第03講一元二次方程的應(yīng)用（7個(gè)知識(shí)點(diǎn)10類題型18道強(qiáng)化訓(xùn)練）-八年級(jí)數(shù)學(xué)下冊(cè)學(xué)與練（浙教版）

第03講一元二次方程的應(yīng)用（7個(gè)知識(shí)點(diǎn)+10類題型+18道強(qiáng)化訓(xùn)練）課程標(biāo)準(zhǔn)學(xué)習(xí)目標(biāo)1.一元二次方程的應(yīng)用；2.一元二次方程應(yīng)用的解題步驟；1.掌握一元二次方程的應(yīng)用；2.掌握一元二次方程應(yīng)用的解題步驟；知識(shí)點(diǎn)：一元二次方程的應(yīng)用列一元二次方程解應(yīng)用題的一般步驟為：審、設(shè)、列、解、檢、答。具體可分為：①審題，找等量關(guān)系，這是列方程解應(yīng)用題的關(guān)鍵；②設(shè)未知數(shù)，注意單位;③根據(jù)題意找等量關(guān)系列出方程；④解方程；⑤檢驗(yàn)解是否合理；⑥寫出答案作答考點(diǎn)1數(shù)字問(wèn)題數(shù)字問(wèn)題有以下幾種常見(jiàn)類型:(1)連續(xù)整數(shù).若三個(gè)連續(xù)整數(shù)最中間的整數(shù)是，則最小的整數(shù)是，最大的整數(shù)是.(2)連續(xù)偶數(shù).若三個(gè)連續(xù)偶數(shù)最中間的偶數(shù)是，則最小的偶數(shù)是，最大的偶數(shù)是.(3)連續(xù)奇數(shù).若三個(gè)連續(xù)奇數(shù)最中間的奇數(shù)是，則最小的奇數(shù)是，最大的奇數(shù)是.(4)兩位數(shù).若一個(gè)兩位數(shù)的十位數(shù)字是，個(gè)位數(shù)字是，則這個(gè)兩位數(shù)是.(5)三位數(shù).若一個(gè)三位數(shù)的百位數(shù)字是，十位數(shù)字是，個(gè)位數(shù)字是，則這個(gè)三位數(shù)是.考點(diǎn)2多邊形對(duì)角線問(wèn)題利用一元二次方程解多邊形對(duì)角線問(wèn)題時(shí)需要用到公式，其中是多邊形的邊數(shù)，是多邊形對(duì)角線的總條數(shù).考點(diǎn)3循環(huán)問(wèn)題雙方參與問(wèn)題有以下幾種常見(jiàn)類型:(1)握手（單循環(huán)）.若兩個(gè)人握1次手，則個(gè)人握次手.(2)互送賀卡（雙循環(huán)）.若兩個(gè)人互送1張賀卡，則個(gè)人互送張賀卡.(3)球賽.①若兩個(gè)隊(duì)只比賽1場(chǎng)(單循環(huán))，則個(gè)隊(duì)比賽場(chǎng);②若兩個(gè)隊(duì)相互比賽1場(chǎng)(雙循環(huán))，則個(gè)隊(duì)比賽場(chǎng).考點(diǎn)4傳播問(wèn)題1、病毒傳染問(wèn)題：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了個(gè)人.開(kāi)始有一人患了流感，第一輪的傳染源就是這個(gè)人，他傳染了個(gè)人，用代數(shù)式表示第一輪后共有人患了流感.第二輪傳染中，人中的每個(gè)人又傳染了個(gè)人，用代數(shù)式表示第二輪后共有1×（1+x）+x(1+x)=（1+x）2人患了流感.樹(shù)枝問(wèn)題：設(shè)一個(gè)主干長(zhǎng)x個(gè)枝干，每個(gè)枝干長(zhǎng)x個(gè)小分支，則一共有1+x+x2個(gè)枝?？键c(diǎn)5增減率問(wèn)題增減率問(wèn)題涉及的公式有:(1)(2)若設(shè)原來(lái)量是，平均增長(zhǎng)率是，增長(zhǎng)次數(shù)是，增長(zhǎng)后的量是，則;若設(shè)原來(lái)量是，平均降低率是，降低次數(shù)是，降低后的量是，則.考點(diǎn)6面積問(wèn)題利用一元二次方程解面積問(wèn)題時(shí)，有時(shí)需要把不規(guī)則圖形轉(zhuǎn)化為規(guī)則圖形考點(diǎn)7利潤(rùn)問(wèn)題利潤(rùn)問(wèn)題常用公式如下:(1)利潤(rùn)=售價(jià)–成本價(jià)=標(biāo)價(jià)×折扣–成本價(jià).(2)利潤(rùn)率=(3)銷售額=銷售價(jià)×銷售量.(4)銷售利潤(rùn)=(銷售價(jià)–成本價(jià))×銷售量【即學(xué)即練1】1．（2023下·浙江寧波·九年級(jí)浙江省余姚市實(shí)驗(yàn)學(xué)校?？计谀廊说男鹿诓《荆幸粋€(gè)人感染了病毒，經(jīng)過(guò)兩輪傳染，一共有144個(gè)人感染，則每輪傳染中，平均一個(gè)人傳染了（

）個(gè)人A．13 B．12 C．11 D．10【答案】C【分析】設(shè)每輪傳染中，平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，根據(jù)題意可列出關(guān)于x的一元二次方程，解出x的值，并舍去不合題意的值即可．【詳解】解：設(shè)每輪傳染中，平均一個(gè)人傳染了x個(gè)人，根據(jù)題意有：，解得：，．∴每輪傳染中，平均一個(gè)人傳染了11個(gè)人．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用．理解題意，找出等量關(guān)系，列出等式是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練2】2．（2023上·浙江臺(tái)州·九年級(jí)校聯(lián)考期中）電影《八角籠中》講述了向騰輝傾注心血想把當(dāng)?shù)責(zé)o人照料的孩子培養(yǎng)成才，這讓生活本沒(méi)有出路的孩子們看到了一絲通向未來(lái)的曙光的故事．一經(jīng)上映就獲得追捧，第一天票房收入約6億元，第三天票房收入達(dá)到了億元，設(shè)第一天到第三天票房收入平均每天增長(zhǎng)的百分率為，則可列方程（）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程與增長(zhǎng)率問(wèn)題．根據(jù)題意即可列出方程．【詳解】解：∵第一天到第三天票房收入平均每天增長(zhǎng)的百分率為，且第一天票房收入約6億元，第三天票房收入達(dá)到了億元，∴故選：C【即學(xué)即練3】3．（2023下·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，長(zhǎng)，寬的矩形基地上有三條寬的小路，剩余種花，依題意列方程（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可得種植花苗的部分可以合成長(zhǎng)，寬的矩形，從而即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：長(zhǎng)，寬的矩形基地上有三條寬的小路，種植花苗的部分可以合成長(zhǎng)，寬的矩形，根據(jù)題意得：，故選：C．【點(diǎn)睛】本題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練4】4．（2023下·浙江杭州·八年級(jí)杭州市公益中學(xué)?？计谥校┳x詩(shī)詞，列方程：大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流人物；而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)，十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符．（詩(shī)詞大意；周瑜英年早逝，逝世時(shí)的年齡是一個(gè)兩位數(shù)，十位數(shù)字比個(gè)位數(shù)字小3，個(gè)位數(shù)字的平方剛好是周瑜逝世時(shí)的年齡），設(shè)周瑜逝世時(shí)的年齡的個(gè)位數(shù)字為x，則列出的方程正確的是（）A． B．C． D．【答案】B【分析】設(shè)周瑜逝世時(shí)的年齡的個(gè)位數(shù)字為x，則周瑜逝世時(shí)的年齡的十位數(shù)字為，根據(jù)“個(gè)位數(shù)字的平方剛好是周瑜逝世時(shí)的年齡”，列出方程，即可得出答案．【詳解】解：設(shè)周瑜逝世時(shí)的年齡的個(gè)位數(shù)字為x，則周瑜逝世時(shí)的年齡的十位數(shù)字為，根據(jù)題意，可得：．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，解本題的關(guān)鍵在理清題意，正確列出方程．【即學(xué)即練5】5．（2023下·浙江溫州·八年級(jí)?？计谥校┠成虉?chǎng)銷售一款恤，進(jìn)價(jià)為每件40元，當(dāng)售價(jià)為每件60元時(shí)，平均每周可賣出200件，為擴(kuò)大銷售，增加利潤(rùn)，商場(chǎng)準(zhǔn)備降價(jià)銷售．經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，每件每降價(jià)1元，平均每周可多賣出8件，若要使每周銷售該款恤獲利8450元，設(shè)每件降低元，則可列方程為（）A． B．C． D．【答案】D【分析】當(dāng)每件降低元時(shí)，每件的銷售利潤(rùn)為元，平均每周可售出件，利用每周銷售該款恤獲得的總利潤(rùn)每件的銷售利潤(rùn)每周的銷售量，可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：當(dāng)每件降低元時(shí)，每件的銷售利潤(rùn)為元，平均每周可售出件，根據(jù)題意得：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練6】6．（2021下·浙江·八年級(jí)期末）在中，，，，動(dòng)點(diǎn)P，Q分別從點(diǎn)A，B同時(shí)開(kāi)始移動(dòng)（移動(dòng)方向如圖所示），點(diǎn)P的速度為，點(diǎn)Q的速度為，點(diǎn)Q移動(dòng)到點(diǎn)C后停止，點(diǎn)P也隨之停止運(yùn)動(dòng)，若使的面積為，則點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】設(shè)出動(dòng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)t秒，能使的面積為，用t分別表示出和的長(zhǎng)，利用三角形的面積計(jì)算公式即可解答．此題考查一元二次方程的應(yīng)用，借助三角形的面積計(jì)算公式來(lái)研究圖形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題．【詳解】解：設(shè)動(dòng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)t秒后，能使的面積為，則為，為，由三角形的面積計(jì)算公式列方程得，，解得（當(dāng)時(shí)，，不合題意，舍去）．∴動(dòng)點(diǎn)P，Q運(yùn)動(dòng)3秒時(shí)，能使的面積為．故選：B．【即學(xué)即練7】7．（2023下·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）《九章算術(shù)》中有一題：“今有二人同立，甲行率六，乙行率四，乙東行，甲南行十步而斜東北與乙會(huì)，問(wèn)甲乙各行幾何？”大意是說(shuō)：“甲、乙二人同時(shí)從同一地點(diǎn)出發(fā)，甲的速度為6，乙的速度為4，乙一直向東走，甲先向南走10步，后又斜向北偏東方向走了一段后與乙相遇，甲、乙各走了多少步？”請(qǐng)問(wèn)乙走的步數(shù)是（

）A．36 B．26 C．24 D．10【答案】C【分析】設(shè)甲、乙兩人相遇的時(shí)間為t，則乙走了步，甲斜向北偏東方向走了步，利用勾股定理即可得出關(guān)于t的一元二次方程，解之即可得出t值，將其值代入中即可求出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)甲、乙兩人相遇的時(shí)間為t，則乙走了步，甲斜向北偏東方向走了步，依題意得：，整理得：，解得：（不合題意，舍去），∴．故乙走的步數(shù)是．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及勾股定理，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練8】8．（2023下·浙江·八年級(jí)專題練習(xí)）某超市經(jīng)銷一種水果，每千克盈利10元，每天可售出500千克，經(jīng)市場(chǎng)調(diào)查發(fā)現(xiàn)，在進(jìn)價(jià)不變的情況下，出售價(jià)格每漲價(jià)1元，日銷售量將減少20千克，現(xiàn)該超市要保證每天盈利6000元，同時(shí)又要使顧客得到實(shí)惠，那么每千克應(yīng)漲價(jià)（

）元A．5元 B．5元或10元 C．10元或15元 D．15元【答案】A【分析】設(shè)每千克水果漲了x元，那么就少賣了千克，根據(jù)市場(chǎng)每天銷售這種水果盈利了6000元，可列方程求解；【詳解】解：設(shè)每千克水果漲了x元，根據(jù)題意，得，解得或．因?yàn)橥瑫r(shí)又要使顧客得到最大優(yōu)惠，所以應(yīng)該上漲5元．故選：A．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用及理解題意的能力，關(guān)鍵是以利潤(rùn)作為等量關(guān)系列方程求解．題型01傳播問(wèn)題1．（2024上·四川瀘州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）小明在研學(xué)實(shí)踐中發(fā)現(xiàn)一種植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是，則這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是（

）A．7 B．6 C．5 D．4【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，設(shè)這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是,則支干個(gè)數(shù)為，小分支個(gè)數(shù)為，根據(jù)主干、支干和小分支的總數(shù)是即可求解．【詳解】解：設(shè)這種植物每個(gè)支干長(zhǎng)出的小分支個(gè)數(shù)是,則支干個(gè)數(shù)為，小分支個(gè)數(shù)為，由題意得：，解得：（舍），故選：D．2．（2023上·陜西咸陽(yáng)·九年級(jí)咸陽(yáng)市實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）某種植物的一個(gè)主干長(zhǎng)出個(gè)支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出個(gè)小分支，主干、支干、小分支一共是43個(gè)，根據(jù)題意列出關(guān)于的方程為．【答案】【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)主干、支干、小分支一共43個(gè)，列出方程．【詳解】解：∵一個(gè)主干長(zhǎng)出個(gè)支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出個(gè)小分支，∴一個(gè)主干，可以長(zhǎng)出支干的個(gè)數(shù)為x，分支的個(gè)數(shù)為，∴根據(jù)題意列出關(guān)于的方程為：．故答案為：．3．（2024上·安徽阜陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）冬春季是傳染病高發(fā)季節(jié)，據(jù)統(tǒng)計(jì)，去年冬春之交，有一人患了流感，在沒(méi)有采取醫(yī)療手段的情況下，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有64人患流感．(1)求每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了多少人？(2)若不及時(shí)控制，則第三輪感染后，患流感的共有多少人？【答案】(1)7(2)512【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，先求出每輪傳染中平均每人傳染了多少人數(shù)是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了人，根據(jù)經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有64人患了流感，可求出；（2）用第二輪每輪傳染中平均每人傳染的人數(shù)，可求出第三輪過(guò)后，患流感的人數(shù)．【詳解】（1）設(shè)每輪傳染中平均每人傳染了人，或(舍去)．答：每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了7個(gè)人；（2）(人．答：第三輪感染后，患流感的共有512人．題型02增長(zhǎng)率問(wèn)題1．（2024上·浙江臺(tái)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某學(xué)校圖書(shū)館2021年圖書(shū)借閱總量是5000本，2023年圖書(shū)借閱總量是7200本，設(shè)該圖書(shū)館的圖書(shū)借閱總量的年平均增長(zhǎng)率為x，則下列方程中，正確的是(

)A． B． C． D．【答案】D【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)2023年圖書(shū)借閱總量2021年圖書(shū)借閱總量列出方程即可得．【詳解】解：由題意，可列方程為，故選：D．2．（2024上·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）新能源汽車節(jié)能、環(huán)保．某款新能源汽車年銷量為萬(wàn)輛，銷量逐年增加，年銷量為萬(wàn)輛，設(shè)這款新能源汽車銷量的年平均增長(zhǎng)率為，則可列方程為．【答案】【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，利用預(yù)計(jì)到年的銷量年的銷量年到年的年平均增長(zhǎng)率，即可得出關(guān)于的一元二次方程，此題得解．【詳解】解：根據(jù)題意得：．故答案為：．3．（2024上·湖南岳陽(yáng)·九年級(jí)統(tǒng)考期末）隨著電商的火爆，某小區(qū)新建菜鳥(niǎo)驛站9月份每日平均接收快遞64件，11月份該菜鳥(niǎo)驛站每日平均接收快遞恰好達(dá)到100件，預(yù)計(jì)10、11、12月每個(gè)月內(nèi)日均接收快遞件數(shù)的增長(zhǎng)率不變．(1)求每個(gè)月內(nèi)日均接收快遞件數(shù)的增長(zhǎng)率；(2)請(qǐng)根據(jù)月平均增長(zhǎng)率預(yù)測(cè)12月份日均接收快遞數(shù)量．【答案】(1)每個(gè)月中日均接收快遞件數(shù)量的增長(zhǎng)率為25%(2)預(yù)測(cè)12月份日均接收快遞件數(shù)為125件【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，（1）設(shè)每個(gè)月中日均接收快遞件數(shù)的增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意列出一元二次方程，解方程即可求解；（2）利用11月的快遞量乘以（1）中所求得的增長(zhǎng)率，即可求出增長(zhǎng)量，問(wèn)題隨之得解．【詳解】（1）設(shè)每個(gè)月中日均接收快遞件數(shù)的增長(zhǎng)率為x，根據(jù)題意得：，解得：，（不符合題意，舍去）．答：每個(gè)月中日均接收快遞件數(shù)量的增長(zhǎng)率為25%；（2）根據(jù)題意得：（件）．答：預(yù)測(cè)12月份日均接收快遞件數(shù)為125件．題型03與圖形有關(guān)的問(wèn)題1．（2023·四川廣安·統(tǒng)考一模）如圖，某園林公司計(jì)劃將一塊長(zhǎng)200m、寬80m的矩形荒地改造成綠色公園，公園內(nèi)部修建四條寬度相等的石板路，余下區(qū)域（陰影部分）種植植被．若要使種植植被區(qū)域的面積占整個(gè)公園總面積的90%，求小路的寬．設(shè)小路的寬為，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程的知識(shí)，找準(zhǔn)等量關(guān)系，是正確列出一元二次方程的關(guān)鍵．根據(jù)矩形的面積公式結(jié)合種植植被區(qū)域的面積占整個(gè)公園總面積的90%，即可得出關(guān)于x的一元二次方程.【詳解】解：設(shè)小路的寬為x米，則種植植被區(qū)域的面積相當(dāng)于長(zhǎng)為米，寬為米的矩形面積，∴，故選：A．2．（2024·全國(guó)·九年級(jí)競(jìng)賽）有一面墻長(zhǎng)米，高米，中間有一個(gè)背景墻（陰影部分與黑色部分），如圖所示，已知背景墻的邊框（黑色部分）長(zhǎng)度為米，高米，面積為整面墻的面積的，那么背景墻邊框的寬度為米．【答案】/【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．設(shè)背景墻邊框的寬度為，可得出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其較小值即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)背景墻邊框的寬度為，得解得（舍）故答案為：．3．（2024上·山東臨沂·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，為了便于勞動(dòng)課程的開(kāi)展，學(xué)校打算建一個(gè)矩形生態(tài)園，生態(tài)園一面靠墻，若墻長(zhǎng)為，另三邊用竹籬笆圍成，籬笆總長(zhǎng)．(1)要圍成生態(tài)園的面積為，請(qǐng)求出的長(zhǎng)．(2)圍成生態(tài)園的面積能否達(dá)到？請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)的長(zhǎng)為米．(2)圍成生態(tài)園的面積不能達(dá)到．理由見(jiàn)解析【分析】本題考查的是一元二次方程的應(yīng)用，根的判別式的應(yīng)用，確定相等關(guān)系建立方程是解本題的關(guān)鍵；（1）設(shè)米，則米，再根據(jù)面積建立方程即可；（2）由面積可得，再結(jié)合根的判別式可得答案．【詳解】（1）解：設(shè)米，則米，根據(jù)題意得，，解得：，當(dāng)時(shí)，不符合題意，舍去，答：的長(zhǎng)為米．（2）由（1）得：，整理得：，∴，∴方程無(wú)解，∴圍成生態(tài)園的面積不能達(dá)到．題型04數(shù)字問(wèn)題1．（2023上·福建南平·九年級(jí)統(tǒng)考期中）若兩個(gè)連續(xù)負(fù)偶數(shù)的積為528，則這兩個(gè)負(fù)偶數(shù)的和為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，能用代數(shù)式表示出兩個(gè)連續(xù)的偶數(shù)，找到等量關(guān)系準(zhǔn)確的列出方程是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．設(shè)較小偶數(shù)為x，則較大偶數(shù)是，根據(jù)兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的積為528即可列出方程，解方程求得x的值，再求它們的和即可．【詳解】解：設(shè)較小偶數(shù)為x，則較大偶數(shù)是，則有，解得（不合題意，舍去），，∴二者之和為，故選：B．2．（2023上·河南信陽(yáng)·九年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）讀詩(shī)詞解題：大江東去浪淘盡，千古風(fēng)流人物；而立之年督東吳，早逝英年兩位數(shù)；十位恰小個(gè)位三，個(gè)位平方與壽符；哪位同學(xué)算得快，多少年華屬周瑜？則周瑜去世時(shí)的年齡是歲．【答案】36【分析】設(shè)個(gè)位數(shù)字，則十位數(shù)字為，根據(jù)個(gè)位平方與壽符，列出一元二次方程進(jìn)行求解即可．【詳解】解：設(shè)個(gè)位數(shù)字，則十位數(shù)字為，由題意，得：，整理，得：，解得：，當(dāng)時(shí)，兩位數(shù)為：；當(dāng)時(shí)，兩位數(shù)為，∵而立之年，∴25不合題意，舍去；∴周瑜去世時(shí)的年齡是歲；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查一元二次方程的應(yīng)用．讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程，是解題的關(guān)鍵．3．（2023上·山西晉中·九年級(jí)統(tǒng)考期中）2023年9月23日，杭州第19屆亞運(yùn)會(huì)在浙江杭州奧體中心體育場(chǎng)舉行了盛大的開(kāi)幕儀式，在本月日歷表上可以用一個(gè)黑色方框圈出3個(gè)數(shù)（如圖所示），若圈出的三個(gè)數(shù)中，最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為207，求中間的數(shù)（請(qǐng)用方程知識(shí)解答）．【答案】中間的數(shù)為16【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用．設(shè)中間的數(shù)為，根據(jù)日歷上數(shù)字的規(guī)律用含的代數(shù)式表示上面和下面的數(shù)字，結(jié)合最小數(shù)與最大數(shù)的乘積為207，列出方程進(jìn)行求解即可．找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確的列出方程，是解題的關(guān)鍵．【詳解】解：設(shè)中間的數(shù)為x．根據(jù)題意，得：解得，（不合題意，舍去）．答：中間的數(shù)為16．題型05營(yíng)銷問(wèn)題1．（2024上·遼寧·九年級(jí)統(tǒng)考期末）遼南是“中國(guó)蘋果之鄉(xiāng)”，某超市將進(jìn)價(jià)為每千克元的蘋果按每千克元賣出，平均一天能賣出千克，為了盡快減少庫(kù)存，決定降價(jià)銷售，超市發(fā)現(xiàn)當(dāng)售價(jià)每千克下降元時(shí)，其日銷售量就增加千克，設(shè)售價(jià)下降元，超市每天銷售蘋果的利潤(rùn)為元，則可列方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查了由實(shí)際問(wèn)題抽象出一元二次方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．當(dāng)售價(jià)下降元時(shí)，每千克蘋果的銷售利潤(rùn)為元，平均每天的銷售量為千克，利用超市每天銷售蘋果獲得的利潤(rùn)每千克的銷售利潤(rùn)平均每天的銷售量，即可得出關(guān)于的一元二次方程．【詳解】解：當(dāng)售價(jià)下降元時(shí)，每千克蘋果的銷售利潤(rùn)為元，平均每天的銷售量為千克，依題意得：，故選：B．2．（2024上·山西晉城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某商品進(jìn)價(jià)每件30元，有一段時(shí)間若以元賣出，則可賣件，商場(chǎng)計(jì)劃要賺1200元，同時(shí)又讓顧客得到實(shí)惠，則該商品的售價(jià)元．【答案】60【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意，得，解方程即可．【詳解】根據(jù)題意，得，整理得，解方程，得，要讓顧客得到實(shí)惠，價(jià)格取較低的，故，故答案為：60．3．（2023上·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某桶裝水經(jīng)營(yíng)部每天的房租、人員工資等固定成本為100元，每桶水的進(jìn)價(jià)是2元，規(guī)定銷售單價(jià)不得高于5元/桶，也不得低于3元/桶，調(diào)查發(fā)現(xiàn)日均銷售量y（桶）與銷售單價(jià)x（元）的函數(shù)圖象如圖所示．(1)求日均銷售量y（桶）與銷售單價(jià)x（元）的函數(shù)關(guān)系；(2)若該經(jīng)營(yíng)部希望日均獲利620元，那么銷售單價(jià)應(yīng)是多少元？【答案】(1)；(2)銷售單價(jià)應(yīng)是4元．【分析】本題考查了待定系數(shù)法求一次函數(shù)的解析式的運(yùn)用，一元二次方程的解法的運(yùn)用．（1）直接運(yùn)用待定系數(shù)法就可以求出日均銷售量（桶與銷售單價(jià)（元的函數(shù)關(guān)系式；（2）由（1）的解析式，根據(jù)銷售利潤(rùn)銷售數(shù)量每桶利潤(rùn)固定成本就可以求出結(jié)論．【詳解】（1）解：設(shè)日均銷售量（桶與銷售單價(jià)（元的函數(shù)關(guān)系為，根據(jù)題意得：，解得：，日均銷售量（桶與銷售單價(jià)（元的函數(shù)關(guān)系為；（2）解：根據(jù)題意得一元二次方程，解得，（不合題意舍去），銷售單價(jià)應(yīng)是4元．題型06動(dòng)態(tài)幾何問(wèn)題1．（2023上·河南周口·九年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在中，分別是上的動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)同時(shí)從兩點(diǎn)出發(fā)分別沿方向向點(diǎn)勻速運(yùn)動(dòng)，它們的速度都是，則經(jīng)過(guò)秒后，的面積為面積的一半．（

）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【分析】本題主要考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，找到等量關(guān)系列出方程求解解題的關(guān)鍵．設(shè)經(jīng)過(guò)x秒后的面積為面積的一半，則，，然后列方程求解即可．【詳解】解：經(jīng)過(guò)x秒后的面積為面積的一半，根據(jù)題意，得，化簡(jiǎn)得，解得，（不符合題意，舍去）∴經(jīng)過(guò)2秒后的面積為面積的一半．故選：A．2．（2023上·甘肅定西·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，三角形ABC中，，一動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)沿著邊以的速度運(yùn)動(dòng)，另一動(dòng)點(diǎn)從出發(fā)沿著邊以的速度運(yùn)動(dòng)，，兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)，運(yùn)動(dòng)時(shí)間為．當(dāng)為秒時(shí)，的面積為．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，根據(jù)題意，求得的長(zhǎng)，進(jìn)而求得，根據(jù)的面積是，列出方程，解方程即可解決問(wèn)題．【詳解】解：依題意，的面積為．解得故答案為：．3．（2023上·河南新鄉(xiāng)·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，在中，，點(diǎn)P，Q為邊及邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，若點(diǎn)P從點(diǎn)A沿邊向點(diǎn)B以的速度移動(dòng)，與此同時(shí)，點(diǎn)Q從點(diǎn)B開(kāi)始沿邊向點(diǎn)C以的速度移動(dòng)，兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)出發(fā)(1)經(jīng)過(guò)幾秒，的面積等于(2)是否存在這樣的時(shí)刻，使的面積等于?如果存在請(qǐng)求出來(lái)，如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1)經(jīng)過(guò)2或4秒，的面積等于(2)不存在這樣的時(shí)刻，使的面積等于【分析】本題考查了圖形動(dòng)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)以及解一元二次方程：（1）設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)，根據(jù)的面積等于，列式計(jì)算，即可作答；（2）依題意，列式，得，即可作答．【詳解】（1）解:設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t(s)，∵的面積等于∴，解得．故經(jīng)過(guò)2或4秒，的面積等于；（2）解：依題意有，即，那么故不存在這樣的時(shí)刻，使的面積等于．題型07行程問(wèn)題1．（2021·陜西·九年級(jí)專題練習(xí)）甲，乙兩人分別騎車從兩地相向而行，甲先行1小時(shí)后，乙才出發(fā)，又經(jīng)過(guò)4小時(shí)兩人在途中的C地相遇．相遇后兩人按原來(lái)的方向繼續(xù)前進(jìn)，乙在由C地到達(dá)A地的途中因故障停了20分鐘，結(jié)果乙由C地到達(dá)A地比甲由C地到達(dá)B地還提前了40分鐘．已知乙比甲每小時(shí)多行駛4千米，則甲、乙兩人騎車的速度分別為（

）千米/時(shí)．A． B． C． D．【答案】C【分析】設(shè)甲的速度為x千米/時(shí)，則乙的速度為千米/時(shí)，根據(jù)題意得到乙所用的時(shí)間比甲少一小時(shí)，列出關(guān)于x的分式方程，求出方程的解即可得到結(jié)果．【詳解】解：設(shè)甲每小時(shí)行駛x千米，則有乙每小時(shí)行駛千米，根據(jù)題意得：，去分母得：，即，解得：或（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)分式方程的解，且符合題意，，則甲、乙兩人騎車的速度分別為千米/時(shí)，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，準(zhǔn)確找出等量關(guān)系布列分式方程是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·山西臨汾·九年級(jí)?？计谥校╋w機(jī)起飛前，先要在跑道上滑行一段路程，滑行時(shí)是勻加速運(yùn)動(dòng)，其公式為，如果飛機(jī)起飛前滑行距離，其中，則飛機(jī)起飛的時(shí)間．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，將題中所給數(shù)據(jù)代入進(jìn)行求解即可．【詳解】解：將，代入得：，解得：，（舍去），故答案為：．3．（2023下·浙江杭州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知，一輛汽車在筆直的公路上剎車后，該車的速度米秒與時(shí)間秒之間滿足一次函數(shù)關(guān)系，其圖象如圖所示；(1)求與之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)已知汽車在該運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下，一段時(shí)間內(nèi)向前滑行的距離等于這段時(shí)間內(nèi)的平均速度乘以時(shí)間該運(yùn)動(dòng)狀態(tài)下的平均速度，表示這段時(shí)間起始時(shí)刻的速度，表示這段時(shí)間結(jié)束時(shí)刻的速度．若該車剎車后秒內(nèi)向前滑行了米，求的值．【答案】(1)(2)該車剎車后秒內(nèi)向前滑行了米【分析】（1）待定系數(shù)法求解析式即可求解；（2）根據(jù)題意得出，路程等于速度乘以時(shí)間，列出一元二次方程，解方程即可求解．【詳解】（1）解：將點(diǎn)，代入，，解得：，∴與之間的函數(shù)關(guān)系式為；（2）解：依題意，，，，則依題意，，即解得：或（舍去）答：該車剎車后秒內(nèi)向前滑行了米．【點(diǎn)睛】本題考查了一次函數(shù)的應(yīng)用，一元二次方程的應(yīng)用，根據(jù)題意列出一元二次方程，求得一次函數(shù)解析式是解題的關(guān)鍵．題型08工程問(wèn)題1．（2023下·江蘇泰州·八年級(jí)統(tǒng)考期末）問(wèn)題：“某工程隊(duì)準(zhǔn)備修建一條長(zhǎng)3000米的下水管道，由于采用新的施工方式，________________，提前2天完成任務(wù)，求原計(jì)劃每天修建下水管道的長(zhǎng)度？”條件：（1）實(shí)際每天修建的長(zhǎng)度比原計(jì)劃多；（2）原計(jì)劃每天修建的長(zhǎng)度比實(shí)際少75米．在上述的2個(gè)條件中選擇1個(gè)________________（僅填序號(hào)）補(bǔ)充在問(wèn)題的橫線上，并完成解答．【答案】選（1）或（2）；選（1）原計(jì)劃每天修建下水管道的長(zhǎng)度為米；選（2）原計(jì)劃每天修建下水管道的長(zhǎng)度為米【分析】選擇（1）時(shí)，設(shè)原計(jì)劃每天修建米，則實(shí)際每天修建米，根據(jù)提前2天完成這一任務(wù)，即可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)即可得出結(jié)論；選擇（2）時(shí)，設(shè)原計(jì)劃每天修建盲道米，則實(shí)際每天修建米，根據(jù)提前2天完成這一任務(wù)，即可得出關(guān)于y的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)即可得出結(jié)論；【詳解】選（1）或（2）（1）解：設(shè)原計(jì)劃每天修建下水管道的長(zhǎng)度為米經(jīng)檢驗(yàn)：是所列方程的解答：原計(jì)劃每天修建下水管道的長(zhǎng)度為米．（2）解：設(shè)原計(jì)劃每天修建下水管道的長(zhǎng)度為米（舍）經(jīng)檢驗(yàn)：是所列方程的解．答：原計(jì)劃每天修建下水管道的長(zhǎng)度為米．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，分析題意，找到關(guān)鍵描述語(yǔ)，找到合適的等量關(guān)系是解決問(wèn)題的關(guān)鍵．2．（2023·重慶開(kāi)州·校聯(lián)考一模）某工程隊(duì)采用A，B兩種設(shè)備同時(shí)對(duì)長(zhǎng)度為3600米的公路進(jìn)行施工改造．原計(jì)劃A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面比B型設(shè)備的2倍多30米，則30小時(shí)恰好完成改造任務(wù)．(1)求A型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)的路面長(zhǎng)度；(2)通過(guò)勘察，此工程的實(shí)際施工里程比最初的3600米多了750米．在實(shí)際施工中，B型設(shè)備在鋪路效率不變的情況下，時(shí)間比原計(jì)劃增加了小時(shí)，同時(shí)，A型設(shè)備的鋪路速度比原計(jì)劃每小時(shí)下降了3m米，而使用時(shí)間增加了m小時(shí)，求m的值．【答案】(1)型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)的路面長(zhǎng)度為90米(2)的值為10【分析】（1）設(shè)型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面米，則型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面米，根據(jù)題意列出方程求解即可；（2）根據(jù)“型設(shè)備鋪設(shè)的路面長(zhǎng)度型設(shè)備鋪設(shè)的路面長(zhǎng)度”列出方程，求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面米，則型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)路面米，根據(jù)題意得，，解得：，則，答：型設(shè)備每小時(shí)鋪設(shè)的路面長(zhǎng)度為90米；（2）根據(jù)題意得，，整理得，，解得：，（舍去），∴的值為10．【點(diǎn)睛】本題主要考查一元一次方程、一元二次方程的應(yīng)用，解題關(guān)鍵是讀懂題意，找準(zhǔn)等量關(guān)系并列出方程．3．（2024上·重慶開(kāi)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）城開(kāi)高速公路即重慶市城口縣至開(kāi)州區(qū)的高速公路，是國(guó)家高速銀百高速公路（銀川至百色）的一段，線路全長(zhǎng)公里，甲、乙兩工程隊(duì)共同承建該高速公路某隧道工程，隧道總長(zhǎng)2100米，甲、乙分別從隧道兩端向中間施工，計(jì)劃每天各施工6米．因地質(zhì)結(jié)構(gòu)不同，兩支隊(duì)伍每合格完成1米隧道施工所需成本不一樣．甲每合格完成1米隧道施工成本為8萬(wàn)元；乙每合格完成1米隧道施工成本為9萬(wàn)元．(1)若工程結(jié)算時(shí)乙總施工成本不低于甲總施工成本的，求甲最多施工多少米？(2)實(shí)際施工開(kāi)始后地質(zhì)情況比預(yù)估更復(fù)雜，甲乙兩隊(duì)每日完成量和成本都發(fā)生變化．甲每合格完成1米隧道施工成本增加m萬(wàn)元時(shí)，則每天可多挖米，乙在施工成本不變的情況下，比計(jì)劃每天少挖米，若最終每天實(shí)際總成本比計(jì)劃多萬(wàn)元，求的值．【答案】(1)甲最多施工900米(2)的值為2【分析】本題主要考查了一元一次不等式的應(yīng)用、一元二次方程的應(yīng)用等知識(shí)點(diǎn)，審清題意、弄清量之間的關(guān)系、正確列出不等式和方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)甲工程隊(duì)施工x米，則乙工程隊(duì)施工米，根據(jù)不等關(guān)系“工程結(jié)算時(shí)乙總施工成本不低于甲總施工成本的”列出關(guān)于的一元一次不等式，解之取其中的最大值即可解答；（2）根據(jù)“最終每天實(shí)際總成本比計(jì)劃多萬(wàn)元”即可得出關(guān)于的一元二次方程求解即可．【詳解】（1）解：設(shè)甲施工米，由題意可得：，解得：．答：甲最多施工900米．（2）解：由題意可得：，整理得，解得．答：的值為2．題型09圖表信息題1．（2021上·寧夏銀川·九年級(jí)?？茧A段練習(xí)）根據(jù)下表提供的信息，一元二次方程的解大概是（

）23456513A．0 B．3.5 C．3.8 D．4.5【答案】D【分析】根據(jù)表格數(shù)據(jù)，找出代數(shù)式從變?yōu)闀r(shí)的取值范圍即可判斷【詳解】時(shí)，，時(shí)，，則的解的范圍為，即一元二次方程的解大概是4.5．故選D．【點(diǎn)睛】本題考查了估算一元二次方程的解的近似值，根據(jù)表格獲得信息是解題的關(guān)鍵．2．（2023上·北京海淀·九年級(jí)期中）一組帶有標(biāo)號(hào)的紅盒內(nèi)分別裝有紅球，另一組帶有標(biāo)號(hào)的白盒內(nèi)分別裝有白球，具體信息如下表：紅盒標(biāo)號(hào)紅球數(shù)量白盒標(biāo)號(hào)白球數(shù)量若相同標(biāo)號(hào)的紅盒與白盒中裝的球數(shù)相等，則盒子的標(biāo)號(hào)是．【答案】【分析】先根據(jù)表格，先找出球的個(gè)數(shù)與盒子的標(biāo)號(hào)的規(guī)律，然后設(shè)球的個(gè)數(shù)為，盒子的標(biāo)號(hào)為，根據(jù)兩盒中球隊(duì)的個(gè)數(shù)相等，列方程求解即可．【詳解】解：由紅盒標(biāo)號(hào)與紅球數(shù)對(duì)應(yīng)個(gè)數(shù)的表格可以得出如下規(guī)律：當(dāng)紅球個(gè)數(shù)為，紅盒標(biāo)號(hào)為時(shí)，有．由白盒標(biāo)號(hào)與白球個(gè)數(shù)的表格可以得出如下規(guī)律：當(dāng)白球個(gè)數(shù)為，白盒標(biāo)號(hào)為時(shí)，有．當(dāng)相同標(biāo)號(hào)的紅盒和白盒中裝球數(shù)相等時(shí)，有，解得舍去或，當(dāng)相同標(biāo)號(hào)的紅盒和白盒中的裝球數(shù)相等時(shí)，盒子的標(biāo)號(hào)為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查觀察、比較、歸納的找規(guī)律問(wèn)題，同時(shí)利用等量關(guān)系列方程解決問(wèn)題，還考查了一元二次方程的解法．3．（2022上·廣東陽(yáng)江·九年級(jí)統(tǒng)考期末）烏克蘭危機(jī)發(fā)生之后，外交戰(zhàn)線按照黨中央的部署緊急行動(dòng)，在戰(zhàn)火粉飛中已將5200多名同胞安全從烏克蘭撤離，電影《萬(wàn)里歸途》正是“外交為民”的真實(shí)寫照，如表是該影片票房的部分?jǐn)?shù)據(jù)，（注：票房是指截止發(fā)布日期的所有售票累計(jì)收入）影片《萬(wàn)里歸途》的部分統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)發(fā)布日期10月8日10月11日10月12日發(fā)布次數(shù)第1次第2次第3次票房10億元12.1億元(1)平均每次累計(jì)票房增長(zhǎng)的百分率是多少？(2)在（1）的條件下，若票價(jià)每張40元，求10月11日賣出多少?gòu)堧娪捌薄敬鸢浮?1)10%(2)2500000張【分析】（1）設(shè)平均每次累計(jì)票房增長(zhǎng)的百分率是，利用第3次累計(jì)票房=第1次累計(jì)票房（1+平均每次累計(jì)票房增長(zhǎng)的百分率），即可得出關(guān)于的一元二次方程，解之取其正值即可得出結(jié)論；（2）利用數(shù)量=總結(jié)單價(jià)，即可求出結(jié)論；【詳解】（1）解：設(shè)平均每次累計(jì)票房增長(zhǎng)的百分率是，依題意得：，解得：，（不符合題意，舍去）．答：平均每次累計(jì)票房增長(zhǎng)的百分率是10%．（2）解：（張）．答：10月11日賣出2500000張電影票．（或（張）．）【點(diǎn)睛】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用以及統(tǒng)計(jì)表，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．題型10其他問(wèn)題1．（2024上·河北石家莊·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某學(xué)校組織一次足球賽，采取單循環(huán)的比賽形式，即每?jī)蓚€(gè)球隊(duì)之間都要比賽一場(chǎng)，計(jì)劃組織x支球隊(duì)參加，安排36場(chǎng)比賽，則x為（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】D【分析】設(shè)計(jì)劃組織x支球隊(duì)參加，根據(jù)計(jì)劃安排36場(chǎng)比賽列方程，解方程即可得到答案.此題考查了一元二次方程的應(yīng)用，讀懂題意，準(zhǔn)確列出方程是解題的關(guān)鍵.【詳解】解：設(shè)計(jì)劃組織x支球隊(duì)參加，則，解得（不合題意，舍去），∴參賽隊(duì)數(shù)為個(gè)故選：D2．（2024上·四川成都·九年級(jí)統(tǒng)考期末）學(xué)習(xí)雷鋒好榜樣．學(xué)校計(jì)劃建一坐高度為4米的雷鋒雕像，使雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，那么該雕像的下部高度是米．【答案】【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用．設(shè)下部高為米，根據(jù)雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比列方程可解得答案．【詳解】解：設(shè)下部高為米，則上部高度是米，∵雕像上部（腰部以上）與下部（腰部以下）的高度比，等于下部與全部的高度比，∴，解得：或（舍去），經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，故答案為：．3．（2024上·重慶渝中·九年級(jí)統(tǒng)考期末）下圖是今年1月的月歷表，用矩形方框按如圖所示的方法任意圈出4個(gè)數(shù)，請(qǐng)解答下列問(wèn)題：(1)若方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積為180，求最小數(shù)；(2)方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個(gè)數(shù)的和能為124嗎?若能，求最小數(shù)；若不能，請(qǐng)說(shuō)明理由．【答案】(1)10(2)不能，理由見(jiàn)解析【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)最小數(shù)是，則最大數(shù)是，根據(jù)方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積為180，可列出關(guān)于的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論；（2）假設(shè)方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個(gè)數(shù)的和能為124，設(shè)最小數(shù)是，則另外三個(gè)數(shù)分別是，，，根據(jù)方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個(gè)數(shù)的和為124，可列出關(guān)于的一元二次方程，解之可得出的值，由在最后一列，可得出假設(shè)不成立，即方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個(gè)數(shù)的和不能為124．【詳解】（1）解：設(shè)最小數(shù)是，則最大數(shù)是，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去）．答：最小數(shù)是10；（2）方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個(gè)數(shù)的和不能為124，理由如下：假設(shè)方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個(gè)數(shù)的和能為124，設(shè)最小數(shù)是，則另外三個(gè)數(shù)分別是，，，根據(jù)題意得：，整理得：，解得：，（不符合題意，舍去），在最后一列，假設(shè)不成立，即方框中最大數(shù)與最小數(shù)的乘積與這四個(gè)數(shù)的和不能為124．A夯實(shí)基礎(chǔ)1．（2024上·海南儋州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）海口江東新區(qū)設(shè)立于2018年6月，是海南自貿(mào)港11個(gè)重點(diǎn)園區(qū)之一．隨著各項(xiàng)重點(diǎn)項(xiàng)目建設(shè)加快推進(jìn)，?？诮瓥|新區(qū)面貌日新月異，其中新區(qū)稅收從2019年的7億元增長(zhǎng)到2021年的45億元，若設(shè)每年的年平均增長(zhǎng)率為，則可列方程（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，理解題意并列出方程是解決本題的關(guān)鍵．先表示2021年的稅收為億元，再建立方程即可．【詳解】解：設(shè)每年的年平均增長(zhǎng)率為，則，故選：C．2．（2024上·重慶開(kāi)州·九年級(jí)統(tǒng)考期末）冬季是流行性疾病的高發(fā)期，某人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有144人患了流感，每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了幾個(gè)人？設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了個(gè)人，可列方程為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題考查一元二次方程的應(yīng)用．根據(jù)題意，正確的列出一元二次方程，是解題的關(guān)鍵．根據(jù)有1人患了流感，經(jīng)過(guò)兩輪傳染后共有人患了流感，列出方程即可．【詳解】解：設(shè)每輪傳染中平均一個(gè)人傳染了個(gè)人，由題意，得：，故選：C．3．（2024上·河南開(kāi)封·九年級(jí)統(tǒng)考期末）某校九年級(jí)組織一次辯論賽，規(guī)定進(jìn)行單循環(huán)賽（每?jī)砂噘愐粓?chǎng)），共賽了場(chǎng)，該校九年級(jí)共有多少個(gè)班級(jí)參加了辯論賽？設(shè)該校九年級(jí)共有個(gè)班參加了辯論賽，根據(jù)題意，可列方程為．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，由題意得知個(gè)班要與各班進(jìn)行比賽，結(jié)合單循環(huán)賽即可列出方程．【詳解】解：由題意得：個(gè)班要與各班進(jìn)行比賽，∵進(jìn)行單循環(huán)賽（每?jī)砂噘愐粓?chǎng)），∴，故答案為：4、（2024上·山西陽(yáng)泉·九年級(jí)統(tǒng)考期末）一份攝影作品[七寸照片（長(zhǎng)7英寸，寬5英寸）]，現(xiàn)將照片貼在一張矩形襯紙的正中央，照片四周外露出襯紙的寬度相同；矩形襯紙的面積為照片面積的2倍．設(shè)照片四周外露襯紙的寬度為x英寸（如圖），則可列方程為【答案】【分析】本題考查了一元二次方程在圖形中的應(yīng)用，表示出矩形襯紙的長(zhǎng)和寬，即可根據(jù)矩形襯紙的面積為照片面積的2倍列出方程．【詳解】解：∵矩形襯紙的面積為照片面積的2倍，矩形襯紙的長(zhǎng)和寬分別為：，∴故答案為：5．（2023上·廣東清遠(yuǎn)·九年級(jí)?？计谥校┠成虉?chǎng)銷售某款上衣，剛上市時(shí)每件可盈利100元，銷售一段時(shí)間后開(kāi)始滯銷，經(jīng)過(guò)連續(xù)兩次降價(jià)后，每件盈利81元，平均每天可售出20件．(1)求平均每次降價(jià)盈利減少的百分率；(2)為盡快減少庫(kù)存，商場(chǎng)決定再次降價(jià)．每件上衣每降價(jià)1元，每天可多售出2件．若商場(chǎng)每天要盈利2940元，每件應(yīng)降價(jià)多少元？【答案】(1)平均每次降價(jià)盈利減少的百分率為(2)每件應(yīng)降價(jià)60元【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)每次下降的百分率為x，根據(jù)題意，得：，即可求解；（2）設(shè)每件應(yīng)降價(jià)元，由題意得方程，進(jìn)而求解．【詳解】（1）解：設(shè)平均每次降價(jià)盈利減少的百分率為，依題意，得，解得（不合題意，舍去）．答：平均每次降價(jià)盈利減少的百分率為．（2）設(shè)每件應(yīng)降價(jià)元，則每天可售出件，依題意，得，解得：，．要盡快減少庫(kù)存，．答：每件應(yīng)降價(jià)60元．6．（2019上·湖北孝感·九年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖是一張長(zhǎng)dm，寬6dm的長(zhǎng)方形紙板，將紙板四個(gè)角各剪去一個(gè)同樣的邊長(zhǎng)為xdm的正方形，然后將四周突出部分折起，可制成一個(gè)無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒．(1)無(wú)蓋方盒盒底的長(zhǎng)為dm，寬為dm（用含x的式子表示）．(2)若要制作一個(gè)底面積是40dm2的無(wú)蓋的長(zhǎng)方體紙盒，求剪去的正方形邊長(zhǎng)．【答案】(1)，(2)dm【分析】本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意是解題關(guān)鍵．（1）根據(jù)題意即可求解；（2）求解方程即可．【詳解】（1）解：由圖示可知：無(wú)蓋方盒盒底的長(zhǎng)為dm，寬為dm故答案為：，（2）解：由題意得：，整理得：，解得：（不符合題意，舍去）∴剪去的正方形邊長(zhǎng)為dmB能力提升1．（2024上·吉林·九年級(jí)?？计谀┤鐖D是某地下停車場(chǎng)的平面示意圖，停車場(chǎng)的長(zhǎng)為，寬為．停車場(chǎng)內(nèi)車道的寬都相等，若停車位的占地面積為，求車道的寬度（單位：）．設(shè)停車場(chǎng)內(nèi)車道的寬度為，根據(jù)題意所列方程為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】本題考查根據(jù)實(shí)際問(wèn)題列一元二次方程，將兩個(gè)停車位合在一起，可以得到一個(gè)大的長(zhǎng)方形，用含x的式子表示出該長(zhǎng)方形的長(zhǎng)和寬，根據(jù)停車位的占地面積為列方程即可．【詳解】解：設(shè)停車場(chǎng)內(nèi)車道的寬度為，將兩個(gè)停車位合在一起，則長(zhǎng)為，寬為，因此，故選B．2．（2022·安徽·模擬預(yù)測(cè)）由于改進(jìn)了生產(chǎn)工藝，某科技公司決定逐步降低其研發(fā)的移動(dòng)硬盤的價(jià)格．已知該移動(dòng)硬盤2020年的售價(jià)是500元/塊，2022年的售價(jià)為406元/塊，若年平均降價(jià)率相同，則年平均降價(jià)率約是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】本題主要考查了一元二次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是根據(jù)等量關(guān)系列出方程，根據(jù)若為起始量，為終止量，為增長(zhǎng)（或降低）的次數(shù)，則平均增長(zhǎng)率的公式為，平均下降率的公式為，列出方程解方程即可．【詳解】解：設(shè)年平均降價(jià)率為．依題意，得：，解得（不合題意，舍去），即年平均降價(jià)率約是．故選：C．3、（2024·全國(guó)·七年級(jí)競(jìng)賽）星星和希希兩個(gè)人比賽打乒乓球，其中星星比希希要打得好，所以星星承諾，只要自己輸?shù)舯荣?，就拿出賽前希希所押資金的7倍作為獎(jiǎng)金．希希在第一局下注2元，在后面的比賽中，希希將在每一局前再多押2元．就這樣希希一直在輸，但最終仍然通過(guò)一場(chǎng)勝利把之前所有下注的錢都贏了回來(lái)，則希希的這場(chǎng)勝利是在第場(chǎng)．【答案】【分析】本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，設(shè)希希是在第場(chǎng)勝利,他輸?shù)袅酥暗膎場(chǎng)比賽,在第場(chǎng)前,他押的資金為元,根據(jù)題意列方程即可求解．【詳解】解：設(shè)希希是在第場(chǎng)勝利,他輸?shù)袅酥暗膎場(chǎng)比賽,在第場(chǎng)前,他押的資金為元,由題意得：解得（舍）,∴希希在第場(chǎng)取得勝利.故答案為：4．（2024上·北京海淀·九年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，將面積為25的正方形的邊的長(zhǎng)度增加，變?yōu)槊娣e為22的矩形．若正方形和矩形的周長(zhǎng)相等，則的值是．【答案】【分析】本題考查了矩形、正方形的性質(zhì)，一元二次方程的解法等．根據(jù)正方形的面積可得正方形的邊長(zhǎng)為，再根據(jù)正方形和矩形的周長(zhǎng)相等，可得，再由矩形的面積建立方程求解即可得出答案．【詳解】∵正方形的面積為，∴正方形的邊長(zhǎng)為，由題意得：，∵正方形和矩形的周長(zhǎng)相等，，，∵矩形的面積為，，即，解得：，，，故答案為：5．（2024上·山東聊城·九年級(jí)統(tǒng)考期末）今年小亮家的蘋果大豐收，小亮在假期里利用視頻直播幫助爸媽賣蘋果．第一天他實(shí)現(xiàn)了出售蘋果的目標(biāo)，第三天實(shí)現(xiàn)了出售蘋果的目標(biāo)．(1)如果第二天、第三天出售蘋果重量的增長(zhǎng)率相同，求出售蘋果重量的平均增長(zhǎng)率；(2)按照（1）中增長(zhǎng)率，他期望第四天的出售量達(dá)到，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明他的目標(biāo)能否實(shí)現(xiàn)？【答案】(1)(2)目標(biāo)能實(shí)現(xiàn)，見(jiàn)解析【分析】本題考查了一元二次方程的實(shí)際應(yīng)用，正確理解題意是解題關(guān)鍵．（1）設(shè)出售蘋果重量的平均增長(zhǎng)率為，根據(jù)題意列方程即可求解；（2）計(jì)算即可判斷．【詳解】（1）解：設(shè)出售蘋果重量的平均增長(zhǎng)率為，依題意得：，解得：（不合題意，舍去）．答：出售蘋果重量的平均增長(zhǎng)率為．（2）解：．因?yàn)?，所以他的目?biāo)能實(shí)現(xiàn)．6．（2024上·山東濟(jì)南·九年級(jí)統(tǒng)考期末）在我國(guó)，博物館是最受歡迎的旅游景點(diǎn)之一，隨著“博物館熱”持續(xù)升溫，越來(lái)越多的人走進(jìn)博物館，了解文化歷史、感受藝術(shù)魅力，某城市博物館，今年5月份接待游客10萬(wàn)人，7月份接待游客增加到14.4萬(wàn)人．(1)求該博物館這兩個(gè)月接待游客的月平均增長(zhǎng)率．(2)如果能保持這個(gè)月平均增長(zhǎng)率，第三季度（7月~9月）該館接待游客總量能否達(dá)到50萬(wàn)人？【答案】(1)(2)能達(dá)到50萬(wàn)人【分析】本題考查了一元二次方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出一元二次方程是解題的關(guān)鍵．（1）設(shè)這兩個(gè)月接待游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為x，可列出關(guān)于x的一元二次方程，解之取其符合題意的值，即可得出結(jié)論；（2）求出第三季度接待游客的總?cè)藬?shù)，則可得出答案．【詳解】（1）解：設(shè)這兩個(gè)月接待游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為，依題意，得：，解得：（舍去）；答：這兩個(gè)月接待游客人數(shù)的月平均增長(zhǎng)率為．（2）解：8月份接待游客人數(shù)：（萬(wàn)人）9月份接待游客人數(shù)：（萬(wàn)人）第三季度接待游客總?cè)藬?shù)為：（萬(wàn)人）答：第三季度（7月～9月）該館接待游客總量能達(dá)到50萬(wàn)人．C綜合素養(yǎng)1．（2023上·河南駐馬店·九年級(jí)平輿縣第二初級(jí)中學(xué)?？计谀┠撤N植物的主干長(zhǎng)出若干數(shù)目的支干，每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支，主干、支干和小分支的總數(shù)是91，則每個(gè)支干長(zhǎng)出（

）小分支．A．8 B．9 C．2 D．8或2【答案】B【分析】本題主要考查一元二次方程的應(yīng)用，如果設(shè)每個(gè)支干分出x個(gè)小分支，根據(jù)“每個(gè)支干又長(zhǎng)出同樣數(shù)目的小分支”可知：支干