重慶市2023-2024學(xué)年高二年級上冊期中數(shù)學(xué)試題含解析

重慶市2023-2024學(xué)年度上期

高2025級期中考試數(shù)學(xué)試題（答案在最后）

（滿分150分,考試時(shí)問120分鈉）

注意事項(xiàng)

1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名和準(zhǔn)考證號填寫在答題卡上.

2.回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑.如需改動，

用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號.回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上.寫在本試卷上

無效.

一、單選題（本題共8小題，每小題5分，共40分）

X22

—y=]

I.若橢圓25-上一點(diǎn)尸到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為7,則P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為（）

A.3B.4C.5D.6

【答案】A

【解析】

【分析】利用橢圓的定義列式計(jì)算得解.

【詳解】橢圓上+=1的長軸長2a=10,而點(diǎn)P到橢圓一個(gè)焦點(diǎn)的距離為7,

25

所以P到另一個(gè)焦點(diǎn)的距離為2。-7=3.

故選：A

2.已知點(diǎn)2（3,4）,8（—1,3）,直線/號=h+3與直線垂直，則實(shí)數(shù)后=（）

11

A.一一B.-C.4D.-4

44

【答案】D

【解析】

【分析】求出直線的方程，根據(jù)直線垂直得到,k=-1,求出答案.

4

【詳解】直線N3的方程為匕江="，即+

4-33+1-44

因?yàn)橹本€/：＞=區(qū)+3與直線垂直，所以4左=一1,解得左=一4.

4

故選：D

3.若點(diǎn)/（d3）在圓。：/+5一以=5外，則實(shí)數(shù)。的取值范圍是（

A.(-oo,-l)B.(-oo,l)C.(-oo,-l)<J(l,+oo)D.(-1,1)

【答案】C

【解析】

【分析】根據(jù)圓的方程可得圓心和半徑，結(jié)合點(diǎn)與圓的位置關(guān)系分析求解.

【詳解】由題意可知：圓。:/+(了-1『=5的圓心半徑—石，

若點(diǎn)/(a,3)在圓。外，則=而_0)2+(3_葉=5+4〉正，

解得a>1或a<-1,所以實(shí)數(shù)。的取值范圍是.

故選：C.

4.已知向量a=(1,2,-y),b=(x,l,2),且(a+2石)〃(2a一),則().

11

A.x=—,v=1B.x=-,y=-4

3'2'

C.x=2,y=--D.x=1,J=-1

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算及空間向量平行的坐標(biāo)表示即可求解.

【詳解】由題可知，Z+2B=(2x+l,4,4—歹)，2a-Z)=(2-x,3,-2y-2),

因?yàn)?a+2石)〃(2a

所以存在實(shí)數(shù)X,使Z+2B=；l(2Z—b),

2x+l=2(2-x)3

所以4=32,解得|》=二,

2

4-J=2(-2V-2)J=_4

故選：B.

5.如圖，長方體48C￡>—451GA中，441=48=4,40=2,E、F、G分別是。。1、AB、CCX

的中點(diǎn)，則異面直線同￡與GE所成角的余弦值是(

VTo「6

A.0DR.-----------L.--------

52

【答案】A

【解析】

【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，表示&E,GF,然后利用空間向量的夾角公式計(jì)算即可.

4（2,0,4）,￡（0,0,2）,F（2,2,0）,G（0,4,2）

所以率=（—2,0,—2）,礪=（2,-2,-2）

所以異面直線AXE與GF所成角的余弦值=0

A^GF

故選：A

【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成角的余弦值，利用向量的方法，便于計(jì)算，將幾何問題代數(shù)化，屬基礎(chǔ)題.

6.已知橢圓\=1的左、右焦點(diǎn)分別為片，F(xiàn)2,P為橢圓。上一點(diǎn)，則滿足△尸片鳥為直角三角

形的點(diǎn)尸有（）

A.2個(gè)B.4個(gè)C.6個(gè)D.8個(gè)

【答案】B

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓的對稱性及cos/F；2￡的值，分類討論，即可求解.

【詳解】當(dāng)片為直角頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)橢圓的對稱性，可得滿足的點(diǎn)P有2個(gè)；

當(dāng)巴為直角頂點(diǎn)時(shí)，根據(jù)橢圓的對稱性，可得滿足的點(diǎn)尸有2個(gè)；

設(shè)橢圓。的上頂點(diǎn)為3,

由橢圓C:FI―=1,可得=25,"=16,可得a=5,Z?=4,c=yja2—b2=3>

2516

則忸周=忸閭=5,閨用=2c=6,

所以COS4%=5-—〉0,故/片8與€[(),￡],

~2x5x5I2)

所以不存在以P為直角頂點(diǎn)的△「青鳥，

故滿足本題條件的點(diǎn)尸共有4個(gè).

故選：B.

7.“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”是唐代詩人李頑《古從軍行》這首詩的開頭兩句.詩中隱含著一個(gè)數(shù)

學(xué)問題——“將軍飲馬”：即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回軍營，怎樣走才能

使總路程最短?在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營所在區(qū)域?yàn)?+/44,若將軍從點(diǎn)幺(3,1)處出發(fā)，河岸線

所在直線方程為了=-x-5,并假定將軍只要到達(dá)軍營所在區(qū)域即回到軍營，那么“將軍飲馬”的最短總路程

為()

A.10B.9C.8D.7

【答案】C

【解析】

【分析】首先利用對稱關(guān)系求出點(diǎn)A關(guān)于直線y=-x-5的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)一步利用兩點(diǎn)間的距離公式

求出最小距離.

【詳解】設(shè)點(diǎn)A關(guān)于直線)=-x-5的對稱點(diǎn)坐標(biāo)為B(a,b)

22[a=-6

故LJ，解得7°，即對稱點(diǎn)以-6,-8),故原點(diǎn)到點(diǎn)3的距離

b-11b=-S

----二Ii

、a—3

d=7（-6-°）2+（-8-°）2=]0，

所以最短距離為BQ=10-2=8.

故選：C

8.定義兩個(gè)向量Z與j的向量積Zx1是一個(gè)向量，它的?？趤V口=”.「卜/（]向，它的方向與Z和s同時(shí)

垂直，且以％,D的順序符合右手法則（如圖），在棱長為2的正四面體/BCD中，則（刀X?萬）.k=

（）

A.472B.4C.4百D.2G

【答案】A

【解析】

【分析】根據(jù)題中條件確定|通乂彳川，設(shè)底面△N3D的中心為O,則CO,平面/5D,可求得

cos^AC,OC^=cosZACO=＞又IZx通的方向與雙相同，代入計(jì)算可得答案.

B

ABxAD,'畫.西.sin（麗皿=2X2X曰=2G

設(shè)底面的中心為。，連接CO,AO,則。C_L平面/AD,

又AO,AB,N￡>u平面/皿故。C_L4。，OC±AB,OCLAD,

丘―手,四寸k片與

2A/6

在△ZCO中,oc'&

cosZACO=----=---=——

AC23

則cos（%，灰）=cosN4c。=?，又血X通的方向與無相同，

所以（萬x25）.k=2Gx2x'=4V^.

故選：A.

二、多選題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

9.下列命題中，是真命題的為（）

A.設(shè)萬，B是兩個(gè)空間向量，則》石=譏）

B.若空間向量入3滿足同=W，則3=±B

C.若空間向量成，n,萬滿足玩=方，萬=萬，則應(yīng)=萬

D.在正方體NBC?！?4G。中，必有衣=淚

【答案】ACD

【解析】

【分析】根據(jù)空間向量的相關(guān)概念和運(yùn)算逐項(xiàng)分析判斷.

【詳解】對于選項(xiàng)A：根據(jù)數(shù)量積的定義可知：a-b=b-a=^\C0S（a,b）,故A為真命題;

對于選項(xiàng)B：根據(jù)向量的定義可知，同=|,,但向量的方向無法確定，

所以］=±3不一定成立，故B為假命題；

對于選項(xiàng)C：根據(jù)向量相等的定義可知：若成=萬，方=/，則加=萬，故C真命題；

UUWUUUtt-L1cMuuum

對于選項(xiàng)D：在正方體4BCD—451GA中，AC=AXCX,且ZC,4G方向相同，

所以衣=淚，故D為真命題.

故選：ACD.

10.已知圓O:/+/=4和圓:/+/+4x-2y+4=0相交于2,8兩點(diǎn)，下列說法正確的為()

A,兩圓外切B.兩圓有兩條公切線

C.直線AB的方程為y=2x+2D.線段48的長為生5

5

【答案】BD

【解析】

【分析】對于A：根據(jù)題意可得兩圓的圓心和半徑，進(jìn)而判斷兩圓的位置關(guān)系為相交；對于B：根據(jù)兩圓相

交分析判斷；對于C：根據(jù)兩圓方程之差即為公共弦所在直線方程，運(yùn)算求解即可；對于D：利用點(diǎn)到直線

的距離公式結(jié)合垂徑定理求公共弦長.

【詳解】由題意可知：圓0：/+/=4的圓心。(0,0),半徑外=2,

圓A/:/+/+4x-2y+4=0,即(x+2)~+(y-1)~=1,可知圓心半徑々=1,

對于選項(xiàng)A：因?yàn)?0M=J(—2y+12=石,則〃—4<|加|<。+73，

所以兩圓相交，故A錯(cuò)誤；

對于選項(xiàng)B：因?yàn)閮蓤A相交，所以兩圓有兩條公切線，故B正確；

對于選項(xiàng)C：因?yàn)閮蓤A相交，則兩圓方程之差即為公共弦所在直線方程，

可得直線48的方程為y=2x+4,故C錯(cuò)誤；

J4445

對于選項(xiàng)D：因?yàn)?(0,0)到直線AB:2x-y+4=0的距離d=萬(行=一丁，

所以線段48的長為相=竽,故D正確；

故選：BD.

11.如圖，一個(gè)底面半徑為次的圓柱被與其底面所成的角為6的平面所截，截面為橢圓，若。=60°,則

A.橢圓的短軸長為2G

B.橢圓的離心率為且

2

22

C.橢圓的方程可以為土+匕=1

4812

D.橢圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值為2G-3

【答案】ABD

【解析】

【分析】利用圖中的幾何性質(zhì)即可求出見“c,即可判斷A,B,C的正誤，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出橢

圓上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的距離的最小值.

【詳解】設(shè)橢圓的長半軸為短半軸為6,

由已知可知cos60°=2后，解得。=26，

2a

?；b=G，.?.橢圓的短軸長為26，故A正確;

則橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為三+亡=1，故C不正確；

123

c2=a2—b2=9>c=3,e=—=—=^~，故B正確；

a2G2

2

橢圓上的一點(diǎn)為2（孫方）,其中一個(gè)焦點(diǎn)坐標(biāo)為尸（3,0），且其=3言，

2o

X2OQQ

則殲=（O-3）+J=X-6x0+9+3-=-X-6x0+12^-25/3<x0W2百）

該拋物線的對稱軸為x=4,故函數(shù)在區(qū)間［-2月,2君］上單調(diào)遞減，

當(dāng)％=26有最小值，此時(shí)|尸尸匕=21—12百=3?—126+（26『=（26—3『，

gplPFl.=26—3,故D正確.

IImin

故選：ABD.

12.如圖，棱長為2的正方體45cz）—44GA中，點(diǎn)"、N滿足亦=2為，CN=nCD,其中X、

（0,1）,點(diǎn)P是正方體表面上一動點(diǎn)，下列說法正確的是（）

A.當(dāng)2=g時(shí)，ZW〃平面C8Q]

B.當(dāng)〃=g時(shí)，若B.PH平面4NG,則\B,P\的最大值為V3

C.當(dāng)4=〃=g時(shí)，若PMLD[N,則點(diǎn)尸的軌跡長度為4+26

D.過A、M、N三點(diǎn)作正方體的截面，截面圖形可以為矩形

【答案】AC

【解析】

【分析】以點(diǎn)A為原點(diǎn)，34、DG、所在直線分別為X、V、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，利用空

間向量法可判斷AC選項(xiàng)；分別取48、中點(diǎn)G、H,連接用G、GH、B[H、4G、GN,找出

點(diǎn)尸的軌跡，結(jié)合圖形求出忸0的最大值，可判斷B選項(xiàng)；作出截面，分析截面的形狀，可判斷D選項(xiàng).

【詳解】以點(diǎn)A為原點(diǎn)，。第1、Dg、。。所在直線分別為X、了、z軸建立如下圖所示的空間直角坐

標(biāo)系，

則A（0,0,0）、4（2,2,0）、C（0,2,2）,/（2,0,2）、。（0,0,2）、（0,2,0）,

1___,___,__?1___?__,1

對于A選項(xiàng)，當(dāng);l=§時(shí)，W==jl4C；-AD=j（-2,2,-2）-（-2,0,0）

37

設(shè)平面C"E>1的法向量為浣=a，%,zj,瓦瓦=（2,2,0）,方e=（0,2,2）,

m-D[B[=2x,+2y,=0一/、

則<―，?。?—i,可得加=。,—i』），

應(yīng)?￡>。=2必+2%=0

____422____.

所以，m-DM=-----=0,則加_L￡）M，

因?yàn)?。平面C8Q],故當(dāng)時(shí)，7/平面C5[。],A對;

對于B選項(xiàng)，當(dāng)〃=,時(shí)，N為CD中點(diǎn)、,

2

分別取48、5c中點(diǎn)G、H,連接用G、GH、B〔H、&G、GN,

因?yàn)镚、H分別為AB、的中點(diǎn)，所以，GHHAC,

又因?yàn)?4//CG且Z4=cq,所以，四邊形Z4GC為平行四邊形，則/c〃4G，

所以，GH/%\,

因?yàn)閮z①平面4NG，4G<=平面4NC「所以，GT/〃平面&NG，

因?yàn)?5〃。。且45=8,G、N分別為AB、C￡）的中點(diǎn)，

所以，BG//CNS.BG=CN,所以，四邊形8CNG為平行四邊形，可得GN//BC且GN=BC,

又因?yàn)?C〃8]G且與G，所以，GN〃,G且GN=5IG，

故四邊形BGNG為平行四邊形，則B\GHC\N,

因?yàn)間G<Z平面A[NC[,C、Nu平面A\NC[,則BXGH平面AXNCX,

因?yàn)槎鶪。GT/=G,B[G、GHI平面B.GHU平面Ag,

當(dāng)點(diǎn)P為笈的邊上一點(diǎn)（異于點(diǎn)與）時(shí)，則4Pu平面86笈，則與P〃平面4NC］,

故點(diǎn)尸的軌跡為△gG/f的邊（除去點(diǎn)耳）,

因?yàn)殁頸G|=JBB；+BC=122+a=石,同理可得忸倒=逐,

結(jié)合圖形可得14PLx=|8臼=但"|=JLB錯(cuò);

當(dāng)/=〃=；時(shí)，M、N分別為ZG、3的中點(diǎn)，如下圖所示:

此時(shí)點(diǎn)N（0,l,2）、M（1,1,1）、口（0,0,0）,麗=（0,1,2）,

當(dāng)點(diǎn)尸在平面44QQ內(nèi)運(yùn)動時(shí)，設(shè)點(diǎn)尸（X,0,2）,其中0Wx<2,0<z<2,

則赤

因?yàn)锳NLAff,則型?赤=—l+2（z—l）=2z—3=0,解得2=5,

設(shè)點(diǎn)P的軌跡分別交棱441、DD1于點(diǎn)R、Q,則氏12,0,1］、2^0,0,1^,

當(dāng)點(diǎn)P在平面CG2。內(nèi)運(yùn)動時(shí)，設(shè)點(diǎn)P（0/,z）,其中0?1V2,0<z<2,

赤=（_l,y—l,z-1）,則型.赤=y-l+2（z_l）=y+2z_3=0,

設(shè)點(diǎn)P的軌跡交棱CG于點(diǎn)/，則尸］（）,2,3；設(shè)點(diǎn)尸的軌跡交棱AB］于點(diǎn)T,

因?yàn)槠矫鍭AXDXDH平面BBgC,平面RQFT口平面AARD=RQ,

平面R少Tn平面期qC=E/，所以，RQHFT,同理可得。V/RT,

所以，四邊形氏。"為平行四邊形，且忻7|=|夫0|=2,忸升=歸@=

因此，點(diǎn)P的軌跡的長度即為平行四邊形RQET的周長2（2+逐）=4+2下，c對;

對于D選項(xiàng)，設(shè)截面交棱44于點(diǎn)U,連接GU,

題意可知，截面與平面ZGN重合，

因?yàn)槠矫鍭BCDH平面44GQ,平面ANCXA平面ABCD=AN,

平面ZNG。平面481GA=G。，所以，ANnep,同理可得/U〃GN,

所以，四邊形ZUGN為平行四邊形，

易知N（0,2—24,2）,其中。所以，=（-2,2-22,0）,QV=（0,-22,2）,

所以，^V-QV=-22（2-22）=42（2-l）＜0,故ZN與GN不可能垂直，

故平行四邊形NUGN不可能為矩形，故過A、M、N三點(diǎn)的截面不可能是矩形，D錯(cuò).

故選：AC.

【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用平面的性質(zhì)確定截面形狀的依據(jù)如下：

（1）平面的四個(gè)公理及推論;.

（2）直線與平面平行的判定與性質(zhì)；

（3）兩個(gè)平面平行的性質(zhì).

三、填空題（本題共4小題，每小題5分，共20分）

13.若直線＞的傾斜角為45。，則直線＞=一辦的傾斜角為.

【答案】135°

【解析】

【分析】根據(jù)題意可得a=1,進(jìn)而可得直線＞=一辦的斜率和傾斜角.

【詳解】若直線＞=◎的傾斜角為45°，則a=12!145。=1,

可知直線y=-ax的斜率為—?！?,設(shè)傾斜角為0。＜&＜1800，

則tana=—l,所以傾斜角為tz=135°.

故答案為:135°.

22

14.已知方程上二+」—=1表示焦點(diǎn)在丁軸上的橢圓，則實(shí)數(shù)加的取值范圍是.

6-m加一4

【答案】(5,6)

【解析】

【分析】根據(jù)橢圓標(biāo)準(zhǔn)方程的結(jié)構(gòu)特征，結(jié)合焦點(diǎn)在了軸上可得.

22

【詳解】因?yàn)榉匠?一匚=1表示焦點(diǎn)在y軸上的橢圓，所以加—4＞6—加＞0,得5＜加＜6.

6-mm-4

故答案為：(5,6)

15.已知圓C：(x—1)2+「=4上有且只有三個(gè)點(diǎn)到直線/：ax+2y+l=0的距離為1,則。=.

3

【答案】-

2

【解析】

【分析】根據(jù)圓的半徑為2,將問題轉(zhuǎn)化為圓心到直線的距離為1,解方程即可得答案.

【詳解】???圓。的半徑為2,圓上有且僅有三個(gè)點(diǎn)到直線ax+2y+1=0的距離為1,

.??圓心C(1,0)到直線的距離為1,

I6Z+1I,、2-)3

d=,=1,貝!]+=如+4,解得a=一.

J/+4')2

3

故答案為：一.

2

16.在三棱錐P—48C中，R4_L底面48C,PA=4,AB=BC=AC=26,M為ZC的中點(diǎn)，球。

為三棱錐P-4W的外接球，。是球。上任一點(diǎn)，則三棱錐。-P/C體積的最大值為.

【答案】4百

【解析】

【分析】分析可知三棱錐P-ABM外接球球心為尸8中點(diǎn)。，求出點(diǎn)。到平面PAC的距離，可得出點(diǎn)。到

平面P/C的距離的最大值，從而可得出答案.

【詳解】解：正中，M為NC的中點(diǎn)，則W_L/C,

而PZ,平面48C,平面48C,則8W，尸2,

而R4nzc=z，PA、/Cu平面P/C,則8加1平面R4C,

???尸河u平面上4C,所以

平面Z8C,28匚平面/5。，，尸2,28，

所以尸8的中點(diǎn)到點(diǎn)A、B、M、尸的距離相等，

即三棱錐P-ABM外接球球心為尸3中點(diǎn)。，

從而點(diǎn)0是三棱錐尸-ABM外接球球心，

設(shè)球。的半徑為夫，則氏=竺=指，

2

因?yàn)榈耐饨訄A圓心為W的中點(diǎn)，設(shè)為R,連接。尸，

因?yàn)椤?、F分別為PB、W的中點(diǎn)，則故CEJ_平面R4E,

則點(diǎn)D到平面PAC的最大距離為R+OF=巫

2

所以三棱錐?！?c體積的最大值為工x,x4x2行義地=4道.

322

故答案為：4#I.

【點(diǎn)睛】解決與球相關(guān)的切、接問題，其通法是作出截面，將空間幾何問題轉(zhuǎn)化為平面幾何問題求解，其

解題思維流程如下：

（1）定球心：如果是內(nèi)切球，球心到切點(diǎn)的距離相等且為球的半徑；如果是外接球，球心到接點(diǎn)的距離相

等且為半徑；

（2）作截面：選準(zhǔn)最佳角度做出截面（要使這個(gè)截面盡可能多的包含球、幾何體的各種元素以及體現(xiàn)這些

元素的關(guān)系），達(dá)到空間問題平面化的目的；

（3）求半徑下結(jié)論：根據(jù)作出截面中的幾何元素，建立關(guān)于球的半徑的方程，并求解.

四、解答題（共70分）

17.已知△48C的頂點(diǎn)幺（1,2）,8（3,4）,C在y軸上.

（1）已知直線/過點(diǎn)/且在兩條坐標(biāo)軸上的截距之和為6,求/的方程;

（2）若C到直線的距離為5行，求點(diǎn)。的坐標(biāo).

【答案】（1）2x+y—4=0或x+y—3=0

（2）C（0,ll）,或C（0,—9）

【解析】

【分析】（1）根據(jù)直線的截距式方程，代入即可求解,

（2）根據(jù)兩點(diǎn)坐標(biāo)，由斜截式求直線方程，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)到直線的距離公式即可求解.

【小問1詳解】

由于直線在兩條坐標(biāo)軸上的截距之和為6,可知直線與x，V軸均有截距，且不為0,故設(shè)直線方程為:

xy1

ab

a+b=6

[a=2、a=3

因此1121n%=4或％=3

—I—=]

b

即直線/方程為四+上=l或曰+匯=l,

2433

故/方程為：2x+y-4=0或x+y-3=0

【小問2詳解】

設(shè)直線4s方程為y=Ax+仇C（0,m）

2=k+bk=\

將48坐標(biāo)代入得L,=><

4=3k+bb=l

所以直線48的方程為：y=x+l,即x-y+l=0,

則點(diǎn)。到直線48的距離為匕［"=5五,化簡得加―1=10,故加=H或加=—9

V211

故C（0,ll），或C（0,—9）

18.在直三棱柱48。-44G中，D、E分別是44］、的中點(diǎn)，AC=BC=1,44］=2,ZBCA=90°.

(1)求證：/￡〃平面GB。；

(2)求點(diǎn)E到平面CXBD的距離.

【答案】(1)證明見解析

⑵如

6

【解析】

【分析】(1)根據(jù)題意，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可證明線面平行；

(2)根據(jù)題意，利用空間向量的距離求法，即可得到結(jié)果.

【小問1詳解】

因?yàn)锳BC-451G為直三棱柱，

則qc±平面ABC,且NBCA=90°,

以。的原點(diǎn)，赤，兀分別為x軸，y軸，z軸的正半軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

因?yàn)閆C=5C=1,24=2,且。，￡分別是5。的中點(diǎn)，

則。(0,0,0),2(1,0,0)6(0,0,2),8(0,1,0),。(1,0,1),￡0[,()],

所以次==(O,l,-2),QD=(1,0,-1),

設(shè)平面QBD的法向量為n=(x,y,z),

n-C.B=y-2z=

則—c,取z=l,則x=l,y=2,

y=2z

n-CxD=x-z=0

則平面GB。的一個(gè)法向量為"=(1,2,1),

因?yàn)槠矫鍳BD,且彳后G=0，

則/￡〃平面GAD.

【小問2詳解】

由(1)可知，平面的一個(gè)法向量為3=(1,2,1),且麗=|o,g,o

P'R?YI2x

則點(diǎn)E到平面CXBD的距離d=??=_2.=也.

IniV66

19.在平面直角坐標(biāo)系中，圓C的方程為(x—加/+[y—(2加—3)]=1,eR.

(1)當(dāng)加=-1時(shí)，過原點(diǎn)O作直線/與圓C相切，求直線/的方程；

(2)對于尸(-2,2),若圓C上存在點(diǎn)"，使|九。|=|〃。],求實(shí)數(shù)加的取值范圍.

【答案】(1)x=0或12x-5y=0

(2)加e[5-0,5+0]

【解析】

【分析】(1)分直線/的斜率不存在和存在兩種情況討論，結(jié)合點(diǎn)到直線得距離公式即可得解；

(2)要使得|兒牛|=|/。|,則M在線段OP的中垂線上，從而可得線段OP的中垂線與圓C有公共點(diǎn)，則

有圓心到直線得距離小于等于半徑，從而可得出答案.

【小問1詳解】

當(dāng)機(jī)=-1時(shí)，圓C的方程為(x+l『+(y+5)2=1,

圓心。(―L—5),半徑廠=1,

①當(dāng)直線/的斜率不存在時(shí)，直線/的方程為x=0,滿足條件；

②當(dāng)直線/的斜率存在時(shí)，設(shè)直線/的方程為了=丘，

由直線/與圓C相切，則/——1,解得k=~~,

VFTi5

12

所以/的方程為了=彳%，即12x-5y=0,

綜上得，直線/的方程為x=0或12x-5了=0；

【小問2詳解】

圓心。（加,2加一3）,kop=-1,

則線段OP的中垂線的方程為y—l=x+l,即y=x+2,

要使得=則M在線段OP的中垂線上，

所以存在點(diǎn)M既要在＞=x+2上，又要在圓C上，

所以直線y=x+2與圓。有公共點(diǎn)，

|m-2m+3+2I廣廣

所以------尸-----L＜1;解得5—Ji＜加＜5+J5，

V2

20.已知橢圓G：*_+_/=1,橢圓。2以G的長軸為短軸，且與q有相同的離心率.

（1）求橢圓G的方程；

3

（2）已知與、￡為橢圓。2的兩焦點(diǎn)，若點(diǎn)尸在橢圓。2上，且COS/片尸鳥二二，求△耳隼面積.

【答案】（1）^+―=1

164

（2）2

【解析】

【分析】（1）根據(jù)已知條件求得。2對應(yīng)的小“C，從而求得橢圓G的方程.

（2）根據(jù)已知條件求得\PF.\-\PF.\,結(jié)合sinNRPF2求得△片和面積.

【小問1詳解】

2cR

2=

橢圓G:'+y=1對應(yīng)的2,Z?j=1,C1=A/3,ex=—=

所以對于C2,有2b=2ax=4,b=2,—=

a

解得。=4,貝!Jc=2百，

所以橢圓&的方程吟+%.

【小問2詳解】

由⑴得片（0,26）名（0,-2@,|甲卡46，

2

2a

在△片尸名中,由余弦定理得（473）-=\PFX|+_2四訃附^匕①,

由橢圓的定義得|「制+|尸閭=2a=8②，

由①②整理得|「「卜|尸閭=5,

34

由于cos/片Pg=《〉0,所以/耳r寫為銳角，所以sin/片PR=w，

21.如圖，在四棱錐P—/BCD中，PC,底面48CD,4BC￡＞是直角梯形,

=點(diǎn)E是盾的中點(diǎn).

p

(1)證明：平面EZC，平面必C；

(2)若直線PB與平面上4C所成角的正弦值為X二，求平面上4c與平面ZCE所成角的余弦值.

3

【答案】(1)證明見解析

⑵逅

3

【解析】

【分析】(1)由線面垂直的性質(zhì)定理得尸再根據(jù)勾股定理得ZCIBC,從而利用線面垂直的判

定定理得/C,平面可。，從而利用面面垂直的判定定理證明即可；

(2)根據(jù)線面角的定義及正弦值求得邊長，然后建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得兩個(gè)平面所成角的

余弦值.

【小問1詳解】

?/AB=2,由ND=CD=1,2。，DC且ABCD是直角梯形，

:.AC=飛AD?+DC?=42,BC=AD2+(AB-DC)2=應(yīng)，

即/。2+8。2=452,...AC±BC.

?.?PCcBC=C,PCu平面PBCBCu平面必C,二/C1平面PBC.

,/ACu平面EAC,平面EAC±平面PBC.

【小問2詳解】

?.?尸。，平面48。。,8。匚平面488,PCVBC.

又AC，BC,尸CnzC=C,0Cu平面PZC,ZCu平面上4C,.^.5CJ_平面K4C,

ZBPC即為直線PB與平面PAC所成角.

:.sm^BPC=—=-=—，:.PB=46,則PC=2,

PBPB3

取48的中點(diǎn)G,連接CG,以點(diǎn)C為坐標(biāo)原點(diǎn),

分別以CG、CD、CP為x軸、V軸、z軸正方向，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,

則C(0,0,0),尸(0,0,2),2(1,1,0),8(1,-l,0),E

.-.G4=(l,l,O),C?=(O,O,2),CF=Q,-1,lj.

r,、=0

設(shè)加=(xi，%,zj為平面上4。的法向量，貝1"m-_CA.=x,+'v,

應(yīng)-CP=2zi=0

令再=1,得4=0,必=-1,得加=(1,一1,0),

設(shè)〃=(%2，%/2)為平面/砥的法向量，

n-CA=x2-^~y2=0

則《一?11，令％2=1，則為=-1/2=-1，得元

n-CE=-x2--y2+z2=Q--

V6

V2-V3V

平面PAC與平面ACE所成角的余弦值的余弦值為逅.

3

22.已知圓O:x2+y2=i6,點(diǎn)/(6,0),點(diǎn)3為圓。上的動點(diǎn)，線段48的中點(diǎn)M的軌跡為曲線C.

(1)求曲線。的方程；

(2)設(shè)7(2,0),過點(diǎn)T作與x軸不重合的直線/交曲線。于￡、尸兩點(diǎn).

(i)過點(diǎn)T作與直線/垂直的直線加交曲線C于G、/f兩點(diǎn)，求四邊形EGEH面積的最大值；

(ii)設(shè)曲線C與無軸交于只0兩點(diǎn)，直線尸￡與直線”相交于點(diǎn)N,試討論點(diǎn)N是否在定直線上，若

是，求出該直線方程；若不是，請說明理由.

【答案