考研數(shù)學二(線性代數(shù))模擬試卷(題后含答案及解析)

考研數(shù)學二(線性代數(shù))模擬試卷24(題后含答案及解析)

題型有：1.選擇題2.填空題3.解答題

選擇題下列每題給出的四個選項中，只有一個選項符合題目要求。

1.設A是正交矩陣，則()

A.A*(A*)T=IAIE

B.(A*)TA*=IA*IE

C.A*(A*)T=E

D.(A*)TA*=-E

正確答案：C

解析：A正交陣，則有A―1=AT=,A*(A*)T=IAIAT(IAIAT)T-I

AI2ATA=E.知識模塊：線性代數(shù)

2.設A為n階可逆矩陣，則下列等式中，不一定成立的是()

A.(A+A一1)2=A2+2A4―1+(A一1)2

B.(A+AT)2=A2+2AAT+(AT)2

C.(A+A*)2=A2+2AA*+(A*)2

D.(A+E)2=A2+2AE+E2

正確答案：B

解析：由矩陣乘法的分配律可知：

(A+B)2=(A+B)A+(A+B)B=A2+BA+AB+B2,因止匕(A+B)2=A2+2AB+B2的充要

條件是BA=AB,也即A,B的乘積可交換.由于A與A-l,A與A*以

及A與E都是可交換的，故(A),(C),(D)中的等式都是成立的.故選(B).知

識模塊：線性代數(shù)

3.設A為3階非零矩陣，且滿足aij=Aij(i,j=l,2,3),其中Aij為aij

的代數(shù)余子式，則下列結論：①A是可逆矩陣；②A是對稱矩陣；③

A是不可逆矩陣；④A是正交矩陣.其中正確的個數(shù)為()

A.1

B.2

C.3

D.4

正確答案：B

解析：由aij=Aij(i,j=l,2,3)及伴隨矩陣的定義可知：A*=AT,那么IA*|

=IAT|,也即IA|2=IA|,BPIAI(IAI-1)=0.又由于A為非零

矩陣，不妨設allWO,則IAI=allAll+al2A12+al3A13=all2+al22+al32

>0,故IAI=1.因此，A可逆.并且AAT=AA*=IAIE=E,可知A是

正交矩陣.可知①，④正確，③錯誤.從題目中的條件無法判斷A是否為

對稱矩陣，故正確的只有兩個，選(B).知識模塊：線性代數(shù)

4.設A,B均為n階矩陣，且AB=A+B,則下列命題中：①若A可

逆，則B可逆；②若A+B可逆，則B可逆；③若B可逆，則A+B可

逆；④A—E恒可逆.正確的個數(shù)為()

A.1

B.2

C.3

D.4

正確答案：D

解析：由于(A—E)B=A,可知當A可逆時，IA—EIIBIW0,故IB|

W0,因此B可逆，可知①是正確的.當A+B可逆時，IABI=IAIIBI

#0,故IBIW0,因此B可逆，可知②是正確的.類似地，當B可逆時，

A可逆，故IAB|=IAIIBIW0,因此AB可逆，故A+B也可逆，可知③

是正確的.最后，由AB=A+B可知(A—E)B—A=0,也即(A—E)B—(A—

E)=E,進一步有(A—E)(B—E)=E,故A—E恒可逆.可知④也是正確的.綜

上，四個命題都是正確的，故選(D).知識模塊：線性代數(shù)

5.設A為mXn矩陣，B為nXm矩陣，且m>n,則必有()

A.IAB|=0

B.IBA|=0

C.IAB|=IBA|

D.IIBAIBAI=IBAIIBAI

正確答案：A

解析：由于m>n,則有r(AB)Wr(A)Wn<m,可知矩陣AB不滿秩，因此(A)

正確.由于BA是n階矩陣，是否滿秩無法確定，故不一定有IBA|=0,故(B)

錯誤.由于A,B不為方陣，因此沒有等式IAB|=IAIIB|=IBA|.事

實上，由上面的討論過程可知，當BA滿秩時，有IAB|=0#IBA|,故(C)

不正確.IIBAIBA|=IBAInIBA|=IBAIn+1,可知，等式I|

BAIBAI=IBAIIBAI也不一定成立，故(D)錯誤.綜上，唯一正確的

選項是(A).知識模塊：線性代數(shù)

6.已知Q=,P為3階非零矩陣，且滿足PQ=O,貝I()

A.t=6時P的秩必為1

B.t=6時P的秩必為2

C.tW6時P的秩必為1

D.tW6時P的秩必為2

正確答案：C

解析：“AB=O”是考研出題頻率極高的考點，其基本結論為：①AmX

sBsXn=O-r(A)+r(B)Ws；②AmXsBsXn=O一組成B的每一列都是AmX

sX=O的解向量.對于本題，PQ=O-r(P)+r(Q)W3-lWr(P)W3一

r(Q).當t=6時，r(Q)=l-lWr(P)W2-r(P)=l或2,則(A)和(B)都錯;當

tW6時，r(Q)=2-lWr(P)Wl-r(P)=l.知識模塊：線性代數(shù)

7.設n階矩陣A,B等價，則下列說法中，不一定成立的是()

A.IAI>0,則IBI>0

B.如果A可逆，則存在可逆矩陣P,使得PB=E

C.如果A等E,則IBIW0

D.存在可逆矩陣P與Q,使得PAQ=B

正確答案：A

解析：兩矩陣等價的充要條件是秩相同.當A可逆時，有r(A)=n,因

此有r(B)=n,也即B是可逆的，故B—1B=E,可見(B)中命題成立.AmE的充

要條件也是r(A)=n,此時也有r(B)=n,故IBIW0,可見(C)中命題也是成立

的.矩陣A,B等價的充要條件是存在可逆矩陣P與Q,使得PAQ=B,可

知(D)中命題也是成立的.故唯一可能不成立的是(A)中的命題.事實上，當I

AI>0時，我們也只能得到r(B)=n,也即IBIW0,不一定有IB1>0.故選

(A).知識模塊：線性代數(shù)

8.設A,B都是n階非零矩陣，且AB=O,則A和B的秩()

A.必有一個等于零

B.都小于72

C.一個小于n,一個等于n

D.都等于n

正確答案：B

解析：ab=o-r(A)+r(B)Wn；又AWO,BWO,即r(A)Nl,r(B)Nl,則r(A)

<n,r(B)<n.知識模塊：線性代數(shù)

9.設A=,若r(A*)=l,貝lja=()

A.1

B.3

C.1或3

D.無法確定

正確答案：C

解析：由r(A*)=l得,R(A)=3則IAI=0,即得a=l或3,且此時均滿足r(A)=3,

故選(C).知識模塊：線性代數(shù)

填空題

10.設&=[1,2,3],3=[1,],A=aTB,則An=.

正確答案：3N—1A

解析：A=aTB=,An=[aTB]n=(aTB)(aTB>“(aTB)=aT(B

a)T(Ba)T-(BaT)B=3n—1A.知識模塊：線性代數(shù)

11.設B=,貝!JBn=.

正確答案：14n—IB

解析：因B=[l,2,3]=aTa,故Bn=(aTa)n=(aTa)(aTa)…(aT

a)=a(aaT)???(aaT)a=14n~k1

B.知識模塊：線性代數(shù)

12.設A=,n22為正整數(shù)，則An—2An—1=.

正確答案：0

解析：A2==2A,An=2n-1A,An一2An一1=0.知識模塊：線性

代數(shù)

13.A,B均為n階矩陣，IAI=—2,IBI=3,則IIBIA—1I

正確答案：一

解析：IAI=—2,IBI=3,I|B|A—l|=|B|n|A-l|=3n.知

識模塊：線性代數(shù)

14.設A=,則A一1=.

正確答案：

解析：則B=A+E,B2=4B=4(A+E)=(A+E)2.得A2—2A=A(A一

2E)=3E,知識模塊：線性代數(shù)

15.已知A2—2A+E=0,則(A+E)—1=.

正確答案：(3E—A)

解析:A2—2A+E=0,(A+E)(A—3E)=-4E,(A+E)—1=一(3￡—A).知

識模塊：線性代數(shù)

解答題解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。

16.設A為n階非奇異矩陣，a為n維列向量，b為常數(shù).記分塊矩陣其

中A*是矩陣A的伴隨矩陣，E為n階單位矩陣.(1)計算并化簡PQ；(2)證

明：矩陣Q可逆的充分必要條件是aTA—la關b.

正確答案：⑴PQ?2)由⑴得IPI.IQI=IPQI=IAI2(b-aTA-1

a)IQI=IA|(b-aTA-la).Q可逆一一|Q|WO——aTA—1aW

b.涉及知識點：線性代數(shù)

17.設(2E—C—1B)AT=C一1,其中E是4階單位矩陣，AT是4階矩陣

A的轉(zhuǎn)置矩陣，求A.

正確答案：(2E—C—1B)AT=C-A=[(2C—B)T]—1=.涉及知識點:

線性代數(shù)

18.設A=,求An.

正確答案：涉及知識點：線性代數(shù)

19.已知A=,求An.

正確答案：對A分塊為，則B=3E+J,于是Bn=(3E+J)n=3nE+Cnl3n

1+Cn23n—2+…+Jn,涉及知識點：線性代數(shù)

20.設有兩個非零矩陣A=[al,a2,…，an]T,B=[bl,b2,…，bn]T.(1)

計算ABT與ATB；(2)求矩陣ABT的秩r(ABT)；(3)設C=E—ABT,其中E為

n階單位陣.證明：CTC=E-BAT—ABT+BBT的充要條件是ATA=1.

正確答案：(1)ABT=,AT=albl+a2b2+anbn.(2)因ABT各行(或列)是第

1行(列)的倍數(shù)，又A,B皆為非零矩陣，故r(ABT)=l.(3)由于CTC=(E—

ABT)T(E一ABT)=(E-BAT)(E一ABT)=E一BAT一ABT+BATABT.故若要

求CTC=E一BAT-ABT+BBT,貝|BATABT-BBT=O,B(ATA一1)BT=O,

即(ATA—1)BBT=O.因為BWO,所以BBTWO.故CTC=E—BAT

一ABT+BBT的充要條件是ATA=1.涉及知識點：線性代數(shù)

21.證明：若人為111*11矩陣，B為nXp矩陣，則有r(AB)Nr(A)+r(B)—

n.特別地，當AB=O時,有r(A)+r(B)Wn.

正確答案：注意到當B有一個tl階子式不為0,A有一個t2階子式不為0

時，一定有一個tl+t2階子式不為O,因此Nr(A)+r(B).故r(AB)與r(A)+r(B)

—n.特別地，當AB=O時，r(AB)=0-r(A)+r(B)Wn.涉及知識點：線

性代數(shù)

22.證明:r(A+B)Wr(A)+r(B).

正確答案：設A=[a1,a2,…，an],B=[BbB2,…，Bn],則A+B=[a

1+31,a2+B2,…，an+Bn],由于A+B的列向量組a1+B1,a2+B2,…，

an+Bn都是由向量組a1,a2,…，an,Bl,B2,…，Bn線性表出的，故

r(a1+01,a2+32,…，an+Bn)Wr(al,a2,…，an,01,02,…，B

n).r(a1,a2,…，an,Bl,B2,…，Bn)Wr(al,a2,…，an)+r(B

1,B2,…，Bn),故r(A+B)=r(a1+B1,a2+32,…，an+Bn)Wr(a

1,a2,…，an,Bl,B2,…，Bn)Wr(al,a2,…，an)+r(31,B2,…，

Bn)=r(A)+r(B).涉及知識點：線性代數(shù)

23.設A,B是n階矩陣，證明：AB和BA的主對角元的和相等.(方陣

主對角元的和稱為方陣的跡，記成trA,即trA=aij)

正確答案：設涉及知識點：線性代數(shù)

24.設A是n階實矩陣，證明：tr(AAT)=O的充分必要條件是A=0.

正確答案：充分性a=0,顯然tr(AAT)=O.必要性tr(AAT)=O,設即

A=0.涉及知識點：線性代數(shù)

25.證明：方陣A是正交矩陣，即AAT=E的充分必要條件是：(1)A

的列向量組組成標準正交向量組，即或(2)A的行向量組組成標準正交向量

組，即

正確答案：涉及知識點：線性代數(shù)

26.證明：n>3的非零實方陣A,若它的每個元素等于自己的代數(shù)余子式，

則A是正交矩陣.

正確答案：由題設，aij=Aij,則A*=AT,即AA*=AAT=IAIE.兩

邊取行列式，得IA|2=IAIn,得IAI2(IAIn—2—1)=0.因A是

非零陣，設aijWO,則IA|按第i行展開有IA|=>0,故IAIW0,從

而由IAI2(IAI—1)=0,得IA|=1,故AA*=AAT=IAIE=E,A是正交矩

陣.