中考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)策略（全國通用）12 相似三角形中的“手拉手”旋轉(zhuǎn)型

第12講相似三角形中的“手拉手”旋轉(zhuǎn)型

【應(yīng)對方法與策略】

模型展示：

如圖，若AABCsAADE,則AA8OS∕?ACE.

【多題一解】

一、單選題

I.（2020?四川眉山?統(tǒng)考中考真題）如圖，正方形ABC。中，點尸是BC邊上一點，連接AF,以4尸為對

角線作正方形A￡FG,邊FG與正方形ABa）的對角線AC相交于點H,連接Z）G.以下四個結(jié)論：

?ZEAB=ZGAD;?AAFC-AAGDi③ZA^=AH-AC;@DGrAC.其中正確的個數(shù)為（）

C.3個D.4個

【答案】D

【分析】①四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，ZEAB./GAD與/BAG的和均為90。，即可證

ΔΓ,Ap

明NEAB與NGAD相等；②由題意易得AD=DC,AG=FG,進而可得一■=—，ZDAG=ZCAF,然后

ADAG

4/7AΓ

問題可證；③由四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，可求證△HAFs∕?FAC,則有F=F,然

AHAF

后根據(jù)等量關(guān)系可求解；④由②及題意知NADG=NACF=45。，則問題可求證.

【詳解】解：①Y四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形

ΛZEAG=ZBAD=90o

又?.?∕EAB=90°-∕BAG,ZGAD=90o-ZBAG

.?.ZEAB=ZGAD

.?.①正確

②：四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形

二AD=DC,AG=FG

ΛAC=√2AD,AF=√2AG

：4=￠,竺=&

ADAG

口門ACAF

ADAG

又YZDAG+ZGAC=ZFAC+ZGAC

.?.ZDAG=ZCAF

???ΔA/CSA4G。

???②正確

③丁四邊形AEFG和四邊形ABCD均為正方形，AF、AC為對角線

NAFH=NACF=45。

XVZFAH=ZCAF

Λ?HAF^?FAC

.af_AC

即AF2=AGAH

又YAF=夜AE

2AE2=AHAC

，③正確

④由②知ΔAFC<^ΔAGD

又Y四邊形ABCD為正方形，AC為對角線

，∕ADG=∕ACF=45°

.?.DG在正方形另外一條對角線上

ΛDGIAC

???④正確

故選：D.

【點睛】本題主要考查相似三角形的判定與性質(zhì)綜合運用，同時利用到正方形相關(guān)性質(zhì)，解題關(guān)鍵在于找

到需要的相似三角形進而證明.

二、填空題

2.（2021.四川成都?統(tǒng)考二模）如圖，在一個12X13的網(wǎng)格中，點。,4B都在格點上，Q4=A8=8,點P

是線段AB上的一個動點，連接OP,將線段OA沿直線。尸進行翻折，點A落在點C處，連接BC,以BC

為斜邊在直線BC的左側(cè)（或下方）構(gòu)造等腰直角三角形BDC,則點尸從A運動到8的過程中，線段BC

的長的最小值為,線段8。所掃過的區(qū)域內(nèi)的格點的個數(shù)為（不包含所掃過的區(qū)域邊界上的

【答案】8√2-84

【分析】根據(jù)OB-OC≤3C僅當C在。8上時等號成立，由折疊性質(zhì)可知OA=OC,從而求出BC的最小

值；再證明∕?ADB,而且相似比為0：1,從而得出點。在以乎。A為半徑的圓弧4.上運

D0

'：（M=AB=8,ZOAB=90°

?'?OB=-JOA2+AB2=8√2>

又?.?OB-OC≤BC僅當C在。8上時等號成立，

.?.BC的最小值=OB-OC,

XVOC=OA=S,

,BC的最小值=O8-OC=8&-8，

Y一OAB和.一如C均為等腰直角三角形，

ΛZOBA=ZCBD=45°,—=—=√2,

ABBD

又?.?ZOBA=ZABC+NOBC,ZDBC=ZΛBC+ZABD,

ZOBC=ZABD,

：.∕?OCBAADB,

.OCBCrτRy/2八八/—

??——=r=λ∕2,即nAD=—OC=4√2,

ADBD2

,如圖：點。在以孝。A為半徑的圓弧AR上運動，當點P與點A重合時，點。在4處，當點尸與點B

重合時，點。在2處，

.?.線段8。所掃過的區(qū)域內(nèi)的格點的個數(shù)為（不包含所掃過的區(qū)域邊界上的點）4個.

故答案為：8√2-8.4.

【點睛】本題主要考查了對稱變換和旋轉(zhuǎn)相似，解題關(guān)鍵是通過旋轉(zhuǎn)相似證明A。="OC=40,從而

2

得出點。在以立OA為半徑的圓弧AR上運動，再根據(jù)畫圖得出結(jié)論.

201

三、解答題

3.（2022春?九年級課時練習(xí)）在同一平面內(nèi)，如圖①，將兩個全等的等腰直角三角形擺放在一起，點A

為公共頂點，Zfi4C=ZAED=90°.如圖②，若AABC固定不動，把△AOE繞點A逆時針旋轉(zhuǎn)，使AC、

AE與邊BC的交點分別為M、N點M不與點B重合，點N不與點C重合I.

【探究】求證：ABANSACMA.

【應(yīng)用】已知等腰直角三角形的斜邊長為4.

(I)BN?CM的值為

⑵若BM=CN,則MN的長為.

【答案】（1）8

⑵4應(yīng)-4

【探究】利用三角形外角的性質(zhì)可證NWN=NAMC,又由NB=NC=45。，可證明結(jié)論；

【應(yīng)用】（1）首先求出等腰直角三角形的直角邊長，再由△及WS得絆=述，則

2√2CM

BN?CM=8；

（2）由BM=CN,得BN=CM,由（1）知BN?CM=8,得BN=CM=26,從而得出答案.

【詳解】（1）；AABC為等腰直角三角形，NBAC=90。，

二NB=NC=45°,同理，/ZME=45°,

,.?ABAN=ZBAM+ZDAE=ZBAM+45°,

ZAMC=NBAM+ZB=ZBAM+45°,

ZBAN=ZAMC,/.ΛBAN<^ΛCMA；

（2）（1）；等腰直角三角形的斜邊長為4,

?AB=AC=2√2,■/ABANSACMA,

.BNBA?BN2√2

：.BNCM=8,

"AC~CM'"2J2~^CM

故答案為：8；

（2）'：BM=CN,：.BN=CM,〈BNcM=8,

BN=CM=2√2，；.MN=BN+CM-BC=4叵-4，

故答案為：4√2-4?

【點睛】本題是相似形綜合題，主要考查了等腰直角三角形的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)，利用前面

探索的結(jié)論解決新的問題是解題的關(guān)鍵.

4.（2022秋.全國.九年級專題練習(xí)）【問題發(fā)現(xiàn)】如圖1,在心AABC中，ZBAC=90o,AB=AC,/）為斜

邊BC上一點（不與點8,C重合），將線段AO繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90。得到AE,連接EC,則線段BO與

CE的數(shù)量關(guān)系是,位置關(guān)系是；

【探究證明】如圖2,在放AABC和RfAAQE中，/BAC=NOAE=90。，AB=AC,AD=AE,W?ADE

繞點A旋轉(zhuǎn)，當點C,D,E在同一條直線上時，8。與CE具有怎樣的位置關(guān)系，說明理由；

【拓展延伸】如圖3,在Rf△8C。中，/88=90。，BC=2CD=4,過點C作CA_LBD于A.將繞

點A順時針旋轉(zhuǎn)，點C的對應(yīng)點為點E.設(shè)旋轉(zhuǎn)角NCAE為a（00<?<360o）,當C,D,E在同一條直

線上時，畫出圖形，并求出線段BE的長度.

【答案】BD=CE,BDLCE；BDLCE,理由見解析；圖見解析，y

【分析】(1)證明ABAD絲ZXCAE,根據(jù)全等三角形的性質(zhì)解答；

(2)連接BD,根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)以及垂直的定義即可得到結(jié)論；

(3)如圖3,過A作AF_LEC,根據(jù)相似三角形的判定和性質(zhì)以及勾股定理即可得到結(jié)論.

【詳解】解：(1)BD=CE,BDLCE；

(2)BDYCE.理由如下：在RfAABC和RrAAOE中，AB=AC,AD=AE,ZAEC=45o,"：ZCAB^

ZDAE=9Q°,ΛZBAD^ZCAE,.?^CEA^∕?BDA,

NBOA=N4EC=45°,.,.NBDE=ZBDA+ZADE=90o,：.BD1.CE.

(3)如圖所示，過點A作AFLCE,垂足為點F.

根據(jù)題意可知，RtAABCSR小AED,ZBAC=ZEAD,

.ABAC.AB_AE

''~AE~~AD,*,ΛC^AD'

"：ZBAC=ZEAD=90o,：.ΛBAE=ACAD,：.XBAESi?CAD,

：.NBEA=NCDA,ZBEC+ZDEA=ZDEA+90°,

ΛZBEC=90o,：.BElCE.

在旋轉(zhuǎn)前，在RfABCD中，ZBCD=90o,BC=2CD=,

?'?BD=?∣BC2+CD2=2√5>'-ACA-BD,

114

?SBCD=-BD?AC=-BD-AC,：.AC=忑.

.?.AD=√CD2-AC2=

【點睛】本題是幾何變換綜合題，考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，勾股定

理，等腰三角形的性質(zhì)等知識點，關(guān)鍵是添加恰當輔助線.

5.（2021.山東威海.統(tǒng)考模擬預(yù)測）發(fā)現(xiàn)規(guī)律

（1）如圖①，z?A3C與△4。E都是等邊三角形，直線8D,CE交于點E直線30,AC交于點H.求

/BFC的度數(shù).

（2）已知：AABC與AAOE的位置如圖②所示，直線8。，CE交于點F.直線BD,AC交于點H.若

NABC=NAOE=α,ZACβ=ZAED=β,求/BFC的度數(shù).

應(yīng)用結(jié)論

（3）如圖③，在平面直角坐標系中，點。的坐標為（0,0）,點M的坐標為（3,0）,N為y軸上一動

點，連接MM將線段MN繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段MK,連接NK,OK.求線段OK長度的最小

值.

【分析】(I)由“SAS'可證△BAO0aC4E,可得N4BO=NACE,由三角形內(nèi)角和定理可求解；

ΔΩΛΓ,

(2)通過證明△A8CS∕?ADE,可得NBAC=NZME——=——,n?ffi?ΛBD^ΔACE,可得NABD=

ADAE

ZACE,由外角性質(zhì)可得NB尸C=NzMC,由三角形內(nèi)角和定理可求解；

(3)由旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)可得△MNK是等邊三角形，可得MK=MN=NK,/NMK=/NKM=NKNM=60。,如

圖③，將△MOK繞點M順時針旋轉(zhuǎn)60。，得到AMQM連接00,可得NOM。=60。，OK=NQ,Mo=

MQ,則當NQ為最小值時，OK有最小值，由垂線段最短可得當0N,y軸時，NQ有最小值，由直角三角

形的性質(zhì)可求解.

【詳解】解：(1)如圖①，

V?ABC,AACE是等邊三角形，

：.AB=AC,AD=AE,ZBAC=ZDAE=60o,

：.ABAD=ACAE,

.?ΛBAD^ΛCAE(SAS),

二NABD=∕ACE,

,：ZA8IJ+ZFBC=ZABC=60°,

：.ZACE+ZFBC=60°,

ZBFC=180o-ZFBC-ZACE-NACB=60。；

(2)如圖②，

?：/ABC=NADE=a,/ACB=∕AEO=∣3,

二XABCsMADE,

.?NBAC=ZDAE,

AD~AE

AB_AD

：.ZBAD=ZCAE

fΛC^AE

：.∕?ABD^∕?ACE,

：.NABD=NACE,

?/NBHC=ZABD+ZBAC=NBFC+NACE,

；.NBFC=NBAC,

?.βZBAC+ZABC+ZACB=?S0o,

：.ZBFC+α+β=180o,

ΛZ5FC=180o-a-β;

(3)Y將線段MV繞點M逆時針旋轉(zhuǎn)60。得到線段MK,

：?MN=MK,NNMK=60。,

???△MNK是等邊三角形，

ZMK=MN=NK,NNMK=NNKM=/KNM=60。,

如圖③，將aMOK繞點M順時針旋轉(zhuǎn)60。，得到AMQV,連接。。,

,OK=NQ,MO=MQ,

C.∕?MOQ是等邊三角形，

.?.NQOM=60。，

，NNoQ=30。，

??OK=NQ,

???當NQ為最小值時，OK有最小值，

由垂線段最短可得：當QNLy軸時，N。有最小值,

此時，QN_Ly軸，ZNOQ=SOo,

???NQ='OQ=}

.?.線段OK長度的最小值為∣?

【點睛】本題是幾何變換綜合題型，主要考查了等邊三角形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，相

似三角形的判定和性質(zhì)，旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理等知識點，靈活的運用相關(guān)的性質(zhì)進行證明推理

是解題的關(guān)鍵.

6.（2021秋?四川成都?九年級成都實外?？计谥校┤鐖D1,已知點G在正方形4BC3的對角線AC上，

GELBC,垂足為點E,GFVCD,垂足為點F.

（1）證明：四邊形CEG尸是正方形；

（2）探究與證明：將正方形CEG尸繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)α角（0。<01<45。），如圖2所示，試探究線段

AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）拓展與運用：正方形CEGF繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)a角（（TVaV45。），如圖3所示，當8,E,F三

點在一條直線上時，延長CG交AO于點H,若AG=9,G∕∕=3√2.求BC的長.

【答案】（1）答案見解析；（2）AG=√2BEi理由見解析；（3）BC=當.

【分析】（1）先說明GE_LBC、GFLCD,再結(jié)合NBCD=90?？勺C四邊形CEGF是矩形，再由NECG=45。

即可證明;

（2）連接CG,證明AACGS∕?BCE,再應(yīng)用相似三角形的性質(zhì)解答即可;

(3)先證△4”GSZ?C∕∕A可得==,設(shè)BC=CD=AO=a,則AC=a,

ACAHCH

求出DH=；a,C"=羋。最后代入即可求得a的值.

???

【詳解】（1）???四邊形ABC。是正方形,

ΛZBCD=90o,ZBCA=45°,

VGELBC.GF工CD,

：?NCEG=/CFG=NECF=90。,

.?.四邊形CEGF是矩形，ZCGE=ZECG=45°,

：.EG=EC,

.?.四邊形CEG尸是正方形.

(2)結(jié)論：AG=無BE；

理由：連接CG,

由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知NBCE=N4CG=α,

在RmCEG和RtACBA中,

烏=CoS45。=變，

CG2

0=c°s45。=也，

CA2

.CGCA-

?.—=—=√fz,

CECB

：.XACGsXBCE,

.??空=&0

BECB

???線段AG與BE之間的數(shù)量關(guān)系為AG=√2BE；

(3)?.?∕CEF=45°,點、B、E、尸三點共線，

ΛZBEC=135°,

?：AACGs/XBCE,

：.ZAGC=NBEC=I35。,

O

???ZAGH=ZCAH=459

U

?ZCHA=ZAHG9

：.∕?AHG^∕?CHAf

.AGGHAH

*'AC-Λ∕7-c∕7,

設(shè)BC=CD=AD=af則AC=Ca，

,AGGH93√2

由就二而‘得zb樂=下’

2

：.AH=-a,

貝IJDH=AD-AH=?ɑ,CH=y∣CD2+DH2=萼〃，

2

.AGAH,≈?,丁

..就=而’得&r而，

------a

3

解得：α=%回，BpBC=.

22

【點睛】本題屬于四邊形綜合題，主要考查相似形的判定和性質(zhì)、正方形的性質(zhì)等知識點，解題的關(guān)鍵是

正確尋找相似三角形解決問題并利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題.

7.（2022春?九年級課時練習(xí)）觀察猜想

M

圖1

（1）如圖1,在等邊ABC中，點M是邊BC上任意一點（不含端點3、C）,連接40,以A〃為邊作等邊

一AMN,連接CN,則-ABC與ZACN的數(shù)量關(guān)系是

⑵類比探究

如圖2,在等邊.ABC中，點M是BC延長線上任意一點（不含端點C）,（1）中其它條件不變，（1）中結(jié)

論還成立嗎？請說明理由.

（3）拓展延伸

如圖3,在等腰BC中，84=8C,點M是邊BC上任意一點（不含端點B、C）,連接AM,以AM為

邊作等腰..AMN,使頂角NAMN=NABC.連按CN.試探究/A8C與NACN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由.

【答案】（I）NABC=ZAaV

（2）NABC=NACN成立

（3）ZABC=ZACN

【分析】（1）利用SAS可證明afiAM=Z?C4N,繼而得出結(jié)論；

（2）也可以通過證明A84"三Z?C4N,得出結(jié)論，和（1）的思路完全一樣.

(3)首先得出/BAC=NM4N,從而判定A4BCSΔW,得到?一~?="—,根據(jù)ZBAM=ZBAC-ZM4C,

AΛAMAN

∕CAN=ZMAN-AMAC,得到NBA"=NC4N,從而判定Z?β4"sz^αvv,得出結(jié)論.

【詳解】(1)證明：一AfiC、一AAW是等邊三角形，

/.AB=ACtAM=AN,ZBAC=ZAWV=60°,

.?.ZBAM=NGW,

在.BAM和Z?C4N中，

AB=AC

<NBAM=ZCAN,

AM=AN

:.BAM=CAN(SAS),

ZABC=ZACN.

(2)解：結(jié)論ZABC=NACN仍成立；

理由如下：一ABC、.AMN是等邊三角形，

.'.AB=ACfAM=AN1ZBAC=ZM4^=60。，

s.ZBAM=ACAN,

在84"和4C4N中，

AB=AC

<NBAM=NCAN,

AM=AN

BAM^.CAN(SAS),

:.AABC=AACN.

(3)解：ZABC=ZACN;

理由如下：=BA=BC,MA=MN,

.ABAM

??前一訪‘

又丁ZABC=ZAMN,

.?.?ABCs?AMN,

J/BAC=ZMAN,

.ABAM

"AC^A/V,

又二ZBAM=ZBAC-ZMAC,ACAN=ZMAN-AMACi

.?.ZBAM=ZOW,

.?.∕?BAM^?CAN,

.?.ZABC=ZACN.

【點睛】本題是三角形綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，解答本題的

關(guān)鍵是仔細觀察圖形，找到全等（相似）的條件，利用全等（相似）的性質(zhì)證明結(jié)論.

8.（2022秋?山東荷澤?九年級統(tǒng)考期中）某校數(shù)學(xué)活動小組探究了如下數(shù)學(xué)問題：

-Q

B'P7

圖I圖2

（1）問題發(fā)現(xiàn)：如圖1,.ABC中，NBAC=90。，A3=4C.點P是底邊BC上一點，連接AP,以AP為腰

作等腰RtZ?4PQ,且NPAQ=90。，連接CQ、則3P和CQ的數(shù)量關(guān)系是；

（2）變式探究：如圖2,二ABC中，ZSAC90o,Λfi=AC.點P是腰AB上一點，連接CH以CP為底邊

作等腰RtACPQ,連接AQ,判斷BP和AQ的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（3）問題解決：如圖3,在正方形ABCO中，點P是邊8C上一點，以。P為邊作正方形Z）PEF,點Q是正

方形。PEF兩條對角線的交點，連接CQ.若正方形。PEF的邊長為麗，CQ=√2,求正方形ABCZ）的

邊長.

【答案】（1）8P=CQ

Q）BP=五AQ

（3）3

【分析】（1）根據(jù)已知條件利用邊角邊證明ABP^ACQ,再利用全等三角形的性質(zhì)即可得到BP和CQ

的數(shù)量關(guān)系；

（2）根據(jù)任意等腰直角三角形的直角邊與斜邊的比是相等的，利用兩邊長比例且夾角相等的判定定理證

明XCBPSXCAQ,之后再由相似三角形對應(yīng)邊成比例即可得到BP和AQ的數(shù)量關(guān)系；

（3）連接BQ,如圖（見詳解），先由正方形的性質(zhì)判斷出43CD和APQD都是等腰直角三角形，再利用

與第二問同樣的方法證出aBDPsacZ）Q,由對應(yīng)邊成比例，依據(jù)相似比求出線段8P的長，接著設(shè)正方

形ABCD的邊長為X,運用勾股定理列出方程即可求得答案.

【詳解】（1）解：YZVlPQ是等腰直角三角形，NPAQ=90°,

在JLBC中，NBAC=90。，AB=AC9

：.AP=AQ,ZBAP+ZPAC=ZCAQ+ZPAC,

???ZBAP=ZCAQ,

AB=AC

在二ABP和iACQ中，</BAP=/CAQ,

AP=AQ

：.∕?ABP^ΛACQ(SAS),

??.BP=CQ-

(2)解：判斷3P=√∑4Q,理由如下:

??丁C。。是等腰直角三角形，ABC中，NBAC=90。,AB=AC,

:,絲=也=顯,NACB=NQCP=45。.

PCBC2

?.?ZBCP+ZACP=ZACQ+ZACP=45°,

.?.ZBCP=ZACQf

XCBPSXCNQ,

.QCACAQ√2

??----=-----=-----=—,

PCBCBP2

.,.BP=y∕2AQ；

(3)解：連接3￡>,如圖所示，

X,--------

,z7?

/131?/

Bp(

E

：四邊形ABC。與四邊形DPEF是正方形，DE與PF交于點Q,

.?.ABCO和APQO都是等腰直角三角形，

...變=型=gNBDC=NPDQ=45°.

PDBD2

?/NBDP+NPDC=Z.CDQ+APDC=45°,

.*.NBDP=NCDQ,

：.?BDP^ΛCDQ,

.QDCDCQ42

"~PD~~BD~^P~^Γ'

'：CQ=-Jl,

：.BP=yf2CQ=2.

在Rt2?PCf>中，CD1+CP1=DP2,設(shè)CL>=x,則CP=X-2,

又?.?正方形DPEF的邊長為√10,

.?.DP=屈,

.?.X2+(X-2)2=(√1O)2,

解得Xl=T（舍去），*2=3.

二正方形ABC。的邊長為3.

【點睛】本題是一道幾何綜合題，考查了全等三角形，相似三角形的判定和性質(zhì)，以及正方形和等腰三角

形的性質(zhì)，正確識圖并能熟練地掌握幾何圖形的性質(zhì)與判定定理進行證明是解題的關(guān)鍵.

9.（2021.遼寧朝陽?統(tǒng)考中考真題）如圖，在RfliABC中，AC=BC,NACB=90。，點O在線段A8上（點

。不與點48重合），且。B=AOA,點M是AC延長線上的一點，作射線OM,將射線OM繞點。逆時

針旋轉(zhuǎn)90。，交射線CB于點M

（1）如圖1,當火=I時，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；

（2）如圖2,當Z>l時，判斷線段OM與ON的數(shù)量關(guān)系（用含左的式子表示），并證明；

（3）點P在射線BC上，若NBON=I5。,PN=kAM（?≠1）,且要〈且二1,請直接寫出發(fā)的值（用

AC2XC

圖1圖2備用圖

【答案】（1）OM=ON,見解析；（2）ON=k?OM,見解析；（3）工=L

PCk-↑

【分析】（1）作0￡>_LAM,OElBC,證明AOOM絲Z?EON;

(2)作。。_LAM,OEl.BC,證明△OOMS△EOM

(3)設(shè)AC=BC=m解期△￡?N和斜4AOM,用含的代數(shù)式分別表示NGPM再利用比例的性質(zhì)可

得答案.

【詳解】解：(1)OM=ON,如圖1,

圖1

作0。_LAMTD,OEJ_CB于E,

：./ADO=/MDo=/CEO=NOEN=96°,

.?ZDOE=90o,

VAC=BC,NACB=90。，

???NA=NABC=45。，

在白△AOO中，

匹

OD=OA.sinZA=-OA,

2

∕τ

同理：OE=旺0B,

2

YOA=OB,

OD=OE,

φ.?ZDOE=90°,

???ZDOM+NMoE=90。,

?/NMoN=90。，

,ZEON+NMoE=90。，

工NDOM=ZEON9

在RtADOM和R3EON中,

ZMDO=ZNEO

OD=OE,

ZDOM=/EON

：ADOM義AEON(ASA),

???OM=ON.

(2)如圖2,

圖2

作OQJ于O,OEVBCE.

∕τ歷

由(1)知：OD=0A,OE=旺0B,

22

.ODOA

^~OE~~δB~~k1

由(1)知:

ZDOM=ZEONf∕MDO=NNEO=900,

：?叢DOMS叢EON,

.OMODl

^~0N~~δE~~ki

ION=k?OM.

(3)如圖3,

設(shè)AC=BC=

.?AB=√2。，

?.,0B=b0A,

??

：?0B=W---aOA=√2?-~~-a,

?+lk9+?

歷k

：.OE=-OB=——α,

2k+?

VZN=ZABC-ZBON=45o-15o=30o,

OEk

：?EN=--------=√3OE=√3?------a,

tanNN?÷1

?.φCE=OD=包OA=?a,

2k+l

1k

：?NC=CE+EN=——tz+√3?——m

k+??+l

由(2)知：卜DOMSXEON,

ONOBk

：.NAMo=NN=30。

AM_1

?PN"％，

.OMAM

**OΛF-PΛF,

：ZONSXNOM、

ΛZP=ZA=45o,

LPE=OE=La,

Λ+l

IPN=PE+EN=工a+6工期

k+1k+1

設(shè)Af>=0D=x,

??DM=?χ∕3x,

由AD+OM=4C+CM得，

(G+1)x=AC+CMf

.?.X=2^∑1(AC+CM)<^∕L∑1(AC+-^≤AC)=；AC,

2222

：.k>l

],Gk

.NC.ΓMα+73ΓΓiα1÷√3?

??PN?^v??ɑk+6k'

k+1k+?

.PN_PC+NC_PC?.k+Ek

一而一NC一而+一I+瓜'

?PCI

"NC~l+y∣3k'

.NCl+√3?

??---=------.

PCk-?

【點睛】本題考查了三角形全等和相似，以及解直角三角形，解決問題的關(guān)鍵是作OO?LAC,OE1BC；

本題的難點是條件要<與得出k>?.

ACZZ

10.（2022春?九年級課時練習(xí)）一次小組合作探究課上，老師將兩個正方形按如圖所示的位置擺放（點

E、4、。在同一條直線上），發(fā)現(xiàn)BE=。G且BE工。G.

小組討論后，提出了下列三個問題，請你幫助解答：

（1）將正方形AEFG繞點A按逆時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖1）,還能得到BE=Z）G嗎？若能，請給出證明，請

說明理由；

（2）把背景中的正方形分別改成菱形AEFG和菱形438,將菱形WG繞點4按順時針方向旋轉(zhuǎn)（如圖

2）,試問當NEAG與/84￡）的大小滿足怎樣的關(guān)系時，BE=DGi

ApΔΩ2

（3）把背景中的正方形分別改寫成矩形AMG和矩形ABCD,S-=-=-,AE=2a,AB=2h（如

AGAD

圖3）,連接OE,BG.試求￡>e+8行的值（用“，b表示）.

【答案】（1）見解析；（2）當∕E4G=∕8AO時?，BE=DG,理由見解析；（3）13∕+13Z√.

【分析】（1）由正方形的性質(zhì)得出AE=AG,ZMG=90o,AB=AD,ZBAD=90°,得出

NEAB=NGAD,則可證明AAEB絲AAGO（SlS）,從而可得出結(jié)論；

（2）由菱形的性質(zhì)得出AE=AG,AB^AD,則可證明AAEB絲Z?AGf>（S4S）,由全等三角形的性質(zhì)可

得出結(jié)論；

（3）設(shè)8E與DG交于Q,BE與AG交于點、P,證明得出/EBA=NGDA,得出

GDLEB,連接EG,BD,由勾股定理可求出答案.

【詳解】（1）；四邊形AEFG為正方形，

ΛAE=AG,ZEAG=90°,

又Y四邊形ABC。為正方形，

ΛAB=AD,∕BAD=90°,

二NEAG-ZBAG=ZBAD-NBAG

ZEAB^ZGAD,

在△4EB和AAGO中，

AE=AG

"NEAB=ZGAD,

AB=AD

????AEB^AAGD(S4S),

：?BE=DG;

(2)當NE4G=NB4O時，BE=DG,

理由如下：

?：ZEAG=ZBADt

：?ZEAG+ZBAG=ZBAD+ZBAG

：.NEAB=NGAD,

又「四邊形A所G和四邊形ABCQ均為菱形,

ΛAE=AGfAB=AD9

在AAEB和AAGD中，

AE=AG

</EAB=NGAD,

AB=AD

：.AAEBQAAGD(SAS),

：?BE=DG;

(3)設(shè)魴與QG交于Q,BE與AG交于點、P,

由題意知，AE=2a,

ΛΓΛβO

?：—=—=一，AEAB=ZGDA=90°+ZGAB

AGAD3f

：?ΛEAB^ΛGAD,

：?/EBA=/GDA,

?.,ZADB+ZABD=NGDA+NQDB+ZABD=90°,

.??∕QDB"QBD=NEBA+NQDB+ZABD=90°,

：.GDIEBf

連接EG,BD,

：?ED1+GB1

=EQ2+QD2+GQ2+QB2

=EG2+BD2,

V—=—=-,AE=2a,AB=2b,

AGAD3

.?.AG=3α,AD=3b,

在MAE4G中，由勾股定理得：EG2=AE2+AG2,同理βθ?=^^+仞?，

?*.ED1+GB2

=(2a)2+(3ɑ)2+(2?)2+(3?)2

=13a2+13b2.

【點睛】本題考查了矩形、菱形、正方形的性質(zhì)，三角形全等的判定與性質(zhì)，三角形相似的判定與性質(zhì)，

勾股定理等知識，熟練掌握特殊平行四邊形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵.由(3)可得結(jié)論：當四邊形的對角線相互

垂直時，四邊形兩組對邊的平方和相等.

11.(2022秋?全國?九年級專題練習(xí))在AABC中，AB=AC,ZBAC=a,點P是AABC外一點，連接

BP,將線段BP繞點尸逆時針旋轉(zhuǎn)α得到線段PD,連接BZ),CD,AP.

觀察猜想：

(1)如圖1,當α=60。時，F(xiàn)的值為，直線CQ與AP所成的較小角的度數(shù)為°；

AP

類比探究：

(2)如圖2,當α=90。時，求出WCD的值及直線CQ與AP所成的較小角的度數(shù)；

AP

拓展應(yīng)用：

(3)如圖3,當α=90。時，點E,尸分別為A8,AC的中點，點P在線段FE的延長線上，點A,O,P三

點在一條直線上，BD交PF于點G,CD交AB于點、H.若CD=2+母,求80的長.

【答案】(1)1,60：(2)2=6直線CQ與AP所成的較小角的度數(shù)為45。：(3)BD=母.

【分析】(1)根據(jù)α=60。時，AABC是等邊三角形，再證明△PBA絲4DBC,即可求解，再得到直線Cz)

與AP所成的度數(shù)；

(2)根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)證明APBAsaDBC,再得到Z=黑，再根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出

APAB

直線CD與AP所成的度數(shù)；

(3)延長C4,8。相交于點K,根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)及中位線定理證得NBCZ)=NK8,

由(2)的結(jié)論求出AP的長，再利用在RfAPBO中，設(shè)PB=PD=X,由勾股定理可得BD=0x=4O,

再列出方程即可求出X,故可得到BD的長.

【詳解】(1)Va=60o,AB=AC,

,△ABC是等邊三角形，

.'.AB=CB

Y將線段BP繞點P逆時針旋轉(zhuǎn)a得到線段PD,

.?.△8Z)P是等邊三角形，

：.BP=BD

'：NPBA=NPBD-∕ABD=60°-NABD,ZDBC^ZABC-ZABD=60o-ZAβD,

：./PBA=NDBC

：./\PBA沿ADBC,

：.AP^CD

.CD

??—=1

AP

如圖，延長CO交A8,Ap分別于點G,H,則NA"C為直線CO與AP所成的較小角，

9：∕?PBA^ΔDBC

：.ZPAB=ZDCB

?.,ZHGA=ZBGC

：.ZAHC=ZABC=60°

故答案為：1,60；

A

(2)解：如圖，延長CO交AB,A尸分別于點M,M則/4NC為直線CO與AP所成的較小角,

?9AB=AC,ZBAC=90o,

???ZABC=45o.

Λn6

在RtSABC中,—7—cosZABC=cos45o=——.

BC2

?：PB=PD,NBPD=90°,

；?NPBD=∕PDB=45°.

PBF)

在RtLPBD中,----=cosZPBD=cos45°=——

BD2

噌磊,NABC=NPBD.

：.ZABC-NABD=NPBD-ZABD.

即∕P8A=∕Z)8C.

：APBASADBC.

/.—=—=√2,ΛPAB=ADCB.

APAB7

?/ZAMN=ZCMBf：.ZANC=NABC=45。.

c∏

即關(guān)=正，直線C。與AP所成的較小角的度數(shù)為45。.

AP

(3)延長CA,BO相交于點K,如圖.

Bl

VZAPB=90°,E為AB的中點，：.EP=EA=EB.

：.AEAP=ZEPA,ZEBP=ZEPB.

Y點EF為AB,AC的中點，

：,PFHBC.

：.ZAFP=ZACB=ZPBD=45o.

?/NBGP=NFGK,

：.NBPE=NK.

:?NK=∕EBP,

9

：ZEBP=ZPEBfZPEB=ZDBC9

：.ZK=ZCBD.

：.CB=CK.

：./BCD=ZKCD.

由(2)知NAoC=NPZ)8=45。，△PBA^ΛDBC9

：.ΛPAB=ZDCB.

：.ZBDC=180。一45。-45。=90。=NBAC.

*：∕BHD=∕CHA,

：.ZDBA=ZDCA.

：.ZDBA=ZPAB.

：.AD=BD.

由⑵知DC=?AP,

,3=箸*"

在RfAPBD中,PB=PD=X,由勾股定理可得BD=y∣p[f+PD?=6x=AD.

.,.AD+PD=x+x=AP=?+√2?

?'?%=1.

：.BD=42.

【點睛】此題主要考查四邊形綜合，解題的關(guān)鍵熟知旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形

的判定與性質(zhì)及解直角三角形的方法.

12.(2020?江蘇鹽城??？家荒?如圖1,若點P是AABC內(nèi)一點，且有/PBC=/PCA=/PAB,則稱點P

是^ABC的“等角點”

(1)如圖1,NABC=70。，則NAPB=

(2)如圖2,在ZkABC中，ZACB=90o,點P是△ABC的“等角點”，若NBAC=45。

①求工的值：

AP

②求tanZPBC的值；

【答案】(I)IlO；(2)①色=立；②SnNPBC

AP22

【分析】(1)結(jié)合題意，可得/4號=180-(/尸8。+/尸區(qū)4),結(jié)合/ABC=70。，即可計算得/APB；

(2)①由NBAC=45°,ZACB=90o,???ZPAB+APAC=APBA+ZPBC=45,AC=BC=AB結(jié)合點

2

P是△ABC的“等角點”，得NPAC=NPBA,從而得到通過相似比即可得到答案；

②由(2)①可知4AP8SZ?CPA,相似比可得CP和AP的關(guān)系，通過證明N8PC=90°,得

S"NP8C=%;將CP、AP關(guān)系式代入到三角函數(shù)，從而完成求解.

【詳解】(1)VZPBC=ZPCA=ZPAB

...ZAPB=I80-ZPAB-ZPBA=?80-(ZΛ4B+ZPBA)=180-(ZPBC+ZPBA)

：ZABC=70o

，NPBC+NPBA=ZABC=70

ΛZAPB=180-(ZPBC+ZPBA)=180-70=110

(2)①?.?∕BAC=45°,ZACB=90o

，ZABC=450

二ZPAB+NPAC=NPBA+NPBC=45,AC=BC=^-AB

2

Y點P是△ABC的“等角點”

???ZPBC=ZPAB

：?ZPAC=ZPBA

：.?APBACPA

.CPAC6

??—=---=—

APAB2

②由(2)①得4ArasZ?c∕?

?CPACAP叵

9Λ~AP~^B~~BP~~2

?/ZACB=90o

，ZBCP+ZPCA=9Q

VZPBC=ZPCA

.*.NBCP+NPBC=9。

ΛZBPC=180-(ZBCP+ZPBC)=90,BpRt∕?BPC

√24p

5

.?.C∕-T.√2AP√2_1

BPBP2BP222

：.tanNPBC=L

2

【點睛】本題考查了相似三角形、三角函數(shù)的知識；解題的關(guān)鍵是熟練掌握相似三角形、直角三角形、三

角函數(shù)的性質(zhì)，從而完成求解.

13.(2020.湖北武漢.中考真題)問題背景：如圖(1),已知z?ABCszχ相>E,求證：LABD-,ACE^

嘗試應(yīng)用：如圖(2),在一ΛBC和VAoE中，ABAC=ZDAE=f)6,ZABC=ZAOE=30",Ae與￡>E相

?Γ)LI)F

交于點F?點力在BC邊上，^=√3,求考的值；

BDCF

拓展創(chuàng)新：如圖(3),D是.ABC內(nèi)一點，ZBAD=ZCBD=30",NBz)C=90",AB=4,ΛC=2√3,直

接寫出AO的長.

ΔRAΓARAC

【分析】問題背景：通過得到而=瓦,-=-，再找到相等的角,從而可證

_ABD_ACE；

嘗試應(yīng)肋連接CE,通過&C可以證得S-ACE,得至喘嚏，然后去證

ΛAFE^ΛDFC,乙ADFS.CF,通過對應(yīng)邊成比例即可得到答案;

拓展創(chuàng)新：在AD的右側(cè)作NDAE=NBAC,AE交BD延長線于E,連接CE,通過

BAD^CAE，然后利用對應(yīng)邊成比例即可得到答案.

【詳解】問題背景：?.?zλABCsA4Z)E,

ΛZBAC=ZDAE,第嚏

/BAD+NDAC=CAE+/DAC,

ΛZBAD=ZCAE,

；?_ABD-ACE；

嘗試應(yīng)用：連接CE,

丁NBAC=ND4E=90°,ZABC=ZADE=3(f,

：.,BAC-DAE9

.ABAD

)<—,

ACAE

:ZBAD+ZDAC=CAE+ZDAC,

ΛZBAD=ZCAE,

；?.ABDsACE,

.BDAD

^~CE~~?E

由于ZAoE=30°,ZDAE=9(),

AE√3

tan30o=

~AD~~

即空=絲=G,

CEAE

.ΛD

CE

丁ZBAC=ZDAE=90°,ZABC=AADE=30'，

，NC=NE=60°,

又,：ZAFE=ADFC,

：?AAFEsADFC,

.AFEFAFDF

??=，RnlπJ=

DFCFEFCF

又丁ZAFD=ZEFC

/.AADFSAECF,

.DFAD?

?.==?；

CFCE

拓展創(chuàng)新：AD=也

如圖，在AD的右側(cè)作NDAE=NBAC,AE交BD延長線于E,連接CE,

VZADE=ZBAD+ZΛBD,ZABC=ZABD÷ZCBD,NBAD=NCBD=30°,

ΛZADE=ZABC,

XVZDAE=ZBAC,

ΛBAC-DAEt

.ABAC