大一高數(shù)期末考試試題

2023學(xué)年第一學(xué)期

《高等數(shù)學(xué)（2-1）》期末模擬試卷

專(zhuān)業(yè)班級(jí)

姓名

學(xué)號(hào)

開(kāi)課系室高等數(shù)學(xué)

考試日期2010年1月。日

頁(yè)號(hào)—*二三四五六總分

得分

閱卷人

注意事項(xiàng)

.請(qǐng)?jiān)谠嚲碚娲痤}，反面及附頁(yè)可作草稿紙；

|本頁(yè)總分值36對(duì)1

2.答題時(shí)請(qǐng)注意書(shū)寫(xiě)清楚，保持卷面清潔；

本|1

頁(yè)3.本試卷共五道大題，總分值100分；試卷本請(qǐng)勿撕開(kāi)，否那么作廢.

得填空題（共5小題，每題4分，共計(jì)20分）

1

Ld___lim(ex-x)x2

xf0

12005

、jix（l+x）（^-^）^=

[x+ye-,2dt=x—\=

3.設(shè)函數(shù)丁=，。）由方程」|確定，那么加.

4.設(shè)/GO可導(dǎo)，且⑺力=八）/（。）=1,那么?。?.

5.微分方程胃+4_/+4'=°的通解為.

二.選擇題（共4小題，每題4分，共計(jì)16分）

f（%）—In%------1-k

1.設(shè)常數(shù)上＞0,那么函數(shù)e在（0，+8）內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）.

（A）3個(gè)；（B）2個(gè)；（C）1個(gè)；（D）。個(gè).

2.微分方程y"+4y=3cos2x的特解形式為（）.

（A）y*=Acos2x.⑻J7*=Axcos2x.

（C）y*=Arcos2x+Bxsin2x.①）y*=Asin2x

3.以下結(jié)論不一定成立的是（〕.‘

1A）假設(shè)bMd,那么必有L/（*xw￡/（x）以；

1B）假設(shè)/（X）?。在1用上可積，那么J"°;

1C）假設(shè)/（X）是周期為T(mén)的連續(xù)函數(shù)，那么對(duì)任意常數(shù)。都有工,（”“a―1。,（X）以；①）假

也為奇函數(shù).

1

4.設(shè)2+3e,那么x=°是/（%）的〔）.

（A）連續(xù)點(diǎn);（B）可去間斷點(diǎn);

本頁(yè)總分值12（C）跳躍間斷點(diǎn);①）無(wú)窮間斷點(diǎn).

分

本三.計(jì)算題（共5小題，每題6分，共計(jì)30分）

頁(yè)y?e~^dx

1.計(jì)算定積分J。

繳口總分值12

分rxsinx7

-------ax

本2.計(jì)算不定積分」cos5x.

頁(yè)x=^（r-sinr）,_

得3.求擺線(xiàn)U=a（l—cos/）,在2處的切線(xiàn)的方程.

柄i總分值15分

F（x）=［cos（x2-t）dt口，/、

本4.設(shè)J。，求歹（X）.

頁(yè)

_V（?+!）（?+2）（?+3）---（2?）

得xn----------------------------,lim

5.設(shè)〃,求.

*卜總分值18分

四.應(yīng)用題（共3小題，每題9分，共計(jì)27分）

本

i.求由曲線(xiàn)>=與該曲線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線(xiàn)及無(wú)軸所圍圖形的面積.

頁(yè)

2.設(shè)平面圖形。由*+V<2x與y'x所確定，試求。繞直線(xiàn)x=2

得

分旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

_____________

3.設(shè)a>L/?）="—G在（-00，+0°）內(nèi)的駐點(diǎn)為，（a）?問(wèn)。為何值時(shí)'（a）最小?

本頁(yè)總分值7分

本并求最小值.

頁(yè)

五.證明題（7分）

得

分

_____________公、/（O）=f（l）=O,/（-）=l,

設(shè)函數(shù)/（x）在［r。0，111］上連續(xù)，在（°」）內(nèi)可導(dǎo)且2

試證明至少存在一點(diǎn)Je（。/），使得/O-L

填空題（每題4分，5題共20分）:

1.一。e\

J]%（1+鏟。）（6"-e_1）dx=—

,、[X+ye，2dt=x當(dāng)『。=?

3.設(shè)函數(shù)y=ya）由方程J1確定，那么加“°e-i.

4.設(shè)巾）可導(dǎo)，且「陽(yáng)）力”3/（。）=1,那么?。?尸.

2x

5.微分方程y"+4y'+4y=0的通解為）=（G+C2X）e~

選擇題（每題4分，4題共16分〕：

f（x）=inx--+k.?、

1.設(shè)常數(shù)左＞°,那么函數(shù)e在（°，+°°）內(nèi)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（B）.

（A）3個(gè)；（B）2個(gè)；（C）1個(gè)；（D）0個(gè).

2.微分方程y"+4y=3c°s2x的特解形式為（c〕

（A）y*=Acos2x.⑻J7*=Arcos2x.

（C）y*=Axcos2N+Bxsin2x.（口）y*=Asin2x

3.以下結(jié)論不一定成立的是（A）'

（A）（A）假設(shè)卜，"憶卜，"，那么必有L/⑴心4人"；

⑻⑻假設(shè)/（X）?°在[a用上可積,那么1J⑺八"°；

\a+Tf（x）dx=fTf（x）dx

（C）（C）假設(shè)了（X）是周期為了的連續(xù)函數(shù)，那么對(duì)任意常數(shù)〃都有J"Jo；

攵f（x）為奇函數(shù),那么Io"⑺必也為奇函數(shù).

（D）（D）假設(shè)可積函生

1

4.設(shè)2+3處,那么x=0是/（X）的[C）.

（A）連續(xù)點(diǎn);（B）可去間斷點(diǎn)；

（C）跳躍間斷點(diǎn)；（D）無(wú)窮間斷點(diǎn).

三.計(jì)算題（每題6分,5題共30分）:

1.計(jì)算定積分工x%一%dx

設(shè)抬=/,貝1」X3e~x2dx=[—te^dt—――ftde~，

解：J。J。22%____2

=—tc-f~e1dt

2[0Jo

-------2

。一212132

2022_____2

xsinx7

-----ax

2.計(jì)算不定積分cosx

xrdx

xs?"dx=^xd{—^―)=~

J4I4―

解:cosx4cosx4COSXJCOSX----3

——---—f(tan2x+l)dtanx

4cos晨4J

x131「

---tanx—tan%+C

4cos4%124

%二〃（，-sin，），萬(wàn)

Vt二一

3.求擺線(xiàn)U=a（l—cost）,在2處的切線(xiàn)的方程.

(。(女-1),d)

解:切點(diǎn)為----2

,dyasin/

k=——=---------

dxt，^(1-cosOt=￡

22=1----2

y-a=x-?(--1)y=x+(2--)?

切線(xiàn)方程為2即2-2

4,設(shè)W(x)=JoCOS(?T)力，那么/(X)=2XCOSX2_(2X—1)COS(X2—X)

((〃+1)(〃+2)(〃+3)-一(2萬(wàn)

,求蚓當(dāng)

5.設(shè)“n

1nj

lnx?=-￥111(1+-)

解：n-in-2

n；1fJ

limIn當(dāng)=limVln(l+—)—=fln(l+x)dx

M—>00Jo

n—>ooMnn-2

xln(l+x)|o-jx——=21n2-1

=。1+x.2

4

故㈣

四.應(yīng)用題（每題9分，3題共27分〕

1.求由曲線(xiàn)丁二丁』與該曲線(xiàn)過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)的切線(xiàn)及％軸所圍圖形的面積.

解：

1

y=—/—%

設(shè)切點(diǎn)為（/，％）,那么過(guò)原點(diǎn)的切線(xiàn)方程為2J/-2,

由于點(diǎn)（/，為）在切線(xiàn)上，帶入切線(xiàn)方程，解得切點(diǎn)為%=4,為=后.___3

過(guò)原點(diǎn)和點(diǎn)(4,J5)的切線(xiàn)方程為2亞-------------3

/?V2?/—2A/2

s=j(y2+2-2v2y)Jy

面積Jou力,=3Q-----------3

?21.41I----2,\/2

s=—；=xdx+I(——x—Vx—2)dx-----

或02V2L2V23

2.設(shè)平面圖形。由爐+V42%與y2%所確定，試求。繞直線(xiàn)x=2旋轉(zhuǎn)一周所生成的旋轉(zhuǎn)體的體積.

解：法一：v=K-%

=J；%"1-J-/)]dy-^7r(2-y)2dy

法一2萬(wàn)J。(2—x)(J2光一九2—x)dx

22

=2TTJ(2-x)V2x-xdx—jo(2%-x)dx

2-114

=71—(2x-x2)2+2x—7rxl---n

3043

+2J2x—X、dx---7i

--------4

3.設(shè)“>L/⑺=-G在(一—+8)內(nèi)的駐點(diǎn)為'(a).問(wèn)a為何值時(shí)XG最小？并求最小值.

由「⑺="Ina-a=0得/(a)=1-.

解：Ina---------3

又由，(a)=11na?=0得唯一駐點(diǎn)a=e,

a(lna)3

當(dāng)Q>/時(shí),，(a)>0;當(dāng)a<e，