「量子力學(xué)試題(2008年)含答案」

2008?2009鄭州大學(xué)物理工程學(xué)院電子科學(xué)與技術(shù)專(zhuān)

業(yè)題號(hào)一二三總分得分光電子方向量子力學(xué)試題（A卷）（說(shuō)明:考試時(shí)間120分鐘,共6頁(yè),滿(mǎn)分100分）計(jì)分人:復(fù)查人:得分評(píng)卷人一、填空題：（每題4分洪40分） .微觀粒子具有波粒 二象性。.德布羅意關(guān)系是粒子能量E、動(dòng)量P與頻率v、波長(zhǎng)九之間的關(guān)系,其表達(dá)式為:E=h, p=h/%。.根據(jù)波函數(shù)的統(tǒng)計(jì)解釋H（羽t）\2dx的物理意義為：粒子在x-dx范圍內(nèi)的幾率。.量子力學(xué)中力學(xué)量用厄米 算符表示。.坐標(biāo)的x分量算符和動(dòng)量的x分量算符P的對(duì)易關(guān)系為:tx,p]=i 。x.量子力學(xué)關(guān)于測(cè)量的假設(shè)認(rèn)為：當(dāng)體系處于波函數(shù)Mx）所描寫(xiě)的狀態(tài)時(shí)，測(cè)量某力學(xué)八量F所得的數(shù)值，必定是算符F的本征值。.定態(tài)波函數(shù)的形式為：V（x,t）=9（x）e一:e，。 n .一個(gè)力學(xué)量A為守恒量的條件是：A不顯含時(shí)間,且與哈密頓算符對(duì)易 。9．根據(jù)全同性原理，全同粒子體系的波函數(shù)具有一定的交換對(duì)稱(chēng)性,費(fèi)米子體系的波函數(shù)是反對(duì)稱(chēng)的,玻色子體系的波函數(shù)是對(duì)稱(chēng)的?！?10.每個(gè)電子具有自旋角動(dòng)量S,它在空間任何方向上的投影只能取兩個(gè)數(shù)值為：力±X。2得分評(píng)卷人二、證明題：（每題10分，共20分） 1、（10分）利用坐標(biāo)和動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系，證明軌道角動(dòng)量算符的對(duì)易關(guān)系：TOC\o"1-5"\h\z人 人 人[L,L]=訪Lxy z證明:人 人 . .[L,L]=[yp—zp,zp—xp]xy zyxz=[yp,zp-xp]-[zp,zp-xp]zx z yx z二[yp,zp]-[yp,xp]-[zp,zp]+[zp,xp]zx zz yx yz=[yp,zp]+[zp,xp]zx yz=y[p,zp]+[y,zp]p+z[p,xp]+[z,xp]pzx xz y z zy=y[p,zp]+[z,xp]pzx zy=yz[p,p]+y[p,z]p+x[z,p]p+[z,x]ppzx zx zy zy二y（-i力）p+x（i力）pxy=訪[xp-yp]yx=詼L2、(10分)由SchrGdinger方程d 2i—乎(r,t)=[——V2+V(r)]￥(r,t)「1 2日0證明幾率守恒：—W+V>J=001其中幾率密度3(r，t)=+*(r，t)乎(r，t)T+(r,t)I2TOC\o"1-5"\h\z二i力一 _幾率流密度J= [TVT*-T*VT]2日證明：考慮SchrGdinger方程及其共軛式：0 2i—乎=[-——V2+V]￥ (1)ot 2.00 2-i—乎*=[-——V2+V]￥* (2)01 2日將邙x(1)-￥x(2)式得： 方 方一0一0 力2i力乎*一乎+i力+一乎*= [乎*V2+-+V2+*]01 01 2J一0, 、力2訪_(乎*+)=-V?[乎V￥*-**V乎]01 2日在空間閉區(qū)域T中將上式積分，則有:…d 加i力J(乎**)dt=——JV?[乎V￥*-**V+]dTdtT 2「—J(乎**)dt=-出JV?[乎V￥*-**V+]dtdtt 2rt

—J3(r,t)dt=—JV?JdtdtT t三、計(jì)算題：（共40分）三、計(jì)算題：（共40分）得分評(píng)卷人1、（10分）設(shè)氫原子處于狀態(tài)八1 八、.3W仁仇⑺二2R21s?10(0，⑺一TR2i(rY1—1(仇⑺求氫原子能量E、角動(dòng)量平方L2、角動(dòng)量Z分量LZ的可能值及這些可能值出現(xiàn)的幾率。解:在此狀態(tài)中,氫原子能量有確定值pepe2

s-（n=2），幾率為1角動(dòng)量平方有確定值為(2=1),幾率L2,2(2+1)為2(2=1),幾率為1角動(dòng)量Z分量的可能值為L(zhǎng)=0L=—力Z1 Z2其相應(yīng)的幾率分別為

d2.（10分）求角動(dòng)量z分量Lz=—i--- 的本征值和本征函數(shù)。解：Lv（。）=-汴土v々。）=iv（。）z d9 々解得：V（9）=ce%9其中c是積分常數(shù)，亦可看成歸一化系數(shù)。波函數(shù)單值條件，要求當(dāng)。轉(zhuǎn)過(guò)2n角回到原位時(shí)波函數(shù)值相等，即:v（9）=v（9+2兀）-ce39=ce也（9+2兀）?？?兀=1e力z一—2兀l于是 乙=2兀m m=0,±1,±2,?一力—l=m力 m=0,±1,±2,…求歸一化系數(shù)Iv|2dIv|2d9=c2J2兀d9

0=2兀c2=11fc=_<2k最后，得Lz的本征函數(shù)l=m力m=0,±m(xù)=0,±1,±2,…… 1V2）=eim[、m3、（20分）某量子體系Hamilton量的矩陣形式為：f1c°]H=c3 0、00c-2,設(shè)c<<1,應(yīng)用微擾論求H本征值到二級(jí)近似。解：c<<1,可取0級(jí)和微擾Hamilton量分別為:f100]H0:[00-021H°是對(duì)角矩陣，是HamiltonH°在自身表象中的形式。所以能量的0級(jí)近似為:E]（0）=1E2（0）=3E3（0）= -2由非簡(jiǎn)并微擾公式[E⑴=H,n nn<「yih’12E（2）二乙 kn n E（0）-E（0）I k豐n nk得能量一級(jí)修正：'E（1）=H'=0111<E（1）=H'=022E（1）=H'=c3 33能量二級(jí)修正為:E⑵=V1k豐n|H'|2 k1——E(o)-E(o)1k|H'|2= 21 E(o)-E(o)12|H'|2+ 31——E(。)一E(。)13=-1c22E(2)立|H'|2 k2 |H'|2-二 12 |H'|2.+ 32 =1c22 E(o)-E(o)E(o)-E(o)E(o)-E(o) 2k卡n 2k 2 1 2 3TOC\o"1-5"\h\z「VIH'|2 |H'|2 |H'|2 八\o"CurrentDocument"