河南省青桐鳴2023-2024學(xué)年高三年級(jí)上冊(cè)12月大聯(lián)考數(shù)學(xué)試題（含答案）

2024屆普通高等學(xué)校招生全國(guó)統(tǒng)一考試

青桐鳴大聯(lián)考（高三）

數(shù)學(xué)

全卷滿分150分，考試時(shí)間120分鐘.

注意事項(xiàng)：

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、班級(jí)、考場(chǎng)號(hào)、座位號(hào)、考生號(hào)填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑.如需改動(dòng).用

橡皮擦干凈后，再選涂其他答案標(biāo)號(hào)，回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上無

效

3考試結(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回.

一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是

符合題目要求的.

1.已知集合A={x[0<xVe},B={XGZ||X|<3）,則AB=（）

A.{-2,-l,0}B.{0,l,2}C.{1,2}D.{1,2,3）

2.2的（l+i）2z=l+2i,i為虛數(shù)，則復(fù)數(shù)z=（）

A.-2+-iB.l--iC.l+-iD.2+-i

2222

3.aa>b>0,c>4是“ac〉”的（）

A充分不必要條件B.充要條件

C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件

4.已知向量匕=（2,-2）,匕=（4,5）,則a在方上的投影向量的坐標(biāo)為（）

5.若tane=2,則2cos2（z+^^=（）

tana

4134

A.—B.—C.——D.——

5355

6.已知a=3-2°24,b=」iogJ_,c=llog2-,則a,b,c之間的大小關(guān)系為（）

33424

K.a>b>cB.c>a>bC.c>b>aD.a>c>b

7.在四棱錐P-ABC。中，底面四邊形ABC。是邊長(zhǎng)為2的菱形，且=X,平面上4￡），平面ABCD,

3

PA=PD=Jid,若=EP,DP=2DF,則四面體ACEE的體積為（）

1

A.—B.—C.A/3D.2A/3

42

8.如圖，已知。是半徑為1的扇形Q45內(nèi)的一點(diǎn)，且乙4。3='，ZBOC=ZCAO,BCLOC,則陰影

4

部分的面積為（）

C￡_V2+73D￡_V2+V3

,863,823

二、選擇題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合

題目要求.全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.

9.已知點(diǎn)A,3為不同的兩點(diǎn)，直線12,4為不同的三條直線，平面夕為不同的兩個(gè)平面，則下列

說法正確的是（）

A.若/,±a,Z2//a,則6_LZ2

B.若4ua,l2//a,則/J//2

C.若/]Utz,4u〃，a（3=4「4=A，則Ac4

D.若///"/a，al/3,尸=A,Z2|/3=B,則直線AB〃a

Eg

10.1889年瑞典的阿倫尼烏斯提出了阿倫尼烏斯公式：k=Ae於（H和A均為大于0的常數(shù)），左為反應(yīng)速

率常數(shù)（與反應(yīng)速率成正比），T為熱力學(xué)溫度（T>0）,在同一個(gè)化學(xué)反應(yīng)過程中E”為大于0的定值.已

知對(duì)于某一化學(xué)反應(yīng)，若熱力學(xué)溫度分別為7；和心時(shí)，反應(yīng)速率常數(shù)分別為占和%（此過程中A,R與E”的

值保持不變），則（）

A.若Tt>T2,則%>

B.若7；>《，則左（左2

《若[=37；,——,則

RI；k22

pk2

口.若（=37；,——,則山區(qū)=—M

RT[k23

2

11.已知函數(shù)/(x)=Asin(/x+0)(A>0,?>0,|<^|<|)的部分圖象如圖所示，貝U(

B.將函數(shù)/⑴的圖象向左平移?個(gè)單位長(zhǎng)度，得到g(x)=sin\x-總的圖象

C.點(diǎn)(2陽0)為/(九)圖象的一個(gè)對(duì)稱中心

D.函數(shù)/(%)在［0,句上的值域?yàn)?辛，日

12.若方程(*一1)111%=機(jī)(％+1)有且僅有2個(gè)根％1，x2(Xj<x2,771eR),則下列說法正確的是()

三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.

13.已知向量a=(1,-2),Z>=(-1,1),c=(-2,m),若僅+c)_L(a+3A),則實(shí)數(shù)m=.

14.已知正項(xiàng)等比數(shù)列｛a“｝滿足。2。4=16,a3-a2=2,則%=.

15.已知的/(尤)，g(x)的定義域?yàn)镽,M/(x)+g(l-x)=a(awO),g(l+x)=g(l-x),若/(尤+2)

為奇函數(shù)，則/(10)=.

16.在棱長(zhǎng)為1的正方體—4耳G2中，M,N分別為線段4。和42上的動(dòng)點(diǎn)，且"N=2?！?，

則MN的最小值為.

四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.

17.(10分)

已知向量a=(cosx-sin羽sinx),向量b=(cosx+sinx,26cosx),f(x)=a?b.

(1)求〃尤)的最小正周期；

(2)求/(x)在0,|萬］上零點(diǎn)和極值點(diǎn)的個(gè)數(shù).

3

18.（12分）

如圖，梯形ABCD是圓臺(tái)旦。2的軸截面，E,歹分別在底面圓。2的圓周上，所為圓臺(tái)的母線，

ZDO1E=60°,若8=4,AB=8,G,H分別為02B,5歹的中點(diǎn)，且異面直線AR與CH所成角的

余弦值為典.

20

(1)證明：平面CGHII平面OXO2FE；

(2)求圓臺(tái)OjQ的高.

19.(12分)

已知正項(xiàng)數(shù)列｛%｝滿足￡立~"=""J，〃eN*.

(1)證明：當(dāng)“之2時(shí)，4―a,",-=4”—2,

(2)若a“—a“i=2(n>2),q,=」一，數(shù)列｛%｝的前〃項(xiàng)和為7；,證明：-<Tn<-.

‘32

20.(12分)

在直三棱柱ABC—A^iG中，BC=BB[=2AB,E為AC的中點(diǎn).

2

(1)若NABC=—?，AB=1,求5E的長(zhǎng)；

3

7T

(2)若NABC=m，BC=2,求二面角耳—AE—C的平面角的正切值.

4

21.（12分）

記△ABC的內(nèi)角A,B,C的對(duì)邊分別為a,b,c,且tan?C=『

1+cosB

（1）證明：B=2C；

（2）若b=2,求當(dāng)△ABC面積最大時(shí)cos6的值.

22.（12分）

已知函數(shù)/（x）=ln-一（xwO）.

1X

（1）證明：上>/（x）；

1-x'）

（2）若正項(xiàng)數(shù)列｛a｝滿足4=/（%+1）,且%e（0,1）,記｛a｝的前幾項(xiàng)和為5“，證明：5“(n>2\

nn〃+2q

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青桐鳴大聯(lián)考（高三）

數(shù)學(xué)答案

1.C【解析】由題意得5={—3,—2,—1,0,1,2,3},所以46={1,2}.故選C.

2.B【解析】由（l+i）2z=l+2i,得z="1=H^=l—^i.故選B.

I）（1+i）22i2

3.D【解析】由于c,d的正負(fù)性不確定，由“a〉6〉0,c>d”不能推出，故充分性不成

立；同時(shí)當(dāng)“ac>仇/"時(shí)也不能推出“a>Z?〉O,c>d",故必要性也不成立.故選D.

4.B【解析】由題意得a=（2,—2）,匕=（4,5）,則a在匕上的投影向量是

a-bb2x4-2x5（4,5）（8_10^

WW—716+25'716+25-「訂FJ

即a在b上的投影向量的坐標(biāo)為號(hào)）故選B.

5.A【解析】因?yàn)閠an1=2,則

2

八2sin2a八2sinacosa4cosa44

2cosa+--------=2cos2a+-------；---------=44cos2a=——------------------------二—.故選A.

tanasmasin(2+cosatan6Z+15

cosa

5

則，令解得，當(dāng)時(shí),

6.D【解析】設(shè)g(x)=xlog2%,g'(x)=log2X+^,g'(x)=O,x=,

g'(x)<0,函數(shù)g(x)單調(diào)遞減.又，,所以g，］=；log2g<g［；］=；log2；<0，又

a=3-2°24>o,綜上可得a〉c>>故選D.

7.B【解析】如圖，連接30,過點(diǎn)。作PGA。，垂足為G,

因?yàn)镻A=PD=W，所以PG=3,又側(cè)面R4D_L底面ABCD,且側(cè)面PAD］底面

-7T

ABCD=AD,所以PG，底面ABCD.又底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且NABC='，所以

3

S菱形ABCD=2X2Xsin三=26，所以VP_ABCD=|S&ABCD?PG=gx2^義3=2技又

%面體AC尸石=K-ABCD—匕-P￡/—匕-尸稗一ABC—%_ACD，因?yàn)辄c(diǎn)石，尸分別是？8，尸。的中點(diǎn)，所以

VA-PEF=T^A-PBD~^P-ABCD'同理，^C-PEF~^P-ABCD'^E-ABC~T^P-ABC~T^P-ABCD'問理，

4oo24

邛.故選B.

WVp-ABCD

^F-ACD=[^P-ABCD，故%面體ACFE=

37r

8.A【解析】設(shè)NC4O=。，則N5OC=a,ZOCA=—

4

OCOA

則在△G4O中，由正弦定理可得，三

.3

sincrsin一萬

73A/6

,解得sin。=Jcosa=——

33

2百-布

BC^—,OC^—,且sin/COA=sina-sini)=

336

6

2336

」04?OC.sinNCOA」x1義"x撞二^=正匚

￡_V|1

i-V+6

故選A.

9.AC【解析】若/1_La,貝心垂直于任一條平行于a的直線，XZ2//a,則乙，4，故A正確;

若4ua,”/a不能推出〃〃2，故B錯(cuò)誤；

若4Il2=A,則Asa,Ae/?,又a/3=13,故Aw4，故C正確；

若〃(3=A,l2\/3=B,則A5為4內(nèi)的一條直線，AB〃。不一定對(duì)，故D錯(cuò)誤.故選AC.

FF

10.AD【解析】由7]>5,Ea>0,R>0,得一一j一_

RTXRT2

又A>0,故勺>&，故A選項(xiàng)正確，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；

7-_—k)

二e八看切，若7；=37],則lnq=----^=-M,故C選項(xiàng)錯(cuò)誤，D選項(xiàng)正確.

k2k23RTX3

故選AD.

1兀(37r\27r1

11.BD【解析】根據(jù)圖象可知一T=————=2?，解得7=4?，則0=——=—,

2212JT2

又A=l,由題得sin(gx'+0)=0,|同<?解得夕=一?，A錯(cuò)誤；

函數(shù)〃%)=singx—?),將函數(shù)/(x)的圖象向左平移q個(gè)單位長(zhǎng)度，得到

g(x)=sin—|x+—二sin[，x-2]的圖象，B正確；

212

3、5

/（2?）=sinw?=悌-w。，故C錯(cuò)誤;

4'4

7

此時(shí)函數(shù)/(%)的值域?yàn)?，D正確.故選BD.

12.BC【解析】令/(x)=(x—l)lnx,則尸(x)=lnx+l—L易知/'(%)在(0,+oo)上單調(diào)遞增，

又???r(l)=O,.??/(%)在區(qū)間(0,1)上單調(diào)遞減，在(l,+oo)上單調(diào)遞增，/(1)=0,且當(dāng)X.0時(shí),

當(dāng)x-8時(shí)，+8,由題意知，過(一1,0)作直線y=m(x+l)與y=/(x)的圖象

有2個(gè)交點(diǎn)，則相＞0,A錯(cuò)誤；

尤_]

令g(x)=---Inx,則g(%)=g(%2)=m，

人IJ.

-1-1

11X-11

又gy-----In----------ln%=g(x),石=一，即%%2=1，B正確;

1+]JCX+1%2

X

加(%+1)

/_1,曰In國(guó)xx—芯+%—]、?Inx111「十余

由＜行----=--x--2-----------

——1——王馬，,,-----——/Inx?—x2In—,C正確；

m(x2+1)lnx2x1x2-x2+x1-1

/T'

(In療=-Inx/ln%="+石+々+1.=2+(一)府,

王%一%—9+]—2+(X]+%2)

(玉+%2)—2+4

-------------+1,D錯(cuò)誤.故選BC.

-2+(玉+%2)+%2—2

13.-7【解析】由題可知b+c=(—3/+切)，〃+3b=(—2,1),

則(b+c)-(〃+3b)=6+(機(jī)+1)=0,解得加二一7.

14.32【解析】由題。2%=〃；=16,解得。3=4，由。3—4=2，得。2=2,則4=8.

由a2a6=a；,得4=—=32.

15.0【解析】因?yàn)镮(x)+g(l-x)=a,所以/(-x)+g(l+x)=a.

又g(l+x)=g(l—X),可得/(%)=/(—力,故/(%)為偶函數(shù).

又/(x+2)為奇函數(shù)，所以/(x+2)=—/(—X+2),

貝U/(x+4)=—/(―x)=—/(x),所以/(X+8)=—/(%+4)=/(x),

8

故函數(shù)/（龍）的周期為8,故〃10）=/（2）=0.

16.叵【解析】設(shè)=則2N=2x,其中xe0,—

62

作MEHDD、,NF/AB］,連接MF,NE,如圖所示，

易得ME上NE,NFLMF,MN2=MF-+NF2,

由。Af=x得D]E=?x,由RN=2x得RF=^x,

EF^—x,ME=AE=l—顯x,：.MF2=EF2+ME1=%2-72%+1,

22

2

又NF=?,：.W2=3X2-V2X+1=3x------+9二,

6)66

.?.當(dāng)X=Y2時(shí)，MN取最小值10.

66

17.解：(1)

f^x)=a-b=^cosx-sin%)(cosx+sinc)+26sinxcosx=cos2x+^/3sin2x=2cosI2x-y1,

O77-

則/（x）的最小正周期T=?=冗.

TTJ3匚匚…718

(2)令t=2x---,因?yàn)閤e0,—7T，所以，￡---，一兀

32233

由y=cosr的圖象可得，當(dāng)fe一?，：萬］時(shí)，丁=85/即/（%）在0,1■萬］上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為3,

極值點(diǎn)個(gè)數(shù)為3.

18.解：（1）證明：由題意得。。=。26,O{C//O2G,

9

所以四邊形?QGC為平行四邊形，所以aa〃cG,

而平面CG（平面

002uOXO2FE,ZOXO2FE,

所以CG〃平面a.FE.

因?yàn)镚,H分別為QB,3產(chǎn)的中點(diǎn)，

所以HG為△5。2尸的中位線，所以HG〃。2歹.

而。歹u平面HG(平面

2OXO7FE,XOXO2FE,

所以HG〃平面QQEE,

又CG,HGu平面CGH,且CGHG=G,

所以平面CGHII平面OXO2FE.

（2）（方法一）易知。以。2為坐標(biāo)原點(diǎn)，以。2^，OR所在直線分別為V軸、z軸，在底面

圓。2內(nèi)過。2作A5的垂線為x軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系0,-xyz.

設(shè)圓臺(tái)的高為〃（〃>0），

則4(0,-4,0),F(2A/3,-2,0),C(0,2,/Z),”(百,1,0卜

則”=(2百,2,0),CH=

AFCH解得〃

由cos(ARC”)'6-2=2/w>=6.

AF||CH4A//12+420

（方法二）設(shè)圓臺(tái)的高為〃（〃>0）,連接儀”和CQ，

10

因?yàn)辄c(diǎn)。2和H分別為A3和FB的中點(diǎn)，故02H為△ABE的中位線,

所以O(shè).H//AF,則ZCHO,為異面直線A歹與CH所成的角,

同理可得歹=2,則aG=G〃，

由（1）知aQ〃CG,則CGJLO2G，CGLHG,

22

由勾股定理可得CH=CO2=y/CG+HG=J/?+4.

由NDO1E=60°,所為圓臺(tái)的母線得，ZAO2F=60°,

則△人儀尸為等邊三角形，則A產(chǎn)=4,故。2”=34歹=2,

02H2+CH?-CO；_4

則在ACO2H中，由余弦定理可得cosZCHO2=

2O2HCH4〃2+420

解得〃=6.

19.證明：（1）由題意可得'+2+』"!---F——一-=----①

aa

ax%3n2

1352n-3a&義②,

當(dāng)〃22時(shí)，—+—+—+???+

^1^2^^3an-i2

①—②得女二L=,故。;一=4n-2（n>2）.

2

(2)由(1)可得當(dāng)為-。=2時(shí)，an=2n-l,

1111

此時(shí)c=

n（2n-l）（2n+l）2⑵-12n+l

故小!1111111-貴1

1------1-----------F…+

3352〃一12〃+l2

易知｛北｝是一個(gè)單調(diào)遞增的數(shù)歹u,

11

且當(dāng)〃=1時(shí)，7；取得最小值g,故!<7；<g.

20.解：(1)因?yàn)辄c(diǎn)E為AC的中點(diǎn)，所以3E=g(R4+3C),

-2^^BA2+BC2+2BA-BC）=|ll+4+2xlx2cos|^-3

兩邊平方可得3E

4

故BE二昱.

2

jr

(2)由題意及NA3C=—,知54,BC,8四兩兩互相垂直，所以以8為坐標(biāo)原點(diǎn),

21

BA,BC,8月所在直線分別為x軸、y軸、z軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則A（1,0,2）,4（0,0,2）,C（o,2,o）,

則44=（1,0,0）,AE=1—g,L—21EC=1_g,1,0

設(shè)平面31AE的法向量為加=（%，%，zj,

，-1

.A￡,Z7?-0,—M+y_2Z]—0,

則《即12勺％1

〔44?加=0,J=o,

取Z1=l,可得"2=（0,2,1）.

設(shè)平面AECC]的法向量為〃=（X2，%，Z2），

4E〃=0,一產(chǎn)+%-2z2=0,

則*即4

EC-n=0,1,_

I-5X2+%v-Un,

取％=1，可得〃=(2』,o).

12

設(shè)加與〃的夾角為a,二面角與一4目-。的平面角為/?,

m-n2

則|cos刈=|cosa|二

m\n5

由圖觀察可得該二面角的平面角為銳角,

2

故cos/?=~,sin亡K與

二匚20sin/?V21

所以tanB---------------，

cosp2

J21

即二面角4-a石-。的平面角的正切值為當(dāng)一.

21.解：（1）證明：由已知得tan?C+tan?Ccos5=l-cos5,

1-tan2Ccos2C-sin2C

cosB--cos2C.

1+tan2Ccos2C+sin2C

又B,C,且5+（7￡（0,?）,5=2C.

（2）由（1）可得sini5=2sinCcosC,

由正弦定理可得b=2ccosC=2,

cosC=-,sinC=Jl-4.

cVc

*.*B+Ce（0,^）,3CG（0,yr）,

Cej^O,^,.-.cosCeQ,^,Ace（1,2）.

又sinA=sin（萬一5—C）=sin3c=3sinC-4s