重慶市永川中學(xué)2023-2024學(xué)年高一年級上冊半期考試數(shù)學(xué)模擬題四含解析

重慶市永川中學(xué)高2026屆高一上期半期考試

數(shù)學(xué)試卷

一、單選題(本大題共8小題，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

要求的.)

1.若全集°={123,4}且e"={1},則集合A的真子集共有()

A.3個B.5個C.7個D.8個

【答案】C

【解析】

【分析】先利用補集求得集合4進而得到真子集的個數(shù).

【詳解】解:因為全集。={1,2,3,4}且e4={1},

所以A={2,3,4},

所以集合A的真子集共有23-1=7，

故選：C

2.如圖，陰影部分所表示的集合為()

A.B.

C.科(BeA)D.g(AS)

【答案】B

【解析】

【分析】先分析出陰影部分所在范圍，再根據(jù)集合的交、并、補的意義即可得答案.

【詳解】解：由題意可得，陰影部分不在集合A內(nèi)，所以一定在為入內(nèi)；

又因為陰影部分在集合8內(nèi)，

所以陰影部分所表示的集合為(2A)c3.

故選：B.

3.已知/(%)是定義在可上的函數(shù)，那么""％)在［a,b］上單調(diào)遞減”是“函數(shù)/(%)在［a,b］上的最小

值為/e)”的()

A.充分而不必要條件B.必要而不充分條件

C.充分必要條件D.既不充分也不必要條件

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性與最值的關(guān)系，結(jié)合充分條件、必要條件的判定方法，即可求解.

【詳解】由函數(shù)〃%)在［a,可上單調(diào)遞減，則函數(shù)“力在［a,句上的最小值為/(%)1111n=/(竹，

所以充分性成立；

反之：函數(shù)/(%)在可上的最小值為了(與，但函數(shù)"%)在句上不一定為單調(diào)遞減函數(shù)，所以必

要性不成立，

所以函數(shù)九)在［a,可上單調(diào)遞減是/(%)在［a,句上單調(diào)遞減的充分不必要條件.

故選：A.

4.下列函數(shù)中，值域為［1,+刈的是()

A.y=y/x-1+2xB.y―-

x+1

2尤1

C.y=-......(x>0)D.y=x——+1(%>1)

x+1x

【答案】D

【解析】

分析】分別利用換元，分離常數(shù)，上下同除結(jié)合基本不等式，函數(shù)單調(diào)性求解各選項對應(yīng)函數(shù)值域即可

得答案.

【詳解】A選項，令GTqO*=l+〃，則y=2『+/+2=2"+；)+?,

則函數(shù)y=2產(chǎn)+/+2在［0,+。)上單調(diào)遞增，則y=口萬+2%22,故A錯誤；

B選項，y==----------=1——則故B錯誤；

X+1X+1X+1

2x212

V—-----=-----------I1］

C選項，因X>O,則y>0,又注意到.x2+lV上1C「萬，當(dāng)且僅當(dāng)x=—nx=l時取

x2f--x

等號,

2Y

則丁=〒彳6(0,1],故C錯誤.

JC十J.

D選項，注意到函數(shù)y=x+l,y=-L均在[1,+8)上單調(diào)遞增，則了=*—工+121,故D正確.

XX

故選：D

5.已知函數(shù)/(2x—l)=4x+3,且/Q)=6,則f=()

illl

A.-B.-C.-D.一

2345

【答案】A

【解析】

【分析】由換元法求出函數(shù)f(x)的解析式，令函數(shù)值為6,解出/值即可.

【詳解】令2x—1=〃，則》=整，

2

由/(2x—l)=4x+3,

可得/(M)=4X-^+3=2ZZ+5,

貝Uf(t)=2t+5=6,

解得%=L

2

故選：A.

【點睛】本題考查函數(shù)解析式的求法，屬于基礎(chǔ)題.

6.函數(shù)y=x—5在(_],+8)上單調(diào)遞增，則a的取值范圍是()

X—CL—2

A.a=—3B.a<3

C.aW—3D.—3

【答案】C

【解析】

ct—3a—3<0

【分析】分離參數(shù)可得y=l+-------,根據(jù)反比例函數(shù)的單調(diào)性可得〈,解不等式即可的結(jié)

x-a-2[a+2<-l

果.

X—5a—3

【詳解】y=-------=1+-------由函數(shù)在(一1,+8)上單調(diào)遞增，

x-ct—2x—a—2

I,3■0

有''解得aW—3,故選C.

hl2W—1,

【點睛】利用單調(diào)性求參數(shù)的范圍的常見方法：①視參數(shù)為已知數(shù)，依據(jù)函數(shù)的圖象或單調(diào)性定義，確

定函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，與已知單調(diào)區(qū)間比較求參數(shù)需注意若函數(shù)在區(qū)間可上是單調(diào)的，則該函數(shù)在此區(qū)

間的任意子集上也是單調(diào)的;②利用導(dǎo)數(shù)轉(zhuǎn)化為不等式/'(x)WO或/'(力20恒成立問題求參數(shù)范圍.

7.已知必＞0,M4?2-ab+b2-c=Q＞當(dāng)工取最小值時，a+2Z?-c的最大值為()

ab

7131925

A.—B.—C.—D.—

6121824

【答案】D

【解析】

【分析】利用基本不等式得到6=2。時，￡取最小值，此時消元得到a+2Z?-c=-6a2+5a，配方得到

ab

最大值；

【詳解】因為4a2—"+/—c=0，所以。=4/,

“2c4a2-ab+b24ab八八4ab1「

ababba\ba

4〃h

當(dāng)且僅當(dāng)上=—,即b=2a時等號成立，

ba

所以a+2)-c=a+2x2a-J4a2-ax2a+(2a)-=-6a2+5a

525

當(dāng)。=一時，a+2b—c取得最大值，最大值為一.

1224

故選：D.

8.已知定義在R上的奇函數(shù)y=/(x),當(dāng)X20時，f(x)^\x-a2\-a2,若對任意實數(shù)尤有

/(X-a)守(尤)成立，則正數(shù)。的取值范圍為()

A.『,+臼B,+=0)C.(0,1]D.(0,￡

【答案】C

【解析】

【分析】由于/(%)=卜一片卜片有絕對值，分情況考慮和％＜/,再由y=/(x)是奇函數(shù)畫出圖

象，再根據(jù)于(x-。)可(x)考慮圖象平移結(jié)合圖形可得答案.

【詳解】由題得，當(dāng)時，/(%)=|%-?2|-?2,故寫成分段函數(shù)

-X+Cli-x,0<x<a2

f(x)=<222化間得f(X)=<

x—a—a，尤〉〃x-2ca2,x>、a2

又y=/(x)為奇函數(shù)，故可畫出圖像:

又/(%-〃)可看出y=/(x)往右平移。個單位可得，若了(尤-。)守(x)恒成立，貝"22a?-2〃)，即

府又"為正數(shù)’故解得

故選：C.

【點睛】本題主要考查絕對值函數(shù)對分段函數(shù)的轉(zhuǎn)換，圖象的平移，屬于中檔題.

二.多選題(本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項是符

合題目要求的，全部選對得5分，部分選對得2分，選錯或不選得0分.)

9.下列說法正確的是()

A.集合Af={-2,3x2+3x-4>x2+x-4},若則％=-2或x=l

B.設(shè)全集為R,若403,則翻三RA

C.集合{乂x=3〃+1,〃￡Z}={乂x=3〃-2,〃￡Z}

D.“x和y都是無理數(shù)”是“％+y是無理數(shù)”的必要不充分條件

【答案】BC

【解析】

【分析】對于A：由2e〃，得出3/+3x—4或f+x—4等于2,分別求解，然后驗證互異性即可判

斷為錯；對于B：由集合間的包含關(guān)系和補集的概念判斷正確；對于C：令集合｛x[x=3"-2,"eZ｝中

的〃=G+l#eZ,即可判定為正確；對于D,取特值即可判定為錯誤.

【詳解】對于A：由2eM,

若3x2+3x—4=2=>為2+%—2=0=>x=—2或1，

當(dāng)x=l時，必+x—4=一2不滿足互異性，舍去，當(dāng)天=—2時，％2+%_4=—2,不滿足互異性，舍

去;

若X+x—4=2=>%2+%—6=0=>%=—3或2,

當(dāng)x=2時，3%2+3x-4=14合題意，當(dāng)％=—3時，3x2+3%-4=14，合題意,

故1=—3或2,A錯誤；

對于B：若AgB,則野口RA,B正確；

對于C：令集合{乂X=3"-2,〃eZ}中的力=左+1,左eZ,得

{x|x=3“一2,"eZ}={尤［x=3左+1,左eZ}={X尤=3"+1,“eZ},故C正確；

對于D：戶后片-白今彳+股。不是無理數(shù)，若x+y=6+1為無理數(shù)，可?。?6,y=1,x和y不

都是無理數(shù)，故"x和>都是無理數(shù)”是“％+丁是無理數(shù)”的既不充分也不必要條件，故D錯.

故選：BC.

10.德國著名數(shù)學(xué)家狄利克雷在數(shù)學(xué)領(lǐng)域成就顯著，是解析數(shù)論的創(chuàng)始人之一，以其命名的函數(shù)

jlx為有理數(shù)

/(%)=54上田.，稱為狄利克雷函數(shù)，則關(guān)于/(%),下列說法正確的是()

0,尤為無理數(shù)

A."%)的值域為［0』B./(%)的定義域為R

C.VXGR,/(/(%))=1D./(%)為偶函數(shù)

【答案】BCD

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)解析式結(jié)合函數(shù)定義域、值域和奇偶性逐一判斷即可.

fl尤為有理數(shù)

【詳解】因為函數(shù)/"(>)=：?工丁用蛇，所以函數(shù)的定義域為R，值域為{0,1},故A錯誤，B正

0,x為無理數(shù)

確；

因為/(x)=0或/(x)=l且0與1均為有理數(shù)，所以/(/(力)=/(。)=1或==故

C正確；

函數(shù)上加［：巧詈3］：叱?黑故山)為偶函數(shù)，D正確.

［0,-x為無理數(shù)［0,x為無理數(shù)

故選：BCD

11.函數(shù)=/c、，且/■(ah/XaH/aXavbvc),則()

J—

A./(%)的值域為［0,+")B.不等式/(x)21的解集為(—8,0］

Ca+b=2D.a+b+ce[6,7)

【答案】CD

【解析】

【分析】作出函數(shù)y=/(x)的圖像，即可看出函數(shù)的值域；求出/(九)=1時的解，即可根據(jù)圖像寫出不

等式的解集；令=/僅)=/(c)=心根據(jù)函數(shù)的零點即可求出零點的關(guān)系和取值范圍，從

而判斷各選項的正誤.

【詳解】解：作出函數(shù)y=/(x)的圖像如下圖所示：

當(dāng)/(九)=1時，有|無一1|=1或5—尤=1,解得玉=0,x2=2,x3=4,

所以，不等式/(x)21的解集為(―,0]u[2,4],B選項錯誤；

令/(a)=/(〃)=/(c)=f(a<〃<c),由圖可知。，6關(guān)于1=1對稱，

所以*=1,即。+/,=2,C選項正確；

2

因為有三個零點，所以ce[4,5),而a+Z?=2,

所以a+/?+ce[6,7),D選項正確；

故選：CD.

12.已知正數(shù)滿足。+2/?=2"，則下列說法一定正確的是()

A.a+2b>4B.a+b>A

22

C.ab>2D.a+4b>S

【答案】ACD

【解析】

【分析】由已知等式可得，+￡■=1,由a+2/?=(〃+26)(一■H——|,〃+/?=(〃+/?)(—H——|,結(jié)合基

本不等式可知AB正誤；利用基本不等式可直接驗證CD正誤.

【詳解】由〃>0,b>0,a+2b=2ab得:—I----=1；

a2b

對于A,a+2b=（a+2b）[-+—]=2+—+—>2+2l---=4（當(dāng)且僅當(dāng)且=生，即

2bJ2ba\2ba2ba

a=2,b=l時取等號），A正確；

對于B,a+b=（a+b）[-+^-]=-+—+->-+2^^-=-+yf2（當(dāng)且僅當(dāng)烏=々，即

\\a2b）22ba2\2ba22ba

1+V|B錯誤；

22

對于C,a+2匕22億F（當(dāng)且僅當(dāng)a=25,即a=2,Z?=l時取等號），

2ab>2y/2^b，解得：ab>2（當(dāng)且僅當(dāng)a=2,沙=1時取等號），C正確；

22

對于D,a+4b>4ab（當(dāng)且僅當(dāng)a=2b,即a=2,3=1時取等號），

由C知：ab>2（當(dāng)且僅當(dāng)a=2,5=1時取等號），

：,cr+4b->8（當(dāng)且僅當(dāng)a=2,b=l時取等號），D正確.

故選：ACD.

三、填空題（本大題4小題，每小題5分，共20分）

13.己知函數(shù)y=/（3x—2）的定義域為[―2,3],則函數(shù)y=的定義域為.

【答案】（-5,7]

【解析】

【分析】先根據(jù)y=/（3x-2）的定義域求出y=/（x）的定義域，結(jié)合解析式的特征可得答案.

【詳解】因為y=/（3x—2）的定義域為[―2,3],所以3x-2?-8,7],即y=/（x）的定義域[―8,7]；

因為1+5>0,所以尤>—5,所以y=的定義域為（一5,7].

，冗+5

故答案為：（-5,7].

++1xK0

14.已知函數(shù)/'（x）={2'一，滿足/（/（a））=T的。的值為________.

-X",x>0

【答案】0或一2

【解析】

【分析】根據(jù)題意，由分段函數(shù)解析式可得/(。)=1,則/(a)=(a+1)2=1,然后代入計算，即可得到

結(jié)果.

【詳解】因為函數(shù)/'(x)=［x：2"+1,”40,

當(dāng)xVO時，/(%)=x2+2x+l=(x+l)2>0,

當(dāng)尤>0時，f(x)=—x2<0,

若f(f(a))=-l,必有/(a)>0,則“/1(?)=—Ra)］、-!,解得/(a)=l,

若=必有aW0,則/(a)=(a+iy=1,解得a=-2或a=0.

故答案為：0或—2

15.已知幕函數(shù)/(%)=(1+3加—9)x"i在(0,+oo)上是減函數(shù)，meR.若(2-“向〉(2”一1向，

則實數(shù)。的取值范圍為

【答案】(1,2)

【解析】

11

【分析】根據(jù)幕函數(shù)的定義與單調(diào)性得加的值，從而可得不等式為(2-a)%〉(2a-1)。，設(shè)函數(shù)

1

g(%)=3］，結(jié)合幕函數(shù)的性質(zhì)列不等式即可得實數(shù)。的取值范圍?

【詳解】由函數(shù)/(九)="+3機—9)產(chǎn)1為募函數(shù)得病+3加—9=1，解得加=2或機=—5,又

函數(shù)在(0,+8)上是減函數(shù)，則加一1<0,即機<1,

所以機=—5,所以/("=%-6=二；

X

11

所以不等式為(2-a”〉(2a-1尹，

設(shè)函數(shù)g(x)=H，則函數(shù)g(x)的定義域為(0,+。)，且函數(shù)g(x)在(0,+。)上單調(diào)遞減，

2-a>0

所以2a-1〉0,解得1<”2,所以實數(shù)。的取值范圍是(1,2).

2—a<2〃—1

故答案為：(1,2).

16.已知定義在R上函數(shù)的圖象是連續(xù)不斷的，且滿足以下條件：①X/xeR,/(-%)=/(%)；②

V^,x2e(O,4w),當(dāng)玉片/時，都有‘(/)―/(%)>o；③/(—1)=0.則下列命題成立的是

x2-x1

⑴"3)<〃T

(2)若/(加一1)</(2),貝！1772G(—,3)

(3)若^^〉0，貝i|xe(—l,0)U(L+co)

X

(4)VxeR,mMeR，使得

【答案】⑴⑶(4)

【解析】

【分析】根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性對命題進行分析，從而確定正確答案.

【詳解】由條件①得八％)是偶函數(shù)，條件②得了(%)在(0,+。)上單調(diào)遞增,

所以〃3)</(4)=/(T),故⑴對,

若“加―1)</(2),則忸一1|<2,得—1〈根<3,故⑵錯,

若/(司〉0x>0fx<0

石----->U,或4

Xy（x）>o1[f（x）<o

因為/(T)=/(l)=。，所以尤>1或一1(尤<0,故(3)正確.

因為定義在R上函數(shù)/(%)的圖象是連續(xù)不斷的，且在(0,+")上單調(diào)遞增,

所以/(XU=〃°)，所以對VxeR,只需MW"0)即可，故(4)正確.

故答案為：⑴(3)(4)

四、解答題(本大題共6小題，共70.0分.解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟)

17.分別計算下面兩題

1

1

+2-73

【答案】(1),

a

(2)7

【解析】

【分析】利用根式轉(zhuǎn)化為分數(shù)指數(shù)塞，以及分數(shù)指數(shù)幕的運算方法，即可化簡;

【小問1詳解】

_i_i_

n3b2.2.〃3-----——[1

京式=15=a3260236=qT=-.

1-(2

a6-b6

【小問2詳解】

原式=+2+

=—x9—A/3+1+2+y/3=7.

18.已知/[L+l]=e—1

IxJx

(1)求函數(shù)的解析式；

(2)若g(x)是定義在R上的奇函數(shù)，且xwo時，g(x)=/(x)-x3-%2+2x,求函數(shù)g(x)的解析

式；

(1—2九2、1

(3)求關(guān)于x的不等式g------<--g(x).

\xJ8

【答案】(1)/(X)=X2-2X(X^1)

(2)g(x)=-x3,xeR

(3)^^或0<%〈

3

【解析】

【分析】(1)利用湊配法，求函數(shù)的解析式；

(2)設(shè)x>0,則—九<0,再利用函數(shù)的奇函數(shù)，求函數(shù)的解析式;

-tr\2

(3)首先不等式變形為g<--<?(%)=.?--x,再利用函數(shù)單調(diào)遞減，解不等式.

、XJ8\L)

【小問1詳解】

/(工+1]=；1=卜11—2卜1],令r=(+l,twl,

：.f(t)=t2-2t,即函數(shù)八％)的解析式為：/(X)=X2-2X(X^1).

【小問2詳解】

當(dāng)尤40時，g(X)=/(X)-X3-X2+2x=-x3,且g(x)為R上的奇函數(shù).

.,.當(dāng)x>0時，_1<0,g(x)=_g(-x)=_[_(-x)〔=_x3

二函數(shù)g(%)的解析式為:g(x)=-x3,xeR

【小問3詳解】

由g----?_7g(x)=g|且g(x)R上單調(diào)遞減

、xJ8\2/

,C,,l-2x212-3x2

??-----1—x------->0

x2x22x

2x(3x2-2)40且%w0

不等式的解集為<XX<—g或0<x<，［

19.某種出口產(chǎn)品的關(guān)稅稅率為7,市場價格”單位：千元)與市場供應(yīng)量。(單位：萬件)之間近似滿足關(guān)

系式：〃=2(-成x-4,其中左/均為常數(shù).當(dāng)關(guān)稅稅率,=75%時，若市場價格為5千元，則市場供應(yīng)量

約為1萬件；若市場價格為7千元，則市場供應(yīng)量約為2萬件.

(1)試確定左涉的值.

(2)市場需求量4(單位：萬件)與市場價格》(單位：千元)近似滿足關(guān)系式：q=t：當(dāng)P=4時，市場

價格稱為市場平衡價格，當(dāng)市場平衡價格不超過4千元時，試確定關(guān)稅稅率的最大值.

【答案】(1)k=l,b=5；(2)500%.

【解析】

【分析】(1)將關(guān)稅稅率f=75%,市場價格x=5代入p=2(-H)e4中，列出關(guān)于左與b的方程組求

解；

(2)利用2=4,將，表示成關(guān)于x的函數(shù)，然后確定r的最大值.

【詳解】⑴由已知得：

2

1=2(L)(5的J1—0.75左)(5—0)2=0

2=2(「°-75*乂7⑹2，寸10_0.754)(7-Z?)2=1

解得b=5,k=\.

(2)當(dāng)Q=4時，9~)*5)2=z*,

x1

所以(1T)(%_5)2=_X,則/=+(^7=1+至_o

X

設(shè)/(x)=x+上25，則/(無)在(0,4]上單調(diào)遞減，

所以當(dāng)x=4時，/\有最小值4亍1，

故當(dāng)x=4時，關(guān)稅稅率的最大值為500%.

【點睛】本題考查函數(shù)實際應(yīng)用問題，考查學(xué)生分析問題、處理問題的能力，數(shù)學(xué)建模的能力，難度

一般.解答時，要靈活運用題目所給條件，建立函數(shù)模型然后求解.

20.已知函數(shù)/⑺滿足/(x+y)=/(x)+/(y)—l(x,ywR),當(dāng)中y時，/⑴-/⑴成立,且

x-y

/⑴=2.

(1)求/(0)，并證明函數(shù)g(x)=/(x)T的奇偶性;

(2)當(dāng)xe[0,9],不等式/(x)+/(根—2五)43恒成立，求實數(shù)9的取值范圍.

【答案】(1)/(0)=1,證明見解析；

(2)m<—2.

【解析】

【分析】⑴令x=y=o,可得/(o)=i,令丁=一"/(%)+/(-%)=2,從而即可證明；

(2)由已知條件，可得/(幻為增函數(shù)，又原不等式等價于/'(x+根-恒成立，貝u

x-2?+根<1在xe[0,9]上恒成立，令gt，分離參數(shù)機即可求解.

【小問1詳解】

解：令x=y=0,可得/(0)=1,

令,=_%,則/(x—x)=/(%)+/(r)T,所以/(x)+/(-x)=2,

所以g(r)+g(x)=/(x)T+/(r)T=O,

所以g(x)為奇函數(shù)；

【小問2詳解】

解：/(x)+/(m-2^)<3,即/(x)+/(w—2&)—1K2,

所以/1+根_2&)</(1),

又當(dāng)XXy時，"‘)一"」)〉0成立,所以Ax)為增函數(shù),

x-y

所以x-2G+機＜1在xe[0,9]上恒成立,

令G=t,可得1—7〃2產(chǎn)-2/在te[0,3]上恒成立，

又＞=產(chǎn)—2八Ze[0,3],所以當(dāng)/=3時，(『—2。=3,

所以1一根23,即根V-2.

21.已知函數(shù)八％)的定義域是[1,2],值域是1,3

g(x)=〃x)-總,

//(%)=^ax2-(a+2)x+2(aeR),g(x)的定義域和值域分別為A,B,可尤)的定義域為M.

(1)求A,B；

(2)若“xwA3”是的充分不必要條件，求實數(shù)。的取值范圍.

QQ

【答案】(1)A=[l,2],B=

(2)[2,+oo)

【解析】

【分析】⑴通過函數(shù)〃％)的定義域即可直接得到g(x)的定義域，通過求g(x)的單調(diào)性即可求出其值

域；

(2)先求出AC8的范圍，推出可龍)的定義域為M所包含的區(qū)間，通過對a的分類討論，求出各種情況

下的網(wǎng)力定義域，看是否包含AC8，即可求出實數(shù)。的取值范圍.

【小問1詳解】

由題意在函數(shù)/(%)中，定義域是[1,2],值域是1,3

；，3

-小J-)e31.3

在g(x)=/(x)-/亍中,

定義域為A=[1，W，

設(shè)"％)=根￡—,3,h(m\=m---,

3m

設(shè)，機2￡一，3且叫〈生

/z(叫)-〃(叫)=叫-----rn2H------=叫-m2H-------------=叫-啊+—=(叫-叫)1H---------<0

仍叫m2mlm1m2(m1m2J

???函數(shù)/z(加)單調(diào)遞增

QQ

g(x)的值域為8=-J,J

【小問2詳解】

~88-

由題意及(1)得A=[l,2],B=,

5=[1,2]

在/z(x)="犬-(a+2)x+2(aeR)中,人(龍)的定義域為M

V44xeA|3”是“兀€河”的充分不必要條件

“x目1,2]”是“％eM”的充分不必要條件

.?"(%)的定義域包括[1,2]

當(dāng)。=0時，h(x)=J-2x+2,—2x+2>0,解得：x<l,不符題意，舍去

當(dāng)a/0時，A(x)=yjax2-(a+