數(shù)字中選擇2個(gè)，放在十位和個(gè)位，組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有個(gè)，，同理可得：若組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)千位為2，百位為1，組成的沒(méi)有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有個(gè)，，故將組成的四位數(shù)按從小到大的順序排成一列，則第85個(gè)數(shù)為2301，D錯(cuò)誤.故選：ABC考法三分組分配問(wèn)題【例3】（2022·湖南長(zhǎng)沙·長(zhǎng)郡中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）現(xiàn)安排甲?乙?丙?丁?戊5名同學(xué)參加2022年杭州亞運(yùn)會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯?導(dǎo)游?禮儀?司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，則以下說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．若每人都安排一項(xiàng)工作，則不同的方法數(shù)為B．若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同的方法數(shù)為C．每項(xiàng)工作至少有1人參加，甲?乙不會(huì)開(kāi)車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙?丁?戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是D．如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排1人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為【答案】ABD【解析】根據(jù)題意，依次分析選項(xiàng)：對(duì)于，安排5人參加4項(xiàng)工作，若每人都安排一項(xiàng)工作，每人有4種安排方法，則有種安排方法，故錯(cuò)誤；對(duì)于，根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：先將5人分為4組，再將分好的4組全排列，安排4項(xiàng)工作，有種安排方法，故錯(cuò)誤；對(duì)于，根據(jù)題意，分2種情況討論：①?gòu)谋?，丁，戊中選出2人開(kāi)車，②從丙，丁，戊中選出1人開(kāi)車，則有種安排方法，正確；對(duì)于，分2步分析：需要先將5人分為3組，有種分組方法，將分好的三組安排翻譯、導(dǎo)游、禮儀三項(xiàng)工作，有種情況，則有種安排方法，錯(cuò)誤；故選：．【變式】1．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）某醫(yī)院安排王醫(yī)生、李醫(yī)生、趙醫(yī)生、張醫(yī)生、孫醫(yī)生5人到三個(gè)社區(qū)開(kāi)展主題為“提高免疫力，預(yù)防傳染病”的知識(shí)宣傳活動(dòng)，要求每人只能參加一個(gè)社區(qū)的活動(dòng)，每個(gè)社區(qū)必須有人宣傳，若李醫(yī)生、張醫(yī)生不安排在同一個(gè)社區(qū)，孫醫(yī)生不單獨(dú)安排在一個(gè)社區(qū)，則不同的安排方法有（

）A．54種 B．66種 C．90種 D．112種【答案】C【解析】由題意知可分為兩類：第一類：一個(gè)社區(qū)3人，剩下兩個(gè)社區(qū)各1人，當(dāng)李醫(yī)生、張醫(yī)生2人都單獨(dú)安排到一個(gè)社區(qū)時(shí)，有種不同的安排方法；當(dāng)李醫(yī)生、張醫(yī)生中有1人單獨(dú)安排到一個(gè)社區(qū)時(shí)，有種不同的安排方法；第二類：一個(gè)社區(qū)1人，剩下兩個(gè)社區(qū)各2人，當(dāng)李醫(yī)生、張醫(yī)生中有1人單獨(dú)安排到一個(gè)社區(qū)時(shí)，有種不同的安排方法；當(dāng)李醫(yī)生、張醫(yī)生都不單獨(dú)安排到一個(gè)社區(qū)時(shí)，有種不同的安排方法；綜上可知，共有（種），故選：C．2．（2023·湖南岳陽(yáng)·湖南省平江縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）甲?乙?丙?丁?戊5名志愿者參加新冠疫情防控志愿者活動(dòng)，現(xiàn)有三個(gè)小區(qū)可供選擇，每個(gè)志愿者只能選其中一個(gè)小區(qū).則每個(gè)小區(qū)至少有一名志愿者，且甲不在小區(qū)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】首先求所有可能情況，5個(gè)人去3個(gè)地方，共有種情況，再計(jì)算5個(gè)人去3個(gè)地方，且每個(gè)地方至少有一個(gè)人去，5人被分為或當(dāng)5人被分為時(shí)，情況數(shù)為;當(dāng)5人被分為時(shí)，情況數(shù)為；所以共有.由于所求甲不去，情況數(shù)較多，反向思考，求甲去的情況數(shù)，最后用總數(shù)減即可，當(dāng)5人被分為時(shí)，且甲去，甲若為1，則，甲若為3，則共計(jì)種，當(dāng)5人被分為時(shí)，且甲去，甲若為1，則，甲若為2，則，共計(jì)種，所以甲不在小區(qū)的概率為故選：B.3．（2023春·福建泉州）（多選）現(xiàn)安排甲?乙?丙?丁?戊5名同學(xué)參加運(yùn)動(dòng)會(huì)志愿者服務(wù)活動(dòng)，有翻譯?導(dǎo)游?禮儀?司機(jī)四項(xiàng)工作可以安排，則以下說(shuō)法正確的有（

）A．若每人都安排一項(xiàng)工作，則不同的方法數(shù)為B．若每項(xiàng)工作至少有1人參加，則不同的方法數(shù)為C．每項(xiàng)工作至少有1人參加，甲?乙不會(huì)開(kāi)車但能從事其他三項(xiàng)工作，丙?丁?戊都能勝任四項(xiàng)工作，則不同安排方案的種數(shù)是D．如果司機(jī)工作不安排，其余三項(xiàng)工作至少安排1人，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為【答案】ACD【解析】對(duì)于A，安排5人參加4項(xiàng)工作，若每人都安排一項(xiàng)工作，每人有4種安排方式，則有種安排方法，故選項(xiàng)A正確.對(duì)于B，根據(jù)題意，分2步進(jìn)行分析：先將5人分成4組，再將分好的4組全排列，安排4項(xiàng)工作，有種安排方法，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤.對(duì)于C，根據(jù)題意，分2種情況需要討論：①?gòu)谋?丁?戊中選出2人開(kāi)車，②從丙?丁?戊中選出1人開(kāi)車，則有種安排方法，故選項(xiàng)C正確.對(duì)于D，分2步進(jìn)行分析：先將5人分成3組，有種分組方法，將分好的三組安排翻譯?導(dǎo)游?禮儀三項(xiàng)工作，有種安排方法，則這5名同學(xué)全部被安排的不同方法數(shù)為，故選項(xiàng)D正確.故選：ACD.考法四涂色問(wèn)題【例4】（2023·云南·校聯(lián)考二模）三國(guó)時(shí)期數(shù)學(xué)家趙爽為了證明勾股定理，創(chuàng)制了一幅如圖所示的“弦圖”，后人稱之為“趙爽弦圖”，它由四個(gè)全等的直角三角形和一個(gè)正方形構(gòu)成.現(xiàn)對(duì)該圖進(jìn)行涂色，有5種不同的顏色提供選擇，相鄰區(qū)域所涂顏色不同.在所有的涂色方案中隨機(jī)選擇一種方案，該方案恰好只用到三種顏色的概率是（

）A． B． C． D．【答案】B【解析】所有的涂色方案分3類：(1)用到三種顏色，為⑤一種顏色，①③同色，②④同色，涂色方法為；(2)用到四種顏色，為⑤一種顏色，①③不同色，②④同色或⑤一種顏色，①③同色，②④不同色，涂色方法為；(3)用到五種顏色，涂色方法為；因此該方案恰好只用到三種顏色的概率是.故選：B．【變式】1．（2023春·江蘇連云港）（多選）如圖，在一廣場(chǎng)兩側(cè)設(shè)置6只彩燈，現(xiàn)有4種不同顏色的彩燈可供選擇，則下列結(jié)論正確的是（

）A．共有種不同方案B．若相鄰兩燈不同色，正相對(duì)的兩燈（如1?4）也不同色，且4種顏色的彩燈均要使用，則共有186種不同方案C．若相鄰兩燈不同色，正相對(duì)的兩燈（如1?4）也不同色，且只能使用3種顏色的彩燈，則共有192種不同方案D．若相鄰兩燈不同色，正相對(duì)的兩燈（如1?4）也不同色，且只能使用2種顏色的彩燈，則共有12種不同方案【答案】ACD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A，每個(gè)彩燈顏色都有4種選擇，根據(jù)分步乘法原理得，有種不同方案，故A正確；對(duì)于選項(xiàng)B，第一類：先從4種顏色的彩燈選出3種顏色的彩燈有安裝在1，2，3號(hào)位，則有種結(jié)果，使用1種剩余的顏色和前3種顏色的2種安裝4，5，6號(hào)位彩燈時(shí)，有種結(jié)果，根據(jù)乘法原理得共有種不同的安裝方法；第二類：先從4種顏色的彩燈選出2種顏色的彩燈有安裝在1，2，3號(hào)位，則有種結(jié)果，再安裝4，5，6號(hào)位彩色燈，分兩類：第一類，4，5，6號(hào)位只用1，2，3號(hào)位剩余的2種彩色燈，有2種結(jié)果，第二類，4，5，6號(hào)位用1，2，3號(hào)位剩余的2種彩色燈和前三個(gè)位置使用過(guò)的1種彩燈，有種結(jié)果，根據(jù)計(jì)數(shù)原理得共有種不同的安裝方法.由分類加法原理得共有種不同的安裝方案，故B錯(cuò)誤；對(duì)于選項(xiàng)C，第一步：先從4種顏色的彩燈選出3種顏色的彩燈有安裝在1，2，3號(hào)位，則有種結(jié)果，第二步：分兩類：第一類，4，5，6號(hào)位用1，2，3號(hào)位的3種彩色燈，有2種結(jié)果，第二類，4，5，6號(hào)位用1，2，3號(hào)位的2種彩色燈，有種結(jié)果，根據(jù)計(jì)數(shù)原理得共有種不同的安裝方法.故C正確；對(duì)于選項(xiàng)D，第一步：從4種顏色的彩燈選出2種顏色的彩燈安裝在1，2，3號(hào)位，則有種結(jié)果，第二步：安裝4，5，6號(hào)位彩燈有1種，根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，可得有種不同的安裝法，故D正確；故選：ACD2.（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）某城市休閑公園管理人員擬對(duì)一塊圓環(huán)區(qū)域進(jìn)行改造封閉式種植鮮花，該圓環(huán)區(qū)域被等分為5個(gè)部分，每個(gè)部分從紅、黃、紫三種顏色的鮮花中選取一種進(jìn)行栽植．要求相鄰區(qū)域不能用同種顏色的鮮花，總的栽植方案有種．

【答案】30【解析】若只用兩種顏色的鮮花，則1，3位置的顏色相同，2，4位置的顏色相同，即可得1，4位置的顏色不同，則5位置無(wú)顏色可選，不合題意；故必用3種顏色的鮮花，則1，2的栽植方案有種，已用兩種顏色，第三種顏色可能在3，4，5，可得：（i）若第三種顏色在3或5，有如下兩種可能：①3，5的顏色相同，則4的顏色有兩種可能，栽植方案有種；②3，5的顏色不相同，則4的顏色必和1的顏色相同，栽植方案有種；栽植方案共有種；（ⅱ）若第三種顏色在4，則3的顏色必和1的顏色相同，5的顏色必和2的顏色相同，栽植方案共有種；綜上所述：總的栽植方案有種.故答案為：30.3（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）如圖，用4種不同的顏色給圖中的8個(gè)區(qū)域涂色，每種顏色至少使用一次，每個(gè)區(qū)域僅涂一種顏色，且相鄰區(qū)域所涂顏色互不相同，則區(qū)域，，，和，，，分別各涂2種不同顏色的涂色方法共有種；區(qū)域，，，和，，，分別各涂4種不同顏色的涂色方法共有種.【答案】24216【解析】，同色，所以先涂有：，再涂有種，所以共有：種.先涂共有：種，設(shè)四種顏色為，假設(shè)涂的顏色分別為，則涂色情況如下：，，，共9種，所以：種.故答案為：24；216.考法五最短距離【例5】（2023云南）（多選）某城市街道如圖，某人要走最短路程從A地前往B地，則不同走法有（）

A．種 B．種 C．12種 D．32種【答案】AB【解析】因?yàn)閺腁地到B地路程最短，我們可以在地面畫(huà)出模型，實(shí)地實(shí)驗(yàn)探究一下走法可得出：①要走的路程最短必須走5步，且不能重復(fù)；②向東的走法定出后，向南的走法隨之確定，所以我們只要確定出向東的三步或向南的兩步走法有多少種即可，故不同走法的種數(shù)有種．故選：AB【變式】1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）夏老師從家到學(xué)校，可以選擇走錦繡路、楊高路、張楊路或者浦東大道，由于夏老師不知道楊高路有一段在修路導(dǎo)致第一天上班就遲到了，所以夏老師決定以后要繞開(kāi)那段維修的路，如圖，假設(shè)夏老師家在處，學(xué)校在處，段正在修路要繞開(kāi)，則夏老師從家到學(xué)校的最短路徑有（

）條．A．23 B．24 C．25 D．26【答案】D【解析】由到的最短路徑需要向右走四段路，向上走三段路，所以有條路，由到的最短路徑需要向右走兩段路，向上走一段路，所以有條路，由到的最短路徑需要向右走一段路，向上走兩段路，所以有條路，所以由到不經(jīng)過(guò)的最短路徑有.故選：D.2（2023·廣東惠州·高三校考期末）如圖，某城市的街區(qū)由12個(gè)全等的矩形組成（實(shí)線表示馬路），CD段馬路由于正在維修，暫時(shí)不通，則從A到B的最短路徑有（

）A．23條 B．24條 C．25條 D．26條【答案】D【解析】先假設(shè)是實(shí)線，則從到，向上次，向右次，最短路徑有條，其中經(jīng)過(guò)的，即先從到，然后到，最后到的最短路徑有條，所以，當(dāng)不通時(shí)，最短路徑有條.故選：D3（2023·北京）方形是中國(guó)古代城市建筑最基本的形態(tài)，它體現(xiàn)的是中國(guó)文化中以綱常倫理為代表的社會(huì)生活規(guī)則，中國(guó)古代的建筑家善于使用木制品和竹制品制作各種方形建筑.如圖，用大小相同的竹棍構(gòu)造一個(gè)大正方體（由個(gè)大小相同的小正方體構(gòu)成），若一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿著竹棍到達(dá)點(diǎn)，則螞蟻選擇的不同的最短路徑共有（

）A．種 B．種C．種 D．種【答案】D【解析】由題意可知，從到最少需要步完成，其中有步是橫向的，步是縱向的，步是豎向的，則螞蟻選擇的不同的最短路徑共有種.故選：D.考法六指定項(xiàng)系數(shù)【例6-1】（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）在的展開(kāi)式中，項(xiàng)的系數(shù)為．【答案】【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，令可得，，則項(xiàng)的系數(shù)為.故答案為：60.【例6-2】（2023·河北衡水·衡水市第二中學(xué)?？既＃┑恼归_(kāi)式中的系數(shù)為．（用數(shù)字作答）【答案】【解析】因?yàn)?，其中展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為（且），所以的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為．故答案為：【例6-3】（2023·福建·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.（用數(shù)字做答）【答案】49【解析】展開(kāi)式中得到常數(shù)項(xiàng)的方法分類如下：（1）4個(gè)因式中都不取，則不取，全取，相乘得到常數(shù)項(xiàng).常數(shù)項(xiàng)為；（2）4個(gè)因式中有1個(gè)取，則再取1個(gè)，其余因式取，相乘得到常數(shù)項(xiàng).常數(shù)項(xiàng)為；（3）4個(gè)因式中有2個(gè)取，則再取2個(gè)，相乘得到常數(shù)項(xiàng).常數(shù)項(xiàng)為.合并同類項(xiàng)，所以展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.【例6-4】（2023·湖南常德·常德市一中校考模擬預(yù)測(cè)）已知，則.【答案】【解析】因?yàn)?，而的展開(kāi)通項(xiàng)為，令，得，則.故答案為：.【變式】1（2022·天津·統(tǒng)考高考真題）的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.【答案】【解析】由題意的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令即，則，所以的展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.故答案為：.2．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（用數(shù)字作答）．【答案】-28【解析】因?yàn)?，所以的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，的展開(kāi)式中的系數(shù)為-28故答案為：-283．（2023·福建龍巖·統(tǒng)考二模）已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為21，則．【答案】1【解析】由二項(xiàng)式定理可知的展開(kāi)式中含的項(xiàng)分別為，故的展開(kāi)式中含的項(xiàng)為，即.故答案為：4．（2023·福建福州·福建省福州第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若，則.【答案】【解析】因?yàn)椋?，則，所以，其中二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)為（且），令，解得，所以，所以.故答案為：5（2023春·河南開(kāi)封·高三統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）已知的展開(kāi)式中的系數(shù)為，則實(shí)數(shù)（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，且；展開(kāi)式的通項(xiàng)為：，且；令，則或，的系數(shù)為，解得：.故選：A.考法七（二項(xiàng)式）系數(shù)和【例7-1】（2023·福建寧德·?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）若，，則（

）A．B．C．D．【答案】AC【解析】令得：，所以選項(xiàng)A正確；令得：，所以，所以選項(xiàng)B錯(cuò)誤；因?yàn)?，所以選項(xiàng)C正確；，兩邊對(duì)求導(dǎo)得：，令得：，選項(xiàng)D錯(cuò)誤；故選：AC.【例7-2】（2023·山東菏澤·山東省鄄城縣第一中學(xué)校考三模）（多選）已知多項(xiàng)式，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】因?yàn)?，的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，，得，，所以，故A正確；令得，令，得，所以，故B不正確；，故C不正確；由兩邊對(duì)求導(dǎo)得，，令，得，所以，故D正確.故選：AD【變式】1．（2023·黑龍江大慶·大慶中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）（多選）若，則（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】令，則，即，故A正確；令，則，令，則，則，故B正確；，則，令，則，故C錯(cuò)誤；由兩邊求導(dǎo)，得，令，則，故D正確.故選：ABD.2．（2023·山東日照·三模）（多選）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】AD【解析】由，令得，故A正確；由的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，得，故B錯(cuò)誤；令，得①，再由，得，故錯(cuò)誤；令，得②，①-②再除以2得，故D正確.故選：AD考法八二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)【例8-1】（2023·福建廈門·廈門一中?？家荒＃┮阎亩?xiàng)展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第10項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開(kāi)式中含的系數(shù)為.【答案】【解析】因?yàn)榈亩?xiàng)展開(kāi)式中第3項(xiàng)與第10項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，可得，即，即二項(xiàng)式為，其展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，可得，即展開(kāi)式中的系數(shù)為.故答案為：.【例8-2】（2023·福建泉州·泉州五中?？寄M預(yù)測(cè)）已知的展開(kāi)式中，僅有第4項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中第5項(xiàng)是.【答案】【解析】由題可得，，解得，所以.故答案為：【例8-3】（2023·山東·模擬預(yù)測(cè)）（多選）的展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)是（

）A．第2項(xiàng) B．第3項(xiàng) C．第4項(xiàng) D．第5項(xiàng)【答案】BC【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為：則第項(xiàng)的系數(shù)為：設(shè)第項(xiàng)的系數(shù)最大，則即，即解得，所以或時(shí)，的展開(kāi)式中系數(shù)最大即的展開(kāi)式中系數(shù)最大是第3,4項(xiàng),故選：BC【變式】1．（2023·湖南郴州·統(tǒng)考一模）在二項(xiàng)式的展開(kāi)式中只有第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，則展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為.【答案】【解析】因?yàn)槎?xiàng)式的展開(kāi)式中只有第4項(xiàng)二項(xiàng)式系數(shù)最大，故二項(xiàng)式的展開(kāi)式有7項(xiàng)，則，故的通項(xiàng)公式為，令，故展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，故答案為：2．（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）的展開(kāi)式中，系數(shù)最小的項(xiàng)是（

）A．第4項(xiàng) B．第5項(xiàng) C．第6項(xiàng) D．第7項(xiàng)【答案】C【解析】依題意，的展開(kāi)通項(xiàng)公式為，其系數(shù)為，當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，才能取得最小值，又由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可知，是的最大項(xiàng)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值，即第6項(xiàng)的系數(shù)最小.故選：C．3（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知二項(xiàng)式，的展開(kāi)式中第四項(xiàng)的系數(shù)最大，則a的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【解析】二項(xiàng)式展開(kāi)式的通項(xiàng)公式為，其中，由（其中），即，，，依題意可知使上式成立，即，所以.故選：A考法九二項(xiàng)式定理的應(yīng)用【例9】（2023·江蘇無(wú)錫）（多選）若，則（

）A．可以被整除B．可以被整除C．被27除的余數(shù)為6D．的個(gè)位數(shù)為6【答案】AB【解析】，可以被整除，故A正確；，可以被整除，故B正確；被27除的余數(shù)為5，故C錯(cuò)誤；，個(gè)位數(shù)為，故D錯(cuò)誤.故選：AB【變式】1.（2022·濰坊模擬）除以7的余數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】D【解析】，則，又是7的倍數(shù)，故余數(shù)為3.故答案為：D.2.（2022廣東）的計(jì)算結(jié)果精確到個(gè)位的近似值為A．106 B．107 C．108 D．109【答案】B【解析】∵，∴.故選B3．（2023·江蘇揚(yáng)州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）若，則被5除所得的余數(shù)為．【答案】1【解析】由題知時(shí)，，，故所以被5除得的余數(shù)是1.故答案為：1.考法十二項(xiàng)式定理與其他知識(shí)綜合【例10-1】（2023秋·遼寧錦州·高三渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)在處的切線與直線平行，則二項(xiàng)式展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A．70 B．－70 C．56 D．－56【答案】A【解析】，由已知可得，，即，所以.設(shè)展開(kāi)式中的第k+1項(xiàng)含有，，則可知，，所以二項(xiàng)式展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選：A.【例10-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義函數(shù)，已知為虛數(shù)單位，則的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是（

）A．180 B．120 C．90 D．45【答案】A【解析】，由題可知，所以.所以的展開(kāi)式的通項(xiàng)為.令，解得.所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是.故選：A【變式】1.（2023秋·遼寧錦州·高三渤海大學(xué)附屬高級(jí)中學(xué)?？计谀┮阎瘮?shù)在處的切線與直線平行，則二項(xiàng)式展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）A．70 B．－70 C．56 D．－56【答案】A【解析】，由已知可得，，即，所以.設(shè)展開(kāi)式中的第k+1項(xiàng)含有，，則可知，，所以二項(xiàng)式展開(kāi)式中的系數(shù)為.故選：A.2.（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）定義函數(shù)，已知為虛數(shù)單位，則的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)是（

）A．180 B．120 C．90 D．45【答案】A【解析】，由題可知，所以.所以的展開(kāi)式的通項(xiàng)為.令，解得.所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)是.故選：A3．（2023·上?！じ呷龑ｎ}練習(xí)）已知函數(shù)（k，n為正奇數(shù)），是的導(dǎo)函數(shù)，則（

）A． B．C． D．【答案】D【解析】因?yàn)?，所以，所以，則，其中，所以，所以；故選：D4．（2023·山西·統(tǒng)考一模）已知隨機(jī)變量，且，則的展開(kāi)式中常數(shù)項(xiàng)為_(kāi)_____.【答案】60【解析】由正態(tài)分布易得，設(shè)二項(xiàng)展開(kāi)式的第項(xiàng)，則常數(shù)項(xiàng)為當(dāng)時(shí)，值為60.故答案為：60.一、單選題1．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）某校文藝部有4名學(xué)生，其中高一、高二年級(jí)各2名．從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，則這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】依題意，從這4名學(xué)生中隨機(jī)選2名組織校文藝匯演，總的基本事件有件，其中這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的基本事件有，所以這2名學(xué)生來(lái)自不同年級(jí)的概率為.故選：D.2．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）現(xiàn)有5名志愿者報(bào)名參加公益活動(dòng)，在某一星期的星期六、星期日兩天，每天從這5人中安排2人參加公益活動(dòng)，則恰有1人在這兩天都參加的不同安排方式共有（

）A．120 B．60 C．30 D．20【答案】B【解析】不妨記五名志愿者為，假設(shè)連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，再?gòu)氖Ｓ嗟?人抽取2人各參加星期六與星期天的公益活動(dòng)，共有種方法，同理：連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)，也各有種方法，所以恰有1人連續(xù)參加了兩天公益活動(dòng)的選擇種數(shù)有種.故選：B.3．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）甲乙兩位同學(xué)從6種課外讀物中各自選讀2種，則這兩人選讀的課外讀物中恰有1種相同的選法共有（

）A．30種 B．60種 C．120種 D．240種【答案】C【解析】首先確定相同得讀物，共有種情況，然后兩人各自的另外一種讀物相當(dāng)于在剩余的5種讀物里，選出兩種進(jìn)行排列，共有種，根據(jù)分步乘法公式則共有種，故選：C.4．（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）某學(xué)校為了解學(xué)生參加體育運(yùn)動(dòng)的情況，用比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法作抽樣調(diào)查，擬從初中部和高中部?jī)蓪庸渤槿?0名學(xué)生，已知該校初中部和高中部分別有400名和200名學(xué)生，則不同的抽樣結(jié)果共有（

）．A．種 B．種C．種 D．種【答案】D【解析】根據(jù)分層抽樣的定義知初中部共抽取人，高中部共抽取，根據(jù)組合公式和分步計(jì)數(shù)原理則不同的抽樣結(jié)果共有種.故選：D.5．（2023·北京·統(tǒng)考高考真題）的展開(kāi)式中的系數(shù)為（

）．A． B． C．40 D．80【答案】D【解析】的展開(kāi)式的通項(xiàng)為令得所以的展開(kāi)式中的系數(shù)為故選：D6．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）有甲、乙、丙、丁、戊5名同學(xué)站成一排參加文藝匯演，若甲不站在兩端，丙和丁相鄰，則不同排列方式共有（

）A．12種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】B【解析】因?yàn)楸∫谝黄穑劝驯±?，看做一個(gè)元素，連同乙，戊看成三個(gè)元素排列,有種排列方式；為使甲不在兩端，必須且只需甲在此三個(gè)元素的中間兩個(gè)位置任選一個(gè)位置插入，有2種插空方式；注意到丙丁兩人的順序可交換，有2種排列方式，故安排這5名同學(xué)共有：種不同的排列方式，故選：B7．（2022·北京·統(tǒng)考高考真題）若，則（

）A．40 B．41 C． D．【答案】B【解析】令，則，令，則，故，故選：B.8．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）為躲過(guò)了新冠，躲過(guò)了甲流，沒(méi)躲過(guò)呼吸道合胞病毒.”甲流高峰才過(guò)去不久，呼吸道感染的老人又多起來(lái).“最近，呼吸道合胞病毒感染處于高峰.目前因咳嗽、喘息住院的患者中，在浙大兒院占據(jù)首位的就是呼吸道合胞病毒感染.呼吸道合胞病毒是一種什么病毒？RSV為副黏病毒科肺炎病毒屬的單股負(fù)鏈RNA病毒，是引起老年人下呼吸道感染的常見(jiàn)病原，RSV通常于上呼吸道中開(kāi)始感染，引發(fā)的癥狀易與普通感冒相混淆，出現(xiàn)呼吸系統(tǒng)后遺癥.5月3日，葛蘭素史克（GSK）宣布其呼吸道合胞病毒（RSV）疫苗Arexvy，用于老年人群體預(yù)防RSV感染導(dǎo)致的下呼吸道疾病（RSV-LRTD）.該產(chǎn)品也是全球首款獲批上市的RSV疫苗.為研究的臨床試驗(yàn)，旨在評(píng)估單劑量和接種Arexvy對(duì)比安慰劑對(duì)RSV-LRTD的預(yù)防效果.該實(shí)驗(yàn)有3接種組，現(xiàn)有8名志愿者將被派往這3接種組安排接種工作，每個(gè)接種組至少2名至多4名志愿者，則不同的安排方法共有（）A．2940種 B．3000種 C．3600種 D．5880種【答案】A【解析】根據(jù)題意派往3個(gè)醫(yī)院的人數(shù)分配有2種情況：2、2、4；3、3、2.不同的安排方法共有（種）．故選：A．9．（2023·浙江·校聯(lián)考二模）甲、乙、丙3人站到共有6級(jí)的臺(tái)階上，同一級(jí)臺(tái)階上的人不區(qū)分站的位置，則不同的站法種數(shù)是（

）A．120 B．210 C．211 D．216【答案】D【解析】由題意分三種情況：第一種情況是3人各站一個(gè)臺(tái)階，有種；第二種情況是2人站一個(gè)臺(tái)階，另1人站另一個(gè)臺(tái)階，有種，第三種情況是3人站一個(gè)臺(tái)階，有種，所以根據(jù)分類計(jì)數(shù)原理知共有不同的站法種數(shù)是種．故選：D．10．（2023·江西南昌·統(tǒng)考二模）中國(guó)燈籠又統(tǒng)稱為燈彩，是一種古老的漢族傳統(tǒng)工藝品．燈籠綜合了繪畫(huà)、剪紙、紙?jiān)?、刺縫等工藝，與中國(guó)人的生活息息相連．燈籠成了中國(guó)人喜慶的象征．經(jīng)過(guò)歷代燈彩藝人的繼承和發(fā)展，形成了豐富多彩的品種和高超的工藝水平，從種類上主要有宮燈、紗燈、吊燈等類型，現(xiàn)將紅木宮燈、檀木宮燈、楠木紗燈、花梨木紗燈、恭喜發(fā)財(cái)?shù)鯚簟⒓槿缫獾鯚舾饕粋€(gè)隨機(jī)掛成一排，則有且僅有一種類型的燈籠相鄰的概率為（

）A． B．C． D．【答案】A【解析】設(shè)紅木宮燈、檀木宮燈為；楠木紗燈、花梨木紗燈為；恭喜發(fā)財(cái)?shù)鯚簟⒓槿缫獾鯚魹椋惹髢H相鄰的種數(shù)，把看作一個(gè)元素，當(dāng)排在首尾時(shí)，不同的排法有種；當(dāng)排在五個(gè)位置中第二、第四位時(shí)，不同的排法有種；當(dāng)排在第三個(gè)位置時(shí)，不同的排法有種，故僅相鄰共有種排法，同理得僅相鄰，僅相鄰的情況，也都有種排法，所以有且僅有一種類型燈籠相鄰的概率為．故選：A.11．（2023·河南·開(kāi)封高中校考模擬預(yù)測(cè)）2023年元旦當(dāng)天，某微信群中有小郭、小張、小陳、小李和小陸五個(gè)人玩搶紅包游戲，現(xiàn)有4個(gè)紅包，每人最多搶一個(gè)，且紅包被全部搶完，4個(gè)紅包中有2個(gè)66.66元、1個(gè)88.88元、1個(gè)99.99元（紅包中金額相同視為相同紅包），則小郭、小張都搶到紅包的不同情況有（

）A．18種 B．24種 C．36種 D．48種【答案】C【解析】當(dāng)小郭、小張都搶到66.66元時(shí)，有種；當(dāng)小郭、小張搶到66.66元和88.88元時(shí)，有種；當(dāng)小郭、小張搶到66.66元和99.99元時(shí)，有種；當(dāng)小郭、小張搶到88.88元和99.99元時(shí)，有種.故小郭、小張都搶到紅包的不同情況有種.故選：C12．（2023·河南洛陽(yáng)·洛陽(yáng)市第三中學(xué)校聯(lián)考一模）為弘揚(yáng)中國(guó)優(yōu)秀傳統(tǒng)文化，某地教育局決定舉辦“經(jīng)典誦讀”知識(shí)競(jìng)賽．競(jìng)賽規(guī)則：參賽學(xué)生從《紅樓夢(mèng)》《論語(yǔ)》《史記》這3本書(shū)中選取1本參加有關(guān)該書(shū)籍的知識(shí)競(jìng)賽，且同一參賽學(xué)校的選手必須全部參加3本書(shū)籍的知識(shí)競(jìng)賽．某校決定從本校選拔出的甲、乙等5名優(yōu)秀學(xué)生中選出4人參加此次競(jìng)賽．因甲同學(xué)對(duì)《論語(yǔ)》不精通，學(xué)校決定不讓他參加該書(shū)的知識(shí)競(jìng)賽，其他同學(xué)沒(méi)有限制，則不同的安排方法有（

）種．A．128 B．132 C．156 D．180【答案】B【解析】根據(jù)題意，學(xué)校從5名優(yōu)秀學(xué)生中選出4人去參加3本書(shū)籍的知識(shí)競(jìng)賽，且每本書(shū)的知識(shí)競(jìng)賽都要有該校學(xué)生參加，則必會(huì)有兩人去參加同一書(shū)籍的知識(shí)競(jìng)賽．①若選出的4名學(xué)生中不含甲同學(xué)，在這4名學(xué)生中任意取2人進(jìn)行捆綁，則不同的安排方法共有種；②若選出的4名學(xué)生中含有甲同學(xué)，則在剩余的4名優(yōu)秀學(xué)生中再抽取3人，共有種方法；若甲同學(xué)和其中1名學(xué)生去參加同一書(shū)籍的知識(shí)競(jìng)賽，則共有種方法；若甲同學(xué)單獨(dú)一人去參加某本書(shū)的知識(shí)競(jìng)賽，則共有種方法．根據(jù)分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理可得，不同的安排方法共有種．綜上所述，不同的安排方法共有種．故選：B．13．（2023·遼寧沈陽(yáng)·統(tǒng)考一模）甲、乙、丙、丁、戊、己6人站成一排拍合照，要求甲必須站在中間兩個(gè)位置之一，且乙、丙2人相鄰，則不同的排隊(duì)方法共有（

）A．24種 B．48種 C．72種 D．96種【答案】C【解析】先安排甲，可從中間兩個(gè)位置中任選一個(gè)安排有種方法，而甲站好后一邊有2個(gè)位置，另一邊有3個(gè)位置，再安排乙丙2人，因乙、丙2人相鄰，可分為兩類：安排在甲有2個(gè)位置的一側(cè)有種方法；安排在甲有3個(gè)位置的一側(cè)有種方法，最后安排其余3人有種方法，綜上，不同的排隊(duì)方法有：種.故選：C.14．（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）中國(guó)空間站（ChinaSpaceStation）的主體結(jié)構(gòu)包括天和核心艙、問(wèn)天實(shí)驗(yàn)艙和夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙.2022年10月31日15：37分，我國(guó)將“夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙”成功送上太空，完成了最后一個(gè)關(guān)鍵部分的發(fā)射，“夢(mèng)天實(shí)驗(yàn)艙”也和“天和核心艙”按照計(jì)劃成功對(duì)接，成為“T”字形架構(gòu)，我國(guó)成功將中國(guó)空間站建設(shè)完畢.2023年，中國(guó)空間站將正式進(jìn)入運(yùn)營(yíng)階段.假設(shè)空間站要安排甲、乙等6名航天員開(kāi)展實(shí)驗(yàn)，三艙中每個(gè)艙至少一人至多三人，則不同的安排方法有（

）A．450種 B．72種 C．90種 D．360種【答案】A【解析】由題知，6名航天員安排三艙，三艙中每個(gè)艙至少一人至多三人，可分兩種情況考慮：第一種：分人數(shù)為的三組，共有種；第二種：分人數(shù)為的三組，共有種；所以不同的安排方法共有種.故選：A.15．（2023·遼寧盤錦·盤錦市高級(jí)中學(xué)?？家荒＃┯?名男生，4名女生，在下列不同條件下，錯(cuò)誤的是（

）A．任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案有70種B．全體站成一排，男生互不相鄰有1440種C．全體站成一排，女生必須站在一起有144種D．全體站成一排，甲不站排頭，乙不站排尾有3720種．【答案】C【解析】對(duì)于A：任選其中3人相互調(diào)整座位，其余4人座位不變，則不同的調(diào)整方案有種，故A正確；對(duì)于B：先排女生，將4名女生全排列，有種方法，再安排男生，由于男生互不相鄰，可以在女生之間及首尾空出的5個(gè)空位中任選3個(gè)空位排男生，有種方法，故共有種方法，故B正確．對(duì)于C：將女生看成一個(gè)整體，考慮女生之間的順序，有種情況，再將女生的整體與3名男生在一起進(jìn)行全排列，有種情況，故共有種方法，故C錯(cuò)誤．對(duì)于D：若甲站在排尾則有種排法，若甲不站在排尾則有種排法，故有種排法，故D正確；故選：C.16．（2023·廣西北?！そy(tǒng)考一模）展開(kāi)式中，的系數(shù)為（

）A．3 B．6 C．9 D．12【答案】C【解析】由題意，故的系數(shù)為．故選：C．17．（2023·廣東揭陽(yáng)·惠來(lái)縣第一中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)，則等于（

）A．45 B．84 C．120 D．165【答案】D【解析】依題意，.故選：D二、多選題18．（2023春·江蘇揚(yáng)州）現(xiàn)有4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的盒子和4個(gè)編號(hào)為1，2，3，4的小球，要求把4個(gè)小球全部放進(jìn)盒子中，則下列結(jié)論正確的有（

）A．沒(méi)有空盒子的方法共有24種B．可以有空盒子的方法共有128種C．恰有1個(gè)盒子不放球的方法共有144種D．沒(méi)有空盒子且恰有一個(gè)小球放入自己編號(hào)的盒子的方法有8種【答案】ACD【解析】對(duì)于A：4個(gè)球全放4個(gè)盒中，沒(méi)有空盒則全排列，共種，故A正確；對(duì)于B：可以有空盒子，有4個(gè)球，每個(gè)球有4種放法，共種，故B錯(cuò)誤；對(duì)于C：恰有1個(gè)空盒子，說(shuō)明另外3個(gè)盒子都有球，而球共4個(gè)，必然有1個(gè)盒子中放了2個(gè)球，先將4個(gè)盒中選1個(gè)作為空盒，再將4個(gè)球中選出2個(gè)球綁在一起，再排列共種，故C正確；對(duì)于D：恰有一個(gè)小球放入自己編號(hào)的盒中，從4個(gè)盒4個(gè)球中選定一組標(biāo)號(hào)相同得球和盒，另外3個(gè)球3個(gè)盒標(biāo)號(hào)不能對(duì)應(yīng)，則共種，故D正確．故選：ACD．19．（2023春·遼寧朝陽(yáng)·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）某校舉辦“新生杯”足球比賽，現(xiàn)分配A、B、C、D，4人到甲，乙，丙三場(chǎng)比賽中擔(dān)任主裁判，每人最多擔(dān)任其中一場(chǎng)比賽的主裁判，每場(chǎng)比賽主裁判有且只有一人擔(dān)任則下列說(shuō)法正確的是（

）A．不同的分配方案共有81種B．不同的分配方案共有24種C．若A，B兩人都不能去甲場(chǎng)比賽擔(dān)任主裁判，則不同的安排方法共有12種D．若A，B兩人必有一人去甲場(chǎng)比賽擔(dān)任主裁判，則不同的安排方法共有12種【答案】BCD【解析】不同的分配方案共有（種），故B正確，A錯(cuò)誤；若A、B兩人都不能去甲場(chǎng)比賽擔(dān)任主裁判，第一步：從中選出一人取甲場(chǎng)；第二步：從剩下的三人中選出兩人組成一組；第三步：將選出的兩人分配到乙、丙兩場(chǎng).則不同的安排方法共有（種），故C正確；若A，B兩人必有一人去甲場(chǎng)比賽擔(dān)任主裁判，第一步：從中選出一人取甲場(chǎng)；第二步：從剩下的三人中選出兩人組成一組；第三步：將選出的兩人分配到乙、丙兩場(chǎng).則不同的安排方法共有（種），故D正確．故選：BCD．20．（2023春·甘肅白銀·高二統(tǒng)考開(kāi)學(xué)考試）小許購(gòu)買了一套五行文昌塔擺件（如圖），準(zhǔn)備一字排開(kāi)擺放在桌面上，下列結(jié)論正確的有（

）A．不同的擺放方法共有120種B．若要求“水塔”和“土塔”不相鄰，則不同的擺放方法共有36種C．若要求“水塔”和“土塔”不相鄰，則不同的擺放方法共有72種D．若要求“水塔”和“土塔”相鄰，且“水塔”不擺兩端，則不同的擺放方法共有36種【答案】ACD【解析】由題可知，不同的擺放方法共有種，A正確；若要求“水塔”和“土塔”不相鄰，則不同的擺放方法共有種，C正確，B不正確；若要求“水塔”和“土塔”相鄰，且“水塔”不擺兩端，則不同的擺放方法共有種，D正確．故選：ACD21．（2023春·廣東珠?！じ叨？茧A段練習(xí)）校園師生安全重于泰山，越來(lái)越多的學(xué)校紛紛引進(jìn)各類急救設(shè)備.福清融城中學(xué)準(zhǔn)備引進(jìn)5個(gè)不同顏色的自動(dòng)體外除顫器（簡(jiǎn)稱AED），則下面正確的是（

）A．從5個(gè)AED中隨機(jī)取出3個(gè)，共有10種不同的取法B．從5個(gè)AED中選3個(gè)分別給3位教師志愿者培訓(xùn)使用，每人1個(gè)，共有60種選法C．把5個(gè)AED安放在宿舍、教學(xué)樓、體育館三個(gè)不同的地方，共有129種方法D．把5個(gè)AED安放在宿舍、教學(xué)樓、體育館三個(gè)不同的地方，每個(gè)地方至少放一個(gè)，共有150種方法【答案】ABD【解析】從5個(gè)AED中隨機(jī)取出3個(gè)，共有種不同的取法，故A正確；從5個(gè)AED中選3個(gè)分別給3位教師志愿者培訓(xùn)使用，每人1個(gè)，共有種選法，故B正確；把5個(gè)AED安放在宿舍、教學(xué)樓、體育館三個(gè)不同的地方，則每個(gè)AED都有3種安放方法，故共有種方法，故C錯(cuò)誤；把5個(gè)AED安放在宿舍、教學(xué)樓、體育館三個(gè)不同的地方，每個(gè)地方至少放一個(gè)，可先將5個(gè)AED分成3組，每組至少1個(gè)，再把這3組AED放在宿舍、教學(xué)樓、體育館三個(gè)地方，每個(gè)地方放1組，故共有方法，故D正確.故選：ABD22．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）生命在于運(yùn)動(dòng)，小蘭給自己制定了周一到周六的運(yùn)動(dòng)計(jì)劃，這六天每天安排一項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，其中有兩天練習(xí)瑜伽，另外四天的運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目互不相同，且運(yùn)動(dòng)項(xiàng)目為跑步、爬山、打羽毛球和跳繩.（

）A．若瑜伽被安排在周一和周六，則共有48種不同的安排方法B．若周二和周五至少有一天安排練習(xí)瑜伽，則共有216種不同的安排方法C．若周一不練習(xí)瑜伽，周三爬山.則共有36種不同的安排方法D．若瑜伽不被安排在相鄰的兩天，則共有240種不同的安排方法【答案】BCD【解析】對(duì)于A，若瑜伽被安排在同一和周六，則共有種不同的安排方法，故A不正確；對(duì)于B，若周二和周五至少有一天安排練習(xí)瑜伽，則由間接法可得，不同的安排方法種數(shù)為，故B正確對(duì)于C，若周一不練習(xí)瑜伽，周三爬山，則共有種不同的安排方法，故C正確；對(duì)于D，若瑜伽不被安排在相鄰的兩天，則先排其他四項(xiàng)運(yùn)動(dòng)，共有種不同的安排方法，再?gòu)?個(gè)空位里插入2個(gè)安排練習(xí)瑜伽，故共有種不同的安排方法，故D正確.故選：BCD23．（2023·遼寧撫順·校考模擬預(yù)測(cè)）在的展開(kāi)式中，各項(xiàng)系數(shù)的和為1，則（

）A． B．展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為C．展開(kāi)式中的系數(shù)為160 D．展開(kāi)式中無(wú)理項(xiàng)的系數(shù)之和為【答案】BC【解析】根據(jù)題意令，得的展開(kāi)式中各項(xiàng)系數(shù)和為，則，A錯(cuò)誤；則，又的展開(kāi)式的通項(xiàng)為，，所以展開(kāi)式中的常數(shù)項(xiàng)為，B正確；含的項(xiàng)為，其系數(shù)為160，C正確；展開(kāi)式中無(wú)理項(xiàng)的系數(shù)之和為，D錯(cuò)誤.故選：BC.24．（2023·吉林長(zhǎng)春·長(zhǎng)春吉大附中實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考模擬預(yù)測(cè)）已知展開(kāi)式中的第三項(xiàng)的系數(shù)為45，則（

）A． B．展開(kāi)式中所有系數(shù)和為C．二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng) D．含的項(xiàng)是第7項(xiàng)【答案】BCD【解析】展開(kāi)式的第三項(xiàng)為：，所以第三項(xiàng)的系數(shù)為：，所以，故A錯(cuò)誤；所以，所以令得展開(kāi)式中所有系數(shù)和為，故B正確；展開(kāi)式總共有11項(xiàng)，則二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)為中間項(xiàng)，故C正確；通項(xiàng)公式為，令，解得，所以含的項(xiàng)是第7項(xiàng).故D正確；故選：BCD.25．（2023·云南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A．展開(kāi)式中所有項(xiàng)的系數(shù)和為 B．展開(kāi)式中二項(xiàng)系數(shù)最大項(xiàng)為第1012項(xiàng)C． D．【答案】AC【解析】選項(xiàng)A，令，則展開(kāi)式的各項(xiàng)系數(shù)和為，A選項(xiàng)正確；選項(xiàng)B，因?yàn)椋哉归_(kāi)式中二項(xiàng)式系數(shù)最大項(xiàng)為第1012項(xiàng)與第1013項(xiàng)，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；選項(xiàng)C，令，則，令，則，所以，C選項(xiàng)正確；選項(xiàng)D，已知關(guān)系式兩邊同時(shí)取導(dǎo)，則，令，則，D選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：AC.26．（2023·廣西柳州·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則（

）A． B．C． D．【答案】ACD【解析】因?yàn)?，令，得，故A正確；展開(kāi)式的通項(xiàng)為，則，故B錯(cuò)誤；令，得，故C正確；展開(kāi)式的通項(xiàng)為，則，其中且，當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，；當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，，令，可得，故D正確.故選：ACD.27．（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在展開(kāi)式中（

）A．展開(kāi)式中不存在含的項(xiàng) B．展開(kāi)式所有項(xiàng)系數(shù)和為243C．展開(kāi)式中含項(xiàng)的系數(shù)為30 D．展開(kāi)式共21項(xiàng)【答案】BCD【解析】表示個(gè)相乘，含的項(xiàng)是在個(gè)中選個(gè)，個(gè)，所以展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為，故A錯(cuò)誤；令，則展開(kāi)式所有項(xiàng)系數(shù)和為，故B正確；含項(xiàng)是在個(gè)中選個(gè)，個(gè)，個(gè)，所以展開(kāi)式中含的項(xiàng)的系數(shù)為，故C正確；的展開(kāi)式的項(xiàng)可以理解為有個(gè)盒子，每個(gè)盒子中均有、、三個(gè)元素，現(xiàn)在從每個(gè)盒子中各取出個(gè)元素，再將它們相乘，若只選一個(gè)字母則有種，若選個(gè)字母則有種，若選個(gè)字母則有種，故展開(kāi)式共有項(xiàng)，故D正確；故選：BCD28．（2023·山西晉中·統(tǒng)考二模），若，則下列結(jié)論正確的有（

）A． B．C． D．的展開(kāi)式中第1012項(xiàng)的系數(shù)最大【答案】BC【解析】對(duì)于A，，可得，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，因?yàn)?，令，則，故B正確；對(duì)于C，令，則，令，則，故C正確；對(duì)于D，由展開(kāi)式知，，，故第1012項(xiàng)的系數(shù)，不會(huì)是展開(kāi)式中系數(shù)最大的項(xiàng)，故D錯(cuò)誤.故選：BC29．（2023·安徽六安·安徽省舒城中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）在的展開(kāi)式中，下列結(jié)論正確的是（

）A．第6項(xiàng)和第7項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等 B．奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為256C．常數(shù)項(xiàng)為84 D．有理項(xiàng)有2項(xiàng)【答案】BC【解析】的展開(kāi)式中共有10項(xiàng)，由二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)可得展開(kāi)式中的第5項(xiàng)和第6項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，故A錯(cuò)誤；由已知可得二項(xiàng)式系數(shù)之和為，且展開(kāi)式中奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和與偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和相等，所以奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)和為，故B正確；展開(kāi)式的通項(xiàng)為，令，解得．故常數(shù)項(xiàng)為，故C正確；有理項(xiàng)中x的指數(shù)為整數(shù)，故，2，4，6，8，故有理項(xiàng)有5項(xiàng)，故D錯(cuò)誤．故選：BC30．（2023·湖南·模擬預(yù)測(cè)）已知，則下列結(jié)論成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ABD【解析】，展開(kāi)式的通項(xiàng)為，對(duì)選項(xiàng)A：令，可得，正確；對(duì)選項(xiàng)B：，所以，正確；對(duì)選項(xiàng)C：令，可得，錯(cuò)誤；對(duì)選項(xiàng)D：，兩邊同時(shí)求導(dǎo)，得，令，，正確．故選：ABD31．（2023·吉林白山·撫松縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）我國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書(shū)中展示了二項(xiàng)式系數(shù)表，數(shù)學(xué)愛(ài)好者對(duì)楊輝三角做了廣泛的研究．則下列結(jié)論正確的是（

）．A．B．第2022行的第1011個(gè)數(shù)最大C．第6行、第7行、第8行的第7個(gè)數(shù)之和為第9行的第8個(gè)數(shù)D．第34行中從左到右第14個(gè)數(shù)與第15個(gè)數(shù)之比為2∶3【答案】ACD【解析】，，故A正確；由圖可知：第n行有n個(gè)數(shù)字，如果n是奇數(shù)，則第（最中間的）個(gè)數(shù)字最大；如果n是偶數(shù)，則第和第個(gè)數(shù)字最大，并且這兩個(gè)數(shù)字一樣大，故錯(cuò)誤；第6行，第7行，第8行的第7個(gè)數(shù)字分別為：1，7，28，其和為36；第9行第8個(gè)數(shù)字就是36，故C正確；依題意：第34行第14個(gè)數(shù)字是，第34行第15個(gè)數(shù)字是，所以，故D正確；故答案為：ACD.三、填空題32（2023·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）某學(xué)校開(kāi)設(shè)了4門體育類選修課和4門藝術(shù)類選修課，學(xué)生需從這8門課中選修2門或3門課，并且每類選修課至少選修1門，則不同的選課方案共有種（用數(shù)字作答）．【答案】64【解析】（1）當(dāng)從8門課中選修2門，則不同的選課方案共有種；（2）當(dāng)從8門課中選修3門，①若體育類選修課1門，則不同的選課方案共有種；②若體育類選修課2門，則不同的選課方案共有種；綜上所述：不同的選課方案共有種.故答案為：64.33．（2022·浙江·統(tǒng)考高考真題）已知多項(xiàng)式，則，．【答案】【解析】含的項(xiàng)為：，故；令，即，令，即，∴，故答案為：；．33．（2022·全國(guó)·統(tǒng)考高考真題）從甲、乙等5名同學(xué)中隨機(jī)選3名參加社區(qū)服務(wù)工作，則甲、乙都入選的概率為．【答案】/0.3【解析】解法一：設(shè)這5名同學(xué)分