2024年高考數(shù)學(xué)重難點(diǎn)突破第14講 洛必達(dá)法則解高考導(dǎo)數(shù)壓軸題（原卷版）

第14講洛必達(dá)法則解高考導(dǎo)數(shù)壓軸題我們?cè)谇懊娴膶W(xué)習(xí)過程中,應(yīng)該能體會(huì)到參變分離對(duì)于解決不等式恒成立問題的重要性和快捷性,但有時(shí)候我們明明知道了函數(shù)的單調(diào)性,知道了函數(shù)會(huì)大于或者小于某一個(gè)值(這個(gè)值被稱為確界),但就是取不到,這個(gè)時(shí)候就需要用到極限來計(jì)算,在求函數(shù)的極限時(shí),常會(huì)遇到兩個(gè)函數(shù)都是無窮小或都是無窮大時(shí),求它們比值的極限,此時(shí)極限可能存在,也可能不存在.通常把這種極限叫作未定式,并分別簡稱為型或型.

例如,就是型的未定式而極限就是型的未定式,對(duì)于未定式的極限,我們?cè)撊绾吻竽?

計(jì)算未定式的極限往往需要經(jīng)過適當(dāng)?shù)淖冃?轉(zhuǎn)化成可利用極限運(yùn)算法則或重要極限的形式進(jìn)行計(jì)算.這種變形沒有一般方法,需視具體問題而定,屬于特定的方法.本節(jié)將用導(dǎo)數(shù)作為工具,給出計(jì)算未定式極限的一般方法,即洛必達(dá)法則,在此之前我們需要明白“確界”的概念.

確界

如果分離參數(shù)后相應(yīng)的函數(shù)不存在最值,為了能夠利用分離參數(shù)思想【解析】決含參不等式恒成立的問題,我們利用如下的函數(shù)確界的概念:

函數(shù)的上確界為,記作的下確界為,記作.于是,有如下結(jié)論:

(1)若無最大值,而有上確界,這時(shí)要使恒成立,只需.

(2)若無最小值,而有下確界,這時(shí)要使恒成立,只需.

確界通俗地說就是,知道函數(shù)不會(huì)超過某個(gè)值(這個(gè)值其實(shí)就是確界),但就是在定義域內(nèi)取不到這個(gè)值,舉個(gè)【例】子:

在恒成立,求的取值范圍.取不到1,但為單調(diào)遞增,,即2就是的下確界,于是我們可以得到.

可以簡單地理解為確界就是函數(shù)取不到的最值,需要用極限來逼近,下面舉例子來說明.

【例1】設(shè)函數(shù),時(shí),,求的取值范圍.

分析:由對(duì)所有的成立,可得

(1)當(dāng)時(shí),.

(2)當(dāng)時(shí),.

設(shè),把問題轉(zhuǎn)化為求的最小值或下確界.

則.

又的二階導(dǎo)數(shù)的三階導(dǎo)數(shù),是增函數(shù)..增函數(shù)..是增函數(shù).,從而,于是在上單調(diào)遞增,故無最小值.

此時(shí),由于無意義,分析可知是有下確界的,運(yùn)用極限表述為:,關(guān)鍵是這個(gè)極限值或者說確界如何求出呢?這就是本章的重點(diǎn):洛必達(dá)法則.

由洛必達(dá)法則即可得.

故時(shí),,因而,綜上知的取值范圍為.

那什么是洛必達(dá)法則呢?

洛必達(dá)法則

(一)型不定式

定理1設(shè)函數(shù)滿足下列條件:

(1).

(2)與在的某一去心鄰域內(nèi)可導(dǎo),且.

(3)存在(或?yàn)闊o窮大),則.

【例1】計(jì)算極限.

【例2】計(jì)算極限洛必達(dá)法則求參數(shù)取值范圍

洛必達(dá)法則求參數(shù)取值范圍的一般步驟和前面參變分離的解題步驟一致,只不過是最后無法直接求解最值,只能用洛必達(dá)法則求解確界.

【例1】已知函數(shù),當(dāng)時(shí),,求的取值范圍.【例2】設(shè)函數(shù),設(shè)當(dāng)