《多邊形》名師教案

.3多邊形及其內(nèi)角和11.3.1多邊形（王中煒）一、教學(xué)目標(biāo)1．學(xué)習(xí)目標(biāo)（1）1.1.1了解多邊形及有關(guān)概念.（2）1.1.2多邊形對角線條數(shù).（3）1.1.3區(qū)別凸多邊形與凹多邊形，理解正多邊形的概念.2．學(xué)習(xí)重點(diǎn)多邊形對角線條數(shù)公式的推導(dǎo). 3．學(xué)習(xí)難點(diǎn)區(qū)別凸多邊形與凹多邊形，理解正多邊形的概念.二、教學(xué)設(shè)計(jì)（一）課前設(shè)計(jì)1．預(yù)習(xí)任務(wù)（1）在平面內(nèi)，由一些線段首尾相接組成的封閉圖形叫做多邊形.（2）多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內(nèi)角.（3）多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.（4）連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段叫做多邊形的對角線.（5）各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.任務(wù)2（6）如圖，五邊形ABCDE有5條邊，它們分別是AB、BC、CD、DE、EA;有5個(gè)內(nèi)角，它們分別是∠A、∠B、∠C、∠D、∠E.在下圖中畫出以A為端點(diǎn)的所有對角線.該五邊形一共有5條對角線. 2．預(yù)習(xí)自測（1）下列圖形中，是正多邊形的是（）A.直角三角形B.等腰三角形C.長方形D.正方形【知識(shí)點(diǎn)】正多邊形概念【解題過程】A.直角三角形有一個(gè)是直角，其它角不是.所以不是正多邊形;B.等腰三角形只有有兩邊相等.所以不是正多邊形;C.長方形四個(gè)角相等，但四條邊不相等.所以不是正多邊形;D.正方形四個(gè)角相等，四條邊相等，所以是正多邊形.【思路點(diǎn)撥】正多邊形的邊、角都要相等【答案】D（2）六邊形的對角線有（）A.6條B.3條C.9條D.8條【知識(shí)點(diǎn)】多邊形對角線條數(shù)公式【解題過程】解：【思路點(diǎn)撥】運(yùn)用多邊形對角線條數(shù)的公式計(jì)算即可.【答案】C（二）課堂設(shè)計(jì)1．知識(shí)回顧 （1）由不在同一直線上的三條線段首尾順次連接成的封閉圖形叫三角形. （2）三角形內(nèi)角和為180°. （3）三角形一邊延長線和另一邊的夾角叫三角形的外角.2．問題探究探究一師問：看下面的圖片，其中的房屋結(jié)構(gòu)、蜂巢結(jié)構(gòu)是由一些線段圍成的什么圖形？學(xué)生通過預(yù)習(xí)和已有的生活經(jīng)驗(yàn)?zāi)芑卮鸪鑫暹呅?、六邊形，教師順勢板書多邊形概?多邊形及有關(guān)概念：這種在平面內(nèi),由一些不在同一條直線上的線段首尾順次相接組成的封閉圖形叫做多邊形.●活動(dòng)①多邊形概念的剖析師問：同學(xué)們，以上多邊形的概念中關(guān)鍵詞有哪些？學(xué)生小組討論，舉手發(fā)言.說到一處，老師就用紅色粉筆在黑板上標(biāo)記一處.（1）同一平面（與三角形概念不相同的地方）；（2）不在同一條直線上；（3）首尾順次相接；（4）封閉.●活動(dòng)②與多邊形相關(guān)的概念多邊形的命名：多邊形按組成它的線段的條數(shù)分成三角形、四邊形、五邊形……、n邊形.這就是說，一個(gè)多邊形由幾條線段組成，就叫做幾邊形.三角形是最簡單的多邊形.多邊形的內(nèi)角：與三角形類似地，多邊形相鄰兩邊組成的角叫做多邊形的內(nèi)角.如圖中的∠A、∠B、∠C、∠D、∠E.多邊形的外角：多邊形的邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角.(一個(gè)頂點(diǎn)處有兩個(gè)外角，它們是一組對頂角，是相等的.但在計(jì)算外角和時(shí)，一個(gè)頂點(diǎn)只選一個(gè)外角)如圖中的∠1是五邊形ABCDE的一個(gè)外角.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個(gè)頂點(diǎn)的線段，叫做多邊形的對角線.【設(shè)計(jì)意圖】引導(dǎo)學(xué)生觀察發(fā)現(xiàn)，從生活中抽象出多邊形的模型，了解多邊形的相關(guān)概念.同時(shí)在多邊形概念上體會(huì)數(shù)學(xué)語言的嚴(yán)密性.問題探究二多邊形對角線條數(shù)★●活動(dòng)①動(dòng)手操作，大膽猜想，從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可引多少條對角線?師問：同學(xué)們，從一個(gè)頂點(diǎn)引對角線，四邊形可畫幾條對角線？五邊形可畫幾條對角線？六邊形可畫幾條對角線？請同學(xué)們動(dòng)手畫圖看看.（培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手操作能力）你能猜想從一個(gè)頂點(diǎn)引對角線，n邊形可引多少條對角線嗎?(培養(yǎng)學(xué)生的觀察分析能力，體現(xiàn)由特殊到一般的數(shù)學(xué)思維模式)●活動(dòng)②集思廣益，合作探究多邊形共多少條對角線?四邊形共有幾條對角線？五邊形共有幾條對角線？六邊形共有幾條對角線？你能猜想n邊形有多少條對角線嗎?說說你的想法.因?yàn)閺膎邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n-3)條對角線，n個(gè)頂點(diǎn)共引n(n-3)條對角線，又由于連接任意兩個(gè)頂點(diǎn)的兩條對角線是相同的，被重復(fù)計(jì)算了.所以，n邊形有條對角線.【設(shè)計(jì)意圖】鼓勵(lì)學(xué)生獨(dú)立自主探究，讓學(xué)生初步感受通過動(dòng)手操作來掌握多邊形對角線條數(shù)，在其探究過程訓(xùn)練學(xué)生嚴(yán)密的邏輯推理能力.例1.填空：（1）十邊形有________個(gè)頂點(diǎn)，________個(gè)內(nèi)角，________個(gè)外角，從一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)可畫________條對角線，它共有________條對角線．（2）從多邊形一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)畫對角線將它分成了四個(gè)三角形，這個(gè)多邊形是________邊形．【知識(shí)點(diǎn)】多邊形相關(guān)概念和對角線條數(shù)【解題過程】（1）一個(gè)n邊形有n個(gè)頂點(diǎn)，n個(gè)角，2n個(gè)外角，從一個(gè)頂點(diǎn)能畫出(n－3)條對角線，共有eq\f(n(n－3),2)條對角線；將n=10代入即可.（2）一個(gè)n邊形從一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n－3)條對角線，把n邊形分成(n－2)個(gè)三角形，所以n－2＝4，n＝6，這個(gè)多邊形是六邊形．【思路點(diǎn)撥】根據(jù)概念逐一填寫，根據(jù)公式代入求值.【答案】（1）101020735（2）六問題探究三●活動(dòng)①凸多邊形和凹多邊形▲師問：請同學(xué)們認(rèn)真觀察,下面的兩個(gè)多邊形有什么不同?在圖（1）中，畫出四邊形ABCD的任何一條邊所在的直線，整個(gè)圖形都在這條直線的同一側(cè)，這樣的四邊形叫做凸四邊形，這樣的多邊形稱為凸多邊形；而圖（2）就不滿足上述凸多邊形的特征，因?yàn)槲覀儺婤D所在直線，整個(gè)多邊形不都在這條直線的同一側(cè)（某一條邊所在的直線將多邊形分成兩部分），我們稱它為凹多邊形.注意：今后我們討論的多邊形指的都是凸多邊形.●活動(dòng)正多邊形的概念我們知道，等邊三角形、正方形的各個(gè)角都相等，各條邊都相等，像這樣各個(gè)角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形.下面是正多邊形的一些例子.【設(shè)計(jì)意圖】教師要求學(xué)生自己去解決這兩個(gè)問題，可以通過討論、交流的形式去解決，完成以后，教師可以隨機(jī)地畫幾個(gè)多邊形讓學(xué)生進(jìn)行凸、凹多邊形的區(qū)分．對于正多邊形的概念，關(guān)鍵讓學(xué)生掌握住各邊都相等，各角都相等，二者缺一不可．同時(shí)培養(yǎng)學(xué)生的動(dòng)手實(shí)踐和觀察分析能力．【例2】下列說法正確的個(gè)數(shù)有()．（1）各邊都相等的多邊形是正多邊形；（2）由四條線段首尾順次相接組成的圖形是四邊形；（3）各角都相等的多邊形一定是正多邊形；（4）同一正多邊形的各個(gè)外角都相等．A．2 B．1 C．3 D．4【知識(shí)點(diǎn)】正多邊形的概念【解題過程】（1）不正確，各邊都相等，各角也都相等的多邊形才是正多邊形，這兩個(gè)條件必須同時(shí)具備，如菱形雖然四邊都相等，但它不是正多邊形；（2）不正確，一是要在同一平面內(nèi)，二是不能在同一條直線上；（3）不正確，如長方形四個(gè)角都是直角，都相等，但邊不一定相等，所以不是正多邊形；（4）正確，因?yàn)橥徽噙呅胃鱾€(gè)內(nèi)角都相等，同頂點(diǎn)的內(nèi)角與外角互為鄰補(bǔ)角，所以各個(gè)外角也相等．故選B.【思路點(diǎn)撥】強(qiáng)調(diào)邊和內(nèi)角都要相等的多邊形才能判定其為正多邊形.【答案】B3．課堂總結(jié)【知識(shí)梳理】（1）多邊形相關(guān)定義.（2）n邊形對角線條數(shù)公式：.（3）凹、凸多邊形的區(qū)別，正多邊形的特點(diǎn). 【重難點(diǎn)突破】在對角線條數(shù)公式的探究過程中，從一個(gè)點(diǎn)能引幾條對角線到所有點(diǎn)一共能引多少條對角線，從四邊形、五邊形、六邊形共有幾條對角線到n邊形有多少條對角線，遵循了由點(diǎn)到面、由特殊到一般的研究路徑，降低了學(xué)生的準(zhǔn)入門檻.（三）課后作業(yè)基礎(chǔ)型自主突破1.分別畫出下列各多邊形的對角線,觀察思考:四邊形有_______條對角線,五邊形有_______條對角線.【知識(shí)點(diǎn)】多邊形對角線條數(shù)【解題過程】畫圖部分如下圖:四邊形有2條對角線,五邊形有5條對角線.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)對角線定義,將不相鄰的兩定點(diǎn)做連接畫出對角線.【答案】2，5.2.從六邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),最多可以引______條對角線，其對角線共有_____條；【知識(shí)點(diǎn)】多邊形對角線【解題過程】6-3=3，【思路點(diǎn)撥】根據(jù)n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可引對角線條數(shù)為：n-3和n邊形對角線條數(shù)公式：，將n=6代入即可求出答案?！敬鸢浮?，93.下列圖中不是凸多邊形的是（）ABCD【知識(shí)點(diǎn)】凸多邊形與凹多邊形辨析【思路點(diǎn)撥】將多邊形的每一條邊都延長，被分割了的多邊形就是凹多邊形【答案】C4.若從多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā),最多可以引10條對角線,則它是()A.十三邊形B.十二邊形C.十一邊形D.十邊形【知識(shí)點(diǎn)】從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)可以引(n-3)條對角線【解題過程】n-3=10，n=13.【思路點(diǎn)撥】用公式直接建立方程即可.【答案】A5.若一個(gè)多邊形共有十四條對角線,則它是()A.六邊形B.七邊形C.八邊形D.九邊形【知識(shí)點(diǎn)】n邊形對角線條數(shù)公式：.【解題過程】n=7【思路點(diǎn)撥】根據(jù)多邊形對角線條數(shù)公式直接建立方程.【答案】B6.若一個(gè)多邊形的邊數(shù)增加１，它的對角線條數(shù)增加7，則它是()A.六邊形B.七邊形C.八邊形D.九邊形【知識(shí)點(diǎn)】n邊形對角線條數(shù)公式：【解題過程】n=8【思路點(diǎn)撥】用多邊形對角線條數(shù)公式建立方程【答案】C能力型師生共研7.若一個(gè)多邊形的邊數(shù)減少１，它的對角線條數(shù)減少8，則它是()A.八邊形B.十邊形C.九邊形D.十一邊形【知識(shí)點(diǎn)】n邊形對角線條數(shù)公式：【解題過程】【思路點(diǎn)撥】用多邊形對角線條數(shù)公式建立方程【答案】B8.若多邊形的邊數(shù)與對角條數(shù)之比是2：3，求這該多邊形的邊數(shù).【知識(shí)點(diǎn)】n邊形對角線條數(shù)公式：【解題過程】當(dāng)n=4時(shí)，對角線條數(shù)是2；當(dāng)n=5時(shí)，對角線條數(shù)是5；當(dāng)n=6時(shí)，對角線條數(shù)是9；此時(shí)6：9=2：3.所以該多邊邊數(shù)是6.【思路點(diǎn)撥】由于學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)一元二次方程，用公式建立方程的做法還不能實(shí)施.只有根據(jù)公式逐一算出多邊形的對角線，再從計(jì)算結(jié)果中查找發(fā)現(xiàn).【答案】6探究型多維突破9.過m邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有6條對角線，n邊形沒有對角線，求mn的平方根．【知識(shí)點(diǎn)】多邊形對角線條數(shù)【解題過程】解：由題意可得m－3＝6，∴m＝9，n＝3，∴±eq\r(mn)＝±27=±33.【思路點(diǎn)撥】根據(jù)題意求出對應(yīng)的m、n的值，再代入求值.【答案】±310.過a邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有7條對角線，n邊形沒有對角線，b邊形有b條對條線.求(a-b)n的值?【知識(shí)點(diǎn)】n邊形對角線條數(shù)【解題過程】解：∵過a邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有7條對角線∴a-3=7即a=10∵n邊形沒有對角線∴n=3∵b邊形有b條對條線∴b=5∴(a-b)n=(10-5)3=53=125【思路點(diǎn)撥】根據(jù)多邊形對角線條數(shù)公式，和對角線條數(shù)有特殊性的多邊形的理解.【答案】125自助餐:1．下列圖形中，是正多邊形的是()A．直角三角形B．等腰三角形C．長方形D．正方形【知識(shí)點(diǎn)】正多邊形的概念【解題過程】A．直角三角形，不是B．等腰三角形，不是C．長方形四個(gè)角相等，但四條邊不相等，不是D．正方形四個(gè)角相等，四條邊相等，是【思路點(diǎn)撥】強(qiáng)調(diào)正多邊形的每條邊、每個(gè)角都相等【答案】D2．從n邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)共有對角線()A．(n-2)條B．(n-3)條C．(n-1)條D．(n-4)條【知識(shí)點(diǎn)】多邊形對角線條數(shù)【思路點(diǎn)撥】除出發(fā)的頂點(diǎn)本身還有相鄰兩頂點(diǎn)外，和其它的每個(gè)頂點(diǎn)連接都可以成為一條對角線.【答案】B3.已知多邊形的邊數(shù)恰好是從這個(gè)多邊形的一個(gè)頂點(diǎn)出發(fā)的對角線條數(shù)的2倍，求此多邊形的邊數(shù)．【知識(shí)點(diǎn)】多邊形對角線條數(shù)【解題過程】解:n=2(n-3)n=6【思路點(diǎn)撥】根據(jù)對角線條數(shù)公式建立方程即可.【答案】6.4.過m邊形一個(gè)頂點(diǎn)可引出6條對角線，n邊形共有5條對角線，則mn=_____．【知識(shí)點(diǎn)】n邊形對角線條數(shù)【解題過程】解：∵過m邊形的一個(gè)頂點(diǎn)有6條對角線∴m-3=6即m=9∵n邊形共有5條對角線∴n=5∴mn=9×5=45【思路點(diǎn)撥】根據(jù)多邊形對角線條數(shù)公式，和對角線條數(shù)有特殊性的多邊形的理解.【答案】455．一個(gè)多邊形的對角線的條數(shù)等于它的邊數(shù)的4倍，求這個(gè)多邊形的邊數(shù)．【知識(shí)點(diǎn)】n邊形對角線條數(shù)公式：【解題過程】解法一：解：設(shè)這是一個(gè)n邊形，依題意得＝4n，∵n≥3且為整數(shù)，∴n＝11.解法二：解：當(dāng)n=4時(shí)，對角線條數(shù)是2；當(dāng)n=5時(shí)，對角線條數(shù)是5；當(dāng)n=6時(shí)，對角線條數(shù)是9；當(dāng)n=7時(shí)，對角線條數(shù)是14；當(dāng)n=8時(shí)，對角線條數(shù)是20；當(dāng)n=9時(shí)，對角線條數(shù)是27；當(dāng)n=10時(shí)，對角線條數(shù)是35；當(dāng)n=11時(shí)，對角線條數(shù)是44；此時(shí)44÷11=4.所以該多邊邊數(shù)是11.【思路點(diǎn)撥】由于學(xué)生還沒有學(xué)習(xí)一元二次方程，用公式建立方程的做法還不能實(shí)施.只有根據(jù)公式逐一算出多邊形的對角線，再從計(jì)算結(jié)果中查找發(fā)現(xiàn).【答案】116.網(wǎng)游《星際爭霸》頗受網(wǎng)迷的青睞。作為網(wǎng)游工程師，在編程的過程中，若有4個(gè)飛船相互射擊，射擊路線最多要設(shè)計(jì)多少條？若有5個(gè)飛船相互射擊，射擊路線最多要設(shè)計(jì)多少條？若有6個(gè)飛船相互射擊，射擊路線最多要設(shè)計(jì)多少條？若有n個(gè)飛船相互射擊，射擊路線最