新高考數(shù)學(xué)小題必練 計數(shù)原理與概率

小題必練10計數(shù)原理與概率

老縣訛碣

1.掌握古典概率的基本特征，解決簡單的概率實際問題，借助古典概型初步認(rèn)識有限樣本空間、隨機事件，

以及隨機事件的概率.

2.能夠根據(jù)實際問題的需求，選擇恰當(dāng)?shù)某闃臃椒ǐ@取樣本數(shù)據(jù)，重點提升數(shù)據(jù)分析、數(shù)學(xué)建模、邏輯推理

和數(shù)學(xué)運算素養(yǎng).

3.了解分類加法計數(shù)原理、分步乘法計數(shù)原理及其意義，利用計數(shù)原理推導(dǎo)排列數(shù)公式、組合數(shù)公式，能用

多項式運算法則和計數(shù)原理證明二項式定理，會用二項式定理解決與二項展開式有關(guān)的簡單問題.

考星遷就

1.【2020全國新高考I卷】6名同學(xué)到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學(xué)只去1個場館，甲場館安排1

名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有()

A.120種B.90種C.60種D.30種

【答案】C

【解析】C：C；C；=60.

【點睛】本題主要考查計數(shù)原理的相關(guān)知識，考查數(shù)學(xué)運算.

2.12020全國H卷理科】在新冠肺炎疫情防控期間，某超市開通網(wǎng)上銷售業(yè)務(wù)，每天能完成1200份訂單的

配貨，由于訂單量大幅增加，導(dǎo)致訂單積壓為解決困難，許多志愿者踴躍報名參加配貨工作，已知該超市某日

積壓500份訂單未配貨，預(yù)計第二天的新訂單超過1600份的概率為0.05.志愿者每人每天完成50份訂單的

配貨，為使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95,則至少需要志愿者()

A.10名B.18名C.24名I).32名

【答案】B

【解析】由題意知超市第二天能完成1200份訂單的配貨,

如果沒有志愿者幫忙，則超市第二天共會積壓超過500+(1600-1200)=900份訂單的概率為0.05,

因此要使第二天完成積壓訂單及當(dāng)日訂單的配貨的概率不小于0.95,

至少需要志愿者則=18(名)，故選B.

50

【點睛】本題主要考查概率知識在生活中的應(yīng)用，考查數(shù)學(xué)運算和數(shù)據(jù)分析.

考員庭破

一、單選題.

1.某電視臺一個綜藝欄目對六個不同的節(jié)目排演出順序，最前只能排甲或乙，最后不能排甲，則不同的排法

共有。

A.192種B.216種C.240種D.288種

【答案】B

【解析】最前排甲，共有A；=120種，

最前只排乙，最后不能排甲，有A1A：=96種，

根據(jù)加法原理可得，共有120+96=216種，故選B.

2.某班班會準(zhǔn)備從甲、乙等7名學(xué)生中選派4名學(xué)生發(fā)言，要求甲、乙兩人至少有一人參加.當(dāng)甲乙同時參

加時，他們兩人的發(fā)言不能相鄰.那么不同的發(fā)言順序的和數(shù)為()

A.360B.520C.600D.720

【答案】C

【解析】根據(jù)題意，分2種情況討論，若只有甲乙其中一人參加，有C；?C；?C：=480種情況；

若甲乙兩人都參加，有C；?C；?A：=240種情況，其中甲乙相鄰的有C；?C；?A；?A；=120種情況，

則不同的發(fā)言順序種數(shù)為480+240-120=600^,故選C.

3.某校畢業(yè)典禮由6個節(jié)目組成，考慮整體效果，對節(jié)目演出順序有如下要求：節(jié)目甲必須排在前三位，

且節(jié)目丙、丁必須排在一起，則該校畢業(yè)典禮節(jié)目演出順序的編排方案共有()

A.120種B.156種C.188種D.240種

【答案】A

【解析】根據(jù)題意，由于節(jié)目甲必須排在前三位，分3種情況討論：

①甲排在第一位，節(jié)目丙、丁必須排在一起，則丁、丙相鄰的位置有4個，考慮兩者的順序，有2種情況,

將剩下的3個節(jié)目全排列，安排在其他三個位置，有A；=6種安排方法，

則此時有4x2x6=48種編排方法；

②甲排在第二位，節(jié)目丙、丁必須排在一起，則丁、丙相鄰的位置有3個，考慮兩者的順序，有2種情況,

將剩下的3個節(jié)目全排列，安排在其他三個位置，有A；=6安排方法，

則此時有3x2x6=36種編排方法；

③甲排在第三位，節(jié)目丙、丁必須排在一起，則丁、丙相鄰的位置有3個，考慮兩者的順序，有2種情況,

將剩下的3個節(jié)目全排列，安排在其他三個位置，有A；=6種安排方法，

則此時有3x2x6=36種編排方法，

則符合題意要求的編排方法有36+36+48=120種，故選A.

4.若二項式(2x+@y的展開式中二的系數(shù)是84,則實數(shù)a=()

XJT

A.2B.A/?C.1D.----

4

【答案】C

【解析】二項式(2x+q)7的展開式，即(q+2x)7的展開式中廠3項的系數(shù)為84,

xx

所以&i=C（2切（q尸=C2Z7-4-7+2r,令一7+2r=-3,解得r=2,

X

代入得c）522=84,解得。=1,故選C.

5.（x+@）（2x-丄了展開式中，各項系數(shù)之和為3,則展開式中的常數(shù)項為（）

XX

A.-120B.-80C.80D.120

【答案】D

【解析】（x+8）（2x—丄門展開式中，各項系數(shù)之和為3,

XX

x=1時，1+a=3,,\a=29

.ci..1.<.2...1.<

（x4—）（2%—）=（X4—）（2x—）?

XXXX

???展開式中x的一項為80x,x的-1此項為-40x-',

展開式中的常數(shù)項為160—40=120,故選D.

6.“暑假”期間，三個家庭（每家均為一對夫婦和一個孩子）去“沈陽世博園”游玩，在某一景區(qū)前合影留念,

要求前排站三個小孩，后排為三對夫婦，則每對夫婦均相鄰，且小孩恰與自家父母排列的順序一致的概率是（）

1?1八11

A.—B.—C.----D.-----

1590180360

【答案】B

【解析】前排站三個小孩，后排為三對夫婦的排列為A；A：種，

前排站三個小孩，后排為三對夫婦，則每對夫婦均相鄰，且小孩恰與自家父母排列的順序一致，

故有A；A；A；A：=48種，

481

故每對夫婦均相鄰，且小孩恰與自家父母排列的順序一致的概率尸=一"7=一，故選B.

A〉A(chǔ)：90

7.己知集合A={1,2,3,4,5,6},若從集合A中任取3個不同的數(shù)，則這三個數(shù)可以作為三角形三邊長的概率

為()

37113

A.—B.—C.-D.—

1020220

【答案】B

【解析】不妨設(shè)取出的三個數(shù)為a,b,c,且a<8<c,若a,b,c,能夠成三角形,

則有以下幾種情況；

當(dāng)c=6時，(。力)=(2,5),(3,4),(3,5),(4,5)；

當(dāng)c=5時，(a,份=(2,4),(3,4)；

當(dāng)c=4時，(。/)=(2,3)一共有7組，

77

所求的概率為P=F=—.

C20

8.中國剪紙是一種用剪刀或刻刀在紙上剪刻花紋，用于裝點生活或配合其他民俗活動的民間藝術(shù)，蘊涵了極

致的數(shù)學(xué)美和豐富的傳統(tǒng)文化信息.現(xiàn)有一幅剪紙的設(shè)計圖，其中的4個小圓均過正方形的中心，且內(nèi)切于正

方形的兩鄰邊.若在正方形內(nèi)隨機取一點，則該點取自黑色部分的概率為()

A.生217T

B.-

26

【答案】A

【解析】分析題意可知，陰影部分剛好可以拼湊成一個圓形,

設(shè)圓的半徑為R,該正方形的邊長為/,則對于正方形的對角線而言，可以分為三個部分，第一個部分為正方

形的對角線上的頂點到圓心的距離，兩圓的圓心距，對角線上頂點到圓心的距離，

故(2R+R)-2=B，解得/=(夜+2)R,

(3-272)71

故概率P=故選A.

(e+2)2R2

二、多選題.

9.為弘揚我國古代的“六藝文化”，某夏令營主辦單位計劃利用暑期開設(shè)

“禮”“樂”“射”“御,，“書”“數(shù)”六門體驗課程，每周一門，連續(xù)開設(shè)六周.則()

A.某學(xué)生從中選3門，共有30種選法

B.課程“射”“御”排在不相鄰兩周，共有240種排法

C.課程“禮”“書”“數(shù)”排在相鄰三周，共有144種排法

D.課程“樂”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，共有504種排法

【答案】CD

【解析】6門中選3門共有C：=20種，故A錯誤；

課程“射”“御”排在不相鄰兩周，共有A：A；=480種排法，故B錯誤；

課程“禮”，，書”“數(shù)”排在相鄰三周，共有A；A：=144種排法，故C正確；

課程“樂”不排在第一周，課程“御”不排在最后一周，共有厶；+仁(2厶：=5()4種排法，故D正確.

10.已知二項式(2x—-%)”(〃eN*)的展開式中第2項與第3項的二項式系數(shù)之比是2:5,則下列說法正確

的是()

A.所有項的系數(shù)之和為1B.所有項的系數(shù)之和為-1

C.含*3的項的系數(shù)為240D.含d的項的系數(shù)為-240

【答案】AC

ii2〃-3r

【解析】二項式(2%--7=)"(〃6^)展開式通項為：J；』=c:(2x)"，(一,)'=(—l)'2iC"了

7xyjx

因為展開式中第2項與第3項的二項式系數(shù)之比是2:5,所以C：:C；=2:5,解得〃=6；

則該二項式為(2x-J=)6,令％=1,則所有項的系數(shù)之和為(2-1)6=1,故A正確，B錯誤；

yJX

12-3r

則展開式的通項公式為4+1=(-1)'26-'匸：》丁，

令1―=3,則r=2,因此含V的項的系數(shù)為(一1)224或=240,故C正確，D錯誤.

3

11.一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球，給出下列結(jié)論：①從中任取3球，恰有一個白球的概率是：；

on

②從中有放回的取球6次，每次任取一球，恰好有兩次白球的概率為——；③現(xiàn)從中不放回的取球2次，每

243

2

次任取1球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率為一；④從中有放回的取球3次，每次任取

一球，則至少有一次取到紅球的概率為型.則其中正確命題的序號是()

27

A.①B.②C.③D.④

【答案】ABD

【解析】一袋中有大小相同的4個紅球和2個白球，

C2cl3

①從中任取3球，恰有一個白球的概率是〃=^^=:，故正確；

C65

②從中有放回的取球6次，每次任取一球，每次抽到白球的概率為“=2=丄,

63

21go

則恰好有兩次白球的概率為P=《(§)4(?2=赤，故正確;

CC3

③現(xiàn)從中不放回的取球2次，每次任取1球，則在第一次取到紅球后，第二次再次取到紅球的概率為不請=三,

故錯誤；

42

④從中有放回的取球3次，每次任取一球，每次抽到紅球的概率為〃=三=；,

63

則至少有一次取到紅球的概率為P=1-C；g)3=||,故正確.

12.如圖所示的電路中，5只箱子表示保險匣分別為A、B、C、D、E.箱中所示數(shù)值表示通電時保險絲

被切斷的概率，下列結(jié)論正確的是()

A.A5所在線路暢通的概率為丄B.A8C所在線路暢通的概率為*

66

C.OE所在線路暢通的概率為丄29

D.當(dāng)開關(guān)合上時，整個電路暢通的概率為一

3036

【答案】BD

【解析】由題意知，A、6、C、。、E保險閘被切斷的概率分別為P(A)=1,P(B)=1,P(C)=1,P(D)=1,

所以A、8兩個盒子暢通的概率為丄乂2=丄，因此A錯誤;

233

iii29

D、E兩個盒子并聯(lián)后暢通的概率為1一一x-=l一一=一，因此C錯誤;

563030

2115

A、B、C三個盤子混聯(lián)后暢通的概率為1-一x-=l一一=一，B正確;

3466

29529

根據(jù)上述分析可知，當(dāng)開關(guān)合上時，電路暢通的概率為一x—=一,D正確.

30636

三、填空題.

13.（北京市海淀區(qū)2018年高三一模）社區(qū)主任要為小紅等4名志愿者和他們幫助的2位老人拍照，要求排成

一排，小紅必須與2位老人都相鄰，且兩位老人不排在兩端，則不同的排法種數(shù)是.（用數(shù)字作答）

【答案】24

【解析】首先小紅必須與2位老人都相鄰有2種排法，將三人看成一個整體，從剩下的3名志愿者中選出兩人

排在兩端有A；種，剩下的一名志愿者與小紅等三人可亂排有A；種，

根據(jù)分步計數(shù)原理可得不同的排法種數(shù)2xA；xA；=24種.

20l5

14.（廣東省東莞市2018屆高三上學(xué)期期末數(shù)學(xué)試卷）（1—2x）235=%+4九++a20I5x（xeR）,

則5+2+3++號的值為

2222322015

【答案】-1

【解析】由題意得%=C屛5（—2）'，取x=O,代入二式項得4=1,

:+寸+寸++^201f-C2OI5+C2015-C2OI5++C煞一C紀(jì)

:C2015-C2015+C2015-C2015++C2015~C2OI5=QT產(chǎn),，

aCl

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