機(jī)械工程測(cè)試技術(shù)測(cè)量誤差分析與處理

傳感器與測(cè)試技術(shù)第8章測(cè)量誤差分析與處理學(xué)習(xí)導(dǎo)航8.1誤差的基本概念（ErrorBasicConcept）8.2隨機(jī)誤差（RandomError）8.3系統(tǒng)誤差（SystemError）8.4間接測(cè)量中的誤差計(jì)算（ErrorCalculationinDirectMeasurement)8.5測(cè)試數(shù)據(jù)測(cè)量及表示方法（MeasurementandRepresentationofTestData）8.1誤差的基本概念測(cè)量誤差與精度真值（truevalue）基本誤差源（sourcesofelementalerror）基本誤差分類(lèi)：標(biāo)定誤差、數(shù)據(jù)采集誤差、數(shù)據(jù)處理誤差。按性質(zhì)及產(chǎn)生原因，誤差可分為：

系統(tǒng)誤差：重復(fù)性測(cè)量條件下，對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行多次測(cè)量結(jié)果的平均值與被測(cè)量真值之差。

隨機(jī)誤差：?jiǎn)未螠y(cè)試結(jié)果與在重復(fù)性條件下對(duì)同一被測(cè)量進(jìn)行多次測(cè)量結(jié)果的平均值之差。

粗大誤差：一種明顯超出統(tǒng)計(jì)規(guī)律預(yù)期范圍的誤差。測(cè)量誤差與精度準(zhǔn)確度(justness):也稱(chēng)正確度(correctness),測(cè)量數(shù)據(jù)的平均值偏離真實(shí)值的程度，是系統(tǒng)誤差的反映。精密度(precision):在進(jìn)行某一量的測(cè)量時(shí)，各次測(cè)量的數(shù)據(jù)彼此接近的程度，是隨機(jī)誤差的反映。精確度(accuracy):簡(jiǎn)稱(chēng)為精度，指測(cè)量數(shù)據(jù)集中于真實(shí)值附近的程度。a)高準(zhǔn)確度，低精密度情形b)低準(zhǔn)確度，高精密度情形c)高準(zhǔn)確度、高精密度情形8.1誤差的基本概念8.1誤差的基本概念誤差的表示方法誤差(error):也稱(chēng)絕對(duì)誤差(absoluteerror)，是測(cè)量值與其真值之差。相對(duì)誤差(relativeerror)

:測(cè)量誤差與真值之比。引用誤差(quotederror):絕對(duì)誤差與儀表的滿(mǎn)量程值A(chǔ)之比。8.2隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差分布規(guī)律正態(tài)分布式中，

測(cè)量值（隨機(jī)變量）；

被測(cè)量的平均值，表征測(cè)量值平均水平或集中趨勢(shì)的參數(shù)；

被測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)差，表征測(cè)量值相對(duì)于其中心位置的離散程度。標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布將一般正態(tài)分布化為標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布，令隨機(jī)誤差分布規(guī)律則

的概率密度函數(shù)為：誤差落在區(qū)間的概率為：其中，

稱(chēng)為置信系數(shù)，

稱(chēng)為置信限，

稱(chēng)為置信區(qū)間，概率P稱(chēng)為置信水平。表8-1列出了典型置信區(qū)間與相應(yīng)置信水平之間的關(guān)系。8.2隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差統(tǒng)計(jì)分析中心趨勢(shì)的度量平均值：中位數(shù)：位于序列中間數(shù)據(jù)的值，或位于中間的兩個(gè)數(shù)據(jù)的平

均值（若序列中元素的數(shù)量為偶數(shù)）。眾數(shù)：出現(xiàn)概率最大的隨機(jī)變量的值。8.2隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差統(tǒng)計(jì)分析分散性的度量每次測(cè)量的偏差：平均偏差：總體的標(biāo)準(zhǔn)差：樣本標(biāo)準(zhǔn)差：8.2隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差統(tǒng)計(jì)分析總體均值的區(qū)間估計(jì)在估計(jì)總體平均值時(shí)，將其表示為或(8-17)

其中，δ是誤差，

是樣本平均值。區(qū)間（

，

）為關(guān)于均值的置信區(qū)間。分別稱(chēng)

、

為關(guān)于均值的置信下限和置信上限。置信區(qū)間取決于置信水平，平均值落入較大區(qū)間的置信水平比落入較小區(qū)間的置信水平高。置信水平一般通過(guò)顯著性水平（levelofsignificance）表示：(8-18)8.2隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差統(tǒng)計(jì)分析(1)大樣本（n＞30）事件總體均值的區(qū)間估計(jì)直接應(yīng)用中心極限定理估計(jì)置信區(qū)間。因?yàn)槭钦龖B(tài)分布的，所以可以使用統(tǒng)計(jì)量:（8-20）其中，當(dāng)足夠大時(shí)，根據(jù)中心極限定理，的標(biāo)準(zhǔn)差：由（8-18），有（8-21）也可以寫(xiě)成：

（當(dāng)置信水平為）8.2隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差統(tǒng)計(jì)分析 (2)小樣本(

)事件總體均值的區(qū)間估計(jì)由于標(biāo)準(zhǔn)差的誤差，小樣本情況下，可以使用分布統(tǒng)計(jì)量:（8-23）與正態(tài)分布不同，分布取決于樣本量。由（8-18），有（8-26）也可以寫(xiě)成：

（當(dāng)置信水平為）

8.2隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差統(tǒng)計(jì)分析總體方差的區(qū)間估計(jì)總體方差的最佳估計(jì)是樣本方差，對(duì)于正態(tài)分布的總體，可以應(yīng)用統(tǒng)計(jì)量估計(jì)置信區(qū)間。設(shè)隨機(jī)變量的平均值為μ，標(biāo)準(zhǔn)差為σ，則有：（8-28）變量被定義為：（8-29）聯(lián)立式(8-28)和(8-29)，有（8-30）8.2隨機(jī)誤差隨機(jī)誤差統(tǒng)計(jì)分析

是隨機(jī)變量，在正態(tài)分布總體的情況下不同自由度的概率密度函數(shù)曲線如右圖所示。變量在任意兩個(gè)值之間的取值概率等于曲線下這兩值之間的面積：（8-32）為顯著性水平，按式（8-29）得：（8-33）則總體方差的置信區(qū)間為：（8-34）8.2隨機(jī)誤差可疑數(shù)據(jù)的取舍萊茵達(dá)準(zhǔn)則（3σ準(zhǔn)則）若測(cè)量值只含有隨機(jī)誤差，且按正態(tài)分布，則測(cè)量數(shù)據(jù)落在置信區(qū)間以外的概率只有0.27%。萊茵達(dá)準(zhǔn)則規(guī)定，如果實(shí)測(cè)數(shù)據(jù)的誤差滿(mǎn)足以下條件

則將作為異常數(shù)據(jù)處理。注：根據(jù)統(tǒng)計(jì)學(xué)原理，萊因達(dá)準(zhǔn)則不適用于測(cè)量次數(shù)的場(chǎng)合。8.2隨機(jī)誤差可疑數(shù)據(jù)的取舍肖維納準(zhǔn)則肖維納準(zhǔn)則也是以正態(tài)分布為前提，規(guī)定在n次測(cè)量中，某一誤差可能出現(xiàn)的次數(shù)小于半次就被認(rèn)為是過(guò)失誤差。設(shè)任一次測(cè)量值的誤差落在區(qū)間

的概率為α，則誤差落在置信區(qū)間

之外的概率為對(duì)于n次測(cè)量，令隨機(jī)誤差落在置信區(qū)間

之外的次數(shù)等于1/2，則有于是8.2隨機(jī)誤差可疑數(shù)據(jù)的取舍則由式（8-10）得：若已知測(cè)量次數(shù)

，則可求出滿(mǎn)足肖維納準(zhǔn)則的

，再由積分表查得置信系數(shù)

。根據(jù)肖維納準(zhǔn)則，若某次測(cè)量所得誤差絕對(duì)值大于相應(yīng)的置信限

，應(yīng)予舍棄。8.2隨機(jī)誤差可疑數(shù)據(jù)的取舍格拉布斯準(zhǔn)則格拉布斯法假定測(cè)量結(jié)果服從正態(tài)分布，根據(jù)順序統(tǒng)計(jì)量來(lái)確定可疑數(shù)據(jù)的取舍。進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)，試驗(yàn)結(jié)果為

，且

服從正態(tài)分布。為了檢驗(yàn)

中是否有可疑值，可將其值由小到大順序重新排列，根據(jù)順序統(tǒng)計(jì)原則，給出標(biāo)準(zhǔn)化順序統(tǒng)計(jì)量g：當(dāng)最小值

可疑時(shí)，則：當(dāng)最大值

可疑時(shí)，則：8.2隨機(jī)誤差可疑數(shù)據(jù)的取舍根據(jù)格拉布斯統(tǒng)計(jì)量的分布，在給定的顯著性水平α（一般α=0.05）下，查得判別可疑值的臨界值

，見(jiàn)表8-4。該檢驗(yàn)的拒絕域?yàn)椋杭礃?biāo)準(zhǔn)化順序統(tǒng)計(jì)量大于其臨界值，即可認(rèn)為其相應(yīng)數(shù)據(jù)為粗大誤差影響的可疑數(shù)據(jù)。利用格拉布斯準(zhǔn)則每次只能舍棄一個(gè)可疑值，若有兩個(gè)以上的可疑數(shù)據(jù)，應(yīng)該一個(gè)一個(gè)數(shù)據(jù)地判斷。即舍棄第一個(gè)數(shù)據(jù)后，試驗(yàn)次數(shù)由n變?yōu)閚-1，以此為基礎(chǔ)再判別第二個(gè)可疑數(shù)據(jù)。8.2隨機(jī)誤差可疑數(shù)據(jù)的取舍t(yī)檢驗(yàn)準(zhǔn)則

檢驗(yàn)準(zhǔn)則是將測(cè)量列的

個(gè)測(cè)得值中可疑的測(cè)得值先剔除，然后按余下的個(gè)數(shù)據(jù)計(jì)算算術(shù)平均值和標(biāo)準(zhǔn)差值，再判斷數(shù)據(jù)是否含有粗大誤差。（不含）（不含）根據(jù)測(cè)量次數(shù)和所選取的顯著度α，從表8-5中查得k值。若所懷疑的數(shù)據(jù)

滿(mǎn)足下式：則可認(rèn)為為可疑數(shù)據(jù)，應(yīng)予以剔除。8.2隨機(jī)誤差8.3系統(tǒng)誤差任何測(cè)量過(guò)程首先要注意發(fā)現(xiàn)與減小系統(tǒng)誤差，確保把它限制在允許的范圍內(nèi)。對(duì)于在實(shí)驗(yàn)中無(wú)法補(bǔ)償?shù)南到y(tǒng)誤差，應(yīng)對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正。系統(tǒng)誤差有恒值系統(tǒng)誤差和變值系統(tǒng)誤差。恒值系統(tǒng)誤差（固定系統(tǒng)誤差）是在整個(gè)測(cè)量過(guò)程中的大小和符號(hào)都不變的誤差。變值系統(tǒng)誤差是指在測(cè)量過(guò)程中大小和符號(hào)都可能變化的誤差，變化規(guī)律可分為三種：1)線性變化－測(cè)量過(guò)程中誤差值隨某些因素作線性變化。2)周期性變化－系統(tǒng)誤差的數(shù)值或符號(hào)隨某些因素按周期規(guī)律變化。例如，軋輥有偏心，軋制時(shí)的精度誤差。3)復(fù)雜規(guī)律變化－按復(fù)雜規(guī)律，例如按指數(shù)規(guī)律變化。

系統(tǒng)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響恒值系統(tǒng)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響如果在多次重復(fù)測(cè)量時(shí)存在恒值誤差，則一組測(cè)量值

中的每一個(gè)都含有恒值系統(tǒng)誤差

。于是，不含系統(tǒng)誤差的測(cè)量值應(yīng)為其算術(shù)平均值為由偏差的定義，有恒值系統(tǒng)誤差只影響一系列重復(fù)測(cè)得值的算術(shù)平均值

，對(duì)測(cè)得值的偏差

沒(méi)有影響，即不影響隨機(jī)誤差的分散性及精度參數(shù)。8.3系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響變值系統(tǒng)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響變值系統(tǒng)誤差對(duì)每個(gè)測(cè)量值有不同的影響，但有規(guī)律，不是隨機(jī)性的。設(shè)有一系列測(cè)得值

，并含有變值系統(tǒng)誤差

，則不含系統(tǒng)誤差的測(cè)量值為其平均值為如果測(cè)量中含有變值系統(tǒng)誤差，它將以算術(shù)平均值的形式影響測(cè)量結(jié)果，應(yīng)在消除或校正后，以

作為測(cè)量結(jié)果。在偏差

的計(jì)算中有偏差

受變值系統(tǒng)誤差的影響，即變值系統(tǒng)誤差影響測(cè)量結(jié)果的精確度。8.3系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的識(shí)別與修正恒值系統(tǒng)誤差判別方法（1）對(duì)比檢定法在確認(rèn)沒(méi)有明顯變值系統(tǒng)誤差的前提下，可以改用更理想的測(cè)量條件，進(jìn)行檢定性測(cè)量。以此兩種不同的測(cè)量條件對(duì)同一量值進(jìn)行次數(shù)相同的重復(fù)測(cè)量，求出兩者算術(shù)平均值之差，則該差值即為被判斷的測(cè)量條件下的定值系統(tǒng)誤差。（2）均值與標(biāo)準(zhǔn)差比較法對(duì)同一量值在測(cè)量條件不同，測(cè)量次數(shù)也不同的情況下進(jìn)行兩組（或多組）測(cè)量。由于

和

是服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，故其差值

也服從正態(tài)分布（其分布的平均值為零，方差為

）。因此，可用區(qū)間的概率估計(jì)原理來(lái)判斷是否有恒值系統(tǒng)誤差，即8.3系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的識(shí)別與修正在給定置信概率

時(shí)，若無(wú)定值系統(tǒng)誤差，則

應(yīng)不超過(guò)

；如果超出，則可認(rèn)為

與

的差異不只是受隨機(jī)誤差影響，而且還有恒值系統(tǒng)誤差存在。這樣判斷的置信概率為

。8.3系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的識(shí)別與修正變值系統(tǒng)誤差判別方法（1）偏差觀察法偏差觀察法是將一系列等精度測(cè)量值，按測(cè)量的先后順序把測(cè)得值及其偏差值列表，觀察其偏差數(shù)值及其符號(hào)的變化規(guī)律。若偏差數(shù)值有規(guī)律的遞增或遞減，并且在測(cè)量開(kāi)始和結(jié)束時(shí)偏差符號(hào)相反，則可判定該測(cè)量列含有線性系統(tǒng)誤差。若在某一測(cè)量條件時(shí)，偏差基本上保持相同符號(hào)，當(dāng)變?yōu)榱硪粶y(cè)試條件時(shí)偏差均變號(hào)，則表明測(cè)量中含有隨測(cè)量條件而變的恒值系統(tǒng)誤差。若偏差的符號(hào)有規(guī)律地由正變負(fù)，再由負(fù)變正，或循環(huán)交替變化多次，則可判定該測(cè)量序列含有周期性誤差。8.3系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的識(shí)別與修正（2）偏差核算法將測(cè)得值按測(cè)量先后順序排列，并將其分為前半組k個(gè)和后半組k個(gè)，兩組分別求和后相減，有當(dāng)測(cè)量次數(shù)n足夠多時(shí)，，所以上式表明前后兩部分偏差和的差值取決于系統(tǒng)誤差，因線性系統(tǒng)誤差前后兩組的符號(hào)相反，則

值將隨n的增大而增大。因此，若

值顯著不為零，則說(shuō)明測(cè)量列中含有線性系統(tǒng)誤差。

8.3系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的識(shí)別與修正（3）阿貝

赫梅特判據(jù)阿貝

赫梅特判據(jù)為：只要測(cè)量列滿(mǎn)足下式，就認(rèn)為該測(cè)量列有周期性系統(tǒng)誤差存在。

8.3系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的識(shí)別與修正系統(tǒng)誤差的修正（1）恒值系統(tǒng)誤差的修正方法代替法；相消法；對(duì)換法。

8.3系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的識(shí)別與修正（2）線性變化系統(tǒng)誤差的修正方法例如測(cè)量電阻，

為被測(cè)電阻，

為已知電阻。設(shè)回路電流

隨時(shí)間線性降低，可用對(duì)稱(chēng)測(cè)量法修正該線性誤差，方法如下：第一次測(cè)

兩端電壓為：第二次測(cè)

兩端電壓為：第三次測(cè)

兩端電壓為：

8.3系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的識(shí)別與修正因電流下降是線性變化的，所以從上式可看出，因電流變化而引起的系統(tǒng)誤差已被修正。

8.3系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的識(shí)別與修正（3）周期性變化系統(tǒng)誤差的修正只要讀取相隔半周期的兩次測(cè)量值，然后取平均值為測(cè)量結(jié)果，即可修正周期性變化的系統(tǒng)誤差。這是因?yàn)楦鶕?jù)周期性變化系統(tǒng)誤差的變化規(guī)律，有：變化半周期即

時(shí)，有取

和

的算術(shù)平均值，有

8.3系統(tǒng)誤差系統(tǒng)誤差的識(shí)別與修正系統(tǒng)誤差修正準(zhǔn)則如果系統(tǒng)誤差或偏差代數(shù)和的絕對(duì)值不超過(guò)測(cè)量結(jié)果總誤差絕對(duì)值最后一位有效數(shù)字的一半，就認(rèn)為系統(tǒng)誤差已被修正。測(cè)量結(jié)果的總誤差，一般只用一位或兩位有效數(shù)字表示，可用公式來(lái)表達(dá)上述準(zhǔn)則。設(shè)測(cè)量結(jié)果的總誤差絕對(duì)值為

，殘余系統(tǒng)誤差的代數(shù)和為

。當(dāng)

用兩位有效數(shù)字表示時(shí)當(dāng)

用一位有效數(shù)字表示時(shí)只要滿(mǎn)足上述條件，就可認(rèn)為已修正系統(tǒng)誤差對(duì)測(cè)量結(jié)果的影響。

8.3系統(tǒng)誤差消除系統(tǒng)誤差的措施從產(chǎn)生誤差根源上消除系統(tǒng)誤差從產(chǎn)生誤差根源上消除誤差是最根本的方法，它要求測(cè)量人員對(duì)測(cè)量過(guò)程中可能產(chǎn)生系統(tǒng)誤差的環(huán)節(jié)作仔細(xì)分析，并在測(cè)量前就將誤差從產(chǎn)生根源上加以消除。用修正方法消除系統(tǒng)誤差預(yù)先將測(cè)量器具的系統(tǒng)誤差檢定出來(lái)或計(jì)算出來(lái)，做出誤差表或誤差曲線，然后取與誤差數(shù)值大小相同、符號(hào)相反的值作為修正值。

8.3系統(tǒng)誤差8.4間接測(cè)量中的誤差計(jì)算間接測(cè)試參量的估計(jì)值間接測(cè)量量

一般可以表示為相互獨(dú)立的直接測(cè)量量

的函數(shù)：由于各直接測(cè)得的參量

都是隨機(jī)變量，間接測(cè)量量

是隨機(jī)變量的函數(shù)，其分布參數(shù)（均值和標(biāo)準(zhǔn)差等）通常需要根據(jù)其自變量的分布參數(shù)計(jì)算。計(jì)算隨機(jī)變量函數(shù)分布參數(shù)的常用方法是矩法。在各隨機(jī)變量

的均值處做泰勒級(jí)數(shù)展開(kāi)，有：上式即為間接測(cè)量量均值的近似估計(jì)。

間接測(cè)量誤差計(jì)算間接測(cè)量參數(shù)為

與各直接測(cè)量參數(shù)為

，二者之間的函數(shù)關(guān)系為

，進(jìn)行微分運(yùn)算有令

，并用增量代替微分，有：的可能最大誤差為：的最佳估計(jì)為：的相對(duì)誤差為：

8.4間接測(cè)量中的誤差計(jì)算8.5誤差分析與測(cè)試數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差成分分析隨機(jī)誤差一般通過(guò)重復(fù)測(cè)量某一變量來(lái)測(cè)定，可用測(cè)得的數(shù)據(jù)計(jì)算測(cè)量樣本標(biāo)準(zhǔn)差。在誤差分析中，隨機(jī)誤差反映為精密度指數(shù)

?？梢岳?/p>

統(tǒng)計(jì)量估計(jì)單個(gè)測(cè)量

的精密度極限:式中，

為置信水平（例如95%）和自由度（

）的函數(shù)。變量

的隨機(jī)誤差區(qū)間（置信區(qū)間）是

。因?yàn)橛糜诠烙?jì)

的樣本容量一般較小（

），所以經(jīng)常采用

分布而不是正態(tài)分布。當(dāng)樣本容量大于30，正態(tài)分布與

分布基本上是相同的。平均值的標(biāo)準(zhǔn)差

與測(cè)量值的標(biāo)準(zhǔn)差

之間的關(guān)系為：

系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差成分分析平均值的誤差為:平均值的隨機(jī)誤差帶（置信區(qū)間）表示為

。如果測(cè)量條件不變，則系統(tǒng)誤差不變。因此，需要用置信區(qū)間而不是置信水平來(lái)定義準(zhǔn)確度誤差極限的可信度。通常要求系統(tǒng)誤差的置信區(qū)間與隨機(jī)誤差的置信水平相對(duì)應(yīng)，例如95%的置信水平用于隨機(jī)誤差，同時(shí)95%的置信區(qū)間用于系統(tǒng)誤差。

a)單次測(cè)量測(cè)量值誤差圖b)多次測(cè)量均值誤差圖

8.5誤差分析與測(cè)試數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差成分分析在圖a中，如果進(jìn)行了大量的測(cè)量，可以預(yù)測(cè)出正態(tài)的頻率分布。曲線的頂點(diǎn)在總體均值處，由于系統(tǒng)誤差B，該均值不同于x的真值。一個(gè)測(cè)量讀數(shù)

偏離總體均值并且存在關(guān)于讀數(shù)的隨機(jī)誤差帶。圖b顯示多次測(cè)量的情形。樣本均值不同于總體均值，存在隨機(jī)誤差帶

。多次測(cè)量均值的隨機(jī)誤差帶

比單次測(cè)量測(cè)量值的隨機(jī)誤差帶

窄。為了合成隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差，要使用均方根公式:誤差的置信水平與的置信水平相同。系統(tǒng)誤差帶不必是對(duì)稱(chēng)的。在不對(duì)稱(chēng)情況下，上式必須應(yīng)用2次，一次獲得正方向的綜合誤差，另一次獲得負(fù)方向的綜合誤差。

8.5誤差分析與測(cè)試數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差成分分析為了獲得測(cè)量的系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差，必須合成基本系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差，這個(gè)過(guò)程如圖：各項(xiàng)誤差用均方根合成：，

8.5誤差分析與測(cè)試數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差成分分析例8.4在估計(jì)一個(gè)氣田的天然氣燃燒值過(guò)程中，取了10個(gè)樣本并且用熱量計(jì)測(cè)量每個(gè)樣本的燃燒值，以kJ/kg為單位測(cè)得的值為48530，50210，49860，48560，49540，49270，48850，49320，48680，48980。假設(shè)熱量計(jì)在測(cè)量中沒(méi)有產(chǎn)生任何的系統(tǒng)誤差，試用95%的置信水平計(jì)算每次測(cè)量的隨機(jī)誤差和測(cè)量均值的隨機(jī)誤差。

解：若

表示燃燒值，則平均值為

樣品的標(biāo)準(zhǔn)差（精密度指數(shù)）為

8.5誤差分析與測(cè)試數(shù)據(jù)處理系統(tǒng)誤差和隨機(jī)誤差成分分析使用置信水平95%的

分布（表8-2）和10-1=9的自由度，可以查得值為：

于是，每個(gè)樣本的隨機(jī)誤差為：

kJ/kg

由于

，均值的隨機(jī)誤差為：

kJ/kg

8.5誤差分析與測(cè)試數(shù)據(jù)處理有效數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)則有效數(shù)字含有誤差的任何近似數(shù)，如果其絕對(duì)誤差的絕對(duì)值不超過(guò)近似數(shù)的半個(gè)單位，那么這個(gè)近似數(shù)左方起的第一個(gè)非零的數(shù)字，稱(chēng)為第一位有效數(shù)字。從第一位有效數(shù)字起到最末一位數(shù)字止的所有數(shù)字（包括零）都叫有效數(shù)字。例如取n=3.14159，第一位有效數(shù)字為3，共有六位有效位數(shù)；又如0.00270，第一位有效數(shù)字為2，共有三位有效位數(shù)。若近似數(shù)的右邊帶有若干個(gè)零，通常把這個(gè)近似數(shù)寫(xiě)成a

10n形式（1<a<10）。如2.400

103，表示四位有效位數(shù)。最末一位有效數(shù)字取到哪，是由測(cè)量精度來(lái)決定的－最末一位有效數(shù)字應(yīng)與測(cè)量精度同量級(jí)。測(cè)量結(jié)果應(yīng)保留的位數(shù)原則是，其最末一位數(shù)字是不可靠的，而倒數(shù)第二位數(shù)字應(yīng)是可靠的。測(cè)量誤差一般取1-2位有效數(shù)字。

8.5誤差分析與測(cè)試數(shù)據(jù)處理有效數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)則數(shù)字舍入規(guī)則對(duì)于位數(shù)很多的近似數(shù)，當(dāng)有效位數(shù)確定后，其后面多余的數(shù)字應(yīng)予舍去，而保留的有效數(shù)字最末一位數(shù)字應(yīng)按下面的舍入規(guī)則進(jìn)行湊整：:1)若舍去部分的數(shù)值，大于保留部分的末位的半個(gè)單位，則末位加1,2)若舍去部分的數(shù)值，小于保留部分的末位的半個(gè)單位，則末位不變。3)若舍去部分的數(shù)值，等于保留部分的末位的半個(gè)單位，則末位湊成偶數(shù)－當(dāng)末位為偶數(shù)時(shí)末位不變，當(dāng)末位為奇數(shù)時(shí)則末加１。

8.5誤差分析與測(cè)試數(shù)據(jù)處理有效數(shù)字及其運(yùn)算規(guī)則數(shù)據(jù)運(yùn)算規(guī)則1)在近似數(shù)加減運(yùn)算時(shí)，各運(yùn)算數(shù)據(jù)以小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準(zhǔn)，其余各數(shù)據(jù)可多取一位小數(shù)，但最后結(jié)果應(yīng)與小數(shù)位數(shù)最少的數(shù)據(jù)小數(shù)位相同。2)在近似數(shù)乘除運(yùn)算時(shí)，各運(yùn)算數(shù)據(jù)以有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)為準(zhǔn)，其余各數(shù)據(jù)要比有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)多取一位數(shù)字，而最后結(jié)果應(yīng)與有效位數(shù)最少的數(shù)據(jù)位數(shù)相同。3)在近似數(shù)平方或開(kāi)方運(yùn)算時(shí)，平方相當(dāng)于乘法運(yùn)算，開(kāi)方是平方的逆運(yùn)算，故可按乘除運(yùn)算處理。4)在對(duì)數(shù)運(yùn)算時(shí)，n位有效數(shù)字的數(shù)據(jù)應(yīng)該用n位對(duì)數(shù)表，或用（n+1）位對(duì)數(shù)表，以免損失精度。5)三角函數(shù)運(yùn)算中，所取函數(shù)值的位數(shù)應(yīng)隨角度誤差的減小而增多，其對(duì)應(yīng)關(guān)系如表8-8所示。

8.5誤差分析與測(cè)試數(shù)據(jù)處理測(cè)量最終結(jié)果的誤差單樣本測(cè)量最終結(jié)果的誤差結(jié)果

是由n個(gè)測(cè)量變量所組成的函數(shù)，即,那么結(jié)果的系統(tǒng)誤差

和精密度指數(shù)

可以由下式計(jì)算：偏導(dǎo)數(shù)

被稱(chēng)為靈敏度系數(shù)，式中，

為

分布值。

8.5誤差分析與測(cè)試數(shù)據(jù)處理測(cè)量最終結(jié)果的誤差多樣本測(cè)量最終結(jié)果的誤差在一些試驗(yàn)中可能進(jìn)行多樣本試驗(yàn)來(lái)確定

。在這些情況下，每次試驗(yàn)可獲得結(jié)果的值

。然后可以得到

的平均值，并且可以通過(guò)測(cè)量結(jié)果的分散性估計(jì)精密度指數(shù)和隨機(jī)誤差。結(jié)果均值為：式中有

的M組測(cè)量值。精密度指數(shù)（標(biāo)準(zhǔn)差）可由下式獲得：

8.5誤差分析與測(cè)試數(shù)據(jù)處理測(cè)量最終結(jié)果的誤差于是結(jié)果的隨機(jī)誤差為：系統(tǒng)誤差的確定方法與單樣本測(cè)量相同。最終誤差的估計(jì)由下式得出：

8.5誤差分析與測(cè)試數(shù)據(jù)處理誤