（課標(biāo)專用 5年高考3年模擬A版）高考數(shù)學(xué) 專題九 平面解析幾何 2 直線、圓的位置關(guān)系試題 文-人教版高三數(shù)學(xué)試題

直線、圓的位置關(guān)系探考情悟真題【考情探究】考點內(nèi)容解讀5年考情預(yù)測熱度考題示例考向關(guān)聯(lián)考點點與直線、直線與直線的位置關(guān)系①能根據(jù)兩條直線的斜率判斷兩直線的位置關(guān)系;②能用解方程組的方法求兩相交直線的交點坐標(biāo);③掌握兩點間的距離公式、點到直線的距離公式,會求兩平行直線間的距離2016課標(biāo)全國Ⅱ,6,5分點到直線的距離圓的方程★☆☆2015課標(biāo)全國Ⅱ,7,5分兩點間的距離圓的方程直線、圓的位置關(guān)系①能根據(jù)給定直線、圓的方程判斷直線與圓的位置關(guān)系;能根據(jù)給定兩個圓的方程判斷兩圓的位置關(guān)系;②能用直線和圓的方程解決一些簡單的問題;③初步了解用代數(shù)方法處理幾何問題的思想2018課標(biāo)全國Ⅲ,8,5分與圓有關(guān)的最值問題點到直線的距離公式,三角形的面積★★★2018課標(biāo)全國Ⅰ,15,5分圓的弦長;直線與圓的位置關(guān)系—2016課標(biāo)全國Ⅲ,15,5分直線與圓的位置關(guān)系點到直線的距離公式,解三角形分析解讀從近幾年的高考試題來看,直線與圓以及圓與圓的位置關(guān)系一直是高考考查的重點和熱點問題,題型以選擇題和填空題為主,分值大約為5分.主要考查:①方程中含有參數(shù)的直線與圓的位置關(guān)系的判定;②利用相切或相交的條件求參數(shù)的值或取值范圍;③利用相切或相交的條件求圓的切線長或弦長;④由兩圓的位置關(guān)系判定兩圓的公切線條數(shù).同時考查學(xué)生的邏輯思維能力和運算求解能力,考查化歸與轉(zhuǎn)化思想、分類討論思想、方程思想以及數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.破考點練考向【考點集訓(xùn)】考點一點與直線、直線與直線的位置關(guān)系1.經(jīng)過兩點C(3,1),D(-2,0)的直線l1與經(jīng)過點M(1,-4)且斜率為15的直線l2A.平行 B.垂直C.重合 D.無法確定答案A2.(2019寧夏一中月考,6)已知A(-1,2),B(1,3),C(0,-2),AD⊥BC,AB∥CD,則點D的坐標(biāo)為()A.-97,47 B.答案D3.(2020屆豫北六校10月聯(lián)考,13)直線l1:(k-3)x+(4-k)y+1=0與直線l2:2(k-3)x-2y+3=0平行,則k=.

答案3或5考點二直線、圓的位置關(guān)系1.(2019山東棗莊第二次檢測,5)兩圓(x-2)2+(y-1)2=4與(x+1)2+(y-2)2=1的公切線有()A.1條 B.2條 C.3條 D.4條答案D2.(2019湖南五市十校高三聯(lián)考,6)兩圓x2+y2+4x-4y=0和x2+y2+2x-8=0相交于兩點M,N,則線段MN的長為()A.355 B.4 C.6答案D3.(2020屆皖南八校第二次聯(lián)考,9)已知直線l:(2-a)x-y+1-a=0a>52,圓C:x2A.相離 B.相切C.相交 D.以上均有可能答案C4.已知圓C:x2+y2-8y+12=0,直線l:ax+y+2a=0.(1)當(dāng)a為何值時,直線l與圓C相切?(2)當(dāng)直線l與圓C相交于A,B兩點,且|AB|=22時,求直線l的方程.答案將圓的方程x2+y2-8y+12=0化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2+(y-4)2=4,則圓心為(0,4),半徑為2.(1)若直線l與圓C相切,則有|4+2a|(2)過圓心C作CD⊥AB,連接AC,則根據(jù)題意和圓的性質(zhì),得|CD故所求直線方程為7x-y+14=0或x-y+2=0.煉技法提能力【方法集訓(xùn)】方法1直線與圓、圓與圓位置關(guān)系的判斷方法1.(2016山東,7,5分)已知圓M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直線x+y=0所得線段的長度是22.則圓M與圓N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置關(guān)系是()A.內(nèi)切 B.相交C.外切 D.相離答案B2.(2018廣東深圳二模,7)已知點P(1,m)在橢圓x24+y2=1的外部,則直線y=2mx+3與圓x2+yA.相離 B.相交C.相切 D.相交或相切答案B3.(2019河南鄭州外國語中學(xué)調(diào)研,9)已知圓C1:(x+2a)2+y2=4和圓C2:x2+(y-b)2=1只有一條公切線,若a,b∈R且ab≠0,則1a2+A.2 B.4 C.8 D.9答案D方法2求解與圓有關(guān)的切線和弦長問題的方法1.(2019豫南九校聯(lián)考,9)已知直線l:x+ay-1=0(a∈R)是圓C:x2+y2-4x-2y+1=0的對稱軸,過點A(-4,a)作圓C的一條切線,切點為B,則|AB|=()A.2 B.42 C.6 D.210答案C2.(2020屆湖南長沙一中11月周考,20)已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=4,直線l1過定點A(1,0).(1)若l1與圓C相切,求l1的方程;(2)若l1與圓C相交于P,Q兩點,求三角形CPQ面積的最大值,并求此時直線l1的方程.答案(1)①若直線l1的斜率不存在,則直線l1:x=1,符合題意.②若直線l1的斜率存在,設(shè)直線l1的方程為y=k(x-1),即kx-y-k=0.由題意知,圓心(3,4)到直線l1的距離等于半徑2,即|3k-4-k|(2)直線l1與圓C相交,斜率必定存在,且不為0,設(shè)直線l1的方程為kx-y-k=0,則圓心C到直線l1的距離d=|2又∵△CPQ的面積S=12d×24-d2=d4-∴當(dāng)d=2時,S取得最大值2.∴d=|2k-故直線l1的方程為x-y-1=0或7x-y-7=0.方法3解決對稱問題的方法1.(2020屆云南玉溪一中10月月考,14)已知點P在直線l:3x-y-1=0上,A(4,1),B(0,4),則||PA|-|PB||的值最大時點P的坐標(biāo)為.

答案(2,5)2.(2020屆豫南、豫北精英對抗賽,14)已知△ABC的一個頂點A(2,-4),且∠B,∠C的平分線所在直線的方程分別為x+y-2=0,x-3y-6=0,則BC邊所在的直線方程為.

答案x+7y-6=03.一條光線經(jīng)過點P(2,3)射在直線l:x+y+1=0上,反射后經(jīng)過點Q(1,1),求:(1)入射光線所在直線的方程;(2)這條光線從P到Q所經(jīng)路線的長度.答案(1)設(shè)點Q'(x',y')為Q關(guān)于直線l的對稱點,QQ'交l于M點,∵kl=-1,∴kQQ'=1,∴QQ'所在直線的方程為y-1=1·(x-1),即x-y=0.由x+y∴交點M-1∴1+解得x'設(shè)入射光線與l交于點N,則P,N,Q'三點共線,又P(2,3),Q'(-2,-2),故入射光線所在直線的方程為y-(-2)即5x-4y+2=0.(2)|PN|+|NQ|=|PN|+|NQ'|=|PQ'|=[2-(-2故這條光線從P到Q所經(jīng)路線的長度為41.【五年高考】A組統(tǒng)一命題·課標(biāo)卷題組考點一點與直線、直線與直線的位置關(guān)系1.(2016課標(biāo)全國Ⅱ,6,5分)圓x2+y2-2x-8y+13=0的圓心到直線ax+y-1=0的距離為1,則a=()A.-43 B.-34 C.答案A2.(2015課標(biāo)Ⅱ,7,5分)過三點A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圓交y軸于M,N兩點,則|MN|=()A.26 B.8 C.46 D.10答案C考點二直線、圓的位置關(guān)系1.(2018課標(biāo)全國Ⅲ,8,5分)直線x+y+2=0分別與x軸,y軸交于A,B兩點,點P在圓(x-2)2+y2=2上,則△ABP面積的取值范圍是()A.[2,6] B.[4,8] C.[2,32] D.[22,32]答案A2.(2018課標(biāo)全國Ⅰ,15,5分)直線y=x+1與圓x2+y2+2y-3=0交于A,B兩點,則|AB|=.

答案223.(2016課標(biāo)全國Ⅲ,15,5分)已知直線l:x-3y+6=0與圓x2+y2=12交于A,B兩點,過A,B分別作l的垂線與x軸交于C,D兩點.則|CD|=.

答案44.(2017課標(biāo)全國Ⅲ,20,12分)在直角坐標(biāo)系xOy中,曲線y=x2+mx-2與x軸交于A,B兩點,點C的坐標(biāo)為(0,1).當(dāng)m變化時,解答下列問題:(1)能否出現(xiàn)AC⊥BC的情況?說明理由;(2)證明過A,B,C三點的圓在y軸上截得的弦長為定值.答案(1)不能出現(xiàn)AC⊥BC的情況,理由如下:設(shè)A(x1,0),B(x2,0),則x1,x2滿足x2+mx-2=0,所以x1x2=-2.又C的坐標(biāo)為(0,1),故AC的斜率與BC的斜率之積為-1x1·-(2)證明:BC的中點坐標(biāo)為x22,12,可得BC的中垂線方程為y-由(1)可得x1+x2=-m,所以AB的中垂線方程為x=-m2聯(lián)立x又x22+mx2所以過A,B,C三點的圓的圓心坐標(biāo)為-m半徑r=m2故圓在y軸上截得的弦長為2r2B組自主命題·省(區(qū)、市)卷題組1.(2015湖南,13,5分)若直線3x-4y+5=0與圓x2+y2=r2(r>0)相交于A,B兩點,且∠AOB=120°(O為坐標(biāo)原點),則r=.

答案22.(2018江蘇,12,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A為直線l:y=2x上在第一象限內(nèi)的點,B(5,0),以AB為直徑的圓C與直線l交于另一點D.若AB·CD=0,則點A的橫坐標(biāo)為.

答案3C組教師專用題組1.(2015安徽,8,5分)直線3x+4y=b與圓x2+y2-2x-2y+1=0相切,則b的值是()A.-2或12 B.2或-12 C.-2或-12 D.2或12答案D2.(2014北京,7,5分)已知圓C:(x-3)2+(y-4)2=1和兩點A(-m,0),B(m,0)(m>0).若圓C上存在點P,使得∠APB=90°,則m的最大值為()A.7 B.6 C.5 D.4答案B3.(2014浙江,5,5分)已知圓x2+y2+2x-2y+a=0截直線x+y+2=0所得弦的長度為4,則實數(shù)a的值是()A.-2 B.-4 C.-6 D.-8答案B4.(2014課標(biāo)Ⅱ,12,5分)設(shè)點M(x0,1),若在圓O:x2+y2=1上存在點N,使得∠OMN=45°,則x0的取值范圍是()A.[-1,1] B.-12,12 C.[-2答案A5.(2016課標(biāo)全國Ⅰ,15,5分)設(shè)直線y=x+2a與圓C:x2+y2-2ay-2=0相交于A,B兩點,若|AB|=23,則圓C的面積為.

答案4π6.(2015山東,13,5分)過點P(1,3)作圓x2+y2=1的兩條切線,切點分別為A,B,則PA·PB=.

答案37.(2015重慶,12,5分)若點P(1,2)在以坐標(biāo)原點為圓心的圓上,則該圓在點P處的切線方程為.

答案x+2y-5=08.(2014重慶,14,5分)已知直線x-y+a=0與圓心為C的圓x2+y2+2x-4y-4=0相交于A,B兩點,且AC⊥BC,則實數(shù)a的值為.

答案0或69.(2017江蘇,13,5分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,A(-12,0),B(0,6),點P在圓O:x2+y2=50上.若PA·PB≤20,則點P的橫坐標(biāo)的取值范圍是.

答案[-52,1]10.(2014課標(biāo)Ⅰ,20,12分)已知點P(2,2),圓C:x2+y2-8y=0,過點P的動直線l與圓C交于A,B兩點,線段AB的中點為M,O為坐標(biāo)原點.(1)求M的軌跡方程;(2)當(dāng)|OP|=|OM|時,求l的方程及△POM的面積.答案(1)圓C的方程可化為x2+(y-4)2=16,所以圓心為C(0,4),半徑為4.設(shè)M(x,y),則CM=(x,y-4),MP=(2-x,2-y).由題設(shè)知CM·MP=0,故x(2-x)+(y-4)(2-y)=0,即(x-1)2+(y-3)2=2.由于點P在圓C的內(nèi)部,所以M的軌跡方程是(x-1)2+(y-3)2=2.(2)由(1)可知M的軌跡是以點N(1,3)為圓心,2為半徑的圓.由于|OP|=|OM|,故O在線段PM的垂直平分線上,又P在圓N上,從而ON⊥PM.因為ON的斜率為3,所以l的斜率為-13,故l的方程為y=-13x+又|OM|=|OP|=22,O到l的距離為4105,|PM|=41011.(2011課標(biāo),20,12分)在平面直角坐標(biāo)系xOy中,曲線y=x2-6x+1與坐標(biāo)軸的交點都在圓C上.(1)求圓C的方程;(2)若圓C與直線x-y+a=0交于A,B兩點,且OA⊥OB,求a的值.答案(1)曲線y=x2-6x+1與y軸的交點為(0,1),與x軸的交點為(3+22,0),(3-22,0).故可設(shè)C的圓心為(3,t),則有32+(t-1)2=(22)2+t2,解得t=1.則圓C的半徑為32所以圓C的方程為(x-3)2+(y-1)2=9.(2)設(shè)A(x1,y1),B(x2,y2),其坐標(biāo)滿足方程組:x消去y,得到方程2x2+(2a-8)x+a2-2a+1=0.由已知可得,判別式Δ=56-16a-4a2>0.因此x1,2=(8-2a)±56-16a-由于OA⊥OB,可得x1x2+y1y2=0.又y1=x1+a,y2=x2+a,所以2x1x2+a(x1+x2)+a2=0.②由①,②得a=-1,滿足Δ>0,故a=-1.12.(2015課標(biāo)Ⅰ,20,12分)已知過點A(0,1)且斜率為k的直線l與圓C:(x-2)2+(y-3)2=1交于M,N兩點.(1)求k的取值范圍;(2)若OM·ON=12,其中O為坐標(biāo)原點,求|MN|.答案(1)由題設(shè),可知直線l的方程為y=kx+1.因為l與C交于兩點,所以|2解得4-73所以k的取值范圍為4-(2)設(shè)M(x1,y1),N(x2,y2).將y=kx+1代入方程(x-2)2+(y-3)2=1,整理得(1+k2)x2-4(1+k)x+7=0.所以x1+x2=4(1+k)1+k2OM·ON=x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+k(x1+x2)+1=4k由題設(shè)可得4k所以l的方程為y=x+1.故圓心C在l上,所以|MN|=2.(12分)13.(2019江蘇,18,16分)如圖,一個湖的邊界是圓心為O的圓,湖的一側(cè)有一條直線型公路l,湖上有橋AB(AB是圓O的直徑).規(guī)劃在公路l上選兩個點P,Q,并修建兩段直線型道路PB,QA,規(guī)劃要求:線段PB,QA上的所有點到點O的距離均不小于···(1)若道路PB與橋AB垂直,求道路PB的長;(2)在規(guī)劃要求下,P和Q中能否有一個點選在D處?并說明理由;(3)在規(guī)劃要求下,若道路PB和QA的長度均為d(單位:百米),求當(dāng)d最小時,P,Q兩點間的距離.答案本題主要考查三角函數(shù)的應(yīng)用、解方程、直線與圓等基礎(chǔ)知識,考查直觀想象和數(shù)學(xué)建模及運用數(shù)學(xué)知識分析和解決實際問題的能力.解法一:(1)過A作AE⊥BD,垂足為E.由已知條件得,四邊形ACDE為矩形,DE=BE=AC=6,AE=CD=8.因為PB⊥AB,所以cos∠PBD=sin∠ABE=810=4所以PB=BDcos∠PBD=因此道路PB的長為15(百米).(2)不能,理由如下:①若P在D處,由(1)可得E在圓上,則線段BE上的點(除B,E)到點O的距離均小于圓O的半徑,所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處,連接AD,由(1)知AD=AE從而cos∠BAD=AD2+A所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上,P和Q均不能選在D處.(3)先討論點P的位置.當(dāng)∠OBP<90°時,線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑,點P不符合規(guī)劃要求;當(dāng)∠OBP≥90°時,對線段PB上任意一點F,OF≥OB,即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑,點P符合規(guī)劃要求.設(shè)P1為l上一點,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此時P1D=P1Bsin∠P1BD=P1Bcos∠EBA=15×35當(dāng)∠OBP>90°時,在△PP1B中,PB>P1B=15.由上可知,d≥15.再討論點Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,點Q只有位于點C的右側(cè),才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時,CQ=QA2-AC綜上,當(dāng)PB⊥AB,點Q位于點C右側(cè),且CQ=321時,d最小,此時P,Q兩點間的距離PQ=PD+CD+CQ=17+321.因此,d最小時,P,Q兩點間的距離為(17+321)百米.解法二:(1)如圖,過O作OH⊥l,垂足為H.以O(shè)為坐標(biāo)原點,直線OH為y軸,建立平面直角坐標(biāo)系.因為BD=12,AC=6,所以O(shè)H=9,直線l的方程為y=9,點A,B的縱坐標(biāo)分別為3,-3.因為AB為圓O的直徑,AB=10,所以圓O的方程為x2+y2=25.從而A(4,3),B(-4,-3),直線AB的斜率為34因為PB⊥AB,所以直線PB的斜率為-43直線PB的方程為y=-43x-25所以P(-13,9),PB=(-13+4因此道路PB的長為15(百米).(2)①若P在D處,取線段BD上一點E(-4,0),則EO=4<5,所以P選在D處不滿足規(guī)劃要求.②若Q在D處,連接AD,由(1)知D(-4,9),又A(4,3),所以線段AD:y=-34在線段AD上取點M3,因為OM=32+15所以線段AD上存在點到點O的距離小于圓O的半徑.因此Q選在D處也不滿足規(guī)劃要求.綜上,P和Q均不能選在D處.(3)先討論點P的位置.當(dāng)∠OBP<90°時,線段PB上存在點到點O的距離小于圓O的半徑,點P不符合規(guī)劃要求;當(dāng)∠OBP≥90°時,對線段PB上任意一點F,OF≥OB,即線段PB上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑,點P符合規(guī)劃要求.設(shè)P1為l上一點,且P1B⊥AB,由(1)知,P1B=15,此時P1(-13,9);當(dāng)∠OBP>90°時,在△PP1B中,PB>P1B=15.由上可知,d≥15.再討論點Q的位置.由(2)知,要使得QA≥15,點Q只有位于點C的右側(cè),才能符合規(guī)劃要求.當(dāng)QA=15時,設(shè)Q(a,9),由AQ=(a得a=4+321,所以Q(4+321,9).此時,線段QA上所有點到點O的距離均不小于圓O的半徑.綜上,當(dāng)P(-13,9),Q(4+321,9)時,d最小,此時P,Q兩點間的距離PQ=4+321-(-13)=17+321.因此,d最小時,P,Q兩點間的距離為(17+321)百米.【三年模擬】時間:60分鐘分值:65分一、選擇題(每小題5分,共45分)1.(2020屆貴州遵義一中、凱里中學(xué)等六校10月聯(lián)考,7)已知直線l過點P(-2,0),當(dāng)直線l與圓x2+y2=2x有兩個交點時,其斜率k的取值范圍為()A.(-22,22) B.-C.(-2,2) D.-答案B2.(2020屆甘肅蘭州、張掖9月聯(lián)考,9)若直線x-my+m=0與圓(x-1)2+y2=1相交,且兩個交點位于坐標(biāo)平面上不同的象限,則m的取值范圍是()A.(0,1) B.(0,2) C.(-1,0) D.(-2,0)答案D3.(2018山西臨汾模擬,8)設(shè)直線l1:x-2y+1=0與直線l2:mx+y+3=0的交點為A,P,Q分別為l1,l2上的點,點M為PQ的中點,若|AM|=12A.2 B.-2 C.3 D.-3答案A4.(2020屆安徽合肥調(diào)研,5)過三點A(1,3),B(4,2),C(1,-7)的圓截直線x+ay+2=0所得弦長的最小值等于()A.23 B.43 C.13 D.213答案B5.(2019廣東天河一模,10)已知圓C的方程為x2-2x+y2=0,直線l:kx-y+2-2k=0與圓C交于A,B兩點,則當(dāng)△ABC面積最大時,直線l的斜率k為()A.1 B.6 C.1或7 D.2或6答案C6.(2020屆江西南昌三校10月聯(lián)考,7)若直線y=k(x-2)+4與曲線y=4-A.[1,+∞) B.-C.34答案C7.(2019廣西柳州模擬,10)已知點M是拋物線y2=2x上的動點,以點M為圓心的圓被y軸截得的弦長為8,則該圓被x軸截得的弦長的最小值為()A.10 B.43C.8 D.215答案D8.(2020屆豫北六校第三次聯(lián)考,8)已知直線y=x+m和圓x2+y2=1交于A,B兩點,O為坐標(biāo)原點,若AO·AB=32A.±1 B.±32 C.±22答案C9.(2019河南天一大聯(lián)考診斷卷A,11)過點A(0,a)作傾斜角為銳角的直