高中數(shù)學(xué)同步講義（人教A版選擇性必修三）第17講 第七章 隨機(jī)變量及其分布 章末題型大總結(jié)（學(xué)生版）

第09講第七章隨機(jī)變量及其分布章末題型大總結(jié)題型01相互獨(dú)立事件與互斥、對(duì)立事件【典例1】（2023上·四川涼山·高二校聯(lián)考期末）一個(gè)盒子中裝有標(biāo)號(hào)為1，2，3，4的4張?zhí)柡?，從中隨機(jī)地選取兩張?zhí)柡灒录叭〉綐?biāo)號(hào)為1和3的號(hào)簽”，事件“兩張?zhí)柡灅?biāo)號(hào)之和為5”，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．與互斥 B．與獨(dú)立 C．與對(duì)立 D．【典例2】（2023上·江蘇常州·高二常州高級(jí)中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）同時(shí)擲紅、藍(lán)兩枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A表示“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為5”，事件B表示“紅色骰子的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，事件C表示“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)相同”，事件D表示“至少一枚骰子的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”.則下列說(shuō)法中正確的是（

）①A與C互斥

②B與D對(duì)立

③A與D相互獨(dú)立

④B與C相互獨(dú)立A．①③ B．①④ C．②③ D．②④【典例3】（多選）（2023上·福建泉州·高二福建省德化第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）同時(shí)擲紅、藍(lán)兩枚質(zhì)地均勻的骰子，事件A表示“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)之和為5”，事件B表示“紅色骰子的點(diǎn)數(shù)是偶數(shù)”，事件C表示“兩枚骰子的點(diǎn)數(shù)相同”，事件D表示“至少一枚骰子的點(diǎn)數(shù)是奇數(shù)”.則下列說(shuō)法中正確的是（

）A．A與C互斥 B．B與D對(duì)立C．A與D相互獨(dú)立 D．B與C相互獨(dú)立【典例4】（多選）（2023上·重慶沙坪壩·高三重慶八中校考階段練習(xí)）有4個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1，2，3，4，從中不放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球，事件A表示“第一次取出的球的數(shù)字是1”，事件B表示“第二次取出的球的數(shù)字是偶數(shù)”，事件C表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是偶數(shù)”，事件D表示“兩次取出的球的數(shù)字之和是奇數(shù)”，則（

）A．A與B互斥 B．C與D對(duì)立C．B與C相互獨(dú)立 D．B與D相互獨(dú)立【變式1】（2023上·上?！じ呷虾Ｊ行兄袑W(xué)?？计谥校┐嬖趦蓚€(gè)事件A和B，且，，若A與B是兩個(gè)①事件，則；若A與B是兩個(gè)②事件，則；其中（

）A．（1）互斥（2）獨(dú)立 B．（1）互斥（2）對(duì)立C．（1）獨(dú)立（2）互斥 D．（1）對(duì)立（2）互斥【變式2】（2022上·廣東佛山·高三統(tǒng)考期中）國(guó)家于2021年8月20日表決通過(guò)了關(guān)于修改人口與計(jì)劃生育法的決定，修改后的人口計(jì)生法規(guī)定，國(guó)家提倡適齡婚育?優(yōu)生優(yōu)育，一對(duì)夫妻可以生育三個(gè)子女，該政策被稱為三孩政策.某個(gè)家庭積極響應(yīng)該政策，一共生育了三個(gè)小孩，假定生男孩和生女孩是等可能的，記事件：該家庭既有男孩又有女孩；事件：該家庭最多有一個(gè)男孩；事件：該家庭最多有一個(gè)女孩.則下列說(shuō)法正確的是（

）A．事件與事件互斥但不對(duì)立 B．事件與事件互斥且對(duì)立C．事件與事件相互獨(dú)立 D．事件與事件相互獨(dú)立【變式3】（多選）（2023上·廣東·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）拋擲一黃一白兩枚質(zhì)地均勻的骰子，用表示黃色骰子朝上的點(diǎn)數(shù)，表示白色骰子朝上的點(diǎn)數(shù)，用表示一次試驗(yàn)的結(jié)果，該試驗(yàn)的樣本空間為，事件“”，事件“”，事件“”，事件“”則（

）A．與互斥 B．與對(duì)立C．與相互獨(dú)立 D．與相互獨(dú)立【變式4】（多選）（2023下·河北承德·高一統(tǒng)考期末）拋擲一黃一白兩枚質(zhì)地均勻的骰子，用a表示黃色骰子朝上的點(diǎn)數(shù)，用b表示白色骰子朝上的點(diǎn)數(shù)，用表示一次試驗(yàn)的結(jié)果，該試驗(yàn)的樣本空間為，記事件“關(guān)于的方程無(wú)實(shí)根”，事件”，事件“”，事件“20”，則（

）A．與互斥 B．與對(duì)立C．與相互獨(dú)立 D．與相互獨(dú)立題型02離散型隨機(jī)變量的均值與方差的性質(zhì)【典例1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知的分布列如下表所示，設(shè)，則的值為（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）設(shè)隨機(jī)變量，隨機(jī)變量，若，則（

）A．2 B．3C．6 D．7【典例3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若數(shù)據(jù)的平均數(shù)為，方差為，則的平均數(shù)和方差分別為（

）A． B． C． D．【變式1】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）若離散型隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差，則隨機(jī)變量的標(biāo)準(zhǔn)差為（

）A．8 B．15C．16 D．32【變式2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若隨機(jī)變量服從兩點(diǎn)分布，其中，分別為隨機(jī)變量的均值與方差，則下列結(jié)論不正確的是（

）A． B．C． D．【變式3】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）設(shè)隨機(jī)變量滿足為非零常數(shù))，若，則，．題型03離散型隨機(jī)變量的均值與方差【典例1】（2024·吉林白山·統(tǒng)考一模）俗話說(shuō)：“人配衣服，馬配鞍”．合理的穿搭會(huì)讓人舒適感十足，給人以賞心悅目的感覺(jué)．張老師準(zhǔn)備參加某大型活動(dòng)，他選擇服裝搭配的顏色規(guī)則如下：將一枚骰子連續(xù)投擲兩次，兩次的點(diǎn)數(shù)之和為3的倍數(shù)，則稱為“完美投擲”，出現(xiàn)“完美投擲”，則記；若擲出的點(diǎn)數(shù)之和不是3的倍數(shù)，則稱為“不完美投擲”，出現(xiàn)“不完美投擲”，則記；若，則當(dāng)天穿深色，否則穿淺色．每種顏色的衣物包括西裝和休閑裝，若張老師選擇了深色，再選西裝的可能性為，而選擇了淺色后，再選西裝的可能性為．(1)求出隨機(jī)變量的分布列，并求出期望及方差；(2)求張老師當(dāng)天穿西裝的概率．【典例2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲?乙兩人進(jìn)行定點(diǎn)投籃游戲，投籃者若投中，則繼續(xù)投籃，否則由對(duì)方投籃，第一次由甲投籃；已知每次投籃甲.乙命中的概率分別為，.(1)求第三次由乙投籃的概率；(2)在前3次投籃中，乙投籃的次數(shù)為，求的分布列；(3)求的期望及標(biāo)準(zhǔn)差.【典例3】（2023下·高二?？紗卧獪y(cè)試）氣象部門提供了某地區(qū)今年六月份（30天）的日最高氣溫的統(tǒng)計(jì)表如下：日最高氣溫t（單位：℃）天數(shù)612YZ由于工作疏忽，統(tǒng)計(jì)表被墨水污染，Y和Z數(shù)據(jù)不清楚，但氣象部門提供的資料顯示，六月份的日最高氣溫不高于32℃的頻率為0.9．某水果商根據(jù)多年的銷售經(jīng)驗(yàn)，六月份的日最高氣溫t（單位：℃）對(duì)西瓜的銷售影響如下表：日最高氣溫t（單位：℃）日銷售額X（千元）2568(1)求Y，Z的值；(2)若視頻率為概率，求六月份西瓜日銷售額的期望和方差；(3)在日最高氣溫不高于32℃時(shí)，求日銷售額不低于5千元的概率．【變式1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某短視頻軟件經(jīng)過(guò)幾年的快速發(fā)展，深受人們的喜愛(ài)，該軟件除了有娛樂(lè)屬性外，也可通過(guò)平臺(tái)推送廣告．某公司為了宣傳新產(chǎn)品，現(xiàn)有以下兩種宣傳方案：方案一：投放該平臺(tái)廣告，據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，其收益X分別為0元，20萬(wàn)元，40萬(wàn)元，且，期望．方案二：投放傳統(tǒng)廣告，據(jù)市場(chǎng)調(diào)研，其收益Y分別為10萬(wàn)元，20萬(wàn)元，30萬(wàn)元，其概率依次為．(1)請(qǐng)寫(xiě)出方案一的分布列，并求方差；(2)請(qǐng)你根據(jù)所學(xué)的統(tǒng)計(jì)知識(shí)給出建議，該公司宣傳應(yīng)該投放哪種廣告？并說(shuō)明你的理由．【變式2】（2023上·遼寧沈陽(yáng)·高三遼寧實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）甲乙兩人進(jìn)行一場(chǎng)乒乓球比賽.已知每局甲勝的概率為0.6，乙勝的概率為0.4，甲乙約定比賽采取“3局2勝制”.(1)求這場(chǎng)比賽甲獲勝的概率；(2)這場(chǎng)比賽甲所勝局?jǐn)?shù)的數(shù)學(xué)期望（保留兩位有效數(shù)字）；(3)根據(jù)（2）的結(jié)論，計(jì)算這場(chǎng)比賽甲所勝局?jǐn)?shù)的方差.【變式3】（2023下·山東臨沂·高二統(tǒng)考期中）甲、乙兩種品牌手表，它們的日走時(shí)誤差分別為X和Y（單位：s），其分布列為甲品牌的走時(shí)誤差分布列X01P0.10.80.1乙品牌的走時(shí)誤差分布列Y012P0.10.20.40.20.1(1)求和；(2)求和，并比較兩種品牌手表的性能．題型04二項(xiàng)分布【典例1】（2024上·廣東廣州·高二華南師大附中?？计谀┎此煞植嫉母怕史植剂袨椋渲袨樽匀粚?duì)數(shù)的底數(shù)，是泊松分布的均值．若隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布，當(dāng)很大且很小時(shí)，二項(xiàng)分布近似于泊松分布，其中，即，．現(xiàn)已知某種元件的次品率為0.01，抽檢100個(gè)該種元件，則次品率小于的概率約為（參考數(shù)據(jù)：）（

）A． B． C． D．【典例2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某同學(xué)參加學(xué)校數(shù)學(xué)知識(shí)競(jìng)賽，規(guī)定每個(gè)同學(xué)答20道題，已知該同學(xué)每道題答對(duì)的概率為0.6，每道題答對(duì)與否相互獨(dú)立．若答對(duì)一題得3分，答錯(cuò)一題扣1分，則該同學(xué)總得分的數(shù)學(xué)期望為，方差為．【典例3】（2024上·甘肅武威·高三統(tǒng)考期末）某單位招聘會(huì)設(shè)置了筆試、面試兩個(gè)環(huán)節(jié)，先筆試后面試.筆試設(shè)有三門測(cè)試，三門測(cè)試相互獨(dú)立，三門測(cè)試至少兩門通過(guò)即通過(guò)筆試，通過(guò)筆試后進(jìn)入面試環(huán)節(jié)，若不通過(guò)，則不予錄用.面試只有一次機(jī)會(huì)，通過(guò)后即被錄用.已知每一門測(cè)試通過(guò)的概率均為，面試通過(guò)的概率為.(1)求甲通過(guò)了筆試的條件下，第三門測(cè)試沒(méi)有通過(guò)的概率；(2)已知有100人參加了招聘會(huì)，X為被錄取的人數(shù)，求X的期望.【典例4】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）部分高校開(kāi)展基礎(chǔ)學(xué)科招生改革試點(diǎn)工作（強(qiáng)基計(jì)劃）的?？加稍圏c(diǎn)高校自主命題，?？歼^(guò)程中達(dá)到筆試優(yōu)秀才能進(jìn)入面試環(huán)節(jié).已知兩所大學(xué)的筆試環(huán)節(jié)都設(shè)有三門考試科目且每門科目是否達(dá)到優(yōu)秀相互獨(dú)立.若某考生報(bào)考大學(xué)，每門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率均為，若該考生報(bào)考大學(xué)，每門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率依次為，，，其中.(1)若，分別求出該考生報(bào)考兩所大學(xué)在筆試環(huán)節(jié)恰好有一門科目達(dá)到優(yōu)秀的概率；(2)強(qiáng)基計(jì)劃規(guī)定每名考生只能報(bào)考一所試點(diǎn)高校，若以筆試過(guò)程中達(dá)到優(yōu)秀科目個(gè)數(shù)的期望為依據(jù)作出決策，該考生更有希望進(jìn)入大學(xué)的面試環(huán)節(jié)，求的范圍.【變式1】（多選）（2024上·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）已知，且，則（

）A． B．C． D．【變式2】（2024上·河南·高二校聯(lián)考期末）一臺(tái)機(jī)器由于使用時(shí)間較長(zhǎng)，生產(chǎn)的零件有可能會(huì)產(chǎn)生次品.設(shè)該機(jī)器生產(chǎn)零件的尺寸為，且規(guī)定尺寸為正品，其余的為次品.現(xiàn)從該機(jī)器生產(chǎn)的零件中隨機(jī)抽取100件做質(zhì)量分析，作出的頻率分布直方圖如圖.(1)試估計(jì)該機(jī)器生產(chǎn)的零件的平均尺寸；(2)如果將每5件零件打包成一箱，若每生產(chǎn)一件正品可獲利30元，每生產(chǎn)一件次品虧損80元.若隨機(jī)取一箱零件，求這箱零件的期望利潤(rùn).【變式3】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某種植戶對(duì)一塊地上的個(gè)坑進(jìn)行播種，每個(gè)坑播3粒種子，每粒種子發(fā)芽的概率均為，且每粒種子是否發(fā)芽相互獨(dú)立.如果每個(gè)坑內(nèi)至少有兩粒種子發(fā)芽，則不需要進(jìn)行補(bǔ)種，否則需要補(bǔ)種.(1)當(dāng)n取何值時(shí)，有4個(gè)坑需要補(bǔ)種的概率最大？最大概率為多少？(2)當(dāng)時(shí)，用X表示要補(bǔ)種的坑的個(gè)數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望.【變式4】（2024上·安徽·高三合肥市第八中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）某公司使用甲、乙兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)芯片，已知每天甲機(jī)器生產(chǎn)的芯片占產(chǎn)量的六成，且合格率為；乙機(jī)器生產(chǎn)的芯片占產(chǎn)量的四成，且合格率為，已知兩臺(tái)機(jī)器生產(chǎn)芯片的質(zhì)量互不影響.現(xiàn)對(duì)某天生產(chǎn)的芯片進(jìn)行抽樣.(1)從所有芯片中任意抽取一個(gè)，求該芯片是不合格品的概率；(2)現(xiàn)采用有放回的方法隨機(jī)抽取3個(gè)芯片，記其中由乙機(jī)器生產(chǎn)的芯片的數(shù)量為，求的分布列以及數(shù)學(xué)期望.題型05超幾何分布【典例1】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）盒中有10個(gè)螺絲釘，其中3個(gè)是壞的.現(xiàn)從盒中隨機(jī)抽取4個(gè)，則概率是的事件為（

）A．恰有1個(gè)是壞的 B．4個(gè)全是好的C．恰有2個(gè)是好的 D．至多有2個(gè)是壞的【典例2】（多選）（2024上·海南省直轄縣級(jí)單位·高三?？茧A段練習(xí)）已知隨機(jī)變量的概率為，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．B．C．甲每次射擊命中的概率為0.6，甲連續(xù)射擊10次的命中次數(shù)滿足此分布列D．一批產(chǎn)品共有10件，其中6件正品，4件次品，從10件產(chǎn)品中無(wú)放回地隨機(jī)抽取4件，抽到的正品的件數(shù)滿足此分布列【典例3】（2024上·廣東潮州·高三統(tǒng)考期末）2023年9月26日晚，位于潮州市南春路的南門古夜市正式開(kāi)業(yè)了，首期共有70個(gè)攤位，集聚了潮州各式美食!南門古夜市的開(kāi)業(yè)，推動(dòng)潮州菜產(chǎn)業(yè)發(fā)展，是潮州美食產(chǎn)業(yè)的又一里程碑．為了解游客對(duì)潮州美食的滿意度，隨機(jī)對(duì)100名游客進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查（滿分100分），這100名游客的評(píng)分分別落在區(qū)間，，，，內(nèi)，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如頻率分布直方圖所示．(1)根據(jù)頻率分布直方圖，求這100名游客評(píng)分的平均值（同一區(qū)間的數(shù)據(jù)用該區(qū)間數(shù)據(jù)的中點(diǎn)值為代表）；(2)為了進(jìn)一步了解游客對(duì)潮州美食的評(píng)價(jià)，采用分層抽樣的方法從滿意度評(píng)分位于分組，，的游客中抽取10人，再?gòu)闹腥芜x3人進(jìn)行調(diào)查，求抽到滿意度評(píng)分位于的人數(shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望．【典例4】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某市教師培訓(xùn)中心對(duì)2022年暑假教師培訓(xùn)進(jìn)行總體評(píng)價(jià)，有1200名教師參與打分（滿分10分），根據(jù)所得數(shù)據(jù)分為，，，，，六個(gè)組，繪制出如圖所示的頻率分布直方圖．(1)求圖中的值，并求這1200份打分的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組的中點(diǎn)值作代表）；(2)若培訓(xùn)中心將在打分中的教師中用分層抽樣的方法抽取9人，再?gòu)倪@9人中隨機(jī)抽取3人進(jìn)行面談，記表示打分在的人數(shù)，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．【變式1】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）一個(gè)袋子中100個(gè)大小相同的球，其中有40個(gè)黃球，60個(gè)白球，從中不放回地隨機(jī)摸出20個(gè)球作為樣本，用隨機(jī)變量表示樣本中黃球的個(gè)數(shù)，則服從（

）A．二項(xiàng)分布，且 B．兩點(diǎn)分布，且C．超幾何分布，且 D．超幾何分布，且【變式2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上，某單位派出了名主力隊(duì)員和名替隊(duì)員組成代表隊(duì)參加比賽.如果隨機(jī)抽派名隊(duì)員上場(chǎng)，則主力隊(duì)員多于替補(bǔ)隊(duì)員的概率為.【變式3】（2024上·廣東揭陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）為增強(qiáng)學(xué)生體質(zhì)，某校高一（1）班組織全班同學(xué)參加限時(shí)投籃活動(dòng)，記錄他們?cè)谝?guī)定時(shí)間內(nèi)的進(jìn)球個(gè)數(shù)，將所得數(shù)據(jù)分成，，，，這5組，并得到如下頻率分布直方圖：(1)估計(jì)全班同學(xué)的平均進(jìn)球個(gè)數(shù)．（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值作代表）(2)現(xiàn)按比例分配的分層隨機(jī)抽樣方法，從進(jìn)球個(gè)數(shù)在，，內(nèi)的同學(xué)中抽取8人進(jìn)行培訓(xùn)，再?gòu)闹谐槿?人做進(jìn)一步培訓(xùn)．（?。┯涍@3人中進(jìn)球個(gè)數(shù)在的人數(shù)為X，求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（ⅱ）已知抽取的這3人的進(jìn)球個(gè)數(shù)不全在同一區(qū)間，求這3人的進(jìn)球個(gè)數(shù)在不同區(qū)間的概率．【變式4】（2024·全國(guó)·高二假期作業(yè)）2020年5月28日，十三屆全國(guó)人大三次會(huì)議表決通過(guò)了《中華人民共和國(guó)民法典》，自2021年1月1日起施行.它被稱為“社會(huì)生活的百科全書(shū)”，是新中國(guó)第一部以法典命名的法律，在法律體系中居于基礎(chǔ)性地位，也是市場(chǎng)經(jīng)濟(jì)的基本法某中學(xué)培養(yǎng)學(xué)生知法懂法，組織全校學(xué)生學(xué)習(xí)《中華人民共和國(guó)民法典》并組織知識(shí)競(jìng)賽.為了解學(xué)習(xí)的效果，現(xiàn)從高一，高二兩個(gè)年級(jí)中各隨機(jī)抽取20名學(xué)生的成績(jī)（單位：分），繪制成如圖所示的莖葉圖：根據(jù)學(xué)生的競(jìng)賽成績(jī)，將其分為四個(gè)等級(jí)：測(cè)試成績(jī)（單位：分）等級(jí)合格中等良好優(yōu)秀（1）從樣本中任取2名同學(xué)的競(jìng)賽成績(jī)，在成績(jī)?yōu)閮?yōu)秀的情況下，求這2名同學(xué)來(lái)自同一個(gè)年級(jí)的概率；（2）現(xiàn)從樣本中成績(jī)?yōu)榱己玫膶W(xué)生中隨機(jī)抽取3人座談，記為抽到高二年級(jí)的人數(shù)，求的分布列，數(shù)學(xué)期望與方差.題型06正態(tài)分布【典例1】（2024上·河南南陽(yáng)·高二校聯(lián)考期末）為了檢測(cè)自動(dòng)包裝線生產(chǎn)的罐裝咖啡，檢驗(yàn)員每天從生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取罐咖啡，并測(cè)量其質(zhì)量（單位：）.由于存在各種不可控制的因素，任意抽取的1罐咖啡的質(zhì)量與標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量之間存在一定的誤差，已知這條包裝線在正常狀態(tài)下，每罐咖啡的質(zhì)量服從正態(tài)分布.假設(shè)生產(chǎn)狀態(tài)正常，記表示每天抽取的罐咖啡中質(zhì)量在之外的罐數(shù)，若的數(shù)學(xué)期望，則的最小值為（

）附：若隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，則.A．10 B．11 C．12 D．13【典例2】（2024上·河北保定·高三河北省唐縣第一中學(xué)?？计谀┪覀儗⒎亩?xiàng)分布的隨機(jī)變量稱為二項(xiàng)隨機(jī)變量，服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量稱為正態(tài)隨機(jī)變量.概率論中有一個(gè)重要的結(jié)論：若隨機(jī)變量，當(dāng)充分大時(shí)，二項(xiàng)隨機(jī)變量可以由正態(tài)隨機(jī)變量來(lái)近似地替代，且正態(tài)隨機(jī)變量的期望和方差與二項(xiàng)隨機(jī)變量的期望和方差相同.法國(guó)數(shù)學(xué)家棣莫弗（1667-1754）在1733年證明了時(shí)這個(gè)結(jié)論是成立的，法國(guó)數(shù)學(xué)家?物理學(xué)家拉普拉斯（1749-1827）在1812年證明了這個(gè)結(jié)論對(duì)任意的實(shí)數(shù)都成立，因此人們把這個(gè)結(jié)論稱為棣莫弗—拉普拉斯極限定理.現(xiàn)拋擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣2500次，利用正態(tài)分布估算硬幣正面向上次數(shù)不少于1200次的概率為（

）（附：若，則，A．0.99865 B．0.97725 C．0.84135 D．0.65865【典例3】（2024·新疆烏魯木齊·統(tǒng)考一模）在工業(yè)生產(chǎn)中軸承的直徑服從，購(gòu)買者要求直徑為，不在這個(gè)范圍的將被拒絕，要使拒絕的概率控制在之內(nèi)，則至少為；（若，則）【典例4】（2024上·安徽合肥·高三合肥一中?？计谀┪覈?guó)一科技公司生產(chǎn)的手機(jī)前幾年的零部件嚴(yán)重依賴進(jìn)口，2019年某大國(guó)對(duì)其實(shí)施限制性策略，該公司啟動(dòng)零部件國(guó)產(chǎn)替代計(jì)劃，與國(guó)內(nèi)產(chǎn)業(yè)鏈上下游企業(yè)開(kāi)展深度合作，共同推動(dòng)產(chǎn)業(yè)發(fā)展．2023年9月該公司最新發(fā)布的智能手機(jī)零部件本土制造比例達(dá)到」90%，以公司與一零部件制造公司合作生產(chǎn)某手機(jī)零部件，為提高零部件質(zhì)量，該公司通過(guò)資金扶持與技術(shù)扶持，幫助制造公司提高產(chǎn)品質(zhì)量和競(jìng)爭(zhēng)力，同時(shí)派本公司技術(shù)人員進(jìn)廠指導(dǎo)，并每天隨機(jī)從生產(chǎn)線上抽取一批零件進(jìn)行質(zhì)量檢測(cè)．下面是某天從生產(chǎn)線上抽取的10個(gè)零部件的質(zhì)量分?jǐn)?shù)（總分1000分，分?jǐn)?shù)越高質(zhì)量越好）：928、933、945、950、959、967、967、975、982、994．假設(shè)該生產(chǎn)線生產(chǎn)的零部件的質(zhì)量分?jǐn)?shù)X近似服從正態(tài)分布，并把這10個(gè)樣本質(zhì)量分?jǐn)?shù)的平均數(shù)作為的值．參考數(shù)據(jù)：若，則．(1)求的值；(2)估計(jì)該生產(chǎn)線上生產(chǎn)的1000個(gè)零部件中，有多少個(gè)零部件的質(zhì)量分?jǐn)?shù)低于940？(3)若從該生產(chǎn)線上隨機(jī)抽取n個(gè)零件中恰有個(gè)零部件的質(zhì)量分?jǐn)?shù)在內(nèi)，則n為何值時(shí)，的值最大？【變式1】（2024上·遼寧撫順·高二校聯(lián)考期末）已知隨機(jī)變量服從正態(tài)分布，且，則（

）A．0.2 B．0.4 C．0.3 D．0.6【變式2】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）“雜交水稻之父”袁隆平一生致力于雜交水稻技術(shù)的研究應(yīng)用與推廣，發(fā)明了“三系法”秈型雜交水稻，成功研究出“兩系法”雜交水稻，創(chuàng)建了超級(jí)雜交稻技術(shù)體系，為我國(guó)糧食安全，農(nóng)業(yè)科學(xué)發(fā)展和世界糧食供給做出了杰出貢獻(xiàn)某雜交水稻種植研究所調(diào)查某地水稻的株高，得出株高（單位：）服從正態(tài)分布，其密度曲線函數(shù)為，，則下列說(shuō)法錯(cuò)誤的是（

）A．該地水稻的平均株高為B．該地水稻株高的方差為100C．隨機(jī)測(cè)量一株水稻，其株高在120cm以上的概率比株高在70cm以下的概率小D．隨機(jī)測(cè)量一株水稻，其株高在和在（單位：cm）的概率一樣大【變式3】（2024·四川內(nèi)江·統(tǒng)考一模）某汽車公司最近研發(fā)了一款新能源汽車，并在出廠前對(duì)100輛汽車進(jìn)行了單次最大續(xù)航里程的測(cè)試.現(xiàn)對(duì)測(cè)試數(shù)據(jù)進(jìn)行分析，得到如圖所示的頻率分布直方圖：根據(jù)大量的測(cè)試數(shù)據(jù)，可以認(rèn)為這款汽車的單次最大續(xù)航里程近似地服從正態(tài)分布，用樣本平均數(shù)和標(biāo)準(zhǔn)差分別作為、的近似值，其中樣本標(biāo)準(zhǔn)差的近似值為50，現(xiàn)任取一輛汽車，則它的單次最大續(xù)航里程的概率為.（參考數(shù)據(jù)：若隨機(jī)變量，則，，）【變式4】（2024上·湖南衡陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）已知某超市銷售的袋裝食用鹽的質(zhì)量（單位：）服從正態(tài)分布，且0.15.某次該超市稱量了120袋食用鹽，其總質(zhì)量為的值恰好等于這120袋食用鹽每袋的平均質(zhì)量（單位：）.(1)若從該超市銷售的袋裝食用鹽中隨機(jī)選取2袋，設(shè)這2袋中質(zhì)量不小于的袋數(shù)為，求的分布列；(2)若從該超市銷售的袋裝食用鹽中隨機(jī)選?。檎麛?shù)）袋，記質(zhì)量在的袋數(shù)為，求滿足的的最大值.題型07正態(tài)分布的實(shí)際應(yīng)用【典例1】（2024上·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考期末）某保險(xiǎn)公司有一款保險(xiǎn)產(chǎn)品，該產(chǎn)品今年保費(fèi)為200元/人，賠付金額為5萬(wàn)元/人.假設(shè)該保險(xiǎn)產(chǎn)品的客戶為10000名，每人被賠付的概率均為，記10000名客戶中獲得賠償?shù)娜藬?shù)為.(1)求，并計(jì)算該公司今年這一款保險(xiǎn)產(chǎn)品利潤(rùn)的期望；(2)二項(xiàng)分布是離散型的，而正態(tài)分布是連續(xù)型的，它們是不同的概率分布，但是，隨著二項(xiàng)分布的試驗(yàn)次數(shù)的增加，二項(xiàng)分布折線圖與正態(tài)分布曲線幾乎一致，所以當(dāng)試驗(yàn)次數(shù)較大時(shí)，可以利用正態(tài)分布處理二項(xiàng)分布的相關(guān)概率計(jì)算問(wèn)題，我們知道若，則，當(dāng)較大且較小時(shí)，我們?yōu)榱撕?jiǎn)化計(jì)算，常用的值估算的值.請(qǐng)根據(jù)上述信息，求：①該公司今年這一款保險(xiǎn)產(chǎn)品利潤(rùn)為50~100萬(wàn)元的概率；②該公司今年這一款保險(xiǎn)產(chǎn)品虧損的概率.參考數(shù)據(jù)：若，則.【典例2】（2024下·全國(guó)·高二隨堂練習(xí)）全面建設(shè)社會(huì)主義現(xiàn)代化國(guó)家，最艱巨最繁重的任務(wù)仍然在農(nóng)村，強(qiáng)國(guó)必先強(qiáng)農(nóng)，農(nóng)強(qiáng)方能國(guó)強(qiáng)．某市為了解當(dāng)?shù)剞r(nóng)村經(jīng)濟(jì)情況，隨機(jī)抽取該地2000戶農(nóng)戶家庭年收入x（單位：萬(wàn)元）進(jìn)行調(diào)查，并繪制得到如下圖所示的頻率分布直方圖．(1)求這2000戶農(nóng)戶家庭年收入的樣本平均數(shù)（同一組的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代表）．(2)由直方圖可認(rèn)為農(nóng)戶家庭年收入近似服從正態(tài)分布，其中近似為樣本平均數(shù)，近似為樣本方差，其中.①估計(jì)這2000戶農(nóng)戶家庭年收入超過(guò)9.52萬(wàn)元（含9.52）的戶數(shù)？（結(jié)果保留整數(shù)）②