八年級(jí)下冊(cè)數(shù)學(xué)-平行四邊形

第8講平行四邊形知識(shí)導(dǎo)航1．平行四邊形的性質(zhì)有：對(duì)邊平行且相等，對(duì)角線互相平分，對(duì)角相等，鄰角互補(bǔ)，兩條平行線之間的距離處處相等，夾在兩條平行線間的平行線段相等2．平行四邊形的判定方法有五種.【板塊一】平行四邊形中邊的關(guān)系運(yùn)用◆方法技巧◆判定平行四邊形時(shí)，應(yīng)根據(jù)具體情況，選擇五種判定中最趨近條件的一種方法.題型一平行四邊形的判定【例1】點(diǎn)D，E分別是等邊△ABC的邊AB，BC上一點(diǎn)，且BD＝CE。以AE為邊作等邊△AEF，求證：四邊形ECDF為平行四邊形.【例2]如圖，在四邊形ABCD中，AB//CD，以AD，AC為邊作口ACED，延長(zhǎng)DC交EB于點(diǎn)F，求證：BF＝EF.針對(duì)練習(xí)11．如圖，在口ABCD中，AB＝6，點(diǎn)E是BC邊中點(diǎn)，點(diǎn)F為CD邊上一點(diǎn)，DF＝4．8，∠DFA＝2∠BAE，則AF的長(zhǎng)為()A．4．8B．6C．7．2D．10．82．如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，AE平分∠BAC，交CD于點(diǎn)K，交BC于點(diǎn)E，點(diǎn)F是BE上一點(diǎn)且BF＝CK，求證：FK∥AB．3．如圖，點(diǎn)F是口ABCD內(nèi)一點(diǎn)，且ED⊥CD，EB⊥CB，∠AED＝135°．(1)求證：∠ADE＝∠ABE；(2)求∠EAB的度數(shù)；(3)求證:EB＝BC；(4)探究：AB－DE與AE的數(shù)量關(guān)系．【模塊二】平行四邊形中的面積轉(zhuǎn)換

方法技巧

兩平行線間的距離相等，同底(或等底)且同高(或等高)的三角形的面積相等．題型三平行線轉(zhuǎn)換面積【例1】如圖，四邊形ABCD，ADFE均為平行四邊形，邊AE，DC相交于點(diǎn)P，邊BC，EF在同一條直線上，當(dāng)點(diǎn)P從點(diǎn)C出發(fā)向點(diǎn)D運(yùn)動(dòng)時(shí)(點(diǎn)P不與點(diǎn)C，D重合)，則△ACP的面積與△PEF的面積之差的變化情況是()A．先變小再變大B．先變大再變小C．一直變小D．一直不變【例2】(1)如圖1，在口ABCD中，點(diǎn)E邊AB上一點(diǎn)，點(diǎn)F在BC上，則S△ECDS△FAD；(填>、<或＝)(2)如圖2，在口ABCD中，點(diǎn)O為BD中點(diǎn)，直線FE過(guò)O點(diǎn)分別交AD，BC于E，F(xiàn)兩點(diǎn)，則S四邊形ABOE____S四邊形CDOF；(填>、<或＝)(3)如圖3，點(diǎn)E為口ABCD中任意一點(diǎn)，若S四邊形ABCD＝6，則S△ABE＋S△DEC的值是．圖1圖2圖3【例3】如圖，在口ABCD中，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，點(diǎn)F為AB上一點(diǎn)，且BE＝DF，BE與DF交于點(diǎn)G，求證：GC平分∠BGD．針對(duì)練習(xí)21．如圖，在口ABCD中，對(duì)角線BD⊥AB，點(diǎn)G為BD延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，且△CBG為等邊三角形，∠BCD，∠ABD的角平分線相交于點(diǎn)E，連接CE，交BD于點(diǎn)F，連接GE．(1)若CG＝8，求口ABCD的面積；(2)求證：CE＝BE＋GE．2．如圖，在四邊形ABCD中，請(qǐng)過(guò)點(diǎn)A作一直線，將這個(gè)四邊形ABCD的面積平分，并說(shuō)明理由．3．在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)P是直線BC上一點(diǎn)，PD⊥AB于點(diǎn)D，PE⊥AC于點(diǎn)E，BF⊥AC于點(diǎn)F．(1)如圖1，求證：PD＋PE＝BF；(2)如圖2，當(dāng)點(diǎn)P在BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，探究PD，PE，BF之間的數(shù)量關(guān)系．圖1圖2【板塊三】平行四邊形中特殊角度，特定關(guān)系角的轉(zhuǎn)換

方法技巧

平行四邊形中45°角可用來(lái)構(gòu)造等腰直角三角形，其中三邊比有1：1：關(guān)系；60°的角可用來(lái)構(gòu)造等邊三角形．題型四平行四邊形中45°角(或等腰直角三角形）的運(yùn)用【例1】如圖，在△ABC和△DAF中，AC＝BC，AD＝AF，∠ACB＝∠DAF＝90°，點(diǎn)D，A，C在一條直線上，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥DF，且DE＝AC，連接CF，BE，EF．(1)判斷四邊形ADEB的形狀，并予以證明；(2)求的值．題型五平行四邊形中60°角(或等邊三角形）的運(yùn)用【例2】分別以口ABCD的邊BC，CD為邊作等邊△BCE和等邊△CDF，求證：△AFE為等邊三角形．【例3】在口ABCD中，∠ABC＝120°，∠BAD的平分線交BC邊于點(diǎn)E，交DC延長(zhǎng)線于點(diǎn)F，過(guò)F作FG∥BC，且使FG＝CE，連接DB，DG，求∠BDG的度數(shù)．針對(duì)練習(xí)31．如圖，在口ABCD中，AD＝2CD，點(diǎn)F是AD的中點(diǎn)，作CE⊥AB，垂足E在線段AB上，連接EF，CF，則下列結(jié)論：①∠DCF＝∠BCF；②EF＝CF；③∠DFE＝3∠AEF；④S△BEC<2S△CEF．其中結(jié)論一定成立的是____．(請(qǐng)?zhí)钚蛱?hào))2．如圖，在口ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥BC于點(diǎn)E，連接DE，點(diǎn)F為DE的中點(diǎn)，且∠BAE＝∠DEC，∠B＝60°．(1)判斷△AEF的形狀并說(shuō)明理由；(2)若AB＝2，求DE的長(zhǎng)．3．如圖，在口ABCD中，點(diǎn)E為AD上一點(diǎn)，且AB＝AE，連接BE，交AC于點(diǎn)H，過(guò)點(diǎn)A作AF⊥BC于點(diǎn)F，交BE于點(diǎn)G．(1)若∠D＝50°，求∠EBC的度數(shù)；(2)若AC⊥CD，過(guò)點(diǎn)G作GM∥BC交AC于點(diǎn)M，求證：AH＝MC．4．在口ABCD中，點(diǎn)E是AD上一點(diǎn)，AE＝AB，過(guò)點(diǎn)E作直線EF，在EF上取一點(diǎn)G，使得∠EGB＝∠EAB，連接AG．(1)如圖1，當(dāng)EF與AB相交時(shí)，若∠EAB＝60°，求證：EG＝AG＋BG；(2)如圖2，當(dāng)EF與CD相交時(shí)，且∠EAB＝90°，探究EG，AG，BG之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．圖1圖2【板塊四】平行圖邊形中勾股定理的運(yùn)用

方法技巧

平行四邊形中有直角三角形，可綜合“對(duì)邊相等，對(duì)角線互相平分”，利用勾股定理探究邊的關(guān)系或求邊長(zhǎng)．題型六平方關(guān)系線段運(yùn)用勾股定理探求【例1】已知ABCD為平行四邊形，∠ABC和∠DCB的角平分線分別交AD于點(diǎn)H和點(diǎn)G，且它們交于O點(diǎn)，若AB＝5，AD＝6，求OG2＋OH2的值．【例2】(1)如圖1，已知AB＝，BC＝5，∠ABC<90°，口ABCD的面積為15．①求AC，BD的長(zhǎng)；②探究AC2＋BD2和AB2＋BC2之間有什么數(shù)量關(guān)系；(2)如圖2，如果把(1)中的關(guān)系推廣到任意口ABCD中去，并證明你的推廣．圖1圖2針對(duì)練習(xí)41．如圖1，在△OAB中，∠OAB＝90°，∠AOB＝30°，0B＝8，以O(shè)B為邊，在△OAB外作等邊△OBC，點(diǎn)D是OB的中點(diǎn)，連接AD并延長(zhǎng)交OC于點(diǎn)E．(1)求證：四邊形ABCE是平行四邊形；(2)如圖2，將圖1中的四邊形ABCO折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，折痕為FG，求OG的長(zhǎng)．圖1圖22．如圖1，在口ABCD中，AB＝a，BC＝b．(1)若∠BCD＝120°，則對(duì)角線BD的長(zhǎng)是．(用含a,b的式子表示)；(2)求證：AC2＋BD2＝2a2＋2b2；(3)如圖2，在(1)的條件下，若四邊形BCEF也是平行四邊形，連接AF并延長(zhǎng)交BE于點(diǎn)P，恰有∠APB＝120°，設(shè)BE＝m，AF＝n，若a＝3，b＝2，求m，n之間的數(shù)量關(guān)系式．圖1圖23．如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠C＝90°，BC＝CD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在邊BC，CD上，且BF＝DF＝AD，AF與DE交于點(diǎn)G．(1)求證：AB＝BF；(2)當(dāng)AB＝5，AD＝2，求DG的長(zhǎng)．【板塊五】平行四邊形中的多解問(wèn)題

方法技巧

平行四邊形的高可以在四邊形內(nèi)部，也可以在外部，從而產(chǎn)生多解．題型七高在平行四邊形內(nèi)部或外部產(chǎn)生的多解問(wèn)題【例1】口ABCD的周長(zhǎng)為52，過(guò)D作DE⊥AB于點(diǎn)E，DF⊥BC于點(diǎn)F，DE＝5，DF＝8，求BE＋BF的長(zhǎng)．題型八重疊方式不同產(chǎn)生多解【例2】如圖，在Rt△ABC中，∠A＝90°，點(diǎn)D是AB邊上一點(diǎn)，點(diǎn)E是BC的中點(diǎn)，將△CDF沿DE翻折，得到△FDE，使△FDE與△BDE重疊部分的面積是△BDC的面積的，若AB＝4，AC＝2，求BD的長(zhǎng)．圖1圖2針對(duì)練習(xí)51．在面積為6的口ABCD中，過(guò)A作AE⊥直線BC于點(diǎn)E，作AF⊥直線CD于F，若AB＝3，BC＝2，則CE＋CF的長(zhǎng)為()A．10＋5B．2＋C．10＋5或2＋D．10＋5或5－102．在面積為15的口ABCD中，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥直線BC于點(diǎn)E，作AF⊥直線CD于點(diǎn)F，若AB＝5，BC＝6，求CE＋CF的長(zhǎng)．3．口ABCD周長(zhǎng)為44，過(guò)A作AE⊥直線BC于點(diǎn)E，作AF⊥直線CD于點(diǎn)F，若AE＝5，AF＝6，則CE＋CF的長(zhǎng)為．【板塊六】平行四邊形中的動(dòng)點(diǎn)與最值

方法技巧

平行四邊形中勻速運(yùn)動(dòng)的點(diǎn)，可以設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t，然后用t表示各個(gè)變量求解；線段的最值常用兩邊之和大于第三邊或垂線段最短求解．題型九平行四邊形中的動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題【例1】如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝24cm，BC＝30cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A向點(diǎn)D以1cm/s的速度運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)D即停止，同時(shí)點(diǎn)Q從點(diǎn)C向點(diǎn)B以2cm／s的速度運(yùn)動(dòng)，到點(diǎn)B即停止，直線PQ將四邊形ABCD截成兩個(gè)四邊形，分別為四邊形ABQP和四邊形PQCD，則當(dāng)P，Q兩點(diǎn)同時(shí)出發(fā)幾秒時(shí)所截得兩個(gè)四邊形中，其中一個(gè)四邊形為平行四邊形？題型十平行四邊形中的最值問(wèn)題【例2】如圖，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝3，AC＝4，P為BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，PE⊥AB于點(diǎn)E，PF⊥AC于點(diǎn)F，點(diǎn)M為EF的中點(diǎn)，則線段AM的最小值為．針對(duì)練習(xí)61．如圖，在Rt△ABC中，∠B＝90°，∠BCA＝30°，AC＝20，點(diǎn)D在BC上，以AC為對(duì)角線的所有口ADCE中，線段DE的最小值是．2．如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)O是BD中點(diǎn)，點(diǎn)P是線段AD上一動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)D重合），PO的延長(zhǎng)線交BC于點(diǎn)Q．（1）求證：四邊形PBQD為平行四邊形；（2）若AB=3cm，AD=4cm，點(diǎn)P從點(diǎn)A出發(fā)，以1cm/s的速度向點(diǎn)D勻速運(yùn)動(dòng)．設(shè)點(diǎn)P的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為ts，問(wèn)四邊形PBQD能夠成為菱形嗎？如果能，求出相應(yīng)的t值；若不能，說(shuō)明理由．【板塊七】構(gòu)造平行四邊形方法技巧將線段進(jìn)行平移，可構(gòu)造平行四邊形，借助構(gòu)造的平行四邊形可以得到相等的邊、平行線，從而得到全等三角形．題型十一構(gòu)造平行四邊形同時(shí)構(gòu)造等腰直角三角形【例1】已知點(diǎn)A，C分別是∠B的兩條邊上的點(diǎn)，點(diǎn)D、E分別是直線BA，BC上的點(diǎn)，直線AE，CD相交于點(diǎn)P．（1）點(diǎn)D，E分別在線段BA，線段BC上．①如圖1，若∠B=60°，且AD=BE，BD=CE，則∠APD的度數(shù)是；②如圖2，若∠B=90°，且AD=BC，BD=CE，求∠APD的度數(shù)．（2）如圖3，點(diǎn)D，E分別在線段AB，BC的延長(zhǎng)線上，若∠ABC=90°，AD=BC，∠APD=45°，求證：BD=CE．題型十二構(gòu)造平行四邊形同時(shí)構(gòu)造全等三角形【例2】如圖，在等腰△ABC中，AB=AC，延長(zhǎng)邊AB到點(diǎn)D，延長(zhǎng)邊CA到點(diǎn)E，連接DE，若AD=BC=CE=DE求證：∠B