2021年廣東省春季高考數(shù)學(xué)模擬試卷八（解析版）

2021年廣東春季高考數(shù)學(xué)模擬試卷(8)

解析版

注：本卷共22小題，滿分150分。

一、單選題(本大題共15小題，每小題6分，滿分90分)

1.已知集合"={1,2,3,4,5},且G“A={3},則集合A的真子集個(gè)數(shù)是。

A.15B.8C.7D.16

【答案】A

【解析】

【分析】

先根據(jù)條件求出集合A,然后再求集合A的真子集個(gè)數(shù).

【詳解】

集合M={1,2,3,4,5},且C”A={3}，則A={1,2,4,5}

所以集合A的真子集個(gè)數(shù)是24-1=15個(gè)

故選：A

【點(diǎn)睛】

本題考集合的補(bǔ)集運(yùn)算，和集合的真子集的個(gè)數(shù)，屬于基礎(chǔ)題.

2.如圖所示的圖形中，可以表示以M={x|O〈x〈l}為定義域，以'={叫0＜丁＜1}為值域的函

數(shù)的圖象是()

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)函數(shù)的定義可判斷.

【詳解】

解：A選項(xiàng)，函數(shù)定義域?yàn)镸，但值域不是N；B選項(xiàng)，函數(shù)定義域不是Af，值域?yàn)镹；D選項(xiàng)，

集合M中存在x與集合N中的兩個(gè)＞對(duì)應(yīng)，不構(gòu)成映射關(guān)系，故也不構(gòu)成函數(shù)關(guān)系.故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了函數(shù)的概念及表示方法，是基礎(chǔ)題.

3.若函數(shù)/(幻=優(yōu)(a＞0且在［―2,1］上的最大值為4,最小值為如實(shí)數(shù)，〃的值為。

【答案】D

【解析】

【分析】

分類討論。＞1分別對(duì)應(yīng)單調(diào)減函數(shù)、單調(diào)增函數(shù)，結(jié)合已知最值情況即可求m的值;

【詳解】

函數(shù)/。)=/在［-2,1］上：

當(dāng)0＜。＜1時(shí)，/(X)單調(diào)遞減：最大值為/(-2)=a-2=4,最小值/(1)=。=相，即有機(jī)=g；

當(dāng)時(shí)，f(x)單調(diào)遞增：最大值為f⑴=。=4,最小值/(—2)=。-2=根，即有"=七；

綜上，有加='或〃?=，?；

216

故選：D

【點(diǎn)睛】

本題考查了指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合已知最值求參數(shù)值，屬于簡(jiǎn)單題.

4.已知角a的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,-4),則cos[]+a)=()

4334

A.----B.-C.-D.-

5555

【答案】D

【解析】

【分析】

利用誘導(dǎo)公式可得cos怎+a=-sina,再利用三角函數(shù)的定義求解即可.

【詳解】

4

因?yàn)榻莂的終邊經(jīng)過(guò)點(diǎn)(3,T),所以sine=二=

5,

(71.4

所以cos[]+a=-sina--

5

故選D.

【點(diǎn)睛】

本題考查三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式，是一道基礎(chǔ)題，解題時(shí)要注意符號(hào).

5.將函數(shù)/(x)=2sin2x-。的圖象向左平移。(0＜。＜2萬(wàn))個(gè)單位后得到的圖象關(guān)于直線

TT

X=一對(duì)稱，則9的最大值為()

12

1\TI5n23萬(wàn)4萬(wàn)

A.-----B.—C.-------D.-----

63123

【答案】A

【解析】

【分析】

平移后所得三角函數(shù)為/(x+9)=2sin(2x-q+28),又因?yàn)殛P(guān)于平移后圖像關(guān)于對(duì)稱,

jrKJT

所以e=—+—(ZeZ),再根據(jù)。的取值范圍，即可得解.

32

【詳解】

f(x+(p)=2sin12尤-y+2o),

jrTTTC

2x---+2^?=y+k兀*eZ),

.7Ck7C..

一。=§+萬(wàn)(％")'

：o<e<2%,

1\n

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了三角函數(shù)的平移變換，考查了三角函數(shù)的最值問(wèn)題，有一定的計(jì)算量，屬于基礎(chǔ)題.

6.周長(zhǎng)為9的三角形三邊長(zhǎng)”，b,c長(zhǎng)度依次相差1,最大內(nèi)角和最小內(nèi)角分別記為a,(3,則

cos(a+〃)=()

【答案】c

【解析】

【分析】

計(jì)算出a,b,c長(zhǎng)度，找到最大角和最小角，利用余弦定理解決.

【詳解】

山題意得：a+b+c=91

a+a+l+a+2=9>即a=2,b-3,c=4,

a=C,B=A,

a2+c2-b24+16-911

..cos(a+0)=cos(A+C)=-cosB=—

故選：C.

【點(diǎn)睛】

此題考余弦定理的應(yīng)用，屬于簡(jiǎn)單題.

7.已知。4=(2,3),OB=(-3,y),若。4,05,則|A例等于()

A.2B.V26C-572D.

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)J.08求出y和AB的坐標(biāo)，即得IA81.

【詳解】

因?yàn)?。W_L08，所以2*(—3)+3丁=0,，丁=2.

所以08=(-3,2),AB=(-5,-1),AB\=7(-5)2+(-1)2=726.

故選：B

【點(diǎn)睛】

本題主要考查向量垂直的坐標(biāo)表示，考查向量的坐標(biāo)計(jì)算和模的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的

理解掌握水平.

8.中國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個(gè)問(wèn)題：“三百七十八里關(guān)，初行健步不為難，次日

腳痛減一半，六朝才得到其關(guān)，要見(jiàn)次日行里數(shù)，請(qǐng)公仔細(xì)算相還.”其大意為：“有一個(gè)人走了378

里路，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達(dá)目的地

則此人第4天走了()

A.6()里B.48里C.36里D.24里

【答案】D

【解析】

【分析】

由題意可知，每天走的里數(shù)構(gòu)成以g■為公比的等比數(shù)列，由縱=378求出首項(xiàng)，再由等比數(shù)列通項(xiàng)

公式可求得結(jié)果

【詳解】

解：記每天走的路程里數(shù)為｛4｝，可知｛4,｝是以公比g=；的等比數(shù)列，

因?yàn)椤?=378,所以——4=378,解得％=192,

1-

2

所以a=192x/=24,

故選：D

【點(diǎn)睛】

此題考查函數(shù)模型的選擇及等比數(shù)列的通項(xiàng)公式、等比數(shù)列的前〃項(xiàng)和公式的應(yīng)用

9.已知“<(),則下列結(jié)論正確的是()

A.a>abB.a>ab2C.ab<ab2D.ab>ab2

【答案】C

【解析】

【分析】

對(duì)每組式子作差判斷大小.

【詳解】

a-ab=a(^[-b)<0,:.a<ab，故A錯(cuò)誤；

22

a-ab=：,a<ab<故B錯(cuò)誤；

ab—ab2=ab(1—/>)<0,ab<ab2,故C正確，D錯(cuò)誤.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查不等式性質(zhì)的應(yīng)用，考查作差法判斷大小，屬于基礎(chǔ)題.

10.如圖某幾何體的三視圖是直角邊長(zhǎng)為1的三個(gè)等腰直角三角形，則該幾何體的外接球的表面積

為()

A.3萬(wàn)B.&C.—^-D.3萬(wàn)

22

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，該幾何體為從底面直角頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩垂直的三棱錐，可將其補(bǔ)成一個(gè)邊長(zhǎng)為1

的正方體，該幾何體的外接球就是補(bǔ)成的正方體的外接球求解

【詳解】

?.?該幾何體的三視圖是直角邊長(zhǎng)為1的三個(gè)等腰直角三角形，

...該幾何體為從底面直角頂點(diǎn)出發(fā)的三條棱兩兩垂直的三棱錐，可將其補(bǔ)成?個(gè)邊長(zhǎng)為1的正方體,

如圖所示：

則該幾何體的外接球就是補(bǔ)成的正方體的外接球，

???補(bǔ)成的正方體的對(duì)角線長(zhǎng)/=Vl2+12+12=73為其外接球的直徑d,

，外接球的表面積s=乃儲(chǔ)=3乃，

即該幾何體的外接球的表面積為3萬(wàn)，

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題主要考查三視圖還原幾何體以及幾何體的外接球問(wèn)題，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和空間想象的

能力，屬于基礎(chǔ)題.

11.若直線/過(guò)點(diǎn)（2,6），傾斜角為120。，則點(diǎn)到直線/的距離為O

A.—B.73C.至D.—

222

【答案】C

【解析】

【分析】

利用點(diǎn)斜式寫(xiě)出直線方程，再利用點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.

【詳解】

由傾斜角為120。得直線的斜率為Y,

求得直線/的方程為y=-瓜+373,

則點(diǎn)(1,一6)到直線I的距離d=I」-；-3啊=竽.

故選：C.

【點(diǎn)睛】

本題考查了點(diǎn)斜式方程、點(diǎn)到直線的距離公式，需熟記公式，屬于基礎(chǔ)題.

12.已知直線x+y+2=0與圓.F+y2+2x—2y+a=0沒(méi)有公共點(diǎn)，則實(shí)數(shù)。的取值范圍為。

A.(-^,0]B.[0,+oo)c.(O,2)D.(-oo,2)

【答案】C

【解析】

【分析】

首先得出圓的圓心和半徑，然后由圓心到直線的距離大于半徑建立不等式求解.

【詳解】

圓f+2x—2)，+a=0UP為(x++(y—1)"=2—a.

所以圓心為(—1,1),半徑為JT工

因?yàn)橹本€x+y+2=0與圓f+y2+2x—2y+a=0沒(méi)有公共點(diǎn)，

所以直線與圓相離

所以1~萬(wàn)~~'->y/2-a>0,解得0<a<2.

實(shí)數(shù)〃的取值范圍為(0,2)

故選：C

【點(diǎn)睛】

設(shè)圓的半徑為r,圓心到直線的距高為d,當(dāng)直線與圓相離時(shí)有d>r,當(dāng)直線與圓相切時(shí)有d=r,

當(dāng)直線與圓相交時(shí)有d<r.

13.某校為了了解學(xué)生學(xué)習(xí)的情況，采用分層抽樣的方法從高一2400人、高二2000人、高三〃人

中，抽取90人進(jìn)行問(wèn)卷調(diào)查.已知高一被抽取的人數(shù)為3（）人，那么高三被抽取的人數(shù)為。

A.20B.25C.30D.35

【答案】D

【解析】

【分析】

直接利用分層抽樣的比例關(guān)系得到答案.

【詳解】

根據(jù)分層抽樣的比例關(guān)系：高二抽取人數(shù)為空四/30=25人，

2400

則高三抽取90—30—25=35人.

故選：D.

【點(diǎn)睛】

本題考查了分層抽樣，屬于簡(jiǎn)單題.

14.若向邊長(zhǎng)為2的正方形ABC。區(qū)域內(nèi)投一粒不計(jì)大小的種子（種子落入正方形ABC。區(qū)域內(nèi)）,

則種子到點(diǎn)A的距離小于1的概率是（）

H7t7171

A.-B.—C.-D.—

416832

【答案】B

【解析】

【分析】

根據(jù)兒何概型模型，利用面積比可求得結(jié)果.

【詳解】

正方形面積為2x2=4,種子落點(diǎn)形成的區(qū)域的面積為二乂萬(wàn)乂/=：

44

所以所求事件的概率為a=2.

7-16

故選：B.

【點(diǎn)睛】

本題考查了幾何概率模型，屬于基礎(chǔ)題.

15.函數(shù)f(x)定義域?yàn)镽+,對(duì)任意都有/(盯)=/(x)+/(y),又/(8)=3,則/(0)

=()

11r-

A.—B.1C.——D.J2

22

【答案】A

【解析】

【分析】

由函數(shù)的性質(zhì)可得/(8)=6/(夜)，即可得解.

【詳解】

函數(shù)“X)對(duì)任意X,)'€我+都有/(盯)=/(%)+/(、)，

??."8)="2)+"4)=/(2)+〃2)+"2)=3〃2)=6/(五)=3,

故選：A.

【點(diǎn)睛】

本題考查了抽象函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，考查了運(yùn)算求解能力，屬于基礎(chǔ)題.

二、填空題

16.圓柱的底面半徑為3,側(cè)面積為12萬(wàn)，則圓柱的體積為.

【答案】181

【解析】

【分析】

根據(jù)底面半徑為3,側(cè)面積為12萬(wàn)，求得高，再代入體積公式求解.

【詳解】

由已知圓柱的底面半徑廠=3,設(shè)高為〃，

側(cè)面枳為S=2兀rh=12?，所以〃=2,

所以圓柱的體積為丫=Sh=;rr2h=18乃.

故答案為：18萬(wàn)

【點(diǎn)睛】

本題主要考查圓柱的側(cè)面積和體積，屬于基礎(chǔ)題.

”3

17.若變量（羽?。M足氐勺束條件無(wú)《4,則z=上的最小值為.

x+y-5>0A

【答案】v

4

【解析】

【分析】

根據(jù)約束條件得到可行域，并結(jié)合z=上的含義知z表示直線的斜率h根據(jù)可行域求得直線>=丘

x

的最小斜率即為Z的最小值

【詳解】

由己知約束條件可得可行域，且z=2表示直線），=丘的斜率左=Z,如下圖示

X

當(dāng)宜線y=日過(guò)(4.1)時(shí)Z有最小值，過(guò)(2,3)時(shí)k有最大值

131

可知：％G［了已］即Zmin=Knin=

故答案為：一

4

【點(diǎn)睛】

本題考查了線性規(guī)劃，利用己知約束條件所得到的可行域求目標(biāo)函數(shù)的最值

18.已知向量4=(1,〃?)，Z?=(3,-2),且(a+Z?)_L。，貝!|加=.

【答案】8

【解析】

【分析】

根據(jù)向量坐標(biāo)運(yùn)算和向量數(shù)量積運(yùn)算(。+可,6,則(。+6)2=0有。電+7=0,得到，即可求

解.

【詳解】

由題意，(a+@！?)即(。+〃”=0,則。2+7=().

.2

a-b=3-2m,6=13

所以=3-2"?+13=0，所以加=8

故答案為：8

【點(diǎn)睛】

本題主要考查了向量的坐標(biāo)運(yùn)算，根據(jù)向量垂直其數(shù)量積為0,著重考查了運(yùn)算與求解能力，屬于

基礎(chǔ)題.

cihsinxcos2x

19.規(guī)定：行列式7=ad-bc,則函數(shù)產(chǎn),」的最小正周期是.

ca1cosx

【答案】兀

【解析】

【分析】

利用二階行列式的運(yùn)算可得y=sinxcosx-cos?%，根據(jù)二倍角的正弦、余弦公式以及輔助角公式

將函數(shù)化為y=sinxcosx—co$2x=^^sin—g■，由7=5=%即可求解.

【詳解】

,.2sin2xcos2x1V2.f_乃、1

由題盡可得y=smxcosx-cosx=----------------------=——sin2x——，

2222L4j2

所以7=4=萬(wàn).

2

故答案為：乃

【點(diǎn)睛】

本題考查了二階行列式、二倍角的正弦、余弦公式、輔助角公式以及三角函數(shù)的最小正周期的計(jì)算

公式，屬于基礎(chǔ)題.

三、解答題

20.已知等差數(shù)列｛4｝中4=-12,%=-8,

(1)求數(shù)列｛q｝的通項(xiàng)公式生

(2)當(dāng)n取何值時(shí)，數(shù)列｛《,｝的前”項(xiàng)和S“取得最值，并求出最值.

【答案】⑴?！?2〃-14⑵當(dāng)n=6或7時(shí)，S,,取最小值，最小值為T(mén)2

【解析】

【分析】

(1)根據(jù)等差數(shù)列定義及4,4的值，代入即可求得公差，即可得通項(xiàng)公式.

（2）根據(jù)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式，求得S.=〃2一13〃，利用配方法得關(guān)于n的二次函數(shù)，即可判

斷最值，注意n取正整數(shù).

【詳解】

...當(dāng)n=6或〃=7時(shí)，S”取最小值，最小值為-42

【點(diǎn)睛】

本題考查了等差數(shù)列通項(xiàng)公式的求法，等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的簡(jiǎn)單應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

21.如圖，在三棱錐中，PA1.AB,PA1.BC,AB±BC,PA=AB=BC=2,￡）為線段AC

的中點(diǎn)，E為線段PC上一點(diǎn).

⑴求證：PALBDx

⑵求證：平面BDEJL平面PAC；

（3）當(dāng)R1〃平面BOE時(shí)，求三棱錐E-8CO的體積.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析；（3）-

3

【解析】

試題分析：（I）要證明線線垂直，一般轉(zhuǎn)化為證明線面垂直；（II）要證明面面垂直，一般轉(zhuǎn)化為

證明線面垂直、線線垂直；（III）由V=；XSB°XDE即可求解.

試題解析：（I）因?yàn)镻4_LAB，PA1BC,所以Q4L平面A8C,

乂因?yàn)锽Du平面A8C，所以

（II）因?yàn)锳B=8C，。為AC中點(diǎn)，所以BOJ.AC，

由（I）知，PALBD，所以BD_L平面P4C.

所以平面平面PAC.

（III）因?yàn)槠矫?9E，平面PACc平面8DE=Z）E，

所以24DE.

因?yàn)椤锳C的中點(diǎn)，所以。E=(PA=1,BD=DC=y[2

由(I)知，抬平面ABC，所以?！阓1_平面己4。.

所以三棱錐E—3C。的體積丫

63

【名師點(diǎn)睛】線線、線面的位置關(guān)系以及證明是高考的重:點(diǎn)內(nèi)容，而其中證明線面垂直