第四章第01講認(rèn)識三角形(9類熱點題型講練)

第01講認(rèn)識三角形(9類熱點題型講練)1.理解三角形及與三角形有關(guān)的概念,掌握它們的文字、符號語言及圖形表述方法；2.理解并會應(yīng)用三角形三邊間的關(guān)系；3.理解三角形的高、中線、角平分線的概念，學(xué)會它們的畫法.知識點01三角形的概念三角形的定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次聯(lián)結(jié)所組成的圖形.知識點02三角形的分類(1)按邊分類可以分為；(2)按角分類可以分為知識點03三角形基本元素角與邊的有關(guān)定理(1)三角形的內(nèi)角和等于.(2)直接三角形兩個銳角互余.(3)三角形的任意兩邊之和大于第三邊,任意兩邊之差小于第三邊.知識點04三角形的中線、角平分線、中線三角形的高：從三角形的一個頂點向?qū)呑鞔咕€，頂點與垂足之間的線段；三角形的中線：聯(lián)結(jié)三角形一個頂點與對邊中點的線段；三角形的重心：三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點．這點稱為三角形重心。三角形的角平分線：三角形的一個內(nèi)角的角平分線與對邊相交于一點頂點與交點之間的線段；三角形的高、中線和角平分線是三角形中三條重要的線段，它們提供了重要的線段或角的關(guān)系，為我們以后深入研究三角形的一些特征起著很大的幫助作用，因此，我們需要從不同的角度弄清這三條線段，列表如下：線段名稱三角形的高三角形的中線三角形的角平分線文字語言從三角形的一個頂點向它的對邊所在的直線作垂線，頂點和垂足之間的線段．三角形中，連接一個頂點和它對邊中點的線段．三角形一個內(nèi)角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段．圖形語言作圖語言過點A作AD⊥BC于點D．取BC邊的中點D，連接AD．作∠BAC的平分線AD，交BC于點D．標(biāo)示圖形符號語言1．AD是△ABC的高．2．AD是△ABC中BC邊上的高．3．AD⊥BC于點D．4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°．(或∠ADC＝∠ADB＝90°)1．AD是△ABC的中線．2．AD是△ABC中BC邊上的中線．3．BD＝DC＝BC4．點D是BC邊的中點．1．AD是△ABC的角平分線．2．AD平分∠BAC，交BC于點D．3．∠1＝∠2＝∠BAC．推理語言因為AD是△ABC的高，所以AD⊥BC．(或∠ADB＝∠ADC＝90°)因為AD是△ABC的中線，所以BD＝DC＝BC．因為AD平分∠BAC，所以∠1＝∠2＝∠BAC．用途舉例1．線段垂直．2．角度相等．1．線段相等．2．面積相等．角度相等．注意事項1．與邊的垂線不同．2．不一定在三角形內(nèi)．—與角的平分線不同．重要特征三角形的三條高(或它們的延長線)交于一點．一個三角形有三條中線，它們交于三角形內(nèi)一點．一個三角形有三條角平分線，它們交于三角形內(nèi)一點．題型01三角形的識別與有關(guān)概念【例題】（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）如圖，在中，邊BE所對的角是，所對的邊是；在中，邊AE所對的角是，所對的邊是；以為內(nèi)角的三角形有．【答案】CEAC，，【解析】略【變式訓(xùn)練】1．（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）觀察圖形．(1)圖中有幾個三角形？把它們一一寫出來；(2)寫出的邊、頂點及三個內(nèi)角；(3)以為內(nèi)角的三角形有哪些？(4)以AB為邊的三角形有哪些？【答案】(1)7個，見解析(2)的邊是AB，BD，AD；頂點是點A，B，D；三個內(nèi)角是，，(3)，，(4)，，【分析】查找三角形時可按逆時針方向，先固定一條邊，再通過查第三個頂點的方法確定三角形．【解】（1）圖中有7個三角形，分別是，，，，，，．（2）的邊是AB，BD，AD；頂點是點A，B，D；三個內(nèi)角是，，．（3）以為內(nèi)角的三角形有，，．（4）以AB為邊的三角形有，，．2．（2023·全國·八年級課堂例題）如圖所示，在中，點，分別在，上，交于點．(1)圖中有幾個三角形？把它們一一寫出來．(2)寫出以為內(nèi)角的三角形．(3)寫出的對邊．(4)寫出以線段為邊的三角形．【答案】(1)圖中有個三角形，分別是，，，，，，，(2)，(3)在中，的對邊是；在中，的對邊是(4)，【分析】本題考查三角形定義，三角形的邊和內(nèi)角（1）先找出基本三角形，再找組合圖形；（2）根據(jù)三角形的內(nèi)角即可解答；（3）根據(jù)三角形的邊即可解答；（4）根據(jù)三角形的邊即可解答；解題的關(guān)鍵是要細(xì)心、仔細(xì)的數(shù)出三角形的個數(shù)．【詳解】（1）解：圖中有個三角形，分別是，，，，，，，；（2）含有的三角形有，；（3）在中，的對邊是；在中，的對邊是；（4）以線段為邊的三角形有，．題型02三角形的分類【例題】（2023上·河南周口·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖均表示三角形的分類，下列判斷正確的是（

）A．①對，②不對 B．①不對，②對 C．①、②都不對 D．①、②都對【答案】B【分析】根據(jù)三角形的分類進(jìn)行判斷．【詳解】解：等腰三角形包括等邊三角形，故①的分類不正確；圖②中的三角形的分類正確．故選：B．【點睛】考查了三角形的分類，解題關(guān)鍵是掌握分類方法．按邊的相等關(guān)系分類：不等邊三角形和等腰三角形，注：等腰三角形包括等邊三角形．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·河北廊坊·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，一個三角形紙片被一塊長方形木板遮擋了一部分，則該三角形是（

）A．銳角三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．以上均有可能【答案】D【分析】本題考查了三角形的知識，由圖可知三角形的一個內(nèi)角是銳角，另外兩個角中有可能都是銳角，也有可能含有一個鈍角，或含有一個直角，接下來根據(jù)三角形的分類，確定對應(yīng)的形狀，從而確定結(jié)果，明確三角形的分類是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：當(dāng)三角形的一個內(nèi)角是銳角時，另外兩個內(nèi)角有可能都是銳角，則是銳角三角形；另外兩個內(nèi)角有可能是一個銳角，一個直角，則是直角三角形；另外兩個內(nèi)角有可能是一個鈍角，一個銳角，則是鈍角三角形；∴該三角形可能是銳角三角形或直角三角形或鈍角三角形，故選：．2．（2023上·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）若如圖表示三角形分類，則下列說法正確的是（

）A．表示等邊三角形 B．表示銳角三角形C．表示等腰三角形 D．表示三邊都不相等的三角形【答案】C【分析】本題主要考查了三角形的分類，根據(jù)三角形按邊的分類可直接選出答案．【詳解】解：三角形根據(jù)邊分類如下：由圖可知，M表示三邊均不相等的三角形，N表示等邊三角形，P表示等腰三角形故選：C．題型03構(gòu)成三角形的條件【例題】（2024上·新疆阿克蘇·八年級統(tǒng)考期末）下列長度的三條線段，不能構(gòu)成三角形的是（）A．，， B．，， C．，， D．，，【答案】B【分析】本題考查三角形的三邊關(guān)系，在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系，判定三條線段能否構(gòu)成三角形時，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度，即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形，由此即可判斷，關(guān)鍵是掌握三角形的三邊關(guān)系定理．【詳解】解：、，故A不符合題意；B、，故B符合題意；C、，故C不符合題意；D、，故D不符合題意；故選：B．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·廣西百色·八年級統(tǒng)考期末）下列長度的三條線段，能組成三角形的是（

）A．5，6，12 B．4，4，8 C．2，3，4 D．2，3，5【答案】C【分析】本題考查了三角形三邊關(guān)系，正確理解三角形三邊關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．三角形任何兩邊的和大于第三邊．根據(jù)三角形任何兩邊的和大于第三邊，可知“當(dāng)較短兩線段的長度之和大于最長線段的長度時，這三條線段能組成三角形．”由此即可判斷答案．【詳解】A、因為，所以三條線段不能組成三角形，不符合題意；B、因為，所以三條線段不能組成三角形，不符合題意；C、因為，所以三條線段能組成三角形，符合題意；D、因為，所以三條線段不能組成三角形，不符合題意；故選C．2．（2024上·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）用下列長度的三根木棒首尾相接，能做成三角形框架的是（

）A．、、 B．、、C．、、 D．、、【答案】C【分析】本題考查三角形的三邊關(guān)系，關(guān)鍵是掌握三角形的三邊關(guān)系定理．在運(yùn)用三角形三邊關(guān)系判定三條線段能否構(gòu)成三角形時，只要兩條較短的線段長度之和大于第三條線段的長度，即可判定這三條線段能構(gòu)成一個三角形，由此即可判斷．【詳解】解：A、，無法做成三角形，故A不符合題意；B、，無法做成三角形，故B不符合題意；C、，可以做成三角形，故C符合題意；D、，無法做成三角形，故D不符合題意．故選：C．題型04確定第三邊的取值范圍【例題】（2024上·浙江寧波·八年級統(tǒng)考期末）兩根木棒的長度分別為，取第三根木棒，使它們首尾順次相接組成一個三角形，則第三根木棒的長度可以是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題主要考查三角形三邊的關(guān)系，根據(jù)三角形三邊的關(guān)系“兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊”即可求解，掌握三角形三邊的數(shù)量關(guān)系是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)第三邊長為，∴，即，∴滿足條件的是，故選：．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·浙江臺州·八年級統(tǒng)考期末）已知一個三角形兩邊長分別為2，6，則第三邊長可以為（）A．3 B．4 C．7 D．9【答案】C【分析】本題考查了三角形的三邊關(guān)系．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系“三角形的兩邊之和大于第三邊，三角形的兩邊之差小于第三邊”進(jìn)行計算即可得．【詳解】解：∵一個三角形的兩邊長分別為2，6，∴第三邊的邊長x取值范圍為：，即，∴第三邊的邊長可以為7，故選：C．2．（2024上·重慶巴南·八年級統(tǒng)考期末）一木工師傅準(zhǔn)備用三根木條做一個三角形形狀的模具，現(xiàn)在已有兩根長度分別為、的木條，選擇下列長度的木條能做成三角形模具的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查三角形三邊關(guān)系，設(shè)第三邊長為，根據(jù)三角形的三邊關(guān)系求出的取值范圍，找出符合條件的木條即可．熟練掌握任意三角形，兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊是解題關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)木條的長度為，∵已有兩根長度分別為、的木條，∴，即．故選：D．題型05畫三角形的高【例題】（2023下·浙江·九年級階段練習(xí)）下面四個圖形中，線段是的高的是（

）A．B．C．D．【答案】B【分析】本題考查了三角形高的定義，即從三角形的一個頂點，向它的對邊所在直線作垂線，頂點與垂足之間的線段叫做三角形的高，熟練掌握知識點是解題的關(guān)鍵．根據(jù)三角形高的定義進(jìn)行判斷．【詳解】解：線段是的高的是故選：B．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·江蘇·七年級階段練習(xí)）在中，畫出邊上的高，畫法正確的是（

）A．B．C．D．【答案】C【分析】本題主要考查了畫三角形的高，從三角形的一個頂點，向?qū)呑鞔咕€，頂點到垂足之間的線段，叫做三角形的高線，據(jù)此求解即可．【詳解】解：根據(jù)三角形高線的定義，邊上的高是過點B向作垂線垂足為E，縱觀各圖形，選項A、B、D都不符合邊上的高線的定義，選項C符合邊上的高線的定義，故選C．2．（2024下·全國·七年級假期作業(yè)）如圖，．（1）在中，邊上的高是；（2）在中，邊上的高是．【答案】【解析】略題型06根據(jù)三角形的中線求長度【例題】（2023上·全國·八年級專題練習(xí)）如圖，已知是的邊上的中線，若，的周長比的周長多，則．【答案】【分析】本題考查了三角形的中線的定義，根據(jù)題意得出，，代入數(shù)據(jù)即可求解．【詳解】解：是的邊上的中線，，又，的周長比的周長多，，即，，故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（2024上·重慶江津·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，、分別是邊上的高和中線，，，則＝．【答案】6【分析】本題主要考查三角形的面積，利用三角形的面積公式求出，可得結(jié)論．【詳解】，，∴，是的中線，．故答案為：6．2．（2023上·山西大同·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在中，為邊上的中線，已知，，的周長為20，則的周長為．【答案】17【分析】本題考查三角形的中線，根據(jù)為邊長的中線，可得出和的周長關(guān)系，進(jìn)而解決問題．【詳解】解：因為是邊上的中線，所以．又，，所以．又，，的周長為20，所以．故答案為：17．題型07根據(jù)三角形的中線求面積【例題】（2024上·云南普洱·八年級統(tǒng)考期末）已知：如圖所示，在中，點分別為的中點，且，則陰影部分的面積為．【答案】//1.5【分析】本題考查三角形中線的性質(zhì)，根據(jù)等底等高的三角形面積相等，可得三角形的中線將三角形分成面積相等的兩部分，由此求解即可．【詳解】解：點E是的中點，，，，點F是的中點，，即陰影部分的面積為．故答案為：．【變式訓(xùn)練】1．（2023下·福建泉州·七年級統(tǒng)考期末）如圖，中，點D在邊上且，點E為邊上中點，和相交于點M，比的面積大2，則的面積為．【答案】12【分析】本題主要考查了三角形面積的計算，解題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形面積公式．根據(jù)，得出，即，根據(jù)E為邊上中點，得出，即，整理得出，根據(jù)比的面積大2，得出，即可得出答案．【詳解】解：∵，∴，∴，∴，∵點E為邊上中點，∴，∴，∴，∴，∵比的面積大2，∴，解得：．故答案為：12．2．（2023上·河南商丘·八年級統(tǒng)考期中）如圖，為的中線，為的中線．(1)若，，求的度數(shù)．(2)作的邊上的高，若的面積為，，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】本題主要考查了三角形外角以及三角形中線的性質(zhì)，作三角形的高；（1）利用三角形外角的性質(zhì)即可求得；（2）過點作于，即為的邊邊上的高；三角形的中線將三角形的面積等分成兩份，從而求出的面積．【詳解】（1）解：（2）如圖所示，過點向作垂線，設(shè)垂足為，則為的邊上的高．∵為的中線，∴，∵為的中線，∴題型08重心的概念及有關(guān)應(yīng)用【例題】（2023上·北京海淀·八年級?？计谥校┤鐖D中的每個小方格都是邊長為1的正方形，點A、B、C、D、E、F、G在小正方形的格點上，則表示三條中線的交點是．【答案】D【分析】分別確定邊與邊的中點，然后連接中線，其交點D就是三條中線的交點．【詳解】如圖，設(shè)的中點是點M，的中點為點N，則均是的中線，中線與中線的交點D即為三條中線的交點．故答案為：D．【點睛】本題考查了三角形三條中線的交點（即三角形的“重心”）的畫法，解題的關(guān)鍵是熟知三角形的三條中線相交于一點．【變式訓(xùn)練】1．（2023上·全國·八年級課堂例題）如圖，小明用鉛筆可以支起一張質(zhì)地均勻的三角形卡片，則他支起的這個點應(yīng)是三角形的交點．【答案】三條中線【分析】三角形三條中線的交點叫做三角形的重心．【詳解】解：因為三角形卡片質(zhì)地均勻所以小明支起的這個點是三角形的重心，即三角形三條中線的交點故答案為：三條中線【點睛】本題考查重心的定義．掌握相關(guān)結(jié)論是解題關(guān)鍵．2．（2022上·北京朝陽·八年級?？计谥校┫铝袌D中的都表示一塊質(zhì)地均勻的木板．圖①中，點D、E、F分別是的中點；圖②中，分別是的三條高線；圖③中，分別是的三條角平分線；圖④中，a、b、c分別是的三邊的垂直平分線．用一根細(xì)針頂住O點，能使三角形木板保持平衡的圖是．【答案】①【分析】根據(jù)三角形重心的概念和性質(zhì)即可判定．【詳解】解：∵用一根細(xì)針頂住O點，能使三角形木板保持平衡∴點O是的重心，∴線段是的三條中線，故①滿足題意．答案為①．【點睛】本題主要考查了三角形的重心和性質(zhì)，掌握三角形的重心是三角形三條中線的交點是解答本題的關(guān)鍵．題型09三角形角平分線的定義【例題】（2022上·四川綿陽·八年級東辰國際學(xué)校校考期中）下列說法正確的是（）A．三角形的三條中線交于一點B．三角形的角平分線是射線C．三角形的高所在的直線交于一點，這一點不在三角形內(nèi)就在三角形外D．三角形的一條角平分線能把三角形分成兩個面積相等的三角形【答案】A【分析】根據(jù)三角形的中線，角平分線，高線的定義和性質(zhì)，逐一進(jìn)行判斷即可．【詳解】A、三角形的三條中線交于一點，說法正確，符合題意；B、三角形的角平分線是線段，原說法錯誤，不符合題意；C、三角形的高所在的直線交于一點，當(dāng)三角形為銳角三角形時，交點在三角形的內(nèi)部，當(dāng)三角形為直角三角形時，交點在直角頂點上，當(dāng)三角形為鈍角三角形時，交點在三角形的外部，原說法錯誤，不符合題意；D、三角形的一條中線能把三角形分成兩個面積相等的三角形，原說法錯誤，不符合題意；故選A．【點睛】本題考查三角形的三條重要線段．熟練掌握三角形中的中線，角平分線和高線是三條線段，三角形的中線平分三角形的面積，以及高線所在的直線交于一點，該點可能在三角形的內(nèi)部，外部和三角形上，是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2020上·八年級課時練習(xí)）如圖，某地有三個車站A，B，C，順次連接AB，BC，CA，構(gòu)成三角形，一輛公共汽車從B站前往C站．（1）當(dāng)汽車行駛到點D時，剛好有，連接AD，AD這條線段是中BC邊上的____________，在中，這樣的線段有____________條，此時____________（填“有”或“沒有”）面積相等的三角形；（2）汽車?yán)^續(xù)向前行駛，當(dāng)行駛到點E時，發(fā)現(xiàn)，那么AE這條線段是中的____________，在中，這樣的線段有____________條；（3）汽車?yán)^續(xù)向前行駛，當(dāng)行駛到點F時，發(fā)現(xiàn)，那么AF是中BC邊上的____________，在中，這樣的線段有____________條．【答案】（1）中線，3，有；（2）角平分線，3；（3）高，3【分析】（1）由于BD=CD，則點D是BC中點，AD是中線，一個三角形有三條中線，三角形的中線把三角形成面積相等的兩個三角形；（2）由于，得到AE是三角形的角平分線，一個三角形有三條角平分線；（3）由于，得到AF是三角形高，一個三角形有三條高．【詳解】解：（1）AD是中BC邊上的中線，在中，這樣的線段有3條，此時△ABD與△ACD面積相等；（2）AE這條線段是中的角平分線，在中，這樣的線段有3條；（3）AF是中BC邊上的高，在中，這樣的線段有3條．故答案為：（1）中線，3，有；（2）角平分線，3；（3）高，3．【點睛】本題考查了三角形的高線、角平分線、中線的概念，理解好相關(guān)概念是解題關(guān)鍵．2．（2023下·江蘇泰州·七年級?？茧A段練習(xí)）如圖：中，點D在上，且，E是的中點，交于點F.(1)寫出圖中哪條線段是哪個三角形的角平分線，哪條線段是哪個三角形的中線？(2)若，且的面積為3，求出的面積.【答案】(1)是的角平分線，是的角平分線，是的中線，是的中線(2)18【分析】（1）根據(jù)三角形角平分線、中線的定義即可求解；（2）根據(jù)三角形中線的性質(zhì)求解．【詳解】（1）解：由題意知，是的角平分線，是的角平分線，是的中線，是的中線．（2）解：的面積為3，E是的中點，，，．【點睛】本題考查三角形有關(guān)的線段，三角形中線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是掌握“等高三角形的面積比等于底邊長度之比”．一、單選題1．（2024上·山東威海·七年級統(tǒng)考期末）下列選項中的三條線段，能圍成一個三角形的是（

）A．，， B．，，C．，， D．，，【答案】B【分析】此題主要考查了三角形三邊關(guān)系．根據(jù)“三角形任意兩邊之和大于第三邊，任意兩邊之差小于第三邊”對各選項逐一分析即可．【詳解】解：根據(jù)三角形的三邊關(guān)系，得：A、，則，，不能組成三角形，故此選項不符合題意；B、，則，，能組成三角形，故此選項符合題意；C、，則，，不能組成三角形，故此選項不符合題意；D、，則，，不能組成三角形，故此選項不符合題意．故選：B．2．（2024上·重慶豐都·八年級統(tǒng)考期末）若某三角形的三邊長分別為2，8，m，則m的值可以是（

）A．6 B．7 C．10 D．11【答案】B【分析】本題考查了構(gòu)成三角形的條件：任兩邊的和大小第三邊；根據(jù)此條件，確定m的范圍即可完成解答．【詳解】解：由題意得：，，∴，∴滿足題意；故選：B．3．（2024上·遼寧大連·八年級統(tǒng)考期末）如圖是一個鈍角，利用一個直角三角板作邊上的高，下列作法正確的是（

）A． B．

C．

D．

【答案】A【分析】本題考查的是作圖基本作圖，熟練掌握三角形高線的定義即過一個頂點作垂直于它對邊所在直線的線段,叫三角形的高線是解答此題的關(guān)鍵．【詳解】解：三角形高線即過一個頂點作垂直于它對邊所在直線的線段，則B、C、D均不是高線．故選：A．4．（2024上·內(nèi)蒙古包頭·八年級統(tǒng)考期末）如圖，直線，，，則∠2的度數(shù)為（）A．105° B．108° C．117° D．135°【答案】B【分析】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，先根據(jù)平行線的性質(zhì)得到，再由三角形外角的性質(zhì)即可求出答案．【詳解】解：∵，，∴，又∵，∴．故選：B．5．（2024上·江西南昌·八年級南昌市第三中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在中，D，E，F(xiàn)分別是的中點，，則陰影部分的面積等于（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】本題考查了中線與面積．熟練掌握中線與面積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．由題意知，，，，則，然后求解即可．【詳解】解：∵D，E，F(xiàn)分別是的中點，∴，，，∴，∴，故選：A．二、填空題6．（2024上·河南商丘·八年級統(tǒng)考期末）若一個三角形的兩邊長分別是2和3，第三邊的長為奇數(shù)．則第三邊的長為．【答案】3【分析】此題考查了三角形的三邊關(guān)系．根據(jù)三角形的三邊關(guān)系：兩邊之和大于第三邊，兩邊之差小于第三邊．可知第三邊的取值范圍是大于1而小于5，再結(jié)合第三邊是奇數(shù)即可求解．【詳解】解：第三邊x的范圍是：即．∵第三邊長是奇數(shù)，∴第三邊是3，故答案為：3．7．（2023上·湖南永州·八年級統(tǒng)考期中）如圖，是外角的平分線，，，則的度數(shù)是．【答案】/70度【分析】本題考查了三角形的外角性質(zhì)以及角平分線的定義，由平分，利用角平分線的定義，可求出的度數(shù)，再結(jié)合三角形的外角性質(zhì)，即可求出的度數(shù)．【詳解】解：∵平分，∴．又∵是的外角，∴．故答案為：．8．（2024上·河南鄭州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，點D，E分別在的邊上，且，點F在邊的延長線上，若，，則．【答案】/度【分析】本題考查了平行線的性質(zhì)以及三角形的外角定理，根據(jù)、即可求解．【詳解】解：∵，點F在邊的延長線上，∴∴，∵∴故答案為：9．（2024上·北京朝陽·八年級統(tǒng)考期末）在中，，D，E是邊上的兩點，且，有下列四個推斷：①若是的高，則可能是的中線；②若是的中線，則不可能是的高；③若是的角平分線，則可能是的中線；④若是的高，則不可能是的角平分線．上述推斷中，所有正確結(jié)論的序號是．【答案】①②③【分析】本題考查了三角形的高線，中線，角平分線的定義，掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：∵，，∴①若是的高，則可能是的中線正確，②是的中線，則不可能是的高正確，③若是的角平分線，則可能是的中線正確，④若是的高，則可能是的角平分線．故答案為①②③10．（2024上·河北石家莊·八年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，的面積為1，分別倍長（延長一倍），，得到；再分別倍長，，得到，則的面積為；……，按此規(guī)律，倍長2022次后得到的面積為．【答案】49【分析】本題考查了三角形的面積，圖形類的規(guī)律探索，根據(jù)等底等高的三角形的面積相等求出一次倍長后所得的三角形的面積等于原三角形的面積的倍是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：連接、、，根據(jù)等底等高的三角形面積相等，、C、C、、、、的面積都相等，所以，，同理，依此類推，的面積為，的面積為，∴的面積．故答案為：49；．三、解答題11．（2023上·湖南湘西·八年級?？茧A段練習(xí)）如圖，在的網(wǎng)格中的每個小正方形邊長都是1，每個小正方形的頂點稱作格點，的頂點都在格點上，按要求作圖：(1)請畫出的高；(2)請畫出的中線；(3)求出的面積．【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】本題考查了作三角形的高線和中線，三角形面積計算；（1）利用網(wǎng)格作交的延長線于D，即為所求；（2）利用網(wǎng)格找出的中點E，連接，即為所求；（3）利用網(wǎng)格特點結(jié)合三角形面積公式計算即可．【詳解】（1）解：的高如圖所示：（2）的中線如圖所示：（3）．12．（2023上·全國·八年級專題練習(xí)）在中，，．(1)若是整數(shù)，求的長；(2)已知是的中線，若的周長為10，求三角形的周長．【答案】(1)8(2)17【分析】本題考查的是三角形的三邊關(guān)系、三角形的中線的定義，掌握三角形兩邊之和大于第三邊、兩邊之差小于第三邊是解題的關(guān)鍵．（1）根據(jù)三角形的三邊關(guān)系解答即可；（2）根據(jù)三角形的中線的定義得到，根據(jù)三角形的周長公式計算，得到答案．【詳解】（1）由題意得：，，是整數(shù)，；（2）是的中線，的周長為10，，，，的周長．13．（2023上·湖南長沙·八年級?？奸_學(xué)考試）如圖，是的中線，是的中線．(1)在中作邊上的高．(2)若的面積為，，則點到邊的距離為多少？【答案】(1)見解析(2)點到邊的距離為【分析】本題主要考查了復(fù)雜作圖，以及三角形中線的性質(zhì)：（1）根據(jù)過直線外一點作已知直線的垂線的方法作圖即可；（2）首先根據(jù)三角形的中線把三角形的面積分成相等的兩部分可得的面積是5，再利用三角形的面積公式進(jìn)而得到的長．【詳解】（1）解：如圖所示：（2）解：是的中線，，是的中線，，的面積為，的面積是，，，∴．即點到邊的距離為．14．（2023上·廣東肇慶·八年級校考階段練習(xí)）如圖，已知中，，．(1)畫邊上的中線，并求長；(2)畫邊上的高，若，求的面積．【答案】(1)圖見解析，(2)圖見解析，【分析】本題考查了線段中點和三角形面積的計算，熟練掌握三角形面積計算公式是解題的關(guān)鍵（1）把線段分為兩條相等的線段的點，叫做這條線段的中點，根據(jù)是邊上的中線即可求出；（2）是邊的高，根據(jù)三角形面積=底高即可得到答案．【詳解】（1）解：如圖所示，是邊上的中線，，點D是線段的中點，；（2）邊上的高如圖所示：是邊的高，，．15．（2024上·江西南昌·八年級南昌市第三中學(xué)校聯(lián)考期末）如圖，在中，分別為的中線和高，為的角平分線．(1)若，求的大小．(2)若的面積為40，，求的長．【答案】(1)(2)8【分析】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形外角性質(zhì)和三角形面積公式．本題的關(guān)鍵是充分應(yīng)用三角形的角平分線、高和中線的定義．（1）先利用三角形的外角性質(zhì)計算出，再利用角平分線定義得到，然后根據(jù)高的定義和互余兩角的性質(zhì)求出的度數(shù)；（2）先根據(jù)三角形中線定義得到，然后利用三角形面積公式求的長．【詳解】（1）解：，，平分，，為高，，；（2）解：為中線，，，．16．