留數(shù)與留數(shù)定理

關于留數(shù)與留數(shù)定理一、孤立奇點及其類型定義1

設在不解析，而在的去心鄰域內(nèi)解析，則稱為的孤立奇點．

第2頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例如，是的孤立奇點．是的奇點，而非孤立奇點，因為都是它的奇點．當n無限增大時，在不論怎樣小的去心鄰域內(nèi)總有的奇點存在．第3頁,共36頁，2024年2月25日，星期天設為的孤立奇點，那么的某去心鄰域內(nèi)展為洛朗級數(shù)，其中正冪次項部分是在以為中心圓域內(nèi)解析函數(shù)(稱為解析部分)，所以點的奇異性完全體現(xiàn)在負冪次項的級數(shù)部分(稱為主要部分)．下面就洛朗級數(shù)負冪次項部分的情況對孤立奇點進行分類．

第4頁,共36頁，2024年2月25日，星期天定義2

設為的孤立奇點，且在的去心鄰域內(nèi)洛朗級數(shù)展開式有如下三種情況：（1）若沒有負冪次項，則稱為的可去奇點；（2）若關于的最高次冪項為，即

則稱為的m級極點；（3）若有無窮個的負冪次項，則稱為的本性奇點．第5頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例１已知，展式中沒有負冪次項，故為的可去奇點．例２已知，展式中的最高次冪項為，故為的二級極點．第6頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例３已知，展式中有無窮多負冪次項，故為的本性奇點．關于孤立奇點類型的判別，我們有如下結(jié)論：第7頁,共36頁，2024年2月25日，星期天定理1

設在內(nèi)解析，則(1)為的可去奇點的充要條件是存在極限，其中為一復常數(shù)；(2)為的極點的充要條件是；(3)為的本性奇點的充要條件是不存在且不為無窮．證明：略。第8頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

現(xiàn)在研究極點的特征．設在內(nèi)解析，且是的級極點，則在內(nèi)，有洛朗展式

其中．于是在內(nèi)，

(13.6)其中在內(nèi)是解析的函數(shù)，且．反之，如果在內(nèi)可表示成(13.6)，而在內(nèi)解析且，那么不難推出是的m級極點，第9頁,共36頁，2024年2月25日，星期天結(jié)論：是的m級極點的充要條件是

其中在解析且．于是有：第10頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例４

判斷函數(shù)孤立奇點的類型．

解：

和為的孤立奇點．因為

其中在解析且，故是

的三級極點．類似地，分別是的一級極點．第11頁,共36頁，2024年2月25日，星期天定義3

設，其中在解析且，則稱是的m級零點．例如，則和分別是的一級與三級零點．由定義3可得結(jié)論：設在解析，則為的m級零點的充要條件是．(13.7)第12頁,共36頁，2024年2月25日，星期天事實上，若為的m級零點，則可寫為，設在的泰勒展開式為，其中，從而在的泰勒展開式為

由此可見，當時，，

．這就證明了上述結(jié)論的必要性，充分性請讀者自己證明．第13頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例５

問為的幾級零點？

解：

因為，，，故是的三級零點．零點與極點有如下關系：第14頁,共36頁，2024年2月25日，星期天定理2

若是的m級零點，則是的m級極點，反之也成立．證明：

若是的m級零點，則有，其中在解析且．由此，當時，

其中在解析且，所以是的m級極點．第15頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

反之，如果是的m級極點，則有

這里在解析且，于是有，其中也在解析且，由定義3可知是的m級零點．

定理2為判斷函數(shù)的極點及其類型提供了一個較為簡便的方法．

第16頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例６

函數(shù)有哪些奇點？如果是極點，指出它們?yōu)閹准墭O點．

解：

凡是使的點都是的奇點，這些奇點是，且均為孤立奇點。又由于，所以都是的一級零點，也就是的一級極點．第17頁,共36頁，2024年2月25日，星期天二、留數(shù)與留數(shù)定理定義4

設是的孤立奇點，在去心鄰域內(nèi)的洛朗級數(shù)中負一次冪項的系數(shù)稱為在的留數(shù)，記作，即．(13.8)第18頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

設,是的孤立奇點，曲線C是函數(shù)解析域內(nèi)圍繞的任一正向簡單閉曲線，等式兩邊逐項積分得

于是有

(13.9)關于留數(shù)，我們有下面的重要定理：第19頁,共36頁，2024年2月25日，星期天定理3(留數(shù)定理)設曲線C是一條正向簡單閉曲線，在C內(nèi)有有限個孤立奇點，除此以外，在C內(nèi)及C上解析，則

(13.10)證：

如圖13.3，在曲線C內(nèi)用互不包含且互不相交的正向簡單閉曲線將各孤立奇點圍繞起來，圖13-3第20頁,共36頁，2024年2月25日，星期天由復合閉路定理

,進而

故

利用這個定理，求沿封閉曲線C的積分，就可轉(zhuǎn)化為求被積函數(shù)在C內(nèi)各孤立奇點的留數(shù)．第21頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例７求，C為正向圓周．解：

在C內(nèi)被積函數(shù)有兩個孤立奇點和,下面分別求.

在內(nèi)

故第22頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

在內(nèi)

故由留數(shù)定理得原式

第23頁,共36頁，2024年2月25日，星期天求函數(shù)在其孤立奇點處的留數(shù)，如果先知道奇點為何種類型，一般來說會更方便，因為（1）若為的可去奇點，則（2）若為的本性奇點，則將在解析域內(nèi)展為洛朗級數(shù)，其中負一次冪項系數(shù)即為所求留數(shù)；（3）若為的極點，則可用下列計算規(guī)則求留數(shù)．第24頁,共36頁，2024年2月25日，星期天規(guī)則１若為的一級極點，則

．證：

由于為的一級極點，故有，上式兩邊同乘以，得

兩端取極限，得．第25頁,共36頁，2024年2月25日，星期天規(guī)則２若為的m級極點，則

證：

由于為的m級極點，所以

上式兩邊同乘以，得

兩邊對z求m-1階導數(shù)，得

令，兩端取極限得結(jié)論成立．第26頁,共36頁，2024年2月25日，星期天規(guī)則３設，及在都解析，若則是的一級極點，且．證：

因為的一級極點，由規(guī)則１，

已知在解析，且，于是

第27頁,共36頁，2024年2月25日，星期天

例8

求，C為正向圓周．解：

在C內(nèi)有一個一級極點和一個二級極點．由規(guī)則１，．由規(guī)則２，

由留數(shù)定理，原式第28頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例９計算積分，C為正向圓周．解：

在C內(nèi)有四個一級極點．由規(guī)則３，．同理可求，，由留數(shù)定理，原式

第29頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例10

計算積分，C為正向圓周．解：

在C內(nèi)有兩個孤立奇點和．因為，所以是的可去奇點，從而另外由規(guī)則１，

由留數(shù)定理，原式第30頁,共36頁，2024年2月25日，星期天例11

計算定積分，其中．

解：

令，則，，代入原式得

.記，令得,.第31頁,共36頁，2024年2月25日，星期天其中在圓內(nèi)，且為的一級極點．由規(guī)則３得，根據(jù)留數(shù)定理，得．第32頁,共36頁，2024年2月25日，星期天習題13-41、下列函數(shù)