24.1圓的有關(guān)性質(zhì)

★★★★☆☆24.1圓的有關(guān)性質(zhì)★★★★☆☆【新手目標(biāo)】知道圓的性質(zhì)，會(huì)利用圓的性質(zhì)處理問題?！铩铩铩铩睢铌P(guān)卡11垂徑定理★★★★☆☆【過關(guān)筆記】一、學(xué)定理之前1．圓的定義的兩種描述：（1）線段OA繞著它的一個(gè)固定端點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)一周，另一個(gè)端點(diǎn)A所形成的封閉曲線，叫做圓。記作⊙O，讀作圓O。點(diǎn)O叫做圓心，線段OA叫做半徑。確定一個(gè)圓需要兩個(gè)條件：第一是圓心，第二是半徑。（2）圓是到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的點(diǎn)的集合．2.弦和直徑：（1）弦：連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦.（2）直徑：經(jīng)過圓心的弦叫做直徑。直徑等于半徑的兩倍。3.?。海?）?。簣A上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱弧，用符號(hào)⌒表示，以A,B為端點(diǎn)的的弧記作,讀作弧AB。（2）半圓、優(yōu)弧、劣弧：圓的任意一條直徑的兩個(gè)端點(diǎn)分圓成兩條弧，每一條弧都叫做半圓。大于半圓的弧叫做優(yōu)弧，優(yōu)弧大于180o用三個(gè)字母表示，如。小于半圓的弧叫做劣弧，如。（3）等?。涸谕瑘A或者等圓中能夠相互重合的弧是等弧，度數(shù)或者長(zhǎng)度相等的弧不一定是等弧。4.同心圓與等圓（1）同心圓：圓心相同，半徑不相等的兩個(gè)圓叫做同心圓。如圖一，半徑為r1與半徑為r2的⊙O叫做同心圓。（圖一）（圖二）（2）等圓：圓心不同，半徑相等的兩個(gè)圓叫做等圓。如圖二中的⊙O1與⊙O2的半徑都是r,它們是等圓。同圓或者等圓的半徑相同。（3）同圓是指同一個(gè)圓；等圓、同心圓是指兩個(gè)及兩個(gè)以上的圓。二、垂徑定理和推論1.定理：垂直于弦的直徑這條弦，并且平分弦所對(duì)的．如圖：2.推論：平分弦（非直徑）的直徑，于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條?。鐖D：3.反例：【成長(zhǎng)例題】例題1如圖，已知⊙O的直徑AB⊥弦CD于點(diǎn)E，下列結(jié)論中一定正確的是（）A.AE=OE B.CE=DE C.OE=CE D.∠AOC=60°例題2下列判斷中正確的是（）A．平分弦的直線垂直于弦B．平分弦的直線也必平分弦所對(duì)的兩條弧C．弦的垂直平分線必平分弦所對(duì)的兩條弧D．平分一條弧的直線必平分這條弧所對(duì)的弦例題31如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為P．若CD=8，OP=3，則⊙O的半徑為，BP=，BC=，AC=。例題32（2019·育才·第三次月考）如圖，將半徑為4cm的圓折疊后，圓弧恰好經(jīng)過圓心，則折痕的長(zhǎng)為（）A．2 B．4cm C． D．例題33（2020·老邊實(shí)驗(yàn)·期中）如圖，⊙O的半徑是3，點(diǎn)P是弦AB延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，連接OP，若OP＝4，∠APO＝30°，則弦AB的長(zhǎng)為（）例題4（2019·育才·期中）如圖，有一圓弧形門拱的拱高AB為1m，跨度CD為4m，則這個(gè)門拱的半徑為m．例題51已知⊙O的直徑CD=10cm，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，且AB=8cm，則AC的長(zhǎng)為 例題52在半徑為10的圓內(nèi)有兩條互相平行的弦，一條弦長(zhǎng)16，另一條弦長(zhǎng)為12，則這兩條弦之間的距離為．【過關(guān)練習(xí)】練習(xí)1如圖，AB是⊙O的直徑，弦CD⊥AB，垂足為M，下列結(jié)論不成立的是（）A．CM=DMB．CB＝DBC．∠ACD=∠ADCD．OM=BM練習(xí)21如圖，AB為⊙O的直徑，弦CD⊥AB于點(diǎn)E，若AB＝10，EB＝1，則CD的長(zhǎng)為．練習(xí)22⊙O的直徑CD=20，AB是⊙O的弦，AB⊥CD，垂足為M，OM：OC=3:5，則AB的長(zhǎng)為（）A.8 B.12 C.16 D.291練習(xí)23（2020·一中·月考）如圖，將半徑為8的⊙O沿AB折疊，弧恰好經(jīng)過與AB垂直的半徑OC的中點(diǎn)D，則折痕AB長(zhǎng)為（）A．2 B．4 C．8 D．10練習(xí)31一條排水管的截面如圖所示，已知該排水管的半徑OA=10，水面寬AB=16，則排水管內(nèi)水的最大深度CD=．練習(xí)32如圖，圓弧形橋拱的跨度AB=12米，拱高CD=4米，求拱橋的半徑為______．練習(xí)4在直徑為50cm的圓中，弦AB為40cm，弦CD為48cm，且AB∥CD，求AB與CD之間的距離．★★★★☆☆關(guān)卡12圓心角與圓周角定理★★★★☆☆【過關(guān)筆記】一、圓心角定理1.圓心角（1）圓心角：頂點(diǎn)在的角叫圓心角．2.弧、弦、圓心角之間的關(guān)系：定理：在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的相等，所對(duì)的也相等。如圖，在☉O中，若∠AOB=∠COD，則二、圓周角定理及推論1.圓周角：頂點(diǎn)在，并且兩邊都和圓相交的角叫做圓周角．2.圓周角的定理：一條弧所對(duì)的圓周角等于它所對(duì)的圓心角的。如圖：3.推論（1）同弧或等弧所對(duì)的圓周角； （2）半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是；90°的圓周角所對(duì)的弦為。三、圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)：圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角。如圖：∠A+∠C=180°，∠B+∠D=180°【成長(zhǎng)例題】例題11（2019·一中·月考）如圖，在⊙O中，AB是直徑，CD是弦，AB⊥CD，垂足為E，連接CO，AD，∠BAD＝20°，則下列說法中正確的是（）A．AD＝2OB B．CE＝EO C．∠OCE＝40° D．∠BOC＝2∠BAD例題12（2020·育才·期中）如圖，⊙O中，如果＝2，那么（）A．AB＝AC B．AB＝2AC C．AB＜2AC D．AB＞2AC例題21（2019·育才·第三次月考）如圖，A，B，C，D是⊙O上的四點(diǎn)，且點(diǎn)B是的中點(diǎn)，BD交OC于點(diǎn)E，∠AOC＝100°，∠OCD＝35°，那么∠OED＝．21圖22圖例題22（2020·一中·月考）如圖，點(diǎn)P（1，2），⊙P經(jīng)過原點(diǎn)O，交y軸正半軸于點(diǎn)A，點(diǎn)B在⊙P上，∠BAO＝45°，則點(diǎn)B的坐標(biāo)是．例題23（2019·雁南·期中）如圖，AB是⊙O的直徑，弦DC與AB相交于點(diǎn)E，若∠ACD＝60°，∠ADC＝50°，則∠CEB＝°．23圖24圖例題24（2019·雁南·期中）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，∠BAC＝120°，AB＝AC，BD為⊙O的直徑，AD＝6，則BC＝．例題31（2020·一中·月考）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，AC是⊙O的直徑，∠ACB＝40°，點(diǎn)D是劣弧上一點(diǎn)，連結(jié)CD、BD，則∠D的度數(shù)是（）31圖32圖A．50° B．45° C．140° D．130°例題32（2019·一中·月考）（2016?蘭州）如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于⊙O，若四邊形ABCO是平行四邊形，則∠ADC的大小為（）A．45° B．50° C．60° D．75例題33（2019·育才·期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，過B，C兩點(diǎn)的⊙O交AC于點(diǎn)D，交AB于點(diǎn)E，連接EO并延長(zhǎng)交⊙O于點(diǎn)F，連接BF，CF，若∠EDC＝135°，CF＝2，則AE2+BE2的值為（）A．8 B．12 C．16 D．20例題34（2019·雁南·期中）圓的弦長(zhǎng)等于半徑，則這條弦所對(duì)的圓周角是例題4（19?盤錦）如圖，△ABC內(nèi)接于⊙O，BC是⊙O的直徑，OD⊥AC于點(diǎn)D，連接BD，半徑OE⊥BC，連接EA，EA⊥BD于點(diǎn)F．若OD＝2，則BC＝．【過關(guān)練習(xí)】練習(xí)1如圖所示，已知⊙O的半徑為5，弦AB，CD所對(duì)的圓心角分別是∠AOB，∠COD．若∠AOB與∠COD互補(bǔ)，弦CD＝6，則弦AB的長(zhǎng)為．練習(xí)21一條弦把圓分成1：3兩部分，則弦所對(duì)的圓心角為度。練習(xí)22（2018·鐵嶺）在半徑為3的⊙O中，弦AB的長(zhǎng)是33，則弦AB所對(duì)的圓周角的度數(shù)是。練習(xí)31（2020·一中·期中）如圖，BD是⊙O的直徑，點(diǎn)A，C在⊙O上，＝，AC交BD于點(diǎn)G．若∠COD＝126°，則∠AGB的度數(shù)為（）31圖32圖33圖A．99° B．108° C．110° D．117°練習(xí)32（2021·十七中·期中）如圖，A是⊙O上一點(diǎn)，BC是直徑，AC＝2，AB＝4，點(diǎn)D在⊙O上且平分，則DC的長(zhǎng)為（）A．2 B． C．2 D．練習(xí)33（2020·一中·期中）如圖，AB為⊙O的直徑，C，D是圓周上的兩點(diǎn)，若∠ABC＝38°，則銳角∠BDC的度數(shù)為（）A．57° B．52° C．38° D．26°練習(xí)34（2020·七中·期中）如圖，在⊙O中，∠BAC＝15°，∠ADC＝20°，則∠ABO的度數(shù)為（）A．70° B．55° C．45° D．35°34圖35圖36圖練習(xí)35（2020·七中·期中）如圖，AB是半圓的直徑，點(diǎn)D是弧AC的中點(diǎn)，∠A＝55°，則∠CBD等于（）A．50° B．65° C．70° D．55°練習(xí)36（2019·雁南·期中）如圖，四邊形ABCD為⊙O的內(nèi)接四邊形，E是BC延長(zhǎng)線上的一點(diǎn)，已知∠BOD＝100°，則∠DCE的度數(shù)為．24.1圓的性質(zhì)作業(yè)1（2019·營口·期末）將一個(gè)半徑為5的半圓O，如圖折疊，使弧AF經(jīng)過點(diǎn)O，則折痕AF的長(zhǎng)度為（）1圖2圖A．5 B．52 C．53 D．103作業(yè)2如圖，已知⊙A在平面直角坐標(biāo)系中，⊙A與x軸交于點(diǎn)B，C，與y軸交于點(diǎn)D，E．若圓心A的坐標(biāo)為（﹣4，6），點(diǎn)B的坐標(biāo)為（﹣12，0），則DE的長(zhǎng)度為（）A．2 B．4 C．8 D．16作業(yè)3（2021·十七中·期中）已知點(diǎn)A，B，C在⊙O上，則下列命題為真命題的是（）A．若半徑OB平分弦AC，則四邊形OABC是平行四邊形 B．若四邊形OABC是平行四邊形，則∠ABC＝120° C．若∠ABC＝120°，則弦AC平分半徑OB D．若弦AC平分半徑OB，則半徑OB平分弦AC作業(yè)4（2020·十七中·期中）下列語句中正確的是（）A．長(zhǎng)度相等的兩條弧是等弧 B．平分弦的直徑垂直于弦 C．相等的圓心角所對(duì)的弧相等 D．經(jīng)過圓心的每一條直線都是圓的對(duì)稱軸作業(yè)5（2020·期末統(tǒng)考）如圖，點(diǎn)A，B，C為⊙O上三點(diǎn)，∠OAB＝40°，則∠ACB的度數(shù)等于（）5圖6圖A．100° B．80° C．50° D．40°作業(yè)6（2019·育才·期中）如圖，點(diǎn)A、B、C、D在⊙O上，∠AOC＝140°，點(diǎn)B是的中點(diǎn)，則∠D的度數(shù)是（）A．70° B．55° C．35.5° D．35°作業(yè)7（2019·雁南·期中）⊙O中，M為的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．AB＞2AM B．AB＝2AM C．AB＜2AM D．AB與2AM的大小不能確定7圖9圖10圖作業(yè)8（2020·老邊實(shí)驗(yàn)·期中）圓內(nèi)接四邊形ABCD中，∠A，∠B，∠C的度數(shù)的比為2：3：6，∠D的度數(shù)為（）A．45° B．67.5° C．135° D．112.5°作業(yè)9（19?營口）如圖，BC是⊙O的直徑，A，D是⊙O上的兩點(diǎn)，連接AB，AD，BD，若∠ADB＝70°，則∠ABC的度數(shù)是（）A．20° B．70° C．30° D．90°作業(yè)10如圖，⊙O的半徑為5，弦AB＝8，P是弦AB上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與A、B重合），下列不符合條件的OP的值是（）A．4 B．3 C．3.5 D．2.5作業(yè)11（2020·七中·期中）如圖，AB為⊙O的直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，其中AB＝4，∠AOC＝120°，P為⊙O上的動(dòng)點(diǎn)，連AP，取AP中點(diǎn)Q，連CQ，則線段CQ的最大值為（）A．3 B．1+ C．1+3 D．1+11圖12圖13圖作業(yè)12一條弦把圓分成1：5兩部分，則這條弦所對(duì)的圓周角的度數(shù)是作業(yè)13（2019·營口·期末）《九章算術(shù)》作為古代中國乃至東方的第一部自成體系的數(shù)學(xué)專著，與古希臘的《幾何原本》并稱現(xiàn)代數(shù)學(xué)的兩大源泉．在《九章算術(shù)》中記載有一問題“今有圓材埋在壁中，不知大?。凿忎徶?，深一寸，鋸道長(zhǎng)一尺，問徑幾何？”小輝同學(xué)根據(jù)原文題意，畫出圓材截面圖如圖所示，已知：鋸口深為1寸，鋸道AB＝1尺（1尺＝10寸），則該圓材的直徑為寸．作業(yè)14（2020·十七中·期中）已知⊙O半徑是1，弦AB，AC的長(zhǎng)分別為1和，則∠BAC＝．作業(yè)15（2020·一中·期中）如圖，AB是⊙O的直徑，點(diǎn)C，D，E都在⊙O上，∠1＝55°，則∠2＝°．15圖16圖作業(yè)16王江涇是著名的水鄉(xiāng)，如圖，圓拱橋的拱頂?shù)剿娴木嚯xCD為9m，水面寬AB為6m，則橋拱半徑OC為m．作業(yè)17如圖所示，AB為圓O