備戰(zhàn)2025年高考數(shù)學壓軸題訓練專題13三角函數(shù)(全題型壓軸題)(學生版+解析)

專題13三角函數(shù)（全題型壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u一、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1二、函數(shù)的圖象變換 3三、三角函數(shù)零點問題（解答題） 4四、三角函數(shù)解答題綜合 8五、三角函數(shù)與導數(shù)結(jié)合 11一、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．（2024·天津紅橋·一模）將函數(shù)的圖象橫坐標伸長為原來的2倍，再向左平移單位，得到函數(shù)的部分圖象（如圖所示）．對于，，且，若，都有成立，則下列結(jié)論中不正確的是（

）

A．B．C．在上單調(diào)遞增D．函數(shù)在的零點為，則2．（23-24高三下·陜西安康·階段練習）已知函數(shù)，將的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上有個實數(shù)根，，，，，，則（

）A． B． C． D．3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，它的兩個相鄰的極值點之間的距離為．若先將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，再將其圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標伸長到原來的2倍，得到函數(shù)的圖像，則在上的零點個數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．84．（多選）（23-24高一下·安徽·階段練習）若函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向右平移個單位長度，縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的倍，得到函數(shù)的圖象，則下列四個命題正確的是（

）A．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，B．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸C．若當時，，則D．若在上恰有3個零點，則5．（多選）（23-24高一下·山東濟寧·期中）已知函數(shù)，將函數(shù)圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再將所得圖象上各點向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，設(shè)函數(shù)，R則下列說法中正確的是（

）A．是函數(shù)的一個周期B．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸C．當時，函數(shù)在R上的最大值為D．若函數(shù)在上有4個零點，則6．（23-24高一下·上海·期中）已知函數(shù)，將的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上有5個實數(shù)根，，，，，則．7．（23-24高一下·上?！て谥校┰O(shè)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有7個零點，則的取值范圍是.二、函數(shù)的圖象變換1．（23-24高三·全國·階段練習）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且，當時，取到最大值，若將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的倍得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)零點的個數(shù)為（

）A． B． C． D．2．（23-24高三·湖南·階段練習）將函數(shù)的圖象向左平移（）個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若使成立的a、b有，則下列直線中可以是函數(shù)圖象的對稱軸的是A． B．C． D．3．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)對任意的，都有，且存在，，點為曲線的對稱中心.若將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則.4．（23-24高三·河南·階段練習）定義在上的偶函數(shù)滿足，且，當時，.已知方程在區(qū)間上所有的實數(shù)根之和為.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則，.三、三角函數(shù)零點問題（解答題）1．（23-24高一下·云南昭通·期末）已知的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)若時，函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.2．（23-24高一下·海南·期末）已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將的圖象先向右平移個單位長度，再將所得圖象上的所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到的圖象，若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，求實數(shù)的取值范圍.3．（23-24高一下·四川成都·期末）已知函數(shù)，圖象中相鄰兩條對稱軸的距離為.(1)求函數(shù)的解析式和在區(qū)間的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)方程在上有2個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.4．（24-25高一·江蘇·假期作業(yè)）已知向量，，若函數(shù)的最小正周期為．(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)在有零點，求實數(shù)的取值范圍．5．（23-24高一下·浙江·期中）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的周期和對稱軸方程；(2)若將的圖像上的所有點向右平移個單位，再把所得圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖像．若方程在上的零點從小到大依次為，，，求的值；(3)若方程在上的解為，求．6．（23-24高一下·河北邢臺·期中）已知向量，若函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)若，求的最值及取得最值時的值；(3)若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍．7．（23-24高一下·四川內(nèi)江·階段練習）已知函數(shù)，若的最小正周期為．(1)求的解析式；(2)若函數(shù)在上有三個不同零點，，，且．①求實數(shù)a取值范圍；②若，求實數(shù)a的取值范圍．四、三角函數(shù)解答題綜合1．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知函數(shù)的一個對稱中心為．函數(shù)．(1)當時，求的值域；(2)若，使恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．2．（23-24高一下·四川達州·期末）已知函數(shù)，其中，．(1)當時，求的值域；(2)若存在，使得成立，求t的取值范圍．3．（23-24高一下·山東淄博·期中）已知向量，，函數(shù)，其中.(1)若，，求函數(shù)的對稱中心；(2)若，函數(shù)圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，是的一個零點，若函數(shù)在（m，且），上恰好有8個零點，求的最小值；(3)已知函數(shù)，在第（2）問條件下，若對任意，存在，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍.4．（23-24高一下·四川達州·期中）已知向量，，其中，函數(shù)，且的圖象上兩條相鄰對稱軸的距離為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)若對，關(guān)于的不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．5．（23-24高一下·江西南昌·階段練習）函數(shù)的部分圖象如圖所示.(2)，將的圖象向右平移個單位后得到函數(shù).若對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍.五、三角函數(shù)與導數(shù)結(jié)合1．（23-24高二下·安徽合肥·期末）函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知函數(shù)，當函數(shù)的切線的斜率為負數(shù)時，求在軸上的截距的取值范圍；(3)設(shè)，若是函數(shù)在上的極值點，求證：.2．（23-24高二下·安徽·期末）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)，若是的極小值點，求的取值范圍.3．（2024·遼寧·模擬預(yù)測）已知函數(shù).(1)求在區(qū)間內(nèi)的極大值；(2)令函數(shù)，當時，證明：在區(qū)間內(nèi)有且僅有兩個零點．4．（23-24高二下·江西新余·期末）閱讀材料一：“裝錯信封問題”是由數(shù)學家約翰伯努利（JohannBernoulli，1667~1748）的兒子丹尼爾伯努利提出來的，大意如下：一個人寫了封不同的信及相應(yīng)的個不同的信封，他把這封信都裝錯了信封，問都裝錯信封的這一情況有多少種？后來瑞士數(shù)學家歐拉（LeonhardEuler，1707~1783）給出了解答：記都裝錯封信的情況為種，可以用全排列!減去有裝正確的情況種數(shù)，結(jié)合容斥原理可得公式：，其中.閱讀材料二：英國數(shù)學家泰勒發(fā)現(xiàn)的泰勒公式有如下特殊形式：當在處階可導，則有：，注表示的階導數(shù)，該公式也稱麥克勞林公式.閱讀以上材料后請完成以下問題：(1)求出的值；(2)估算的大?。ūＡ粜?shù)點后2位），并給出用和表示的估計公式；(3)求證：，其中.5．（23-24高二下·云南昆明·期中）已知函數(shù)(1)當時，求函數(shù)在處的切線方程；(2)若時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍；(3)討論在區(qū)間上的零點個數(shù).專題13三角函數(shù)（全題型壓軸題）目錄TOC\o"1-1"\h\u一、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 1二、函數(shù)的圖象變換 12三、三角函數(shù)零點問題（解答題） 16四、三角函數(shù)解答題綜合 30五、三角函數(shù)與導數(shù)結(jié)合 42一、三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)1．（2024·天津紅橋·一模）將函數(shù)的圖象橫坐標伸長為原來的2倍，再向左平移單位，得到函數(shù)的部分圖象（如圖所示）．對于，，且，若，都有成立，則下列結(jié)論中不正確的是（

）

A．B．C．在上單調(diào)遞增D．函數(shù)在的零點為，則【答案】C函數(shù)在上有個零點，則，，，，，故，所以，故D正確；故選：C．【點睛】思路點睛：三角函數(shù)圖象與性質(zhì)問題的求解思路：（1）將函數(shù)解析式變形為或的形式；（2）將看成一個整體；（3）借助正弦函數(shù)或余弦函數(shù)的圖象和性質(zhì)（如定義域、值域、最值、周期性、對稱性、單調(diào)性等）解決相關(guān)問題.2．（23-24高三下·陜西安康·階段練習）已知函數(shù)，將的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上有個實數(shù)根，，，，，，則（

）A． B． C． D．【答案】D【優(yōu)尖升-分析】首先根據(jù)函數(shù)的平移規(guī)則得到的解析式，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合的對稱性計算可得.【詳解】因為函數(shù)，將的圖象向左平移個單位長度得到，函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為，且為偶函數(shù)，又函數(shù)的圖象是由的圖象將軸下方的部分關(guān)于軸對稱上去，軸及軸上方部分保持不變而得到，所以的對稱軸為，又的圖象是將的圖象向上平移一個單位得到，所以的圖象如下所示：

因為關(guān)于的方程在上有個實數(shù)根，即與在上有個交點，又，，所以，令與交點的橫坐標從小到大依次為，則關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，所以，所以.故選：D【點睛】方法點睛：函數(shù)零點問題，將函數(shù)零點問題或方程解的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點問題，將代數(shù)問題幾何化，借助圖象分析，大大簡化了思維難度，首先要熟悉常見的函數(shù)圖象，包括指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)等，還要熟練掌握函數(shù)圖象的變換，包括平移，伸縮，對稱和翻折等，涉及零點之和問題，通?？紤]圖象的對稱性進行解決.3．（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，它的兩個相鄰的極值點之間的距離為．若先將函數(shù)的圖像向左平移個單位長度，再將其圖像上所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，縱坐標伸長到原來的2倍，得到函數(shù)的圖像，則在上的零點個數(shù)為（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【優(yōu)尖升-分析】求出的解析式，將在上的零點個數(shù)轉(zhuǎn)化為函數(shù)和的圖象交點個數(shù)，畫出圖象求解.

由圖可知在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，且.又，所以函數(shù)在上有6個零點.故選：C.［點睛］關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)與含絕對值的對數(shù)函數(shù)的圖象交點個數(shù)問題來解決，對關(guān)鍵地方需要計算大小關(guān)系.4．（多選）（23-24高一下·安徽·階段練習）若函數(shù)的部分圖象如圖所示，將的圖象向右平移個單位長度，縱坐標不變，橫坐標縮短為原來的倍，得到函數(shù)的圖象，則下列四個命題正確的是（

）A．函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，B．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸C．若當時，，則D．若在上恰有3個零點，則【答案】ACD【優(yōu)尖升-分析】根據(jù)圖象求出的解析式，求出，根據(jù)三角函數(shù)的單調(diào)性求出單調(diào)遞增區(qū)間判斷A；代入驗證是否為對稱軸判斷B；當時，利用周期得，結(jié)合圖象得，求出的取值范圍，判斷C；根據(jù)圖象變換求出，根據(jù)在上恰有3個零點，結(jié)合圖象，得到取值范圍，判斷D.【詳解】的最小正周期為，由題圖可得，所以，，，得，又，所以，所以，對于A，，由，，解得，故A正確；對于B，當時，，故B錯誤；對于C，當時，利用周期得，，結(jié)合函數(shù)圖象，可知，若，，解得，故C正確，對于D，將的圖象向右平移個單位長度后得到的圖象,再將的圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的倍，得到的圖象，故.當時，因為在上恰有3個零點，所以，得號，故D正確.故選：ACD.【點睛】方法點睛：函數(shù)中參數(shù)的確定：由函數(shù)的最值可確定的值；由函數(shù)與軸交點的橫坐標及最高、最低點的橫坐標可得最小正周期，進而可求得的值；由函數(shù)圖象與軸交點的坐標或最高、最低點的坐標可得的值．函數(shù)的單調(diào)性利用換元法可解決.5．（多選）（23-24高一下·山東濟寧·期中）已知函數(shù)，將函數(shù)圖象上各點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再將所得圖象上各點向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，設(shè)函數(shù)，R則下列說法中正確的是（

）A．是函數(shù)的一個周期B．直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸C．當時，函數(shù)在R上的最大值為D．若函數(shù)在上有4個零點，則【答案】BCD【優(yōu)尖升-分析】首先根據(jù)圖象的平移伸縮變換得到函數(shù)的解析式，再根據(jù)選項逐一判斷求解.【詳解】將函數(shù)圖象上所以點的橫坐標縮短為原來的，縱坐標不變，得到的圖象，再將圖象上各點向左平移個單位長度，得到的圖象，所以.A選項，由于，所以不是的周期，故A錯誤；B選項，由于所以關(guān)于直線對稱，因此B正確；C選項，時，所以當時，取最大值為，故C正確；D選項，，令，則對稱軸，①若或，即或時，在單調(diào)，最多只有一個零點，此時不可能在有四個根，不符合題意，舍去；②若，即時，在先增后減，且，只需，解得，此時，，使得，且有4個解，所以D正確.故選：BCD.6．（23-24高一下·上?！て谥校┮阎瘮?shù)，將的圖象向左平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，若關(guān)于的方程在上有5個實數(shù)根，，，，，則．【答案】【優(yōu)尖升-分析】首先根據(jù)函數(shù)的平移規(guī)則得到的解析式，畫出函數(shù)圖象，結(jié)合的對稱性計算可得.【詳解】因為函數(shù)，將的圖象向左平移個單位長度得到，函數(shù)的對稱軸為，對稱中心為，且為偶函數(shù)，又函數(shù)的圖象是由的圖象將軸下方的部分關(guān)于軸對稱上去，軸及軸上方部分保持不變而得到，所以的對稱軸為，又的圖象是將的圖象向上平移一個單位得到，所以的圖象如下所示：因為關(guān)于的方程在上有個實數(shù)根，即與在上有個交點，又，，所以，令與交點的橫坐標從小到大依次為，則關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，關(guān)于對稱，所以，所以.故答案為：.【點睛】方法點睛：函數(shù)零點問題，將函數(shù)零點問題或方程解的問題轉(zhuǎn)化為兩函數(shù)的圖象交點問題，將代數(shù)問題幾何化，借助圖象分析，大大簡化了思維難度，首先要熟悉常見的函數(shù)圖象，包括指數(shù)函數(shù)，對數(shù)函數(shù)，冪函數(shù)，三角函數(shù)等，還要熟練掌握函數(shù)圖象的變換，包括平移，伸縮，對稱和翻折等，涉及零點之和問題，通?？紤]圖象的對稱性進行解決.7．（23-24高一下·上海·期中）設(shè)若函數(shù)在區(qū)間內(nèi)恰有7個零點，則的取值范圍是.【答案】【優(yōu)尖升-分析】先根據(jù)三角函數(shù)圖象變換判斷當時不成立，再分析當時，函數(shù)的零點個數(shù)分別為0，1，2時，根據(jù)三角函數(shù)的圖象變換，討論的零點個數(shù)即可.【詳解】由題意，當時，在內(nèi)無零點，又不可能有7個零點，故當時不滿足題意；由基本不等式，當且僅當，即時取等號，最小值為.①當時，即時，無零點，則當時，有7個零點，此時，即，故零點分別為時取得.故，解得；②當，即時，有一個零點.此時有6個零點，即，即，故零點分別為時取得.此時，解得.又滿足，故滿足條件題意；③當，即時，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可得在上有1個零點，又，則1.當，即時，在上有1個零點，故有2個零點，此時有5個零點，即，即，故零點分別為時取得.此時，解得，綜上有2.當，即時，在上無零點，故有1個零點，此時有6個零點，即，不滿足；綜上有或或.故答案為：二、函數(shù)的圖象變換1．（23-24高三·全國·階段練習）設(shè)函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)，且，當時，取到最大值，若將函數(shù)的圖象上各點的橫坐標伸長為原來的倍得到函數(shù)的圖象，則函數(shù)零點的個數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】D【優(yōu)尖升-分析】由已知可得，由得出對稱中心及對稱軸，得出，再得出的解析式，再有變換得出，再分別畫出與圖象，得出結(jié)論.【詳解】解：設(shè)，，即，又，為的一條對稱軸，且，則為的一個對稱中心，由于，所以與為同一周期里相鄰的對稱軸和對稱中心，則，．又，且，解之得，．故，由圖象變換可得，．因為在處的切線斜率為，在處切線斜率不存在，即切線方程為．所以右側(cè)圖象較緩,如圖所示，同時時，，所以的零點有個．故選：D.

【點睛】本題主要考查正弦型函數(shù)的圖象和性質(zhì)及零點，轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的圖象的交點，屬于難題.2．（23-24高三·湖南·階段練習）將函數(shù)的圖象向左平移（）個單位長度后得到函數(shù)的圖象，若使成立的a、b有，則下列直線中可以是函數(shù)圖象的對稱軸的是A． B．C． D．【答案】D【解析】根據(jù)三角函數(shù)平移關(guān)系求出的解析式，結(jié)合成立的有，求出的關(guān)系，結(jié)合最小值建立方程求出的值即可.【詳解】解：將函數(shù)的圖象向左平移（）個單位長度后得到函數(shù)的圖象，即，若成立，即，即，則與一個取最大值1，一個取最小值?1，不妨設(shè)，則，得，則，∵，∴當時，，當時，，，則或，即或（舍），即，由，得，當時，對稱軸方程為.故選：D.【點睛】本題考查三角函數(shù)的圖象平移，以及三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)，結(jié)合三角函數(shù)的最值性建立方程關(guān)系求出的大小，結(jié)合最小值求出的值是解決本題的關(guān)鍵.考查分析問題解決問題的能力，有一定難度.3．（2024·河南·模擬預(yù)測）已知函數(shù)對任意的，都有，且存在，，點為曲線的對稱中心.若將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則.【答案】【優(yōu)尖升-分析】根據(jù)三角恒等變換得（其中為銳角且），再根據(jù)題意得，解得，再根據(jù)點為曲線的對稱中心，得，從而求出解析式，之后再根據(jù)平移變換求解即可.【詳解】解：（其中為銳角且），因為對任意，，恒有成立，且存在，，所以，解得（負根舍去），所以.又因為點為曲線的對稱中心，即，得.因為，所以，所以，所以，所以.故答案為：.【點睛】本題考查三角恒等變換研究三角函數(shù)的性質(zhì)，函數(shù)圖像平移變換等問題，考查學生分析問題與解決問題的能力，是中檔題.4．（23-24高三·河南·階段練習）定義在上的偶函數(shù)滿足，且，當時，.已知方程在區(qū)間上所有的實數(shù)根之和為.將函數(shù)的圖象向右平移個單位長度，得到函數(shù)的圖象，則，.【答案】24【解析】根據(jù)函數(shù)為偶函數(shù)且，所以的周期為，的實數(shù)根是函數(shù)和函數(shù)的圖象的交點的橫坐標，在平面直角坐標系中畫出函數(shù)圖象，根據(jù)函數(shù)的對稱性可得所有實數(shù)根的和為，從而可得參數(shù)的值，最后求出函數(shù)的解析式，代入求值即可.【詳解】解：因為為偶函數(shù)且，所以的周期為.因為時，，所以可作出在區(qū)間上的圖象，而方程的實數(shù)根是函數(shù)和函數(shù)的圖象的交點的橫坐標，結(jié)合函數(shù)和函數(shù)在區(qū)間上的簡圖，可知兩個函數(shù)的圖象在區(qū)間上有六個交點.由圖象的對稱性可知，此六個交點的橫坐標之和為，所以，故.因為，所以.故.故答案為：；【點睛】本題考查函數(shù)的奇偶性、周期性、對稱性的應(yīng)用，函數(shù)方程思想，數(shù)形結(jié)合思想，屬于難題.三、三角函數(shù)零點問題（解答題）1．（23-24高一下·云南昭通·期末）已知的部分圖象如圖所示.(1)求函數(shù)的解析式；(2)求的單調(diào)遞減區(qū)間；(3)若時，函數(shù)有兩個零點，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)；(2)；(3).【優(yōu)尖升-分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象先確定的值，再由和，解得，最后將點代入得，，解得，即；（2）由得，，再結(jié)合的單調(diào)性即可求解；（3）由得，，作出函數(shù)在上的圖象，函數(shù)在上有兩個零點，可以轉(zhuǎn)化為與在上有兩個交點，結(jié)合圖象即可求解.【詳解】（1）由圖可得，，解得，又因為，所以，因為的圖象經(jīng)過，所以，所以，即，又因為，所以，故的解析式為：.（2）當時，，因為在和單調(diào)遞減，由，得，由，得，所以的單調(diào)遞減區(qū)間是和.（3）當時，，因為在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由，得，由，得，由，得，所以函數(shù)在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，所以函數(shù)在上的圖象如圖所示，因為函數(shù)在上有兩個零點，所以與在上有兩個交點，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題解題的關(guān)鍵在于利用函數(shù)圖象求出函數(shù)的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性，求解單調(diào)區(qū)間，以及將零點個數(shù)問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)圖象的交點問題，利用數(shù)形結(jié)合來求解.2．（23-24高一下·海南·期末）已知函數(shù)的最小正周期為.(1)求在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)將的圖象先向右平移個單位長度，再將所得圖象上的所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，得到的圖象，若關(guān)于的方程在區(qū)間上有解，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)和(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）先利用三角函數(shù)恒等變換公式對函數(shù)化簡變形結(jié)合周期可求出，再由結(jié)合可求得結(jié)果；（2）利用三角函數(shù)圖象變換規(guī)律求出，則方程轉(zhuǎn)化為，令，則，再變形后，利用換元法可求出答案.【詳解】（1），因為最小正周期為，所以，得，所以，由，得，因為，所以當時，，當時，，所以在區(qū)間上的單調(diào)遞減區(qū)間為和；（2）將的圖象先向右平移個單位長度，得到，再將圖象上的所有點的橫坐標伸長為原來的2倍，得，所以，方程，即為方程，令，因為，所以，所以，因為，所以，所以原方程化為，所以，令，則，，因為在上遞減，在上遞增，所以當時，，則，因為當時，，當時，，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，考查三角函數(shù)圖象變換規(guī)律，考查求余弦函數(shù)的值域，第（2）問解題的關(guān)鍵是復(fù)利用多次換元將問題轉(zhuǎn)化為求對勾函數(shù)在閉區(qū)間上的值域，考查計算能力和數(shù)學轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.3．（23-24高一下·四川成都·期末）已知函數(shù)，圖象中相鄰兩條對稱軸的距離為.(1)求函數(shù)的解析式和在區(qū)間的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)方程在上有2個不相等的實數(shù)根，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)，(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）利用三角恒等變換得到，然后根據(jù)題意得到周期，代入周期的計算公式可得，然后根據(jù)正弦函數(shù)單調(diào)增區(qū)間代入即可求解；（2）用換元法，由（1）得，轉(zhuǎn)化為關(guān)于的一元二次方程根分布問題即可求解.【詳解】（1）因為圖象中相鄰兩根對稱軸的距離為，所以周期，所以，又因為，所以，所以，令，解得所以的單調(diào)遞增區(qū)間為，當時，當時，所以在區(qū)間的單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）由（1），令，由，可得，則，由題意可知，關(guān)于的方程有兩個不等的實根，且與在上均有兩個不等的實根，因為的圖象如圖所示，故，

所以關(guān)于的方程在上有兩個不等的實根，令，則，即，解得故實數(shù)的取值范圍.【點睛】利用輔助角公式將函數(shù)化簡，考查正弦函數(shù)性質(zhì)的應(yīng)用，以及函數(shù)與方程的綜合問題，第二問解題的關(guān)鍵是通過換元將問題轉(zhuǎn)化為二次方程有兩個根，再利用根分布問題討論即可求解，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想方法.4．（24-25高一·江蘇·假期作業(yè)）已知向量，，若函數(shù)的最小正周期為．(1)求的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若函數(shù)在有零點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）利用兩角和與差的三角函數(shù)化簡函數(shù)解析式，求出函數(shù)的周期，得到，然后求得函數(shù)解析式；（2）將函數(shù)在閉區(qū)間上有零點的問題，轉(zhuǎn)化為關(guān)于變量的方程在上有解的問題來處理，需經(jīng)幾次換元，注意范圍．【詳解】（1）由，，可得因為且函數(shù)的最小正周期為，則，解得，所以，，當時，單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，解得，所以，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．（2）由（1）可得：，，，由函數(shù)在有零點可知：方程，即在上有解，因為，則，設(shè)，，原方程化為，整理得，方程等價于在,有解，設(shè)，當時，方程化為，解得，故；當時，在，上有解在,上有解，問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)在上的值域，設(shè)，則，，，設(shè)，則，，當時，，當時，，所以，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，即的取值范圍是，由原方程在,上有實數(shù)解可得，解得或，即．【點睛】本題考查函數(shù)與方程的應(yīng)用，考查分類思想的應(yīng)用，轉(zhuǎn)化思想及計算能力，屬難題．5．（23-24高一下·浙江·期中）已知函數(shù)(1)求函數(shù)的周期和對稱軸方程；(2)若將的圖像上的所有點向右平移個單位，再把所得圖像上所有點的橫坐標縮短為原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖像．若方程在上的零點從小到大依次為，，，求的值；(3)若方程在上的解為，求．【答案】(1)，對稱軸方程，(2)(3)【優(yōu)尖升-分析】（1）先利用誘導公式及輔助角公式化一，再根據(jù)正弦函數(shù)的周期性和對稱性求解即可；（2）先根據(jù)平移變換和周期變換的原則求出函數(shù)的解析式，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解即可；（3）由題意可得為方程在上的兩解，不妨設(shè)，求出，再根據(jù)二倍角的余弦公式即可得解.【詳解】（1），，令，得∴對稱軸方程；（2）由題意可得，由方程由，可得，因為，則，令，則，所以，，設(shè)，直線與函數(shù)在上的圖象有四個交點，點、關(guān)于直線對稱，點、關(guān)于直線對稱，點、關(guān)于直線對稱，所以，，，即，即，解得；（3）方程在上的解為，∴為方程在上的兩解，不妨設(shè)，當時，，，，，，，，，，，，，，∴．【點睛】方法點睛：給值求值的方法：（1）直接法：當已知兩個角時，所求角一般表示為兩個角的和或差的形式；（2）常值代換：用某些三角函數(shù)代替某些常數(shù)，使之代換后能運用相關(guān)公式，我們把這種代換稱之為常值代換，其中要特別注意的是“”的代換，如，，等，、、、、等均可視為某個特殊角的三角函數(shù)值，從而將常數(shù)換為三角函數(shù)使用；（3）角的代換：將未知角利用已知角表示出來，使之能直接運用公式，像這樣的方法就是角的代換，常見的有：，，，，，，等.6．（23-24高一下·河北邢臺·期中）已知向量，若函數(shù)．(1)求函數(shù)的最小正周期；(2)若，求的最值及取得最值時的值；(3)若函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)最小值為－1，此時；最大值為2，此時(3)【優(yōu)尖升-分析】（1）根據(jù)向量數(shù)量積運算公式和三角恒等變換可求出的解析式，再根據(jù)正弦型函數(shù)周期公式即可計算周期.（2）根據(jù)給定區(qū)間求已知函數(shù)的最值，可采用換元法等價變換為簡單的正弦函數(shù)，先判斷單調(diào)性，進而求出最值和相應(yīng)的x值.（3）函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，等價于其對應(yīng)的方程在給定區(qū)間內(nèi)只有一個根，進而轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)在給定區(qū)間內(nèi)只有一個交點的問題，數(shù)形結(jié)合，即可求出參數(shù)的值.【詳解】（1）因為函數(shù)，所以函數(shù)的最小正周期為.（2）由（1）知，因為，所以，令，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間單調(diào)遞增，所以當，即時，函數(shù)有最小值，最小值為；當，即時，函數(shù)有最大值，最大值為；綜上，的最小值為－1，此時；最大值為2，此時．（3）因為函數(shù)在內(nèi)有且只有一個零點，所以在內(nèi)有且只有一個實根，得，即，即函數(shù)在上的圖象與直線只有一個交點，當時，，畫出在上的圖象如下，結(jié)合函數(shù)圖象可知，函數(shù)在區(qū)間上的圖象與直線只有一個交點時，所以，即的取值范圍是．7．（23-24高一下·四川內(nèi)江·階段練習）已知函數(shù)，若的最小正周期為．(1)求的解析式；(2)若函數(shù)在上有三個不同零點，，，且．①求實數(shù)a取值范圍；②若，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)；(2)①；②．【優(yōu)尖升-分析】（1）根據(jù)輔助角公式化簡即可.（2）根據(jù)函數(shù)零點與二次函數(shù)的性質(zhì)得到關(guān)于的方程，再利用韋達定理、三角函數(shù)的性質(zhì)求解即可.【詳解】（1），因為的最小正周期為，所以，即，所以．（2）①由（1）知，由，可得，令，則，，若函數(shù)在有三個零點，即在有三個不相等的實數(shù)根，也就是關(guān)于t的方程在區(qū)間有一個實根，另一個實根在上，或一個實根是1，另一個實根在，當一個根在，另一個實根在，所以，即，解得：，當一個根為0時，即，所以，此時方程為，所以，不合題意；當一個根是，即，解得，此時方程為，所以，不合題意；當一個根是1，另一個實根在，由得，此時方程為，解得或，這兩個根都不屬于，不合題意，綜上a的取值范圍是．②設(shè)，為方程的兩個不相等的實數(shù)根，則，由①知，，，所以，即，，所以，即，由得，所以，因為，，所以，所以，所以，又，且，所以，所以，整理得，因為，所以，解得或，又，所以．【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題第二問的關(guān)鍵是利用換元法，將其轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)根的分布問題，結(jié)合韋達定理從而得到相關(guān)不等式組，解出即可.四、三角函數(shù)解答題綜合1．（23-24高一下·江西吉安·期末）已知函數(shù)的一個對稱中心為．函數(shù)．(1)當時，求的值域；(2)若，使恒成立，求實數(shù)a的取值范圍．【答案】(1)(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）根據(jù)定義域結(jié)合三角函數(shù)性質(zhì)求出函數(shù)值域；（2）先應(yīng)用換元法得出復(fù)合函數(shù)的最值，恒成立問題轉(zhuǎn)化得出參數(shù).【詳解】（1）∵的對稱中心為，,∴，即，∵，∴，此時．（2），∵，∴，設(shè)，，則有的函數(shù)圖象開口向下，對稱軸為的拋物線，當時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，∴，∴，解得，∴；當時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，∴，∴，解得，故；當時，，故，解得，∴，綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為．2．（23-24高一下·四川達州·期末）已知函數(shù)，其中，．(1)當時，求的值域；(2)若存在，使得成立，求t的取值范圍．【答案】(1)(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）根據(jù)平面向量數(shù)量積的坐標表示及二倍角公式、輔助角公式將函數(shù)化簡，再根據(jù)x的取值范圍求出的取值范圍，再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；（2）將所求問題進行等價轉(zhuǎn)化為，當，再對t進行分類討論并根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)計算最大值即可.【詳解】（1）由題意得，，又因為，所以，由正弦函數(shù)性質(zhì)可知，，即，所以的值域為.（2）若，使得成立，則等價于時，即可.①由（1）可知，，因為，所以，當時，即時，此時，所以，即，根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)可得，，解得，所以.②當時，即時，顯然成立.綜上得，，所以的取值范圍是.3．（23-24高一下·山東淄博·期中）已知向量，，函數(shù)，其中.(1)若，，求函數(shù)的對稱中心；(2)若，函數(shù)圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，是的一個零點，若函數(shù)在（m，且），上恰好有8個零點，求的最小值；(3)已知函數(shù)，在第（2）問條件下，若對任意，存在，使得成立，求實數(shù)a的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【優(yōu)尖升-分析】（1）利用倍角公式化簡函數(shù)解析式，由已知確定最小正周期，可得，整體代入法求的對稱中心；（2）由圖象平移變換得到函數(shù)，結(jié)合和，得，根據(jù)的零點個數(shù)可得，要使最小，則恰好為的零點，由此求的最小值；（3）根據(jù)已知，在上，的值域是值域的子集，求出這兩個值域，由包含關(guān)（3）由（2）知，，設(shè)在上的值域為，在上的值域為，若對任意，存在，使得成立，則，當，，，則，當，，，則，由可得，又，解得，所以實數(shù)a的取值范圍為.【點睛】方法點睛：1.若在上恰好有8個零點，要使最小，則需要恰好為的零點；2.，存在，使得，則在定義區(qū)間內(nèi)的值域是值域的子集.4．（23-24高一下·四川達州·期中）已知向量，，其中，函數(shù)，且的圖象上兩條相鄰對稱軸的距離為．(1)求函數(shù)的解析式；(2)求函數(shù)在上的單調(diào)遞增區(qū)間；(3)若對，關(guān)于的不等式成立，求實數(shù)的取值范圍．【答案】(1)(2)，(3)【優(yōu)尖升-分析】（1）利用向量數(shù)量積的坐標公式和三角恒等變換將其化成正弦型函數(shù)，依題求出即得；（2）先求出函數(shù)在R上的單調(diào)遞增區(qū)間，再與給定區(qū)間求交即得；【點睛】關(guān)鍵點點睛：本題主要考查正弦型函數(shù)的性質(zhì)應(yīng)用，屬于難題.解決此類題的關(guān)鍵是，根據(jù)解析式特點進行三角恒等變換，將其化成正弦型函數(shù)，結(jié)合正弦函數(shù)的圖象解決問題；對于恒成立問題，常常尋求參變分離法，將不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化為求對應(yīng)函數(shù)的的值域.5．（23-24高一下·江西南昌·階段練習）函數(shù)的部分圖象如圖所示.

(1)求函數(shù)的解析式；(2)函數(shù)的圖象與直線恰有三個公共點，記三個公共點的橫坐標分別為且，求的值；(3)函數(shù)，若對于任意，當時，都有成立，求實數(shù)的最大值.【答案】(1)(2)(3)【優(yōu)尖升-分析】（1）根據(jù)函數(shù)圖象可得及周期，即可求得，再利用待定系數(shù)法求出即可；（2），令，由題意可得，再根據(jù)正弦函數(shù)的對稱性求出即可得解；（3）先求出，令，由題意可得函數(shù)在上單調(diào)遞增，再根據(jù)正弦函數(shù)的單調(diào)性求解即可.【詳解】（1）由圖象可知則，則，又，所以，所以，又，所以，所以的解析式為；（2），令，所以的最大值為.【點睛】方法點睛：根據(jù)三角函數(shù)或的部分圖象求函數(shù)解析式的方法：（1）求、，；（2）求出函數(shù)的最小正周期，進而得出；（3）取特殊點代入函數(shù)可求得的值.6．（23-24高一下·上?！て谥校┮阎?，其中.(1)若對任意的恒成立，且，求的值：(2)若，函數(shù)圖象向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象，是的一個零點，若函數(shù)在（，且）上恰好有8個零點，求的最小值；(3)已知函數(shù)（），在第（2）問條件下，若對任意，存在，使得成立，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)(3)【優(yōu)尖升-分析】（1）由題意可知與是相鄰的最小值點和最大值點，從而可求出函數(shù)的最小正周期，再利用周期公式可求出；（2）根據(jù)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律得到，結(jié)合和求得，根據(jù)的零點個數(shù)得，則要使最小，則恰好是的零點，從而可求出的最小值；（3）根據(jù)題意可得的值域是值域的子集，求出這兩個值域，列不等式組可求得結(jié)果.【詳解】（1）函數(shù)，因為對任意的恒成立，且，所以與是相鄰的最小值點和最大值點，所以的最小正周期為，所以，得；（2）由題意可得，因為是的一個零點，所以，所以，所以，或，得或，因為，所以，所以，所以的最小正周期為，令，則，所以或，得或，因為函數(shù)在（，且）上恰好有8個零點，所以,要使最小，則恰好是的零點，所以的最小值為；（3）由（2）知，設(shè)在上的值域為，在上的值域為，因為對任意，存在，使得成立，所以，當時，，所以，所以，所以，當時，，所以，所以，所以,因為，所以，解得，所以實數(shù)的取值范圍為.【點睛】關(guān)鍵點點睛：此題考查三角函數(shù)恒等變換公式的應(yīng)用，考查利用正弦函數(shù)的性質(zhì)求函數(shù)的解析式，考查三角函數(shù)圖象變換規(guī)律，考查求三角函數(shù)的值域，第（3）問解題的關(guān)鍵是利用三角函數(shù)的性質(zhì)求出兩函數(shù)的值域，然后將問題轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)值域的包含關(guān)系，考查計算能力和數(shù)學轉(zhuǎn)化思想，屬于較難題.7．（23-24高一下·廣東河源·期中）已知函數(shù).(1)求不等式的解集；(2)，將的圖象向右平移個單位后得到函數(shù).若對任意的，都有，求實數(shù)的取值范圍.【答案】(1)(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）由已知可得，求解可得不等式的解集；（2）求得，因為對任意的，都有成立，可得，由，令，可得，分類討論可求得實數(shù)的取值范圍.【詳解】（1）因為，所以，解得：，所以，所以不等式的解集為.（2）由題意可得，因為，所以，所以.又因為對任意的，都有成立，所以，，因為，所以，設(shè)，可設(shè)，則的圖象為開口向下，對稱軸為的拋物線，當時，在上單調(diào)遞增，所以，所以，解得，所以當時，在上單調(diào)遞減，所以，所以，解得，故；當時，，故，解得，所以，綜上所述：實數(shù)的取值范圍為.【點睛】結(jié)論點睛：本題考查不等式的恒成立問題，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化，可按如下規(guī)則轉(zhuǎn)化：一般地，已知函數(shù)，，若總有成立，故.五、三角函數(shù)與導數(shù)結(jié)合1．（23-24高二下·安徽合肥·期末）函數(shù).(1)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；(2)已知函數(shù)，當函數(shù)的切線的斜率為負數(shù)時，求在軸上的截距的取值范圍；(3)設(shè)，若是函數(shù)在上的極值點，求證：.【答案】(1)在單調(diào)遞增，在和單調(diào)遞減(2)(3)證明見解析【優(yōu)尖升-分析】（1）求導，即可根據(jù)導函數(shù)的正負求解函數(shù)的單調(diào)性，（2）利用點斜式求解切線方程，即可，得，根據(jù)斜率為負可得或，即可利用對勾函數(shù)的性質(zhì)求解，（3）求導，判斷函數(shù)的單調(diào)性，即可確定時取極大值，代入即可求證.【詳解】（1）的定義域為令得.令，可得或,所以在單調(diào)遞增，在和單調(diào)遞減.（2）因為，所以設(shè)切點坐標為，則切線方程為因為曲線的切線的斜率為負數(shù)，所以，解得或.在切線方程中，令，得，解得令，則或，由對勾函數(shù)的性質(zhì)可知：當時，，當且僅當時取等號，當時，單調(diào)遞增，此時可得.即在軸上的截距的取值范圍為.（3）因為.則當時，.故在上單調(diào)遞減.當時，令則由于，，則，故所以在上單調(diào)遞減，因為，所以在上有唯一零點.即在上有唯一零點當時，，即，當時，，即，所以時取極大值.所以，即得證.【點睛】方法點睛：本題主要考查導數(shù)在函數(shù)中的應(yīng)用，以及函數(shù)問題的證明，著重考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想、邏輯推理能力與計算能力，對導數(shù)的應(yīng)用的考查主要從以下幾個角度進行：(1)考查導數(shù)的幾何意義，求解曲線在某點處的切線方程；(2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù)；(3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決函數(shù)的恒成立與有解問題，同時注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用.2．（23-24高二下·安徽·期末）已知函數(shù).(1)討論函數(shù)的單調(diào)性；(2)，若是的極小值點，求的取值范圍.【答案】(1)答案見解析(2)【優(yōu)尖升-分析】（1）求出函數(shù)的定義域與導函數(shù)，再分、兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）求出函數(shù)的導函數(shù)，令，再分、兩種情況討論，分別求出函數(shù)的單調(diào)性，即可得解.【詳解】（1）函數(shù)的定義域為，又，對于函數(shù)，當，即時恒成立，當，即，則對稱軸為，開口向下，且當時，則與軸有兩個交點，且交點的橫坐標均大于；①當時，，在上單調(diào)遞減；②當時，令得，，則，所以當時，當時，當時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，綜上可得：當時在上單調(diào)遞減；當時在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.