2022-2023學(xué)年河北省唐山市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2022-2023學(xué)年河北省唐山市高一（下）期末數(shù)學(xué)試卷

一、單選題（本大題共8小題，共40.0分。在每小題列出的選項中，選出符合題目的一項）

1.復(fù)數(shù)z=l-i,貝!]z對應(yīng)的點位于（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限

2.已知t=（l,7n）,b=（2,4）>若，〃石，則加為（）

A.—3B.—2C.0D.2

3.某種新型牙膏需要選用兩種不同的添加劑，現(xiàn)有芳香度分別為1,2,3,4的四種添加劑

可供選用，則選用的兩種添加劑芳香度之和為5的概率為（）

A.—B.-C.TD.-

2345

4.在正三棱柱—4B1G中，4B=44i=2,E為棱4:的中點，則異面直線4位與BC所

成角的余弦值為（）

5.為了解某塊田地小麥的株高情況，隨機抽取了10株，測量數(shù)據(jù)如下（單位cm）：60,61,

62,63,65,65,66,67,69,70,則第40百分位數(shù)是（）

A.62B.63C.64D.65

6.若圓錐的底面半徑為一?,高為1,過圓錐頂點作一截面，則截面面積的最大值為（）

A.2B.<3C.27rD.2<3兀

7.從5名男生和4名女生中任選3人去參加學(xué)?！矮I愛心，暖人心”下列各事件中，互斥不對

立的是（）

A.“至少有1名女生”與“都是女生”

B.“至少有1名女生”與“至少有1名男生”

C.“恰有1名女生”與“恰有2名女生”

D.“至少有1名女生”與“至多有1名男生”

8.在44BC中，角4,B,C的對邊分別是a,b,c,已知4=a=2.若（sinA-sinB^asinA+

加沆B)-(a-b)sin2c=0,則△4BC的面積為()

A.CB.C或殍C.空ID.1或2

二、多選題（本大題共4小題，共20.0分。在每小題有多項符合題目要求）

9.已知一組數(shù)據(jù)3,5,6,9,9,10的平均數(shù)為久，方差為s2,在這組數(shù)據(jù)中加入一個數(shù)據(jù)

7后得到一組新數(shù)據(jù)，其平均數(shù)為9,方差為s'2,則下列判斷正確的是（）

A.x=x'B.x<x'C.s2=s'2D.s2>s'2

10.在△ABC中，下列結(jié)論正確的是（）

A.若A>B,貝！jsinA>sinBB.若sinA>sinB,則4>B

C.若4>B,貝!]s譏24>sin2BD.若C為鈍角，則sin/l<cosB

11.若Zi，Z2是關(guān)于x的方程/-2x+2=0的兩個虛根，則（）

2

A.=z2B.zf+Z2>0C.（zj+z2）>0D.z：?z/>0

12.如圖，在菱形4BC0中，ABAD=60°,延長邊CD至點E,使得DE=CD.動點P從點4出

發(fā)，沿菱形的邊按逆時針方向運動一周回到A點，若押=4卷+”近，則（）

A.滿足2+〃=1的點P有且只有一個B.滿足4+〃=2的點P有兩個

c.a+“存在最小值D.4+〃不存在最大值

三、填空題（本大題共4小題，共20.0分）

13.若復(fù)數(shù)Zi=-2+i,z2=1-3i,貝|%—22|=.

14.甲、乙兩人參加駕考科目一的考試，兩人考試是否通過相互獨立，甲通過的概率為0.6,

乙通過的概率為0.5,則至少一人通過考試的概率為.

15.若△ABC的面積為S,角A,B,C的對邊分別是a,b,c,且4S=1。九4（爐+c2-5）,

則a=.

16.在正六棱臺4BC0EF-4'B'C'D'E'F'中，AB=4,A'B'=3,A'A=設(shè)側(cè)棱延長線

交于點P,幾何體P-4'B'C'D'E'F'的外接球半徑為％,正六棱臺48CDEF-AB'C'D'E'F'的外

接球半徑為此，則此正六棱臺的體積為，.

四、解答題（本大題共6小題，共70.0分。解答應(yīng)寫出文字說明，證明過程或演算步驟）

17.（本小題10.0分）

已知平面向量日與族的夾角為60。，且同=1,|瓦=2.

⑴求|2日一山;

(2)若,+另與2五一k8垂直，求k的值.

18.(本小題12.0分)

近年來，我國肥胖人群的規(guī)模急速增長，常用身體質(zhì)量指數(shù)BM/來衡量人體胖瘦程度.其計算

公式是：BMI=體嗎.以縱成年人的BM/數(shù)值標準是：BMI<18.5為偏瘦；18.5<BMI<

身高(單位:m2)

24為正常；24WBM/<28為偏胖；228為肥胖.某公司隨機抽取了100個員工的體檢數(shù)

據(jù)，將其BM/值分成以下五組：[12,16),[16,20),[20,24),[24,28),[28,32],得到相應(yīng)的

頻率分布直方圖.

(1)求a的值，并估計該公司員工BM/的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)(精確到0.1)；

(2)該公司共有1200名員工，用頻率估計概率，估計該公司員工數(shù)值正常的人數(shù).

19.(本小題12.0分)

在△ABC中，內(nèi)角4B,C的對邊分別是a,b,c,已知2ccosC+acosB+bcosA=0.

(1)求角C的大??；

(2)若c=3,AB邊上的中線CD=1,求△力BC的周長.

20.(本小題12.0分)

如圖，在四棱錐B-4CED中，AD//CE,40_L平面ABC,AD=2,CE=1,△4BC是邊長為

2的等邊三角形，F(xiàn)為棱BD的中點.

(1)證明：EF〃平面ABC；

(2)求4E與平面BCE所成角的正弦值.

21.(本小題12.0分)

某工廠為加強安全管理，進行安全生產(chǎn)知識競賽，規(guī)則如下：在初賽中有兩輪答題：第一輪

從4類的5個問題中任選兩題作答，若兩題都答對，則得20分，否則得0分；第二輪從B類的4個

問題中任選兩題依次作答，每答對一題得20分，答錯得0分,若兩輪總得分不低于40分，則晉

級復(fù)賽.甲和乙同時參賽，已知甲每個問題答對的概率都為0.6,在4類的5個問題中，乙只能

答對4個問題，在B類的4個問題中，乙答對的概率都為0.4,甲、乙回答任一問題正確與否互

不影響.

(1)求乙在第一輪比賽中得20分的概率；

(2)以晉級復(fù)賽的概率大小為依據(jù)，甲和乙誰更容易晉級復(fù)賽？

22.(本小題12.0分)

如圖1,在直角梯形4BCO中，AB//CD,ADLAB,CD=2AB=2AD=2y/~2,“是CD的中

點，BD與AM交于0點、,將AADM沿向上折起，得到圖2的四棱錐D'-ABCM.

(1)證明：BC1平面D'OB；

(2)若。'8=1,求二面角D'-MC-8的正切值.

圖1圖2

答案和解析

1.【答案】D

【解析】解：復(fù)數(shù)z=l-i,

則z(l,-1)對應(yīng)的點位于第四象限.

故選：D.

根據(jù)已知條件，結(jié)合復(fù)數(shù)的幾何意義，即可求解.

本題主要考查復(fù)數(shù)的幾何意義，屬于基礎(chǔ)題.

2.【答案】D

【解析】解：因為汁=(l,7n),b=(2,4).a//b，

所以lx4-2m=0,得m=2.

故選：D.

根據(jù)平面向量平行的坐標表示可得結(jié)果.

本題考查的知識要點：向量的坐標運算，向量共線的充要條件，主要考查學(xué)生的理解能力和計算

能力，屬于基礎(chǔ)題.

3.【答案】B

【解析】解：根據(jù)題意，從芳香度為1,2,3,4的四種添加劑中隨機抽取兩種添加劑，

其可能結(jié)果有(1,2),(1,3),(1,4),(2,3),(2,4),(3,4)共6個，

其中選用的兩種添加劑芳香度之和為5的結(jié)果有(1,4),(2,3)共2個，

則所求概率為P=O=3

故選:B.

根據(jù)題意，利用列舉法列出所有可能情況，再根據(jù)古典概型的概率公式即可得解.

本題考查古典概型的計算，注意列舉法的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

4.【答案】A

【解析】解：記AB的中點為F,連接EF,ArF,如圖,

因為E為棱4C的中點，尸為的中點，所以EF〃8C,

所以N&EF為異面直線&E與BC的所成角（或補角），

因為在正三棱柱48。一為&口中，AB=AAt=2,

所以&E=J4/+AE2=屋,AiF=仁，EF=\BC=1,

AE2+EF2-AF2_5+1-5_AT5

所以在A&EF中,cosZ-A^EF=AA

2A1E-EF=2x73x1=而'

所以異面直線為E與BC所成角的余弦值為唱.

故選：A.

先利用線線平行確定異面直線4E與BC所成角，再利用勾股定理求得&E,4F,從而利用余弦定

理即可得解.

本題考查了正三棱柱的定義、異面直線所成角的定義及求法、余弦定理，考查了計算能力，屬于

基礎(chǔ)題.

5.【答案】C

【解析】解：因為10x40%=4為整數(shù)，

所以第40百分位數(shù)是誓=64.

故選：C.

根據(jù)求百分位數(shù)的定義求解可得結(jié)果.

本題考查百分位數(shù)的定義，屬于基礎(chǔ)題.

6.【答案】A

【解析】解：依題意，設(shè)圓錐的母線長為I,

,??圓錐的底面半徑為^"豆，高為1,,??I=V34-1=2、

設(shè)圓錐的軸截面的兩母線夾角為仇則cos。=22+22-(2甘=

2x2x22

V0<0<7T,:.9=手

則過該圓錐的頂點作截面，截面上的兩母線夾角設(shè)為a,ae(O,y],

故截面的面積為S=；x2x2xsinaS2,當且僅當a=援時，等號成立，

故截面的面積的最大值為2.

故選：A.

依題意求得圓錐的母線長，確定軸截面的頂角，從而求出截面面積的取值的最大值，由此得解.

本題考查圓錐的結(jié)構(gòu)特征，考查圓錐截面面積最值的求法，是基礎(chǔ)題.

7.【答案】C

【解析】解：“至少有1名女生”與“都是女生”，能夠同時發(fā)生，如3人都是女生，所以不是互

斥事件，4錯；

“至少有1名女生”與“至少有1名男生”能夠同時發(fā)生，如1男2女，所以不是互斥事件，B錯；

“至少有1名女生”與“至多有1名男生”能夠同時發(fā)生，如1男2女，所以不是互斥事件，。錯；

“恰有1名女生”與“恰有2名女生”不能同時發(fā)生，所以是互斥事件，

又因為“恰有1名女生”與“恰有2名女生”之外，還可能有“沒有女生”與“恰有3名女生”兩

種情況發(fā)生，

即“恰有1名女生”與“恰有2名女生”可以同時不發(fā)生，所以不是對立事件，C正確.

故選：C.

根據(jù)互斥事件的定義判斷4BD都不是互斥事件，再結(jié)合對立事件的定義判斷C.

本題考查互斥事件、對立事件等基礎(chǔ)知識，是基礎(chǔ)題.

8.【答案】B

【解析】解：因為(sinA—sinB^asinA+bsinB)—(a—b)sin2C=0,

所以利用正弦定理得(a-b)(a24-b2)-(a-Z?)c2=0,

得a=b或a2+fa2=c2,

若a=b,

因為a=2,

所以b=c=2,

可得S-BC=嗚=gx2x2x?=

若M+b2=c2,

則三角形/BC為直角三角形，C=^,

因為4=a=2,

所以b=亨，

可得SMBC=4ab=3x2x亨=亨.

綜上所述：△4BC的面積或亨.

故選：B.

根據(jù)正弦定理角化邊可得a=b或a?+b2=c2,分兩種情況解三角形可得結(jié)果.

本題考查了正弦定理以及三角形的面積公式的應(yīng)用，考查了轉(zhuǎn)化思想和分類討論思想的應(yīng)用，屬

于基礎(chǔ)題.

9.【答案】AD

【解析】解：對于4B,%=1x(3+54-6+9+9+10)=7,

所以￡=A正確，8錯誤；

對于CD，s'qx[(3—》+(5-加+(6—加+(9—7/+(9-加+(10-7聲=導(dǎo)

s，2Mx[(3-7)2+(5-7)2+(6-7)2+(9—7)2+(9-7)2+(10-7)2+(7-7)2]=y,

所以s2>s'2,C錯誤，。正確.

故選：AD.

根據(jù)平均數(shù)和方差的計算公式求解，即可判斷各選項.

本題主要考查統(tǒng)計的知識，屬于基礎(chǔ)題.

10.【答案】ABD

【解析】解：對于4由大角對大邊知，若4>8,則a>b,

所以由正弦定理得sinA>sinB,故A正確；

對于B,若sinA>sinB,則由正弦定理得a>b,

所以由大邊對大角A>B,故B正確；

對于C,取4=120°,B=30°,則s譏24=s譏240°<0,sin2B=sin600>0,

所以sin2A>sin28不成立，故C錯誤；

對于D,若C為鈍角，則4+8<果0<4<[0<8<務(wù)所以0<A<J—

因為y=s譏x在(0,方上單調(diào)遞增，所以s出A(sin?-B)=cosB,故。正確.

故選：ABD.

對于4B,利用大角對大邊與正弦定理的邊角變換即可判斷；對于C,舉反例排除即可)對于D,

利用正弦函數(shù)的單調(diào)性即可判斷.

本題主要考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

11.【答案】ACD

【解析】解：因為/一2x+2=0,所以/=(—2)2-4X1X2=—4,

根據(jù)求根公式可得x=筆三=1±i，

又Z1，Z2是關(guān)于％的方程,一2%+2=0的兩個虛根，不妨令Z]=l+i,Z2=l-i.

對于4Zi=Z2，A正確；

對于B,+z/=(1+i)2+(1—i)2=2i-2i=0,B錯誤;

22

對于C,(Zi4-z2)=2=4>0,C正確；

對于。，zf-=(1+02?(1-02=2i-(-2i)=4>0,。正確.

故選：ACD.

解方程可得x=筆三=l±i，不妨令Zi=l+i,z2=1-i,分別計算各選項即可判斷.

本題主要考查復(fù)數(shù)的運算，屬于基礎(chǔ)題.

12.【答案】BC

【解析】解：建立直角坐標系，如右圖所示：

設(shè)菱形4BCD的邊長為2,則4(0,0),B(2,0),

C(3,<3),。(1,氣，

設(shè)P(x,y),則由於=AAB+n同可得：(x,y)=

即￡二篇:整理得一+〃=中，

當P在力B上時，有｛氏產(chǎn)2,故久+〃6[0,1],

當P在BC上時，有f故4+〃6口，3]，

當P在CD上時，有,Gil故4+〃6[2,3],

當P在4D上時，有*八，故％+〃6[0,2],

由此可知：

當4+〃=1時，點P可位于8點或4。中點處，故A錯誤；

當；I+4=2時，點P可位于BC中點或點。處，故8正確；

綜上可知044+〃43,故;1+〃有最小值0,最大值3,故C正確，力錯誤.

故選：BC.

首先建立平面直角坐標系，進一步利用點P的四種位置進行分類討論，最后確定結(jié)果.

本題考查建立平面直角坐標系進行向量的線性運算和坐標運算，考查學(xué)生的運算能力和轉(zhuǎn)換能力

及思維能力，屬中檔題.

13.【答案】5

【解析】解：???Zi=-2+i,z2=1-31,

|Z1-Z2I=|(-2+i)-(l-3i)|=I-3+4i|="9+16=5.

故答案為：5.

先根據(jù)復(fù)數(shù)減法法則計算Zi-Z2,再根據(jù)復(fù)數(shù)模的計算公式，即可得出結(jié)果.

本題主要考查復(fù)數(shù)模公式，屬于基礎(chǔ)題.

14.【答案】0.8

【解析】解：因為兩人考試相互獨立，

所以兩人都未通過的概率為(1-0.6)x(l-0.5)=0.2,

故兩人至少有一人通過的概率為1-0.2=0.8.

故答案為：0.8.

先求兩人都未通過的概率，再根據(jù)對立事件的概率和為1求解兩人至少有一人通過的概率即可.

本題考查相互獨立事件的概率公式，屬于基礎(chǔ)題.

15.【答案】V-5

【解析】解:因為4S=tcnM(b2+c2—5),

所以4x士bcsinA=包4(^2+c2—5),

因為0<4<兀，且2R會所以sinA>0,

則2bc=-^―(b2+c2—5),W?2bccosA=b2+c2—5,

所以2bcx生F-=人2+?2_5,則/+c2-a2=f)2+c2-5,即=5,

2bc

所以a=5(負值舍去).

故答案為：>/~5-

利用三角形面積公式與余弦定理的邊角變換，結(jié)合切化弦得到關(guān)于a的方程，解之即可得解.

本題主要考查余弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.

16.【答案】竽|

【解析】解：依題意，正六棱臺ABCDEF-AB'C'D'E'F'中，AB=4,A'B'=3,A'A=y/'l

則其上底面是由六個邊長為3的正三角形組成，則其面積為S1=6X白x32=小，

其下底面是由六個邊長為4的正三角形組成，則其面積為S1=6x&x42=24/3，

其高為八=J(，N)2—(4一3尸=1，

所以該正六棱臺的體積為v=1x(浮+J27pX24<3+2415)x1=號.

設(shè)上底面中心為。1，下底面中心為0',連接。1。'，AO',則。1。'垂直于上下底面，如圖,

連接0遇1，。2,則。1&=3,。'4=4,

由題意可得。1。'=八=1,

作&G140'垂足為G,則&G=1,AG=1,

連接Ai。，O'D,則&。=J1+（8-=5/7，

故4遇2+一人。2=2+50-64<0,則4力乙。為鈍角，

AID2

又由于正六棱臺外接球球心位于平面24。上，

故設(shè)正六棱臺外接球球心為0,則。在。1。'的延長線上，

因為外接球半徑為&，故為=O'A2+0'02,Rl=4i0_l,

即形=16+。，。2,瞄=9+（0，。+1）2,解得。'。=3,膨=25,則/?2=5,

連接P。1，如圖，易得P,?！??！c共線，且4。1〃4。'，

P

易知&。1=B101=C101=D101=E101=F101=3,

所以01是幾何體P-A'B'C'D'E'F'的外接球的球心，則％=3,

所嗚H

故答案為：手；

第一空，利用棱臺的體積公式，結(jié)合正六邊形的性質(zhì)即可得解；

第二空，先分析正六棱臺4BCDEF-AB'C'D'E'F'的外接球的球心所在位置，再利用勾股定理列出

關(guān)于&的方程組，從而求得氏2；再利用平行線分線段成比例求得P。］，從而確定了幾何體P-

dB'C'0'E'F’的外接球的球心所在位置，進而求得由此得解.

本題考查幾何體的外接球問題，化歸轉(zhuǎn)化思想，屬難題.

17.【答案】解：(1)|2五一石|=J(2a-b)2=J4|a|2+\b\2-4a-b=

J4\a\2+\b\2-4\a\-\b\-cos60°

=J4+4-4xlx2x1=2-

(2)因為江+坂與2日一k3垂直，所以(五+石)?(2五一kB)=0，

所以2|五『―刈石『+(2一人)五不=o，

所以2—4/c+(2—k)x1x2義六0,解得k=/

【解析】(1)化為平面向量的數(shù)量積可求出結(jié)果；

(2)根據(jù)0+3).(2a-kb)=0可求出結(jié)果.

本題考查的知識要點：向量的數(shù)量積，向量垂直的充要條件，主要考查學(xué)生的理解能力和計算能

力，屬于中檔題.

18.【答案】解：(1)因為4(0.01+0.04+0.09+a+0.03)=1,

解得a=0.08,

易知面積最大的矩形條所在區(qū)間為［20,24),

所以該公司員工8”/的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為22,

因為區(qū)間［12,20)內(nèi)的頻率為4(0.01+0.04)=0.2<0.5,區(qū)間［12,24)內(nèi)的頻率為4(0.01+0.04+

0.09)=0.56>0.5,

所以該公司員工BM/的樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)在區(qū)間［20,24)內(nèi)，

不妨設(shè)該公司員工的樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x,

此時0.2+(%-20)X0.09=0.5,

解得x?23.3,

則該公司員工BM/的樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為23.3；

(2)因為成年人的BM/數(shù)值18.5<BMI<24為正常，

所以該公司員工BM/數(shù)值正常的概率為0.04x(20-18.5)+0.09x(24-20)=0.42,

若該公司共有1200名員工，

則該公司員工BM/數(shù)值正常的人數(shù)為1200x0.42=504.

【解析】(1)由題意，根據(jù)頻率之和為1,列出等式即可求出a的值，根據(jù)眾數(shù)和中位數(shù)的定義以及

計算方法，列出等式進行求解即可；

(2)先求出可求得該公司員工BM/數(shù)值正常的概率，進而即可求解.

本題考查頻率分布直方圖以及中位數(shù)和眾數(shù)的應(yīng)用，考查了邏輯推理和運算能力.

19.【答案】解：(1)由正弦定理得：2sinCcosC+sinAcosB+sinBcosA=0,

BP2sinCcosC+sin(4+B)=0,即2sinCcosC+sinC=0.

因為sinCHO,所以cosC=T因為0<C<7t,所以C=等

(2)已知c—3,CD—1,

在△ABC中，由余弦定理得：9=a2+b2+ab@,

由CD為△ABC的中線，得2而=而+討，

兩邊平方得4=a2+b2-ab@>

聯(lián)立①②得ab=|,a2+h2=y,

所以△ABC的周長為a+b+c=Va2+b2+2ab+3=+3.

【解析】(1)根據(jù)正弦定理邊化角，再結(jié)合和角正弦公式、誘導(dǎo)公式，可得cosC=-g,從而可求

解；

(2)根據(jù)余弦定理可得9=a2+/+ab,再根據(jù)中線向量公式可得4=a?+/-ab,從而求得

ab=|,a2+b2=y,進而求得周長.

本題考查了解三角形問題，涉及到正余弦定理的應(yīng)用，考查了學(xué)生的運算能力，屬于中檔題.

20.【答案】解：(1)證明：取4B中點M,連接FM,CM,

???F為棱BC的中點，

B

1

AMF//AD,MF=^AD.

X---AD//CE,CE=^AD,

：.MF//CES.MF=CE,

.,?四邊形MCEF是平行四邊形，EF〃CM,

又CMu平面ABC,EFC平面ABC,

EF〃平面4BC；

(2)取BC中點N,連接AN,EN,

???△48(7是邊長為2的等邊三角形，；.47_1.8。且AN=C，

???ADJ"平面ABC,ADIRE,

■.CE_L平面ABC,XvANu平面ABC,CEJ.AN,

XvANIBC,且CEnBC=C,AN_L平面BCE,

???44EN即為ZE與平面BCE所成的角，

在RtZiEAC中，AC=2,CE=1,AE=y/~5,

在RtAAEN中，則sinZTlEN=槳=g

AEV55

所以AE與平面BCE所成角的正弦值為

【解析】(1)取AB中點M,連接FM,CM,證明EF〃/CM,利用線面平行的判定定理即可證明；

(2)取BC中點N,連接4N,EN,可得44EN即為4E與平面BCE所成的角，求解即可.

本題考查線面平行以及線面角，屬于中檔題.

21.【答案】解：(1)對4類的5個問題進行編號：a,b,c,d,e,

設(shè)乙能答對的4個問題的編號為a,b,c,d,

第一輪從4類的5個問題中任選兩題作答，可用。1，%2)表示選題結(jié)果，其中勺，犯為所選題目的編

號，樣本空間為：

0={(a,b),(a,c),(a,d),(a,e),(b,c),(b,d),(b,e),(c,d),(c,e),(d,e)},共10個樣本點，

設(shè)“乙在第一輪得20分”事件為E,

則5={(。,6),(a,c),(a,d),(瓦c),(b,d),(c,d)},共6個樣本點,

則乙在第一輪得20分的概率為P=指=0.6；

(2)甲晉級復(fù)賽分兩種情況:

①甲第一輪得(20分)且第二輪至少得(20分)的概率為：0.62x(l-0.42)=0.3024,

②甲第一輪得0分且第二輪得4(0分)的概率為：(1-0.62)x0.62=0.2304,

所以甲晉級的概率Pi=0