《三角形的內(nèi)角（2）》名師教案

第十一章三角形11.2與三角形有關(guān)的角11.2.1三角形的內(nèi)角第二課時（袁梅）一、教學目標（一）學習目標1.探索并掌握直角三角形的兩個銳角互余.2.掌握有兩個角互余的三角形是直角三角形.3.掌握與三角形內(nèi)角有關(guān)的計算和證明.（二）學習重點掌握直角三角形的性質(zhì)與判定以及綜合運用.（三）學習難點與三角形內(nèi)角有關(guān)的計算與證明的說理.二、教學設(shè)計（一）課前設(shè)計1.預習任務(wù)直角三角形的性質(zhì)：直角三角形的兩個銳角互余.直角三角形的判定：有兩個角互余的三角形是直角三角形.2.預習自測（1）在Rt△ABC中，∠C=90o，∠A=40o，則∠B=_______.【知識點】直角三角形的性質(zhì)【思路點撥】直角三角形的兩個銳角互余，知道其中一個銳角，即可求出另一個銳角的度數(shù)．【解題過程】解：在Rt△ABC中，∠C=90o，∠B=90o?∠A=50o.【答案】50o（2）在Rt△ABC中，∠C=90o，且∠A=2∠B，則∠A=_______，∠B=_______.【知識點】直角三角形的性質(zhì)【思路點撥】直角三角形的兩個銳角互余,∠A+∠B=90o，已知∠A=2∠B，即可得3∠B=90o，求出∠B，再求∠A．【解題過程】解：在Rt△ABC中，∠C=90o，則∠A+∠B=90o，∵∠A=2∠B，∴3∠B=90o，∴∠B=30o，∴∠A=60o．【答案】60o，30o（3）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB=90o，CD⊥AB，則與∠1互余的角有_______.【知識點】直角三角形的性質(zhì)【思路點撥】此題關(guān)鍵是在圖中準確找出直角三角形，利用直角三角形的兩銳角互余進行判斷．【解題過程】解：Rt△ADC中，∠A+∠1=90o，∵∠ACB=90o.∴∠1+∠BCD=90o.∴與∠1互余的角有∠A、∠BCD.【答案】∠A、∠BCD（4）在△ABC中，∠C=2∠A=2∠B，則△ABC是（）A.銳角三角形B.直角三角形C.鈍角三角形D.不能確定【知識點】直角三角形的判定【思路點撥】根據(jù)三角形的內(nèi)角和，利用方程求出各內(nèi)角的度數(shù)確定三角形．【解題過程】解：設(shè)∠A=∠B=x，則∠C=2x，由三角形的內(nèi)角和可得x+x+2x=180o，解得x=45o，∴∠C=90o，故三角形是直角三角形，選B.【答案】B（二）課堂設(shè)計1.知識回顧（1）三角形的內(nèi)角和為.符號語言：在△ABC中，∠A+∠B+∠C=.（2）如何判斷一個三角形是直角三角形？2.問題探究探究一直角三角形的性質(zhì)活動①回顧舊知三角形中已知兩個角求第三個角問題1在△ABC中，∠C=90o，∠A=35o，則∠B的度數(shù)是多少？生回答：∠B=180o?∠C?∠A=180o?90o?35o=55o.問題2在三角形中，若已知兩個角的度數(shù)可以利用三角形的內(nèi)角和為180o，求出第三個角的度數(shù).如果兩個角中有一個角為直角，有沒有更直接的方法求出第三個角的度數(shù)呢？【設(shè)計意圖】通過對舊知識的復習，回顧運用三角形的內(nèi)角和求角的度數(shù)的方法，為探索直角三角形的兩個銳角互余作鋪墊.活動②整合舊知探究直角三角形的性質(zhì)如圖，在直角三角形ABC中，∠C=90o，試說明∠A+∠B=90o..解：由三角形的內(nèi)角和為180o，得∠A+∠B+∠C=180o，即∠A+∠B+90o=180o，所以∠A+∠B=90o結(jié)論：直角三角形的兩個銳角互余.符號語言：在Rt△ABC中，∠C=90o，∴∠A+∠B=90o.【設(shè)計意圖】在直角三角形中，已知一個銳角的度數(shù)能快速求出另一個角的度數(shù)對學生而言較容易，可利用本環(huán)節(jié)進一步培養(yǎng)學生的推理能力.探究二直角三角形的判定問題我們知道，如果一個三角形是直角三角形，那么這個三角形有兩個銳角互余.反過來，有兩個角互余的三角形是直角三角形嗎？請你說說理由.答：由三角形的內(nèi)角和為180o，可知當有兩個角互余時可求第三個角為90o，所以此三角形是直角三角形.結(jié)論：有兩個角互余的三角形是直角三角形.【設(shè)計意圖】在完成探究一后，可將直角三角形的性質(zhì)的題設(shè)和結(jié)論調(diào)換，得到新命題，并證明該命題是真命題，從而得到直角三角形的判定定理.既可復習命題的舊知，又可繼續(xù)培養(yǎng)學生的推理能力.探究三綜合運用活動①直角三角形性質(zhì)的運用例1如圖，∠D=∠C=90o，AD，BC相交于點E，∠CAE與∠DBE有什么關(guān)系？為什么？【知識點】直角三角形的性質(zhì)【解題過程】解：在Rt△ACE中，∠C=90o，∠CAE=90o?∠AEC在Rt△DBE中，∠D=90o，∠DBE=90o?∠DEB∵∠AEC=∠DEB∴∠CAE=∠DBE.【思路點撥】根據(jù)直角三角形的兩銳角互余和對頂角相等解決問題．【答案】∠CAE=∠DBE.練習：如圖，∠ACB=90o，CD⊥AB，垂足為D，∠ACD與∠B有什么關(guān)系？為什么？【知識點】直角三角形的性質(zhì)【解題過程】∵CD⊥AB，所以∠CDB=90o，∴∠BCD+∠B=90o，∵∠ACB=90o.∴∠ACD+∠BCD=90o，∴∠ACD=∠B【思路點撥】根據(jù)直角三角形的兩銳角互余和同角的余角相等解決問題．【答案】∠ACD=∠B活動②直角三角形的判定例2如圖，直線EF分別交AB、CD于點E、F，AB∥CD，∠BEF的平分線與∠DFE的平分線相交于點P.求證：△EFP是直角三角形.【知識點】直角三角形的判定【解題過程】∵AB∥CD，∴∠BEF+∠EFD=180o，又∵∠BEF的平分線與DFE的平分線相交于點P，∴∠PEF=∠BEF，∠PFE=∠EFD，∴∠PEF+∠PFE=∠BEF+∠EFD=（∠EFD+∠EFD）=×180o=90o，∴△EFP是直角三角形.【思路點撥】由兩直線平行可得同旁內(nèi)角互補，再由角平分線的定義易求出∠PEF+∠PFE=90o，從而判斷△EFP是直角三角形．【答案】練習：如圖，在△ABC中，∠C=90o，∠1=∠2，△ADE是直角三角形嗎？為什么？【知識點】直角三角形的性質(zhì)和判定【解題過程】在△ABC中，∠C=90o，∴∠A+∠2=90o，∵∠1=∠2，∴∠A+∠1=90o，∴△ADE是直角三角形.【思路點撥】已知直角三角形易得∠A、∠2互余，再根據(jù)等量代換得到∠A與∠1互余，根據(jù)直角三角形的判定解決問題．【答案】△ADE是直角三角形活動③三角形的內(nèi)角和的綜合運用例3如圖，在△ABC中，∠B=52o，∠C=40o，AE是BC邊上的高，AD是∠BAC的平分線，求∠DAE的度數(shù).【知識點】三角形的內(nèi)角和及三角形的角平分線、高的定義【解題過程】在△ABC中，已知∠B=52o，∠C=40o，∴∠BAC=180o?∠B?∠C=88o，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD=∠BAC=44o，∴∠ADB=180o?∠B?∠BAD=84o，∵AE是BC邊上的高，∴∠AED=90o，∴∠DAE=90o?∠ADE=6o.【思路點撥】法1：利用角的和差解決：∠DAE=∠BAD-∠BAE，在Rt△AEB中已知∠B=52o，可求∠BAE，在△ABC中已知∠B=52o，∠C=40o，可求∠BAC，再根據(jù)AD是∠BAC的平分線，求出∠BAD.法2：利用直角三角形兩銳角互余解決：∠DAE=90o-∠ADE，在△ADB中已知∠B=52o，用法1求出∠BAD，可求∠ADB.從而解決問題．【答案】6o變式練習：如圖，在△ABC中，∠B=α（0o<α<90o），∠C=β（0o<β<90o），α>β，AE是BC邊上的高，AD是∠BAC的平分線，請求∠DAE的度數(shù)（用α、β的式子表示）.【知識點】三角形的內(nèi)角和及三角形的角平分線、高的定義【解題過程】在△ABC中已知∠BAC=180o?α?β，∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD=（180o?α?β）∴∠ADB=180o?α?（180o?α?β）=90o?α+β.∵AE是BC邊上的高，∴∠AED=90o，∴∠DAE=90o?（90o?α+β）=α?β.【思路點撥】思考方法同上，關(guān)鍵是用α、β的式子表示各個角的度數(shù)．【答案】α?β.練習2：如圖，在△ABC中，∠A=40o，∠B=86o，CD⊥AB于D，DF⊥CE于F，CE是∠ACB的平分線，求∠BCE和∠CDF的度數(shù).【知識點】三角形的內(nèi)角和及三角形的角平分線、高的定義【解題過程】在△ABC中，∠A=40o，∠B=86o∴∠ACB=54o，∵CE是∠ACB的平分線，∴∠BCE=∠ACB=27o，∵CD⊥AB于D，∴∠CDB=90o，∴∠BCD=4o，∴∠FCD=∠BCE?∠BCD=23o，∵DF⊥CE于F，∴∠CFD=90o，∴∠CDF=90o?∠FCD=67o，即∠BCE=27o，∠CDF=67o.【思路點撥】本題考查的是三角形的內(nèi)角和定理及角平分線的性質(zhì)，高的定義，解答的關(guān)鍵是三角形的內(nèi)角和定理，需熟記于心中．【答案】∠BCE=27o，∠CDF=67o.3.課堂總結(jié)知識梳理（1）根據(jù)直角三角形的性質(zhì)可得兩個銳角互余．（2）由直角三角形兩銳角互余的關(guān)系可判定三角形是直角三角形.（3）利用三角形內(nèi)角和、直角三角形的性質(zhì)和判定解決有關(guān)的計算和證明.重難點歸納（1）掌握直角三角形的性質(zhì)與判定.（2）在解決角的度數(shù)問題時，若有直角三角形存在，善于運用直角三角形的兩銳角互余求角度更直接簡便.（3）學會與三角形內(nèi)角有關(guān)的計算與證明的說理．(三)課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1.一個三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)比是1∶2∶1，這個三角形是（）．A．銳角三角形 B．直角三角形C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形【知識點】三角形的內(nèi)角和定理，三角形的分類【數(shù)學思想】方程思想【思路點撥】已知三角形的三個內(nèi)角的度數(shù)比是1∶2∶1，可根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理設(shè)未知數(shù)建立方程求解.【解題過程】三個內(nèi)角的度數(shù)比是1∶2∶1，設(shè)三個角的度數(shù)分為xo，2xo，xo由題可得x+2x+x=180，解得x=45，∴三個角的度數(shù)分為45o，90o，45o，∴此三角形是等腰直角三角形.故選D.【答案】D2.如圖，直線∠A=35o，∠B=∠C=90o，則∠D的度數(shù)為（）A．35° B．45° C．55° D．65°【知識點】直角三角形的性質(zhì)【思路點撥】由直角三角形的兩銳角互余和對頂角相等可解決問題.【解題過程】在Rt△ABE和Rt△CED中，∠A+∠AEB=90o，∠D+∠DEC=90o，因為∠AEB=∠DEC，所以∠D=∠A=35o.故選A.【答案】A3.將一個直角三角尺和一把直尺如圖放置，如果，∠1=36°，則∠2的度數(shù)為（）56°B.76°C.66°D.60°【知識點】直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，鄰補角的定義【思路點撥】根據(jù)直角三角形兩銳角互余，可求∠A=30o，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求∠4，即可求出∠3，再利用平行線的性質(zhì)得∠2=∠3，從而求解.【解題過程】解：根據(jù)直角三角形兩銳角互余，可求∠A=30o，∴∠4=180o?30o?36o=114o，∴∠3=180o?114o=66o，∵直尺對邊平行，所以∠2=∠3=66o，故選C【答案】C4.如圖，已知，AB∥CD，直線EF分別交AB，CD于E、F，點G在直線EF上，GH⊥AB，若∠EGH=43°，則∠CEF的度數(shù)為____________.【知識點】直角三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)【思路點撥】利用直角三角形的兩銳角互余和平行線的性質(zhì)是解決問題的關(guān)鍵.【解題過程】因為GH⊥AB，所以∠GHF=90o，所以∠GFH=90o?∠EGH=47o，所以∠BFE=180o?∠GFH=133o，又因為AB∥CD，所以∠CEF=∠BFE=133o.【答案】133o5.在直角三角形中，兩銳角之差為20o，則較大的銳角為度.【知識點】直角三角形的性質(zhì)【數(shù)學思想】方程思想【思路點撥】利用直角三角形兩銳角互余建立方程是解決問題的關(guān)鍵.【解題過程】設(shè)較大的銳角為xo，則較小的銳角為（x-20）o，所以x+（x-20）=90，解得x=55，所以較大銳角為55o.【答案】556.如圖，AE是△ABC的角平分線，AD⊥BC于點D，若∠BAC=88°，∠C=58°，則∠DAE的度數(shù)是_______.【知識點】三角形的內(nèi)角和及三角形的平分線、高的定義【解題過程】在△ABC中已知∠BAC=88°，∠C=58°，∴∠B=180o?∠C?∠BAC=34o，∵AE是∠BAC的平分線，∴∠BAE=∠BAC=44o，∵AD⊥BC于點D，∴∠BAD=90o?∠B=56o，∴∠DAE=∠BAD?∠BAE=12o.【思路點撥】利用角的和差解決：∠DAE=∠BAD-∠BAE，在△ABC中已知∠BAC=88o，∠C=58o，可求∠B，在Rt△ADB中已知∠B可求∠BAD，再根據(jù)AE是∠BAC的平分線，求出∠BAE.【答案】12o能力型師生共研7.如圖，DB是△ABC的高，AE是角平分線，∠BAE=26°，求∠BFE的度數(shù)．【知識點】直角三角形的性質(zhì)，角平分線的定義【思路點撥】由角平分線的性質(zhì)知，∠FAD=∠BAE=26°，而∠AFD與∠FAD互余，與∠BFE是對頂角，故可求得∠BFE的度數(shù)．【解題過程】解：∵AE是角平分線，∠BAE=26°，∴∠FAD=∠BAE=26°，∵DB是△ABC的高，∴∠AFD=90°﹣∠FAD=90°﹣26°=64°，∴∠BFE=∠AFD=64°．【答案】64°8.如圖，在△ABC中，AD平分∠BAC，P為線段AD上的一個動點，PE⊥AD交直線BC于點E．（1）若∠B=35°，∠ACB=85°，求∠E的度數(shù)；（2）當P點在線段AD上運動時，猜想∠E與∠B、∠ACB的數(shù)量關(guān)系，寫出結(jié)論無需證明．【知識點】三角形內(nèi)角和定理；角平分線的定義【思路點撥】（1）中，首先根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求得∠BAC的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義求得∠DAC的度數(shù)，從而根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求出∠ADC的度數(shù)，進一步求得∠E的度數(shù)；（2）中，由于∠B和∠ACB的大小不確定，故表達式應(yīng)寫為兩種情況．根據(jù)第（1）小題的思路即可推導這些角之間的關(guān)系．【解題過程】解：（1）∵∠B=35°，∠ACB=85°，∴∠BAC=60°，∵AD平分∠BAC，∴∠DAC=30°，∴∠ADC=65°，∴∠E=25°；∠E=（∠ACB?∠B）或∠E=（∠B?∠ACB）解：∠ADC=180°?∠ADB=180°?（180°?∠B-∠BAD）=∠B+∠BAD∠BAD=(180°?∠B?∠ACB)∵∠E≥0∴∠E=90°?∠ADC=90°?∠B?∠BAD=│90°?∠B-(180°?∠B?∠ACB)│=│（∠ACB?∠B）│∴當∠B＞∠ACB時，∠E=（∠B?∠ACB）當∠B＜∠ACB時，∠E=（∠ACB?∠B）【答案】（1）25°；（2）∠E=（∠ACB?∠B）或∠E=（∠B?∠ACB）探究型多維突破9.（1）如圖1，有一塊直角三角板XYZ放置在△ABC上，恰好三角板XYZ的兩條直角邊XY、XZ分別經(jīng)過點B、C．△ABC中，∠A=40°，則∠ABC+∠ACB=_________，∠XBC+∠XCB=_________．（2）如圖2，改變直角三角板XYZ的位置，使三角板XYZ的兩條直角邊XY、XZ仍然分別經(jīng)過B、C，那么∠ABX+∠ACX的大小是否變化？若變化，請舉例說明；若不變化，請求出∠ABX+∠ACX的大?。局R點】三角形內(nèi)角和定理【思路點撥】本題考查的是三角形內(nèi)角和定理．已知∠A=40°易求∠ABC+∠ACB的度數(shù)．又因為∠x為90°，所以易求∠XBC+∠XCB．此題注意運用整體法計算．關(guān)鍵是求出∠ABC+∠ACB.【解題過程】解：（1）∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=140°，∵∠X=90°，∴∠XBC+∠XCB=90°，∴∠ABC+∠ACB=140°；∠XBC+∠XCB=90°．（2）不變化．∵∠A=40°，∴∠ABC+∠ACB=140°，∵∠X=90°，∴∠XBC+∠XCB=90°，∴∠ABX+∠ACX=（∠ABC﹣∠XBC）+（∠ACB﹣∠XCB）=（∠ABC+∠ACB）﹣（∠XBC+∠XCB）=140°﹣90°=50°．【答案】（1）140o，90o（2）50o10.已知△ABC中，∠BAC=80°．（1）若∠ABC和∠ACB的角平分線交于點O，如圖1所示，試求∠BOC的大??；（2）若∠ABC和∠ACB的三等分線（即將一個角平均分成三等分的射線）相交于O，O1，如圖2所示，試求∠BOC的大小；（3）如此類推，若∠ABC和∠ACB的n等分線自下而上依次相交于O，O1，O2…，如圖3所示，試探求∠BOC的大小與n的關(guān)系，并判斷當∠BOC=170°時，是幾等分線的交線所成的角．【知識點】三角形內(nèi)角和定理；角平分線的定義【思路點撥】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)角平分線的定義可求得∠OBC+∠OCB的度數(shù)，從而不難∠BOC的大?。?）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)三等分線的定義可求得∠OBC+∠OCB的度數(shù)，從而不難∠BOC的大?。?）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可求得∠ABC+∠ACB的度數(shù)，再根據(jù)n等分線的定義可求得∠OBC+∠OCB的度數(shù)，從而不難探求∠BOC的大小與n的關(guān)系．【解題過程】解：∵∠BAC=80°，∴∠ABC+∠ACB=100°，（1）∵點O是∠ABC與∠ACB的角平分線的交點，∴∠OBC+∠OCB=50°，∴∠BOC=130°．（2）∵點O是∠ABC與∠ACB的三等分線的交點，∴∠OBC+∠OCB=，∴∠BOC=．（3）∵點O是∠ABC與∠ACB的n等分線的交點，∴∠OBC+∠OCB=，∴∠BOC=180°﹣．當∠BOC=170°時，是十等分線的交線所成的角．【答案】（1）130°；（2）；（3）十等分線.自助餐1.將一副三角板按如圖所示疊放在一起，則圖中∠1的度數(shù)是（）A.90oB.75oC.60oD.45o【知識點】直角三角形的性質(zhì)【思路點撥】利用直角三角形的兩銳角互余求解.【解題過程】由直角三角形的兩銳角互余可得：∠1=90o?（45o?30o）=75o【答案】B2.如圖，在△ABC中，∠BAC=90o，AC≠AB，AD是斜邊BC上的高，DE⊥AC，DF⊥AB，垂足分別為E、F，則圖中與∠C（∠C除外）相等的角的個數(shù)是（）A.3個B.4個C.5個D.6個【知識點】直角三角形的性質(zhì)【思路點撥】本題的關(guān)鍵是找準直角三角形，利用直角三角形兩銳角互余的關(guān)系，尋找與∠C（∠C除外）相等的角.【解題過程】∵∠C+∠EDC=90o，∠ADE+∠EDC=90o，∴∠ADE=∠C，∵∠ADE+∠DAE=90o，∠BAD+∠DAE=90o，∴∠BAD=∠ADE，∵∠ADF+∠BAD=90o，∠ADF+∠FDB=90o，∴∠FDB=∠BAD，∴∠FDB=∠BAD=∠ADE=∠C.故選A.【答案】A3.在△ABC中，∠A?∠B=30o，∠B?∠C=30o，則此三角形是三角形.【知識點】三角形的內(nèi)角和定理，直角三角形的判定【思路點撥】已知三角形內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系，根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理即可求解.【解題過程】∵∠A?∠B=30o，∠B?∠C=30o，∴∠A=30o+∠B，∠C=∠B?30o，∵∠A+∠B+∠C=180o，∴∠B=60o，∴∠A=90o，∠C=30o，∴△ABC是直角三角形.【答案】直角如圖，在△ABC中，∠C=∠ABC=2∠A，BD是AC邊上的高，∠DBC的度數(shù)為.【知識點】三角形內(nèi)角和定理，直角三角形的性質(zhì)【數(shù)學思想】方程思想【思路點撥】已知三角形內(nèi)角的數(shù)量關(guān)系，可根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理設(shè)未知數(shù)建立方程求解.【解題過程】設(shè)∠A=x，則∠C=∠ABC=2x，由題可得x+2x+2x=180o，解得x=36o，∴∠C=72o，∵BD是AC邊上的高，∴∠BDC=90o，∴∠DBC=90o?72o=18o.【答案】18o5.如圖所示，點E在AB上，CE，DE分別平分∠BCD，∠ADC，∠1+∠2