新高考數(shù)學(xué)臨考題號(hào)押第20題 統(tǒng)計(jì)概率（解析）

押第20題統(tǒng)計(jì)柢率

沙命題探究卡第

統(tǒng)計(jì)概率是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)，從2019年高考情況來(lái)看，更是有壓軸題的趨勢(shì)，并且分值和題量都略有

增加。其中解答題考查涉及的主要方向有：(1)與社會(huì)生活緊密相連，緊跟時(shí)代步伐創(chuàng)設(shè)情境。(2)概率

的求解.同時(shí)也常滲透考查統(tǒng)計(jì)知識(shí)，背景新穎，體現(xiàn)了概率與統(tǒng)計(jì)的工具性和交匯性，綜合考查考生的

應(yīng)用意識(shí)、閱讀理解能力、數(shù)據(jù)處理能力和轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用；(3)統(tǒng)計(jì)知識(shí).其核心是樣本數(shù)據(jù)的

獲得和分析方法，重點(diǎn)是頻率分布直方圖、莖葉圖、樣本的數(shù)字特征、線性回歸方程、獨(dú)立性檢驗(yàn)，常與

概率交匯命題，意在考查考生的數(shù)據(jù)分析能力和綜合應(yīng)用能力.

(解題秘籍勺^

1.均值與方差的性質(zhì)

若y=aX+8,其中“，人是常數(shù)，X是隨機(jī)變量，則

(1)E(^)=k,D(&)=0,其中左為常數(shù)；

(2)ECaX+h)=aE(X)+h,D(aX+h)=(rD(X)；

(3)E(X1+X2)=E(X)+E(X2);

(4)D(X)=E(X2)-(￡(X))2；

(5)若Xi，X2相互獨(dú)立，則E(X,-X2)=E(X,)E(X2);

(6)若X服從兩點(diǎn)分布，則E(X)=p,D(X)=p(1-p)；

(7)若X服從二項(xiàng)分布，即X~B(n,p),則E(X)=np,D(X)=np(1-p).

2.隨機(jī)變量是否服從超幾何分布的判斷

若隨機(jī)變量X服從超幾何分布，則滿(mǎn)足如下條件：

(1)該試驗(yàn)是不放回地抽取〃次；(2)隨機(jī)變量X表示抽取到的次品件數(shù)(或類(lèi)似事件)，反之亦然.

3.求超幾何分布的分布列的步驟

第一步，驗(yàn)證隨機(jī)變量服從超幾何分布，并確定參數(shù)MM,〃的值；

第二步，根據(jù)超幾何分布的概率計(jì)算公式計(jì)算出隨機(jī)變量取每一個(gè)值時(shí)的概率；

第三步，用表格的形式列出分布列.

4.求超幾何分布的均值與方差的方法

(1)列出隨機(jī)變量X的分布列，利用均值與方差的計(jì)算公式直接求解；

(2)利用公式E(X)=—17M,D(X)=——〃M(JN_--M-)-(-N-----求a解..

NN2(N-1)

運(yùn)真題回顧

1.(2021?湖南?高考真題)端午節(jié)吃粽子是我國(guó)的傳統(tǒng)習(xí)俗.設(shè)一盤(pán)中裝有6個(gè)粽子，其中肉粽1個(gè)，蛋黃

粽2個(gè)，豆沙粽3個(gè)，這三種粽子的外觀完全相同，從中任意選取2個(gè).

(1)用g表示取到的豆沙粽的個(gè)數(shù)，求€的分布列；

(2)求選取的2個(gè)中至少有1個(gè)豆沙粽的概率.

【詳解】

(1)由條件可知?dú)q=0,1,2,

P(^=0)=g=lP傳=1)=等=|,%=2)干.，

所以g的分布列，如下表,

g012

3J_

P

555

(2)選取的2個(gè)中至少有1個(gè)豆沙粽的對(duì)立事件是一個(gè)都沒(méi)有，

14

則選取的2個(gè)中至少有I個(gè)豆沙粽的概率P=l-g=

2.(2021?北京?高考真題)在核酸檢測(cè)中,2合1”混采核酸檢測(cè)是指：先將k個(gè)人的樣本混合在一起進(jìn)行

1次檢測(cè)，如果這&個(gè)人都沒(méi)有感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陰性，得到每人的檢測(cè)結(jié)果都為陰性，檢測(cè)結(jié)

束:如果這“個(gè)人中有人感染新冠病毒，則檢測(cè)結(jié)果為陽(yáng)性，此時(shí)需對(duì)每人再進(jìn)行1次檢測(cè)，得到每人的檢

測(cè)結(jié)果，檢測(cè)結(jié)束.

現(xiàn)對(duì)100人進(jìn)行核酸檢測(cè)，假設(shè)其中只有2人感染新冠病毒，并假設(shè)每次檢測(cè)結(jié)果準(zhǔn)確.

(I)將這100人隨機(jī)分成10組，每組10人，且對(duì)每組都采用“10合1”混采核酸檢測(cè).

⑴如果感染新冠病毒的2人在同一組，求檢測(cè)的總次數(shù)；

(ii)已知感染新冠病毒的2人分在同一組的概率為上.設(shè)X是檢測(cè)的總次數(shù)，求X的

分布列與數(shù)學(xué)期望E(X).

(II)將這100人隨機(jī)分成20組，每組5人，且對(duì)每組都采用“5合1”混采核酸檢測(cè).設(shè)丫是檢測(cè)的總次數(shù),

試判斷數(shù)學(xué)期望E(K)與⑴中E(X)的大小.(結(jié)論不要求證明)

【詳解】

(1)①對(duì)每組進(jìn)行檢測(cè)，需要10次；再對(duì)結(jié)果為陽(yáng)性的組每個(gè)人進(jìn)行檢測(cè)，需要10次；

所以總檢測(cè)次數(shù)為20次；

②由題意，X可以取20,30,

P(X=20)=l,p(X=30)=l--=—

171111

則X的分布列:

X2030

110

PnIT

所以E（X）=20x5+30xS=平

(2)由題意，y可以取25,30,

23

兩名感染者在同一組的概率為<20=C"C8=4不在同一組的概率為鳥(niǎo)=言95

C|oo"99

“”4今八952950

則七（y）=25x——+30x——=------>￡（%）.

v7999999v7

3.(2021?全國(guó)?高考真題)某學(xué)校組織“一帶一路”知識(shí)競(jìng)賽，有A,2兩類(lèi)問(wèn)題，每位參加比賽的同學(xué)先在

兩類(lèi)問(wèn)題中選擇一類(lèi)并從中隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，若回答錯(cuò)誤則該同學(xué)比賽結(jié)束；若回答正確則從另一

類(lèi)問(wèn)題中再隨機(jī)抽取一個(gè)問(wèn)題回答，無(wú)論回答正確與否，該同學(xué)比賽結(jié)束4類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確

得20分，否則得0分；8類(lèi)問(wèn)題中的每個(gè)問(wèn)題回答正確得80分，否則得。分，己知小明能正確回答A類(lèi)

問(wèn)題的概率為0.8,能正確回答B(yǎng)類(lèi)問(wèn)題的概率為0.6,且能正確回答問(wèn)題的概率與回答次序無(wú)關(guān).

(1)若小明先回答A類(lèi)問(wèn)題，記X為小明的累計(jì)得分，求X的分布列;

(2)為使累計(jì)得分的期望最大，小明應(yīng)選擇先回答哪類(lèi)問(wèn)題？并說(shuō)明理由.

【詳解】

(1)由題可知，X的所有可能取值為0,20,10().

p（x=o）=l—0.8=02；

P（X=20）=0.8（1-0.6）=0.32；

P（X=100）=0.8x0.6=0.48.

所以X的分布列為

X020100

P0.20.320.48

（2）由（I）知，E（X）=0x0.2+20x0.32+100x0.48=54.4.

若小明先回答8問(wèn)題，記y為小明的累計(jì)得分，則y的所有可能取值為0,80,100.

p（y=o）=l-o.6=o.4；

p（y=80）=0.6（l-0.8）=0.12;

P（X=100）=0.8x0.6=0.48.

所以E（y）=0x0.4+80x0.12+100*0.48=57.6.

因?yàn)?4.4<57.6,所以小明應(yīng)選擇先回答8類(lèi)問(wèn)題.

4.（2021?全國(guó)?高考真題）一種微生物群體可以經(jīng)過(guò)自身繁殖不斷生存下來(lái)，設(shè)一個(gè)這種微生物為第。代,

經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第1代，再經(jīng)過(guò)一次繁殖后為第2代……，該微生物每代繁殖的個(gè)數(shù)是相互獨(dú)立的且有

相同的分布列，設(shè)X表示1個(gè)微生物個(gè)體繁殖下一代的個(gè)數(shù)，P（X=i）=p,（i=0,l,2,3）.

（1）已知A＞=0.4,網(wǎng)=0.3,2=。2。3=0」，求E（X）；

2

（2）設(shè)p表示該種微生物經(jīng)過(guò)多代繁殖后臨近滅絕的概率，p是關(guān)于x的方程：p“+p,x+p2x+=x的

一個(gè)最小正實(shí)根，求證：當(dāng)灰X）41時(shí)，p=l,當(dāng)E（X）＞1時(shí)，。＜1；

（3）根據(jù)你的理解說(shuō)明（2）問(wèn)結(jié)論的實(shí)際含義.

【詳解】

（1）E（X）=0x0.4+lx0.3+2x0.2+3x0.1=1,

（2）設(shè)/（》）=23丁+P/2+（四_1卜+%,

2

因?yàn)镻3+P2+Pl+Po=1，故f（x）=P3d+P2X-（p,+P1＞+P3）X+Pg

若E（X）M1,貝|JR+2P2+3入41,故P2+2P34Po.

z2

/（x）=3p3x+2p,x-（p2+p0+p,）,

因?yàn)閞（0）=一（p?+Po+化）＜°，r⑴=22+2外一p。w°，

故廣（X）有兩個(gè)不同零點(diǎn)為,吃,且不＜0＜14%，

且xe（-oo，x）u（程口）時(shí)，/'（x）＞0；》《布毛）時(shí)，/'（x）＜0；

故/（X）在（YO，M）,（X2，+°°）上為增函數(shù)，在（西，々）上為減函數(shù)，

若W=1,因?yàn)?1（x）在（如*?）為增函數(shù)且/⑴=0,

而當(dāng)xe（O，w）時(shí)，因?yàn)椤海╔）在（%,%）上為減函數(shù),故〃x）＞〃w）=/（l）=0,

23

故1為Po+ptx+p2x+p,x=x的一個(gè)最小正實(shí)根，

若々＞1,因?yàn)椤?）=0且在（0,々）上為減函數(shù)，故1為。。+2尸+外/+。3/=%的一個(gè)最小正實(shí)根，

綜上，若E（X）41,則p=l.

若E（X）＞1,則0+22+3科＞1,故。2+2?。炯?/p>

此時(shí)/'（0）=-（。2+Po+心）＜°，/'（1）=P2+2P3-Po＞0，

故/'（x）有兩個(gè)不同零點(diǎn)七，玉，且毛＜0＜七＜1,

且xe（-＜o(jì),玉）（王,田）時(shí)，時(shí)，/，（x）＜0；

故/（X）在（-00,毛），（x4,+oo）上為增函數(shù)，在（鼻,匕）匕為減函數(shù)，

而/（1）=0,故/（匕）＜0，

又/（0）=P°＞0,故/（x）在（。，網(wǎng)）存在一個(gè)零點(diǎn)。，且P＜L

所以P為%+。|彳+02'+。3、=%的一個(gè)最小正實(shí)根，此時(shí)P＜1，

故當(dāng)E(X)>1時(shí),p<\.

(3)意義：每一個(gè)該種微生物繁殖后代的平均數(shù)不超過(guò)I,則若干代必然滅絕，若繁殖后代的平均數(shù)超過(guò)

1,則若干代后被滅絕的概率小于L

]押題沖關(guān)及冬

1.(2022.福建.模擬預(yù)測(cè))在某次數(shù)學(xué)考試中，共有四道填空題，每道題5分.已知某同學(xué)在此次考試中，

在前兩道題中，每道題答對(duì)的概率均為：，答錯(cuò)的概率均為4；對(duì)于第三道題，答對(duì)和答錯(cuò)的概率均為;;

OO/

對(duì)于最后一道題，答對(duì)的概率為1:，答錯(cuò)的概率為:2.

(1)求該同學(xué)在本次考試中填空題部分得分不低于15分的概率；

(2)設(shè)該同學(xué)在本次考試中，填空題部分的總得分為X,求X的分布列.

【解析】

(1)

設(shè)“第i{ie{l,2,3,4))題答對(duì)”為事件A,,設(shè)“得分不低于15分”為事件B,

則p[A&A3AA+P(KA]+尸(AA2AJA,1+4&&]+PHAAsAj

55125511511115115511

=—X—X—X—+—X—X—X-+—X—X—X-+—X—X—X—+—X—X—X-

66236623662366236623

_55

=W8：

(2)

易知X的取值可能為0,5,10,15,20,

111

P(X=0)=P(AiA2AAA—X—X—X—

62108

p(X=5)={A3Z3尸(％A?KXJ+P1%左AI'+P1%A213A4

511215121112111123

=—X—X—X—+—x—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—=-

6623662366236623216

p(x343]+2[口2kk4)

=IO)=P(/IIA2A3A4)+P^IAJ+P(ZA2

+P(%A/3AAI+P(A4&A,)

551251125111151115121111

=—X—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—+—X—X—X—

662366236623662366236623

_813

-216-8；

p（x=15）=p\4出4AUpfA4A3A

44P[A\aAA

551255115111151185

=—X—X—X—+—X—X—X—4-—X—X—X—4-—X—X—X—=---------;

6623662366236623216

＞

P（X=20）=/（AAA3A4）=-x-xlxl=—

、'-76623216

則X的分布列為:

X05101520

12338525

P

ios2168216216

2.(2022?廣東深圳?二模)2022年北京冬奧會(huì)后，由一名高山滑雪運(yùn)動(dòng)員甲組成的專(zhuān)業(yè)隊(duì)，與兩名高山滑

雪愛(ài)好者乙、丙組成的業(yè)余隊(duì)進(jìn)行友誼賽.約定賽制如下：業(yè)余隊(duì)中的兩名隊(duì)員輪流與甲進(jìn)行比賽，若甲

連續(xù)贏兩場(chǎng)則專(zhuān)業(yè)隊(duì)獲勝；若甲連續(xù)輸兩場(chǎng)則業(yè)余隊(duì)獲勝：若比賽三場(chǎng)還沒(méi)有決出勝負(fù)，則視為平局，比

賽結(jié)束.已知各場(chǎng)比賽相互獨(dú)立，每場(chǎng)比賽都分出勝負(fù)，且甲與乙比賽，乙贏概率為g；甲與丙比賽，丙

贏的概率為P，其中g(shù)<P<g.

(1)若第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)可以安排乙與甲進(jìn)行比賽，也可以安排丙與甲進(jìn)行比賽.請(qǐng)分別計(jì)算兩種安排下

業(yè)余隊(duì)獲勝的概率；若以獲勝概率大為最優(yōu)決策，問(wèn)：業(yè)余隊(duì)第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙還是丙與甲進(jìn)行比賽？

(2)為了激勵(lì)專(zhuān)業(yè)隊(duì)和業(yè)余隊(duì)，賽事組織規(guī)定：比賽結(jié)束時(shí)，勝隊(duì)獲獎(jiǎng)金3萬(wàn)元，負(fù)隊(duì)獲獎(jiǎng)金1.5萬(wàn)元；若

平局，兩隊(duì)各獲獎(jiǎng)金1.8萬(wàn)元.在比賽前，已知業(yè)余隊(duì)采用了(1)中的最優(yōu)決策與甲進(jìn)行比賽，設(shè)賽事組

織預(yù)備支付的獎(jiǎng)金金額共計(jì)X萬(wàn)元，求X的數(shù)學(xué)期望E(X)的取值范圍.

【解析】

(1)

第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)安排乙與甲進(jìn)行比賽，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為：

1215

/o]=-xp+-xpx-=-p；

第一場(chǎng)比賽，業(yè)余隊(duì)安排丙與甲進(jìn)行比賽，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為：

?1\112

^=-xP+(>-P)x-xP=--P2+-P-

因?yàn)?所以6_鳥(niǎo)=!22_(2=:/，(0_1)>0,所以[>鳥(niǎo).

所以，業(yè)余隊(duì)第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽.

(2)

由已知X=4.5萬(wàn)元或X=3.6萬(wàn)元.

由(1)知，業(yè)余隊(duì)最優(yōu)決策是第一場(chǎng)應(yīng)該安排乙與甲進(jìn)行比賽.

此時(shí)，業(yè)余隊(duì)獲勝的概率為6=:〃，

91ORR

專(zhuān)業(yè)隊(duì)獲勝的概率為呂:宗。-。）+｝。-*：：］-］。,

Q1

所以，非平局的概率為P（X=4.5）=a+A=§-

平局的概率為P（X=3.6）=I_e_A=g+；”

X的分布列為：

X4.53.6

8111

-------p—+—p

P(x)9393

X的數(shù)學(xué)期望為E（x）=4.5x（1-gp）+3.6x（g+gp）=4.4-0.3p（萬(wàn)元）

而g<p<；,所以E（x）的取值范圍為：（4.25,4.3）（單位：萬(wàn)元）?

3.（2022?湖南?雅禮中學(xué)二模）“不關(guān)注分?jǐn)?shù)，就是對(duì)學(xué)生的今天不負(fù)責(zé)：只關(guān)注分?jǐn)?shù)，就是對(duì)學(xué)生的未來(lái)

不負(fù)責(zé)為鍛煉學(xué)生的綜合實(shí)踐能力，長(zhǎng)沙市某中學(xué)組織學(xué)生對(duì)雨花區(qū)一家奶茶店的營(yíng)業(yè)情況進(jìn)行調(diào)查統(tǒng)

計(jì)，得到的數(shù)據(jù)如下：

月份X24681012

凈利潤(rùn)（萬(wàn)元）y0.92.04.23.95.25.1

⑴設(shè)從=In%,匕=嘉.試建立y關(guān)于x的非線性回歸方程y=alnx+方和）,=w4+〃（保留2位有效數(shù)字）;

（2）從相關(guān)系數(shù)的角度確定哪一個(gè)模型的擬合效果更好，并據(jù)此預(yù)測(cè)次年2月（計(jì)x=14）的凈利潤(rùn)（保留

1位小數(shù)）.

￡（%-君（必-反）

附：①相關(guān)系數(shù)，=I,1”,回歸直線?=菽+&中斜率和截距的最小二乘估計(jì)公式分

J畢一利）樞（％_行

￡（%-君（％-尸）

別為公=J----------,a=y-bx;②參考數(shù)據(jù)：

2（均-?

/=1

In270.7,In3“1.1,1115=1.6,In7=1.9,拒之1.4,ma2.4,&=2.8,

710x3.2,V12?3.5,Vi4?3.7,J3322*57.6,,4507~67.1

【解析】

(1)

ln2+ln4+ln6+ln8+lnl0+lnl2101n2+21n3+ln51

〃=-------------------------------------------=-------------------------B1?Xo,

66

0.9+2+4.2+3.9+5.2+5.1、“

y==3.55,

6

6_

^(//;-X/)(y,.-y)=(-l.l)x(-2.65)+(-0.4)x(-l.55)+0x0.65+0.3x0.35+0.5x1.65+0.7x1.55=5.55,

i=\

6_

2

Z(M-7)2=(-1.1)2+(-0.4『+02+032+052+0.7=2.2,

i=l

6_

2(4一4)(必一歹)555

所以a=^—7-----------------=x2.5,人=3.55—2.5x1.8=-0.95,

一、22.2

/=1

所以模型y=alnx+b的方程為y=2.51nx—0.95,

,=&+4+6+我+可+如。2.55，

6

6_

^(v.-v)(y;-y)=(-1.15)x(-2.65)+(-0.55)x(-1.55)+(-0.15)x0.65+0.25x0.35+0.65x1.65+0.95x1.55=6.135

/=1

N(匕_3)2=(-1.15)2+(-0.55)2+(_Q]5)2+0.252+0.652+0.952=2.985,

/=1

所以加=6435x2.2,n-3.55—2.2x2.55?—2.1,

2.985

所以模型〉=m&'+〃的方程為y=2.2?-2.1；

(2)

22

次(％-7)=(-2.65)2+(T$5)2+0652+0.352+1?+1.55-15.1,

1=1

5.555.555.55

所以彳=-//=-/=■=?-?--0-.-964,

'V12xV15JJ33.225.76

6.435_______6.4356.435

ra0.959,

--V2.985xV15JV45.076.71

因?yàn)?更接近1,所以模型y=2.51nx-0.95的擬合效果更好，

則次年2月凈利潤(rùn)為yx2.5In14-0.95，5.6萬(wàn)元.

4.(2022?江蘇?南京市第一中學(xué)三模)設(shè)“22,〃eN*,甲、乙、丙三個(gè)口袋中分別裝有"-1、”、n+1

個(gè)小球，現(xiàn)從甲、乙、丙三個(gè)口袋中分別取球，一共取出“個(gè)球.記從甲口袋中取出的小球個(gè)數(shù)為X.

(1)當(dāng)〃=5時(shí)，求X的分布列；

⑵證明：c；C〃+cC,,++c：G,=G”；

?7—1

(3)根據(jù)第(2)問(wèn)中的恒等式，證明：￡(%)=—

【解析】

(1)

解：當(dāng)〃=5時(shí)，甲、乙、丙三個(gè)口袋中小球的個(gè)數(shù)分別為4、5、6,

隨機(jī)變量X的可能取值為0、1、2、3、4,

*X=0悟*P"=l)=雪糕，2"=2)=粵喑

「302Of)r4c11

p(X-3)=^^=—,P(X=4)=^i=-!-,

''C；5143''C*143

所以，隨機(jī)變量X的分布列如下表所示：

X01234

24030201

p

139?9?143143

(2)

證明：設(shè)從乙口袋抽取的小球的個(gè)數(shù)為隨機(jī)變量y,

由超幾何分布可知，隨機(jī)變量y的分布歹IJ為P(y=k)=u^產(chǎn)(0"4”，丘2,

由組合數(shù)的性質(zhì)可知，當(dāng)時(shí)，C：=C；￡,

2,12

根據(jù)分布列的性質(zhì)可知a"_h""_t

---1

5”

所以，cy,+CC“++c：q?=Xc：,qn=q?.

r=0

(3)

證明：由題意可知，隨機(jī)變量X的可能取值為：0、1、2,L、?-1,

隨機(jī)變量X的分布列為尸(X=%)=筆匾(04%4〃-l,keN),

C3”

當(dāng)〃22時(shí)，比3=上品'=署器法=(小)點(diǎn)，

n-\CC1=可(〃一1)或?口色(〃-i)c；-2c籃T

則E(X)=￡hP(X=k)=Z

*=0k=0L3”左=1m=0L"3"

設(shè)一批產(chǎn)品中有3〃-1(〃22,"€?4*)件產(chǎn)品，其中有〃-2件次品，2〃+1件正品，

從中抽取“7件產(chǎn)品，其中次品的件數(shù)記為則4的可能取值有0、1、2、L、相一2,

n-\

根據(jù)分布列的性質(zhì)可得⑺，4"：2向「［,所以，gc：_2CM「=cd，

"t=oC3?_)

國(guó)葉("勺5-1)第2cMl("1)GN_(〃-1>(3”-1)!(2〃)!.“匚”7

5.(2022.湖南永州?三模)某游樂(lè)場(chǎng)開(kāi)展摸球有獎(jiǎng)活動(dòng)，在一個(gè)不透明的盒子中放入大小相同的10個(gè)小球,

其中紅球4個(gè)，黑球6個(gè)，游客花10元錢(qián)，就可以參加一次摸球有獎(jiǎng)活動(dòng)，從盒子中一次隨機(jī)摸取4個(gè)

小球，規(guī)定摸取到兩個(gè)或兩個(gè)以上的紅球就中獎(jiǎng).根據(jù)摸取到的紅球個(gè)數(shù)，設(shè)立如下的中獎(jiǎng)等級(jí)：

摸取到的紅球個(gè)數(shù)234

中獎(jiǎng)等級(jí)三等獎(jiǎng)二等獎(jiǎng)一等獎(jiǎng)

(1)求游客在一次摸球有獎(jiǎng)活動(dòng)中中獎(jiǎng)的概率；

(2)若游樂(lè)場(chǎng)規(guī)定：在一次摸球有獎(jiǎng)活動(dòng)中，游客中三等獎(jiǎng)，可獲得獎(jiǎng)金15元；中二等獎(jiǎng)，可獲得獎(jiǎng)金20

元；中一等獎(jiǎng)，可獲得獎(jiǎng)金200元.請(qǐng)從游樂(lè)場(chǎng)獲利的角度，分析此次摸球有獎(jiǎng)活動(dòng)的合理性.

【解析】

(1)

解：設(shè)一次摸球有獎(jiǎng)活動(dòng)中中獎(jiǎng)為事件A,則事件A包含的基本事件有：C：C；+C：C；+C：《=115,基本事

件總數(shù)為：C「=210,

二P(A)=^=1???游客在一次摸球有獎(jiǎng)活動(dòng)中中獎(jiǎng)的概率為愛(ài).

(2)

解：設(shè)游客在一次摸球有獎(jiǎng)活動(dòng)中獲得的獎(jiǎng)金為X,X可以取0,15,20,200,

2319

P(X=0)=l--=—

'74242

P(X=15)=筆C2C2V3

C1O/

P(X=20)

435

P(X=200)=二=-5-

''G：210

故X的分布列為

X01520200

19341

p

427352W

X的數(shù)學(xué)期望后(*)=0'導(dǎo)15、1204+200、擊=等

由于一次摸球有獎(jiǎng)活動(dòng)中支付給游客獎(jiǎng)金的均值E(X)=￥<10,

所以游樂(lè)場(chǎng)可獲利，故此次摸球有獎(jiǎng)活動(dòng)合理.

告考前預(yù)測(cè)夕習(xí)(限時(shí):30分鐘)

1.2017年國(guó)家發(fā)改委、住建部發(fā)布了《生活垃圾分類(lèi)制度實(shí)施方案》規(guī)定46個(gè)城市在2020年底實(shí)施生

活垃圾強(qiáng)制分類(lèi)，垃圾回收、用率要達(dá)35%以上.某市在實(shí)施垃圾分類(lèi)之前，對(duì)該市大型社區(qū)(即人口數(shù)量

在1萬(wàn)左右)一天產(chǎn)生的垃圾量(單位：噸)進(jìn)行了調(diào)查.已知該市這樣的大型社區(qū)有200個(gè)，如圖是某天從中

隨機(jī)抽取50個(gè)社區(qū)所產(chǎn)生的垃圾量繪制的頻率分布直方圖.現(xiàn)將垃圾量超過(guò)14噸/天的社區(qū)稱(chēng)為“超標(biāo)”社

區(qū).

，，頻率/組距

0.12..................................

0.10......................一

0.09.............................................

0.06----------------------------------------

0.05.....................

0.04???1----------------------------------------

?」■!,1----------------->

4681012141618垃圾垃/噸

(1)根據(jù)上述資料，估計(jì)當(dāng)天這50個(gè)社區(qū)垃圾量的平均值黃四舍五入精確到整數(shù))；

(2)若當(dāng)天該市這類(lèi)大型社區(qū)的垃圾量X?N(4,9),其中M近似為(1)中的樣本平均值I，請(qǐng)根據(jù)X

的分布估計(jì)這200個(gè)社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)的個(gè)數(shù)(四舍五入精確到整數(shù))；

(3)市環(huán)保部門(mén)決定對(duì)樣本中“超標(biāo)”社區(qū)的垃圾來(lái)源進(jìn)行調(diào)查，現(xiàn)從這些社區(qū)中隨機(jī)抽取3個(gè)進(jìn)行重點(diǎn)監(jiān)

控，設(shè)y為其中當(dāng)天垃圾量至少為16噸的社區(qū)個(gè)數(shù)，求y的分布列與數(shù)學(xué)期望.

附：尸(⑼一。<X+20.6827；尸(〃-2cr<X<〃+2b)?0.9545；

P(//-3cr<X<〃+3cr)?0.9974.

【詳解】

⑴由頻率分布直方圖得該樣本中垃圾量為[4,6),[6,8),[8,10),[10,12),[12,14),[14,16),[16,18]

的頻率分別為0.08,0.1,0.2,0.24,0.18,0.12,0.08.

x=5x0.08+7x0.10+9x0.20+11x0.24+13x0.18+15x0.12+17x0.08=11.04?11,

所以當(dāng)天這50個(gè)社區(qū)垃圾量的平均值為11噸；

(2)由(1)知〃=11,.cr2=9?.0.cr=3?

P(X>14)=P(X>〃+cr)=1一=0.15865,

所以這200個(gè)社區(qū)中“超標(biāo)”社區(qū)的個(gè)數(shù)為200x0.15865?32:

(3)由⑴得樣本中當(dāng)天垃圾量為［14,16)的社區(qū)有50x0.12=6個(gè)，垃圾量為［16,18)的社區(qū)有

50x0.08=4個(gè)，所以丫的可能取值為0,1，2.3,

3223

p(y=0)=Wr，1，p(y=i)=C工C'±=1p(y=2)=當(dāng)C'C?=?3,P(y=3)=-C^-=—1.

黨6Ci5。2a10黨30

.?.丫的分布列為

Y0

23

61030

.-.^(y)=0xl+lxl+2x—+3x—=-

')6210305

2.到2020年年底，經(jīng)過(guò)全黨全國(guó)各族人民共同努力，現(xiàn)行標(biāo)準(zhǔn)下9899萬(wàn)農(nóng)村貧困人口全部脫貧，832個(gè)

貧困縣全部摘帽，12.8萬(wàn)個(gè)貧困村全部出列，區(qū)域性整體貧困得到解決，完成了消除絕對(duì)貧困的艱巨任務(wù).在

接下來(lái)的5年過(guò)渡期，為鞏固脫貧成果，將繼續(xù)實(shí)行“四個(gè)不摘”，某市工作小組在2021年繼續(xù)為已脫貧群

眾的生產(chǎn)生活進(jìn)行幫扶，工作小組經(jīng)過(guò)多方考察，引進(jìn)了一種新的經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物，并指導(dǎo)一批農(nóng)戶(hù)于2021

年初開(kāi)始種植.已知該經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物每年每畝的種植成本為1000元，根據(jù)前期各方面調(diào)查發(fā)現(xiàn)，由于天氣、

市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)等因素的影響，近幾年該經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物的畝產(chǎn)量與每千克售價(jià)具有隨機(jī)性，且互不影響，其具體情

況如下表:

該經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物市場(chǎng)價(jià)格(元該經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物每年畝產(chǎn)量

1015400600

/kg)(kg)

概率0.40.6概率0.250.75

(1)設(shè)2021年當(dāng)?shù)啬侈r(nóng)戶(hù)種植一畝該經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物的純收入為X元，求X的分布列;

(2)已知當(dāng)?shù)啬侈r(nóng)戶(hù)在2021年初種植了3畝該經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物,假設(shè)各畝地的產(chǎn)量相互獨(dú)立，求該農(nóng)戶(hù)在2021

年通過(guò)種植該經(jīng)濟(jì)農(nóng)作物所獲得的純收入超過(guò)12000元的概率.

(注：純收入=種植收入-種植成本)

【詳解】

(1)由題知一畝地的種植收入可能為4000,6000,9000,故X的所有可能取值為3000,5000,8000

尸(X=3000)=0.4x0.25=0.1,P(X=5000)=0.4x0.75+0.6x0.25=0.45,

P(X=8000)=0.6x0.75=0.45

X的分布列為:

X300050008000

P0.10.450.45

(2)純收入超過(guò)12000元，即3畝地種植收入超過(guò)15000元,

若價(jià)格為10元/kg,則3畝地的總產(chǎn)量超過(guò)1500kg,

因?yàn)?00x2+600<1500,

2

所以符合條件的概率為(C；x0.75x0.25+O.753)x04=03375.

若價(jià)格為15元/kg,則3畝地的總產(chǎn)量超過(guò)1000kg,3x400>1000，

：.P(純收入超過(guò)1200元)=0.6+0.3375=0.9375

3.第24屆冬季奧林匹克運(yùn)動(dòng)會(huì)，將于2022年2月4日至2022年2月20日在北京舉行實(shí)踐“綠色奧運(yùn)、

科技奧運(yùn)、人文奧運(yùn)”理念，舉辦一屆“有特色、高水平”的奧運(yùn)會(huì)，是中國(guó)和北京的莊嚴(yán)承諾，也是全世界

的共同期待.為宣傳北京冬奧會(huì)，激發(fā)人們參與冬奧會(huì)的熱情，某市開(kāi)展了關(guān)于冬奧知識(shí)的有獎(jiǎng)問(wèn)答.從參

與的人中隨機(jī)抽取100人，得分情況如下：

椒率

0.033...........T—1

8：嬲""!!!—?

0.0021…I…卜4…卜”1■…1-1r

030405060708090100成績(jī)

(1)得分在80分以上稱(chēng)為“優(yōu)秀成績(jī)”，從抽取的100人中任取2人，記“優(yōu)秀成績(jī)”的人數(shù)為X，求X的

分布列及數(shù)學(xué)期望；

(2)由直方圖可以認(rèn)為，問(wèn)卷成績(jī)值y服從正態(tài)分布N(〃,b2),其中〃近似為樣本平均數(shù)，02近似為

樣本方差.

①求P(77.2<y<89.4)；

②用所抽取100人樣本的成績(jī)?nèi)ス烙?jì)城市總體，從城市總?cè)丝谥须S機(jī)抽出2000人，記Z表示這2000人中

分?jǐn)?shù)值位于區(qū)間(77.2,89.4)的人數(shù)，利用①的結(jié)果求E(Z).

參考數(shù)據(jù)：7150?12.2.7146?12,1，P(〃—b<y<〃+cr)=0.6826,

P(〃一2。<丫<4+2。)=0.9544,—3cr<Y<〃+3b)=0.9974.

【詳解】

(I)得分80以上的人數(shù)為100x10x(0.008+0.002)=10,X可能取值為0，1,2

2吠=0)=冬=2P(X=1)=4魚(yú)=2，P(X=2)=冬」，

222

Jcoo11()CJoo11JCoo110

元=10X(35X0.002+45x0.009+55x0.022+65x0.033+75x0.024+85x0.008+95x0.002)

=65

22

5=(35-65)2x10x0002+(45-65)2x10x0.009+(55-65)2x10x0022+(75-65)xlOx0.024

+(85-65)2xlOx0.008+(95-65)2x10x0.002=150

取〃=5=65,b=V?=]2.2

①P(77.2<y<89.4)=；[P(〃-2cr<y<〃+2cr)—P(〃—cr<y<〃+cr)]=0.1359

②Z?3(2000,0.1359),E(Z)=2000x0.1359=271.8

4.在剛剛過(guò)去的寒假，由于新冠疫情的影響，哈爾濱市的A、B兩所同類(lèi)學(xué)校的高三學(xué)年分別采用甲、乙

兩種方案進(jìn)行線上教學(xué)，為觀測(cè)其教學(xué)效果，分別在兩所學(xué)校的高三學(xué)年各隨機(jī)抽取60名學(xué)生，對(duì)每名

學(xué)生進(jìn)行綜合測(cè)試評(píng)分，記綜合評(píng)分為80及以上的學(xué)生為優(yōu)秀學(xué)生，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得到兩所學(xué)校抽取的學(xué)生中

共有72名優(yōu)秀學(xué)生.

(1)用樣本估計(jì)總體，以頻率作為概率，若在A、B兩個(gè)學(xué)校的高三學(xué)年隨機(jī)抽取3名學(xué)生，求所抽取的

學(xué)生中的優(yōu)秀學(xué)生數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望；

(2)已知A學(xué)校抽出的優(yōu)秀學(xué)生占該校抽取總?cè)藬?shù)的2,填寫(xiě)下面的列聯(lián)表，并判斷能否在犯錯(cuò)誤的概

3

率不超過(guò)0.1的前提下認(rèn)為學(xué)生綜合測(cè)試評(píng)分優(yōu)秀與教學(xué)方案有關(guān).

優(yōu)秀學(xué)生非優(yōu)秀學(xué)生合計(jì)

甲方案

乙方案

合計(jì)

附：

P（K2>k）

00.150.100.050.0250.0100.0050.001

ko2.0722.7063.8415.0246.6357.87910.828

K2=-------二砌----------------7?其中n=a+b+c+d.

[a+b)[c+d)[a+c)[b+d)

【詳解】

7?

(1)由已知，學(xué)生為優(yōu)秀的概率為一=0.6,

'7120

記優(yōu)質(zhì)學(xué)生數(shù)為X，由題意知，X的所有可能取值為0，1，2.3.

3

則p(X=0)=C；(0.4)=0.064,p(X=1)=C；(0.4)20.6=0288,

3

X=2)=204(0.6)2=0432,網(wǎng)x=3)=c；(0.6)=0.216.

故X的分布列為

X0123

P0.0640.2880.4320.216

所以X的數(shù)學(xué)期望為E（x）=3x0.6=1.8.

（2）填寫(xiě)列聯(lián)表如下

優(yōu)秀學(xué)生非優(yōu)秀學(xué)生合計(jì)

甲方案402060

乙方案322860

合計(jì)7248120

**嗡魯皿2.7。6,

所以不能在犯錯(cuò)誤的概率不超過(guò)0.1的前提下認(rèn)為學(xué)生綜合測(cè)試評(píng)分優(yōu)秀與教學(xué)方案有關(guān).

5.為了調(diào)查A地區(qū)200000名學(xué)生寒假期間在家的課外閱讀時(shí)間，研究人員隨機(jī)抽取了20000名學(xué)生作調(diào)

查，所得結(jié)果統(tǒng)計(jì)如下表所示:

閱讀時(shí)間㈤[0,10](10,20](20,30](30,40](40,50](50,60]

頻數(shù)2003700530080002300500

（1）若閱讀的時(shí)間Z近似地服從正態(tài)分布N（〃,64）,其中〃為這20000名學(xué)生閱讀時(shí)間的平均值，試

估計(jì)這200000名學(xué)生中閱讀時(shí)間在（6,38］的學(xué)生人數(shù)（同一組數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表）;

（2）以頻率估計(jì)概率，若從全體學(xué)生中隨機(jī)抽取5人，記閱讀時(shí)間在（30,40］中的人數(shù)為X，求X的分

布列和數(shù)學(xué)期望E（X）；

（3）為了調(diào)查閱讀時(shí)間與性別是否具有相關(guān)性，研究人員從這20000名學(xué)生中再隨機(jī)抽取500名男生和

500名女生作進(jìn)一步調(diào)查，所得數(shù)據(jù)如下表所示，判斷是否有99.9%的把握認(rèn)為閱讀時(shí)間與性別具有相關(guān)

性.

閱讀時(shí)間在［0,30］之間閱讀時(shí)間在（30,