高考數(shù)學(xué)二輪總復(fù)習(xí) 綜合測試題理

專題二綜合測試題

（時間：120分鐘滿分：150分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中,

只有一項是符合題目要求的.

1.如圖，設(shè)A是棱長為a的正方體的一個頂點,過從此頂點出發(fā)的三條棱的中點作截面,

截面與正方體各面共同圍成一個多面體，則關(guān)于此多面體有以下結(jié)論，其中錯誤的是（）

A.有10個頂點

B.體對角線AQ垂直于截面

C.截面平行于平面CBD

11

47

D.此多面體的表面積為waz

O

解析：此多面體的表面積S=6a2—3X-X-aX-a+-X

故選D.

o

答案：D

2.（2011?某某某某二模）下圖是一個多面體的三視圖，則其全面積為（）

側(cè)（左）視圖

俯視圖

1/18

C，73+6D.A/3+4

解析：由幾何體的三視圖可得，此幾何體是正三棱柱，其全面積為S=3X（/）2+2><；

X（，^）2Xsin60°=6+，1故選C.

答案：C

3.（2011?某某撫州一中模擬）如圖是一個幾何體的三視圖，根據(jù)圖中數(shù)據(jù)，可得該幾何

體的表面積是（）

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

A.22兀B.12n

C.4兀+24D.4兀+32

解析：由幾何體的三視圖可得，此幾何體是上面一個球、下面一個長方體組成的幾何體,

此幾何體的表面積S=4JiXk+2X2X2+8X3=4it+32.故選D.

答案：D

4.一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積與體積分別為（）

正（主）視圖側(cè)（左）視圖

俯視圖

7+R3B.8+展3

7+4,|D.8+@|

2/18

解析：由幾何體的三視圖可得，此幾何體是四棱柱，底面是梯形，其全面積為S=2X；

13

（1+2）Xl+12+12+lX2+>/2Xl=7+^/2,體積為V=g（l+2）X1X1=1故選C.

答案：C

5.（2011?某某啟東中學(xué)模擬）一個與球心距離為1的平面截球體所得的圓面面積為“，

則球的體積為（）

解析：由題意，球的半徑為R=d1?+米=娟,故其體積V=gn（/）3=叢|三，選A.

答案：A

6.（2011?某某福鼎一中模擬）如圖，在正方體ABCD—A月CR中，E是AD的中點，則

異面直線QE與BC所成的角的余弦值是（）

解析:因為BC〃B￡,故NEQB押為異面直線QE與BC所成的角,在△EB￡中，由余

弦定理可得結(jié)果，選C.

答案：C

7.（2011?某某市高三質(zhì)檢）已知正四棱錐S-ABCD的側(cè)棱長與底面邊長都相等，E是

SB的中點，則AE、SD所成角的余弦值為（）

1+

A.尹3

3/18

解析：連接BD,取BD中點0,連接AO

貝i|OE〃SD.ZOEA即為AE與SD所成的角.

令側(cè)棱長為2,則OE=1,A0=&AE=J§

因為AE2=A（）2+0E2,所以AAOE是直角三角形，故cos/AEO=坐.

答案：C

8.（2011?某某皖南八校聯(lián)考）設(shè)m,n是不同的直線，a、8、丫是不同的平面，有

以下四個命題：

a〃BaJ_8]m±a1m〃n

=B〃丫；②6；③[今a_L8；④

?a〃丫m〃aJm〃3jnua

m〃a.其中正確的命題是（）

A.①④B.②③

C.①③D.②④

解析：由定理可知①③正確，②中m與B的位置關(guān)系不確定，④中可能mua.故選C.

答案：C

9.（2011?某某模擬）如圖，正AABC的中線AF與中位線DE相交于G,已知ED是

△AED繞DE旋轉(zhuǎn)過程中的一個圖形，下列命題中，錯誤的是（）

A.動點A，在平面ABC上的射影在線段AF上

B.恒有平面A，GF,平面BCED

C.三棱錐A，—FED的體積有最大值

D.異面直線A，E與BD不可能垂直

解析：由題意，DE_L平面AGA，,A、B、C正確.故選D.

4/18

答案：D

10.（2011?某某一模）在棱長為a的正方體ABCD—A月CR中，M為AB的中點，則點C

到平面AJM的距離為（）

解析：設(shè)點C到平面A下的距離為h,則由已知得DM=4M=AD

1

乎M連接CM,SAcB=|a2,由總y=%

=V^a,SAA_)M=1X

?h=1s?a,幸a2?h=1as?a,所以h=^a,即點C到平面ADM的距離

3ACDM4Z31

11.（2011?某某平邑一中模擬）設(shè)a,b,c是空間三條直線，a,8是空間兩個平面,

則下列命題中，逆命題不成立的是（）

A.當(dāng)cj.a時，若c_LB,則a〃8

B.當(dāng)bua時，若b_L6,則aJ.6

C.當(dāng)bua,且c是a在a內(nèi)的射影時，若b，c,貝!]a，b

D.當(dāng)bua,且a時，若c〃a,則b〃c

解析：寫出逆命題，可知B中b與6不一定垂直.選B.

答案：B

12.（2011?某某濰坊模擬）某幾何體的一條棱長為在該幾何體的正視圖中，這條

棱的投影是長為出的線段，在該幾何體的側(cè)視圖與俯視圖中，這條棱的投影分別是長為a

和b的線段，則a+b的最大值為（）

A.2#.2小

5/18

C.4D.2事

解析：結(jié)合長方體的對角線在三個面的投影來理解計算.如圖設(shè)長方體的長，寬，高分

別為m,n,k,由題意得yiw+nz+kzu/,=..Jg=>n=1,\/l+k2=a,,l+iffi=b,

所以（aa—1）+（ba—1）=6=>az+b2=8,所以（a+b）2=a2+2ab+b2=8+2abW8+az+b2=16

=>a+bW4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時取等號.選C.

答案：C

二、填空題：本大題共4小題，每小題4分，共16分，將答案填在題中的橫線上.

13.（2011?某某某某二模）一個五面體的三視圖如圖，正視圖與側(cè)視圖都是等腰直角三

角形，俯視圖為直角梯形，部分邊長如圖所示，則此五面體的體積為.

側(cè)（左）視圖

俯視圖

解析：由三視圖可知，此幾何體是一個底面為直角梯形，有一條側(cè)棱垂直于底面的四棱

錐，其體積為V=1x?X（1+2）X2X2=2.

答案：2

14.（2011?某某春招）有一多面體的飾品，其表面由6個正方形和8個正三角形組成（如

圖），AB與CD所成的角的大小是.

6/18

解析：連接AD,則AD^2BC,故延長AB,DC必相交，設(shè)交點為E,4ADE是等邊三角

形，故AB與CD所成的角的大小為60°.

答案：60°

15.（2011?某某某某聯(lián)考）三棱錐S-ABC中，ZSBA=ZSCA=90°,AABC是斜邊AB

=a的等腰直角三角形，則以下結(jié)論中：

①異面直線SB與AC所成的角為90°；

②直線SB,平面ABC；

③平面SBC,平面SAC；

④點C到平面SAB的距離是ga.

其中正確結(jié)論的序號是.

解析：由題意知AC1.平面SBC,故ACLSB,SBJ_平面ABC,平面SBCLL平面SAC,①、

②、③正確；取AB的中點E,連接CE,可證得CE,平面SAB,故CE的長度即為C到平面

SAB的距離%,④正確.

答案：①②③④

16.（2011?某某一模）如圖，在正三棱柱ABC—ARQ中，D為棱AA1的中點，若截面△

BCD是面積為6的直角三角形，則此三棱柱的體積為.

7/18

解析：設(shè)正三棱柱的底面邊長為a,高為2h,則BD=C]D=/WB,BC]=/示而，由

2Xa2+h2=a2+4h2

陽=8

△BCD是面積為6的直角三角形，得J1-，解得1°，故此三

1

-a2+h2=6[h=2

棱柱的體積為V=[x8Xsin60。X4=8■.

答案：8y[3

三、解答題：本大題共6小題，共74分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(本小題滿分12分)如圖，PAL平面ABCD,ABCD是矩形，PA=AB=1,AD=小,點

F是PB的中點，點E在邊BC上移動.

⑵當(dāng)點E為BC的中點時，試判斷EF與平面PAC的位置關(guān)系，并說明理由;

(3)證明：無論點E在邊BC的何處，都有PELAF.

解：(1)三棱錐E-PAD的體積V=1PA?SA#n=|pA.[|AD?AB)=坐.

3AADE3J6

⑵當(dāng)點E為BC的中點時，EF與平面PAC平行.

8/18

?.?在APBC中，E、F分別為BC、PB的中點，

，EF〃PC,又EFd平面PAC,PCu平面PAC,

；.EF〃平面PAC.

(3)證明：平面ABCD,BEu平面ABCD,

.-.BE±PA,又BE_LAB,ABnPA=A,AB,PAu平面PAB,

；.BE_L平面PAB.又AFu平面PAB,；.AF_LBE.

又PA=AB=1,點F是PB的中點，.?.PBLAF,

又*；PBnBE=B,PB,BEu平面PBE,

；.AF_L平面PBE.

：PEu平面PBE,.\AF±PE.

18.(本小題滿分12分)

已知四棱錐P—ABCD中，平面PAD,平面ABCD,平面PCD,平面ABCD,E為PB上任意

一點，0為菱形對角線的交點，如圖.

⑴證明：平面EACL平面PBD；

(2)試確定點E的位置，使得四棱錐的體積被平面EAC分成31兩部分.

解：(1)證明：過點B作BG_LAD于點G,由于平面PAD_L平面ABCD,由面面垂直的性質(zhì)

定理可知BG,平面PAD,又PDu平面PAD,故PDLBG；同理，過點B作母UCD于點H,則

又BGu平面ABCD,BHu平面ABCD,BGnBH=B,；.PDJ_平面ABCD,

9/18

.\PD±AC,又BDLAC,故AC,平面PBD,又ACu平面EAC,平面EAC,平面PBD.

⑵若四棱錐的體積被平面EAC分成31兩部分，則三棱錐E—ABC的體積是整個四棱

錐體積的;，設(shè)三棱錐E—ABC的高為h,底面ABCD的面積為S,貝4?gs?h=；??PD,

由此得h=；PD,故此時E為PB的中點.

19.（本小題滿分12分）如圖，在四面體A—BCD中，AE,平面BCD,BCXCD,BC=CD,

AC=BD,E是BD的中點.

⑴求證：ACXBD；

⑵求直線AC與平面BCD所成的角.

解：如圖，連接CE.

⑴證明：在4BCD中，BC=CD,E是BD的中點，

ACEXBD.

,.,AE_L平面BCD,BDu平面BCD,AE_LBD,CEnAE—E,

.??BD_L平面ACE,?:ACu平面ACE,

10/18

.\AC±BD.

⑵：AE_L平面BCD,CEc平面BCD,

.?.AE±CE,/ACE就是直線AC與平面BCD所成的角.

VBCXCD,E是BD的中點,

CE=^BD,

???AC=BD,ACE=|AC,

.?.在Rt/XACE中，易知/ACE=60°.即直線AC與平面BCD所成的角是60°.

20.（本小題滿分12分）（2011?某某）如圖，在三棱錐P—ABC中，AB=AC,D為BC的

中點，PCU平面ABC,垂足。落在線段AD上，已知BC=8,P0=4,AO-3,0D=2.

⑴證明：AP±BC；

⑵在線段AP上是否存在點M,使得二面角A-MC-B為直二面角？若存在，求出AM的

長；若不存在，請說明理由.

解：方法一：（1）證明：如圖，以。為原點，以射線0P為z軸的正半軸，建立空間直角

坐標(biāo)系0—xyz.

則0(0,0,0),A(0,

AP=(0,3,4),BC=(-8,0,0),由此可得AP?BC=O,所以APLBC,即AP^BC.

11/18

(2)設(shè)PM=入PA,入W1,

―?

則PM=A(0,-3,-4).

—?—?―?―?―?

BM=BP+PM=BP+入PA

=(-4,-2,4)+:(0,-3,-4)

=(-4,-2-3X,4一4人)

AC=(—4,5,0),BC=(—8,0,0).

設(shè)平面BMC的法向量A=(Xjy/z),

平面APC的法向量4(x/上z>

BM?ri]=0,

由

BC?n=0

1

-4x-2+3入4-4Az=0,

得i1

—8x=0,

i

x=0,

i2+3、

即12+3X可得n=0,1，4-4X

AP?02=0,3y+4z=0,

由即22

—4x+5y=0,

AC?n=0,22

2

5

X2R，

得,可取曠(5,4,-3).

3

L=一￡

由n?n=0,得4—3,-

124一4人

2

解得人=.故AM=3

5

綜上所述，存在點M符合題意，AM=3.

12/18

方法二：

⑴證明：由AB=AC,D是BC的中點，得ADLBC.又P0,平面ABC,得P0_LBC.

因為POCAD=O,所以BC,平面PAD.

故BCLPA.

⑵如圖，在平面PAB內(nèi)作BMLPA于M,連接CM.

由⑴中知APLBC,得APL平面BMC.

又APu平面APC,所以平面BMC,平面APC.

在RtZkADB中，AB2=AD2+BD2=41,得AB=，5I.

在Rt^POD中，PD2=PQ>+OD2,

在RtAPDB中，PB==PD2+BD2,

所以PB2=PCh+OD2+DB2=36,得PB=6.

在RtZXPOA中，PA2=AO2+OP2=25,得PA=5.

PA2+PB2—AB21

又cosZBPA=

2PA?PB

從而PM=PBCOS/BPA=2,所以AM=PA—PM=3.綜上所述，存在點M符合題意，AM=3.

21.（本小題滿分12分）（2011?某某）

如圖，四邊形ABCD為正方形，PD,平面ABCD,PD/7QA,QA=AB=^PD.

13/18

(1)證明：平面PQC，平面DCQ；

(2)求二面角Q-BP-C的余弦值.

解：如圖，以D為坐標(biāo)原點，線段DA的長為單位長，射線DA為x軸的正半軸建立空間

直角坐標(biāo)系D—xyz.

⑴證明:依題意有Q(l,1,0),C(0,0,1),P(0,2,0).

—>—>—>―?-?-?—>

則DQ=(1,1,0),DC=(0,0,1),PQ=(1,—1,0).所以PQ?DQ=O,PQ?DC=0.

即PQ±DQ,PQ±DC.故DQ,平面DCQ.

又PQu平面PQC,所以平面PQC_L平面DCQ.

⑵依題意有B(l,0,1),CB=(1,O,0),BP=(-1,2,-1).

Jrn,C-B=0

設(shè)n=(x,y,z)是平面PBC的法向量，貝一

n?BP=0

x=0

即

—x+2y—z=0

因此可取n=(0,—1,—2)

14/18

Jm?BP=0.

設(shè)m是平面PBQ的法向量，則］.

m?PQ=O.

可取m=(1,1,1),所以cos(m,n)=一坐.

遮

故二面角Q-BP-C的余弦值為

5

22.(本小題滿分14分)(2011?某某)如圖，四棱錐P—ABCD中，PA,底面ABCD,四邊

形ABCD中，AB±AD,AB+AD=4,CD=^2,ZCDA=45°.

(1)求證：平面PAB,平面PAD；

(2)設(shè)AB=AP.

(i)若直線PB與平面PCD所成的角為30。，求線段AB的長；

(ii)在線段AD上是否存在一個點G,使得點G到點P,B,C,D的距離都相等？說明理

解：解法一：

⑴證明:因為PAJ_平面ABCD,

ABc平面ABCD,

所以PALAB,

又AB_LAD,PAnAD=A,

所以AB,平面PAD

又ABc平面PAB,所以平面PAB,平面PAD,

⑵以A為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)—xyz(如圖).

15/18

在平面ABCD內(nèi)，作CE〃AB交AD于點E,貝CE，AD.

在Rt^CDE中，DE=CD?cos45°=1,

CE=CD?sin45°=1.

設(shè)AB=AP=t,則B(t,0,0),P(0,0,t).

由AB+AD=4得AD=4—t,

所以E(0,3—t,0),C(l,3—t,0)D(0,4—t,0),CD=(—1,1,0),PD=(0,4—t,—t).

(i)設(shè)平面PCD的法向量為n=(x,y,z).

一一f—x+y=0,

由UCD,n±PD,得

[4—ty—t?z=0

取x=t,得平面PCD的一個法向量n=(t,t,4—t).

又還=(t,o,-t),故由直線PB與平面PCD所成的角為30°得

44

解得t=￡或t=4(舍去，因為AD=4—1>0),所以AB=m

55

(ii)假設(shè)在線段AD上存在一個點G,使得點G到點P,B,C,D的距離都相等.

設(shè)G(0,叫0)(其中0WmW4—t).

16/18

則GC=(1,3—t—m,0),GD=(0,